Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Подходы к созданию средства измерения на основе алгоритма Прони 10
1.1 Виртуальные средства измерения , 10
1.2 Аналитическое представление сигналов 16
1.3 Методы оценивания параметров авторегрессионной модели 19
1.3.1 Оценивание параметров полигармонических сигналов 19
1.3.2 Методы оценивания параметров авторегрессионной модели 21
1.3.3 Методы оценивания порядка авторегрессионных моделей 30
1.4 Основные задачи исследования 41
Основные результаты и выводы по главе 1 45
Глава 2. Оценка влияния параметров регистрации и оцифровки на погрешность измерения параметров сигнала на основе метода Прони 46
2.1 Методика исследования погрешностей измерения параметров сигнала 46
2.1.1 Оценка влияния порядка модели аппроксимации 53
2.1.2 Оценка влияния числа периодов сигнала за время измерения 57
2.1.3 Оценка влияния количества отсчетов 59
2.1.4 Оценка влияния разрядности АЦП 60
2.1.5 Оценка влияния начальной фазы сигнала 62
2.1.6 Оценка влияния частоты гармонической помехи 64
2.1.7 Оценка коэффициента подавления шума 64
2.2 Анализ результатов моделирования и выработка рекомендаций по применению метода 67
2.2.1 Анализ влияния порядка модели аппроксимации 67
2.2.2 Анализ влияния числа периодов сигнала за время измерения 69
2.2.3 Анализ влияния количества отсчетов 74
2.2.4 Анализ влияния числа разрядов АЦП 81
2.2.5 Анализ влияния начальной фазы сигнала 85
2.2.6 Анализ влияния частоты гармонической помехи 88
2.2.7 Анализ помехоподавления метода 90
2.3 Исследование возможностей алгоритма при использовании типовых АЦП 100
Основные результаты и выводы по главе 2 103
Глава 3. Использование априорной информации о сигнале для повышения помехоустойчивости метода Прони 105
3.1 Использование априорной информации о частоте измеряемого сигнала 105
3.2 Исследование погрешностей на основе моделирования 108
3.3 Выделение известных составляющих из полигармонических сигналов 114
3.4 Исследование погрешностей на основе моделирования при выделении известной составляющей 117
Основные результаты и выводы по главе 3 126
Глава 4. Методика измерения параметров электрических сигналов 127
4.1 Общие замечания 127
4.2 Методика выбора параметров регистрации и оцифровки на основе номограмм 130
4.3 Многофакторный дисперсионный анализ и построение математической модели : 138
Основные результаты и выводы по главе 4 145
Глава 5. Перспективы применения метода Прони 146
5.1 Классические методы определения параметров сигналов и цепей 146
5.2 Многофункциональное виртуальное средство измерения 151
5.3 Реализация метода Прони на нейронных сетях 156
Основные результаты и выводы по главе 5 165
Заключение 165
Основные результаты и выводы по работе 166
Список сокращений 169
Список литературы 170
Приложение. Данные о внедрении 181
- Методы оценивания порядка авторегрессионных моделей
- Анализ влияния числа периодов сигнала за время измерения
- Исследование погрешностей на основе моделирования при выделении известной составляющей
- Многофакторный дисперсионный анализ и построение математической модели
Введение к работе
Одной из тенденций развития современной информационно-измерительной техники является измерение параметров электрических сигналов виртуальными приборами, построенными на базе персонального компьютера и стандартной плате ввода аналоговых сигналов (АЦП) или микропроцессоре с аналоговым вводом информации.
Часто такие средства измерения применяются в автоматических и автоматизированных системах управления, где применение компьютера не является дополнительным требованием - оборудование используется для решения целевой задачи управления или контроля, а в фоновом режиме осуществляется измерение параметров, которые используются в этой системе.
В области цифровых средств измерения в России наиболее известны работы Шляндина В.М., Ломтева Е.А., Шахова Э.К., Шлыкова ГЛ., Гутникова B.C., Орнатского П.П. и учеников их школ; динамические измерения исследуются, например, Г.Н. Солопченко, В.А.Грановским. Реализация сложных алгоритмов в виртуальных средствах измерения пересекается с областью цифровой обработки сигналов, которая имеет очень большие успехи. Наиболее известны работы зарубежных ученых -Гоулда Б., Рейдера Ч., Рабинера Л., Макса Ж. и Марпла-мл. С.Л. др., а также российских - Ланнэ А.А., Гольденберга Л.М., Сергиенко А.Б., Щербакова М.А. и др.
Виртуальные средства измерения имеют общую структуру, включающую блок масштабирования напряжения, схему выборки и хранения, аналого-цифровой преобразователь и компьютер [58], а целевая функция в них реализуется за счет программы обработки зарегистрированных значений сигнала. Очень часто в основе цифровой обработки лежит аналитическое описание сигналов.
Существует много способов аналитического представления колебаний
[70]. Однако, в основном, такое описание используется для восстановления
сигнала по его отсчетам. При этом вид аналитического представления
выбирается исходя из решения одной из возможных задач - сжатие
информации, аппроксимация небольшим числом членов ряда (при удачном
подборе типа функций), удобная форма для спектрального оценивания и т.д.
При этом практически не рассматривается наиболее естественная для
описания свободных и вынужденных колебаний модель, представляющая
собой сумму колебательных составляющих разной частоты с
соответствующими амплитудами, фазами и затуханиями. Если определить параметры такой модели, то можно решать широкий круг задач. Это измерения напряжения, в том числе гармонических составляющих многочастотного спектра; измерение параметров линейных цепей с сосредоточенными параметрами; измерение добротности; измерение частоты электромагнитных колебаний; измерение фазы; измерение амплитудно-частотных характеристик четырехполюсников; измерение параметров спектра; измерение параметров модулированных сигналов.
Хотя прямых математических методов, позволяющих связать результаты измерения (зарегистрированные дискретные отсчеты сигнала), с параметрами сигнала не существует, известны параметрические методы, в которых на основе перехода от аналогового процесса к дискретному, описываемому авторегрессионным уравнением (АР) (в более общем случае -авторегрессионным уравнением скользящего среднего (АРСС)), осуществляется определение параметров сигналов. Эти методы в основном нашли применение как методы спектрального оценивания, а также как методы предсказания (экстраполяции). В средствах измерения в настоящий момент эти методы не нашли применения из-за сложности алгоритмов. При использовании современных компьютеров это уже не является существенным ограничением. Реализация этих алгоритмов позволит оценить параметры сигналов, однако актуальным останется вопрос обеспечения требуемой точности, так как реализация алгоритма сама по себе лишь обеспечивает
вычисление параметров. Следовательно, необходима метрологическая поддержка - методика измерения. Будем исходить из того, что можно создать методику, позволяющую указать погрешности, обеспечиваемые данным методом, а также установить значения параметров регистрации, при которых можно гарантировать обеспечение заданной точности.
Цель работы - Исследование возможности применения метода Прони для измерения параметров электрических сигналов и разработка методики измерения, обеспечивающей требуемую точность.
Основные задачи исследования:
Анализ особенностей и преимуществ применения метода Прони для оценивания параметров сигналов.
Исследование погрешностей измерения параметров электрических сигналов на основе метода Прони.
Исследование возможностей использования априорной информации о сигнале для снижения погрешностей измерения параметров и повышения помехоустойчивости на основе метода Прони.
Разработка методики измерения на основе метода Прони.
Определение возможностей применения метода Прони для решения различных задач измерения и перспективных направлений реализации.
Методы исследования. При выполнении работы использовались теория цифровых измерений и обработки сигналов, цифровой фильтрации; методы статистического анализа, теория линейных цепей и сигналов, методы спектрального анализа, элементы теории планирования эксперимента.
Научная новизна работы:
1. Показана возможность использования метода Прони для повышения точности измерения параметров электрических сигналов в шумах.
На основе компьютерного моделирования, расчетов и экспериментальных исследований разработана методика измерения параметров сигналов, позволяющая обеспечить измерение параметров с требуемой точностью.
На основе общности структуры АР-уравнения и линейных нейронных сетей предложена реализация алгоритма Прони на искусственных нейронных сетях, позволяющая существенно упростить программную реализацию.
Практическая значимость работы состоит в создании алгоритмов определения параметров сигналов на основе метода Прони для реализации в цифровых средствах измерения, в разработке методики измерений, обеспечивающей требуемую точность. Использование этих алгоритмов в виртуальных средствах измерения позволит повысить точность измерения параметров электрических сигналов в шумах при использовании типовых АЦП.
Реализация и внедрение результатов. Основные результаты работы внедрены в учебный процесс кафедры «Информационно-измерительная техника» в виде методических указаний «Цифровые методы обработки измерительной информации» к курсу «Обнаружение и фильтрация сигналов». Алгоритмы численной обработки измерительной информации на основе метода Прони внедрены при выполнении НИР № 01.07 «Исследование и разработка многоканальной системы контроля» в рамках программы развития атомной энергетики до 2030г. Разработанное программное обеспечение, реализующее алгоритм Прони, использовано при моделировании и обработке результатов сейсмических наблюдений при выполнении работ по теме «Исследование и разработка методов построения интеллектуальных разведывательно-охранных систем на основе принципов сейсмической локации», а методы повышения
быстродействия - при выполнении НИР гранта РФФИ 06-08-00968а «Теоретические основы экспресс-анализа».
Апробация работы. Результаты работы докладывались на МНТК Современные проблемы оптимизации в инженерных приложениях, г. Ярославль, 2005; на шестой всероссийской НТК Современные охранные технологии и средства обеспечения комплексной безопасности объектов, Пенза-Заречный, 2006; на МНТК «Датчики и системы», Пенза, 2006; МНТК «Методы, средства и технология получения и обработки измерительной информации», Пенза, 2006; МНТК КЛИН, Ульяновск, 2006; на МНТК «Проблемы автоматизации и управления в технических системах», Пенза, 2007.
Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе - 1 статья в изданиях перечня ВАК.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 100 наименований, изложенных на 181 страницах машинописного текста, включая 80 рисунков и 8 таблиц.
На защиту выносятся:
Теоретическое обоснование применения метода Прони для измерения параметров электрических сигналов.
Результаты анализа влияния на погрешность измерения параметров регистрации и оцифровки.
Методика измерения параметров электрических сигналов, включающая требования к регистрации и оцифровке сигнала, обеспечивающая требуемую точность измерения.
Методы повышения точности за счет использования априорной информации о параметрах сигнала.
Методы оценивания порядка авторегрессионных моделей
Затем распространились цифровые запоминающие осциллографы (ЦЗО) [60, 100]. Приборы ЦЗО были предназначены для наблюдения, измерения временных и амплитудных параметров, регистрации как случайных, так и периодических процессов.
Следующими по частоте применения и реализации, безусловно, являются анализаторы спектра, в которых реализуются различные способы спектрального анализа [100]. Отметим приборы, в которых решаются близкие к поставленным в этой работе задачи. В модельном ряду виртуальных приборов компании «Актаком» [100]: двух и четырех канальные цифровые запоминающие осциллографы, генераторы сигналов произвольной формы, генераторы измерительных и испытательных телевизионных сигналов, логические анализаторы, а так же комбинированные приборы. Виртуальный частотомер это "комплект" из программы для PC и простого измерительного прибора, который подключается к СОМ порту компьютера. Виртуальный прибор позволяет измерять частоту, период, временные интервалы и вести подсчет импульсов [35]. Наиболее близкой по назначению является разработка российских инженеров - двухканальный цифровой запоминающий осциллограф АСК-3106, входящий в состав измерительной USB-лаборатории «Актаком» [100]. Сам по себе осциллограф - отдельный настольный модуль, который подключается к ПК через интерфейс. Осциллограф позволяет наблюдать форму сигнала по двум независимым каналам в полосе частот от 0 до 100 МГц. Прибор имеет буфер памяти на 13000 выборок для каждого канала. Измерения могут синхронизироваться по обоим каналам. Порог синхронизации может быть установлен независимо для каждого канала. Измерение сдвига фаз сигнала на канале В относительно канала А в программе может проводиться одним из трех методов по выбору пользователя. Программа автоматически определяет: амплитуду, период, частоту, размах, положительный и отрицательный выброс, среднеквадратическое значение. Все результаты выводятся на специальную панель. На этой же панели пользователь может рассмотреть амплитудный и фазовый спектр интересующего его участка сигнала, а также с помощью спектрального фильтра сигнала пользователь может усилить или ослабить любую гармонику исходного сигнала. Кроме спектрального фильтра в программе реализованы и более простые алгоритмы цифровой фильтрации. Анализ современной технической литературы показывает, что в виртуальных средствах фактически воспроизводятся те же методы, которые использовались и аналоговых приборах: - амплитуда колебаний в цифровых вольтметрах оценивается через среднеквадратическое значение периодического сигнала: - в цифровых приборах для измерения частоты измеряемая величина преобразуется в пропорциональный частотный сигнал, частота которого и определяется количеством периодов за одну секунду или отношением амплитуд интеграла сигнала и самого сигнала; - в цифровых фазометрах используется измерение фазы через измерение времени, прямое преобразование измеряемого фазового сдвига, в величину, удобную для преобразования в код. Известно, что существуют мультиметры, совмещающие некоторые функции. Мультиметры позволяют осуществлять измерение постоянного и переменного напряжения, измерение постоянного и переменного тока, измерение сопротивления, измерение емкости конденсаторов, измерение частоты и др. Базовая погрешность измерения современных цифровых мультиметров ±0.03% (РС5000): переменного напряжения ±0.8%, частоты ±0.002%), но при этом, как уже отмечалось, измеряется частота переменных синусоидальных сигналов. В большинстве приборов для измерения амплитуды, частоты, фазы и др. эти параметры определяются лишь для гармонического сигнала. На практике часто сигнал имеет более сложную форму (сложение нескольких колебаний) или чистый тон регистрируется с гармоническими помехами. Следовательно, в общем случае необходим алгоритм оценивания параметров сигналов сложной формы. Из приведенного анализа виртуальных средств измерения можно сделать вывод, что пока современные методы цифровой обработки сигналов не нашли широкого распространения в измерительной технике. Поэтому необходимо рассмотреть методы и алгоритмы, позволяющие решить задачу определения параметров электрических сигналов.
В настоящее время существует большое количество программных сред (с соответствующей аппаратной поддержкой), которые предназначены для создания виртуальных средств измерения. Однако не всегда в таких приборах используются стандартные процедуры, чаще всего требуется доработка, модификация известных методов или для решения задачи повышения точности или для повышения быстродействия. На стадии разработки алгоритма и ПО необходимо иметь возможность моделировать измеряемый сигнал, а также близкие к реальным условия его воспроизведения. Последние определяются уровнем шумов, шагом дискретизации, уровнем квантования. Программное обеспечение должно производить реализацию типовых измерительных процедур и измерение различных характеристик и параметров сигналов.
Анализ влияния числа периодов сигнала за время измерения
Авторегрессионные модели (АР-модели) находят широкое применение при описании сложных процессов. Коэффициенты такой модели несут полную информацию об исследуемом процессе - по ним можно оценить спектральные характеристики, выполнить предсказание значений за интервал наблюдений. В настоящее время АР-модели широко применяются и в измерительной технике, так как коэффициенты модели отображаются в физические параметры - собственные частоты и коэффициенты затухания, которые, в свою очередь, позволяют оценить амплитуды и фазы колебаний. Существуют разные методы выбора порядка модели. Некоторые из этих методов являются универсальными, а некоторые связаны с определенным методом АР-оценивания [44].
Неверно выбранный порядок существенно изменяет спектр сигнала. Если порядок модели выбран слишком малым, пики в оценочных спектрах оказываются сглаженными, что снижает точность определения частоты, если же слишком большим - то разрешающая способность спектральной плотности мощности возрастает, но в спектре появляются ложные компоненты, которых нет в реальном сигнале [55, 93]. Критерии на основе оценивания дисперсии.
Для выбора порядка АР-модели предложено множество целевых критериев, в основе которых лежит оценивание дисперсии. Обзор этих критериев приведен в [28, 41]. Все эти критерии опираются на то, что во всех процедурах оценивания по методу наименьших квадратов мощности ошибок предсказания монотонно уменьшаются с увеличением порядка р, поэтому необходимо вводить мультипликативный или аддитивный коэффициент, обеспечивающий возрастание целевой функции от порядка р. В этом случае выбираемый порядок р равен порядку, при котором величина целевой функции будет минимальна. Наиболее известными являются критерии Акаике [85, 86, 94] (финальная ошибка предсказания (ФОП) и информационный критерий (ИК)), Риссанена, Парзена и Шустера.
В литературе [30, 41] описанную группу критериев рекомендуют использовать лишь для выбора начального значения порядка модели, так как в случае действительных данных результаты их применения зависят от того, насколько точно эти данные могут моделироваться с помощью того или иного АР-процесса. Проведенные исследования показали, что все эти критерии дают одинаковый результат и при моделировании данных, зашумленных шумом с нормальным распределением позволяют достаточно точно определить порядок модели.
На рисунке 1.1 показано применение критерия ФОП для сигнала четвертого порядка. Из рисунка видно, что ФОП имеет локальный минимум при р=4 и р=5. Неоднозначная трактовка появляется при большом отношении сигнал/помеха. Требуется экспериментальный подбор порядка модели.
Метод фактически связан с методом Писаренко, описанным в п. 1.2.2. Если число синусоид неизвестно, но значения автокорреляционной функции известны точно, то независимо от решения уравнения (1.20): R A-a A (напомним, что 7W совпадает с минимальным собственным значением, а А собственный вектор), для последовательно возрастающих порядков коэффициенты регрессии должны вычисляться до тех пор, пока минимальное собственное значение перестанет изменяться при переходе к следующему более высокому порядку. Это будет означать достижение правильного порядка. В этой точке минимальное собственное значение равно дисперсии шума. Но часто аналогичный подход применяют и независимо от метода Писаренко. Получают собственные значения для корреляционной матрицы, размерность которой заведомо больше, чем порядок модели и по степени значимости собственных значений (отбрасывая малые) оценивают этот порядок. Метод является достаточно трудоемким, но широкое использование собственных значений и собственных векторов при анализе сложных колебаний привело к тому, что все прикладные пакеты имеют встроенные функции для определения этих характеристик. Метод основан на разделении информации, содержащейся в автокорреляционной матрице или матрице данных, на два векторных подпространства — подпространство сигнала и подпространство шума. Т.к. при малой длине данных такое разделение не всегда возможно, то информационный критерий Акаике вычисляется с помощью собственных значений. Минимальное значение этого критерия дает порядок. Алгоритм Левинсона-Дербина Как уже отмечалось в п. 1.3.2, алгоритм Левинсона-Дербина позволяет получить АР-параметры для всех аппроксимирующих АР-моделей более низкого порядка. Генерация моделей последовательно возрастающего порядка производится до тех пор, пока ошибка моделирования а\ не уменьшится до приемлемой величины [30]. Алгоритм Левинсона-Дербина, адаптированный для определения порядка АР-модели, представлен на рисунке 1.2. На рисунке 1.3, а показан сигнал четвертого порядка, а на рисунке 1.3, б - его аппроксимации АР-коэффициентами, полученными на различных этапах алгоритма Левинсона-Дербина для определения порядка сигнала. На последнем из рисунков 1.3, б показана аппроксимация коэффициентами, полученными для четвертого порядка, однако видно, что она не совпадает с исходными, так как мы находим коэффициенты регрессии по значениям корреляционной функции, а на графике приведена аппроксимация исходного ряда. Наблюдаемое неполное совпадение объясняется тем, что регулярный характер процесса нарушается шумовой компонентой.
Исследование погрешностей на основе моделирования при выделении известной составляющей
Так как на входе алгоритма обработки моделируется выходной сигнал двоичного АЦП, то число уровней квантования оказывает заметное влияние на точность определения параметров сигнала. Число уровней квантования определяется числом двоичных разрядов, т.е. разрядностью АЦП.
Все расчеты проводились в относительных единицах. Для исследования влияния шага дискретизации АЦП, чтобы погрешность аппроксимации (которая определяет и погрешность измерения параметров) не зависела от частоты измеряемого сигнала, и исследование было универсально для сигнала любой частоты, будем менять число отсчетов, полученных в процессе измерения, и число периодов измеряемого сигнала за время измерения. В результате этих исследований, можно будет сделать вывод о зависимости шага дискретизации от частоты и минимальном числе отсчетов за период.
Погрешность метода Прони, как и других методов АР-оценивания определяется порядком модели, поэтому необходимо исследовать зависимость погрешности измерения параметров сигнала от порядка, т.е. числа слагаемых экспоненциальных членов. Увеличение порядка аппроксимирующего полинома ведет увеличению вычислительных затрат и времени на обработку данных, поэтому необходимо найти оптимальный вариант, при котором они минимизируются без существенных потерь в точности определения параметров исследуемого колебания.
При использовании стандартных средств ввода в ЭВМ аналоговых сигналов бывает достаточно сложно синхронизировать моменты измерения с исследуемым сигналом. Исходя из этого, будем считать, что процесс измерения не синхронизирован с принимаемым сигналом, поэтому при моделировании гармоническое колебание будет с ненулевой начальной фазой. Отсюда возникает необходимость исследовать влияние начальной фазы на точность определения параметров сигнала, указанных выше как контролирующих.
Сигнал принимается совместно с помехой, которая может быть представлена только нормальным (или равномерным) шумом или смесью периодических помех и нормального (или равномерного) шума, вытекает разделение исследование влияния рассмотренных выше факторов измерительного процесса для этих двух случаев.
Периодическую помеху можно представить как сумму гармонических сигналов. В этом случае возникает вопрос о влиянии близости частот неинформативных гармонических сигналов к частоте измеряемой составляющей на точность измерения параметров сигнала. Для исследования такого влияния частоту одной из неинформативных гармоник будем менять в некотором диапазоне, приближая ее к выделяемой. Соответственно, будем исследовать погрешности измерения амплитуды и фазы в зависимости от соотношения частоты измеряемого сигнала и частоты гармонической помехи.
Среди влияющих параметров, исследуемых в процессе работы, можно выделить параметры средств измерения, т.е. АЦП, и процедуры регистрации дискретного временного ряда - это число двоичных разрядов АЦП, шаг дискретизации АЦП, число отсчетов и число периодов измеряемого сигнала за время измерения; параметры метода обработки данных - порядок модели аппроксимации; параметр самого сигнала - его начальная фаза.
Второй поставленной задачей является исследование помехоустойчивости обработки данных по методу Прони; При исследовании помехоустойчивости будем рассматривать величину, которая называется коэффициент подавления шума. Он представляет собой соотношение отношения сигнал/шум на выходе алгоритма обработки представленных данных к тому же отношению на входе. Из определения видно, что этот коэффициент зависит не только от погрешности измерения амплитуды сигнала, но и от отношения сигнал/шум. Поэтому будем исследовать зависимость коэффициента подавления от отношения сигнал/шум. Также предполагается, что коэффициент подавления шума зависит от таких параметров, как порядок модели аппроксимации и число обрабатываемых дискретных отсчетов.
Квантование сигнала с помощью АЦП приводит к возникновению равномерного шума, величина которого зависит от числа уровней квантования, т.е. от разрядности АЦП. Равномерный шум и, следовательно, число двоичных разрядов АЦП, будет влиять на характер зависимости коэффициента подавления от отношения сигнал/шум, которое применяется к значению нормального шума. В ходе исследования нужно будет определить степень влияния этого параметра на коэффициент подавления шума и достаточное число разрядов АЦП для исключения зависимости от квантования.
На рисунке 2.1 приведен алгоритм Прони, который используется для вычисления параметров во всех экспериментах, а на рисунках 2.2 и 2.3 -детализированные части этого алгоритма. Алгоритм был реализован в среде MATLAB, соответственно, в этой же среде проводилось и моделирование.
Моделирования всех зависимостей проводилось параллельно, поэтому значение остальных влияющих факторов кроме исследуемого устанавливалось либо по результатам других экспериментов, либо такими образом, чтобы исключить влияние этого параметра. Примером этого может служить использование завышенного числа разрядов АЦП. При использовании двоичного АЦП с количеством разрядов равным двадцати погрешности от квантования сигнала сводятся к нулю.
Многофакторный дисперсионный анализ и построение математической модели
Выявлены факторы, обуславливающие погрешность определения параметров электрических сигналов методом Прони. К этим факторам относятся параметры регистрации (длина реализации, число периодов), оцифровки (разрядность АЦП, шаг дискретизации), условия воспроизведения сигнала (уровень шума, частота гармонической помехи), а также порядок модели. Разработана методика исследования влияния этих факторов на погрешность метода.
В результате проведенных исследований выявлено, что можно выбрать параметры регистрации и метода (при известных условиях воспроизведения и оцифровки) при которых можно измерять: амплитуду гармонического сигнала с погрешностью 0.1-0.25%; фазу с погрешностью 0.05-0.25%; частоту с погрешностью 0.05-0.1%. Причем эта погрешность оценена «сверху», т.к. при моделировании создавались максимально плохие условия (сигнал зашумлялся, добавлялись близкие по частоте гармонические помехи, выполнялось квантование по уровню и др.). При нормальных условиях воспроизведения погрешность может быть на порядок ниже. 3. При измерении одной слабо зашумленной гармоники достаточно 4-х отсчетов. Для зашумленных сигналов при действии гармонических помех достаточно числа отсчетов сигнала, вдвое большего порядка модели (с учетом завышения порядка для более четкого выделения сигнала в шумах), чтобы определить параметры с погрешностью, указанной в п.2. Дальнейшее увеличение числа отсчетов позволяет получить статистически устойчивые оценки. 4. Частота гармонической помехи должна отличаться не менее чем на 30% от частоты измеряемого сигнала, зашумленного случайным шумом. В отсутствии случайной шумовой компоненты метод Прони позволяет выделять измеряемый сигнал по частоте при сколь угодно близкой по частоте гармонической помехе. 5. Применение данного метода измерения позволяет снизить требования к разрядности АЦП, например использование 8-разрядного АЦП в сочетании с алгоритмом позволяет получить такие же погрешности определения амплитуды как при использовании 12-разрядного АЦП. 6. Требования к шагу дискретизации «сверху» ограничено теоремой Котельникова А/тах = —, при этом минимальный шаг определяется Atmin =——. И, наоборот, частотный диапазон, в котором могут быть Р измерены частоты составляющих сигнала, определяется неравенством 2p-At ltd 7. При малых выборках коэффициент помехоподавления пропорционален корню квадратному из длины выборки, а при увеличении длины этот коэффициент стабилизируется и лежит в диапазоне 4 4- 5. При этом равномерный и гауссов шум подавляются в равной степени. 8. Предварительные исследования показывают перспективность метода для использования в виртуальных средствах измерения. Приведенное исследование погрешностей метода Прони от различных влияющих факторов позволит создать методику измерения параметров на основе предложенного алгоритма, которая обеспечит оптимальные условия проведения измерений и, соответственно, требуемую точность. Одним из методов повышения помехоустойчивости при определении параметров гармонических сигналов является использование априорной информации об исследуемом сигнале. Решение многих технических задач, таких как задачи идентификации объектов в классе электрических моделей, исследования амплитудно-фазовых частотных характеристик, измерения параметров электрических сигналов и цепей переменного тока и т.д. [74], основано на анализе прохождения синусоидальных сигналов через исследуемый объект. Как известно, при прохождении гармонического сигнала через линейный объект или систему его частота остается неизменной. Поэтому в задачах оценивания параметров сигнала вынужденная частота колебаний часто бывает известна. Эту информацию можно использовать для повышения помехоустойчивости предложенного ранее метода измерения на основе метода Прони. При аппроксимации сигнала по методу Прони информация о частотах сигнала содержится в полиномах z, =е а,+ л модели (1.9). Так как комплексно-сопряженные пары экспоненциальных членов z; образуют колебания, то если заранее известны частоты всех колебаний, образующих принятый сигнал, задача упрощается. Первые два этапа алгоритма можно опустить.
