Содержание к диссертации
Введение
1. Принципы построения мапшторезонансных томографов и показатели их качества 10
1.1. Принципы получения информации от вещества с помощью магнитного резонанса (MP) 10
1.2. Движение магнитных моментов изолированных протонов в постоянном и переменном магнитных полях 13
1.3. Связь основных характеристик МР-томографов с характеристиками их отдельных систем 17
1.4. Состав магниторезонансной аппаратуры 26
1.4.1. Классификация МР-томографов и их основные характеристики 27
1.4.2. Рабочий объем МР-томографов.
Связь рабочего объема с характеристиками отдельных систем МР-томографов 31
2. Магнитные поля катушек различной конфигурации 38
2.1. Об используемой в работе терминологии 38
2.2. Магнитное поле тонкого витка стоком 39
2.2.1. Основные формулы 39
2.2.2, Практическая реализация формул 40
2.3. Магнитное поле соленоидальной катушки стоком 41
2.3.1. Основные формулы для продольной составляющей поля 42
2.3.2. Основные формулы для радиальной составляющей поля 49
2.3.3. Пример 1 51
2.4. Практическая реализация формул 51
3. Разложение магнитного поля в ряд Маклорена 54
3.1. О развитии метода компенсирующих катушек 55
3.2. Разложение поля одной катушки в ряд Маклорена 56
3.2.1. Вывод основных соотношений 57
3.2.2. Выражения для коэффициентов ряда Маклорена 58
3.3. Коэффициенты ряда Маклорена
в случае бесконечно тонкой обмотки 64
4. Повышение однородности поля путем введения компенсирующих катушек различных порядков 67
4.1. Магнитная система Гельмгольца (4-го порядка) 67
4.1.1. Математическая постановка задачи 68
4.1.2. Четыре способа расчета МС 4-го порядка 71
4.1.3. Примеры расчета МС4-го порядка 74
4.1.4. Заключения по МС4-го порядка 80
4.2. Магнитные системы 6-го порядка 83
4.2.1. МС 6-го порядка из двух пар катушек
Синтезирующая система уравнений ..83
4.2.2. Решение синтезирующей системы уравнений 84
4.2.3. Примеры расчета МС 6-го порядка из двух пар катушек 87
4.2.4. МС 6-го порядка из трех катушек 89
4.2.5. МС 6-го порядка из трех катушек без зазора (с внешним пазом)..92
4.2.6. Заключения по МС 6-го порядка 95
4.3. Магнитные системы 8-го порядка 95
4.3.1. МС 8-го порядка из двух пар катушек. Решение синтезирующей системы уравнений 95
4.3.2. Примеры расчета МС 8-го порядка из двух пар катушек 96
4.3.3. МС 8-го порядка из трех катушек 99
4.3.4. Примеры расчета Мс 8-го порядка из трех катушек 99
4.4. Магнитные системы 10-го порядка 102
4.4.1. МС 10-го порядка из трех пар катушек.
Решение синтезирующей системы уравнений 102
4.4.2. Примеры расчета МС 10-го порядка из трех пар катушек 103
4.4.3. МС 10-го порядка из трех катушек Решение синтезирующей системы уравнений 103
4.4.4. Примеры расчета МС 10-го порядка из трех катушек 105
4.4.5. Карты изолиний для МС 10-го порядка 107
4.5. Устойчивость карты магнитного поля
по отношению к погрешностям параметров катушек 112
4.6 Сравнение результатов для МС различных порядков 114
5. Общие выводы по методу разложения поля в ряд Маклорепа и сравнение с другими методами 117
5.1. Анализ полученных результатов 117
5.2. Сравнение с другими методами 119
5.2.1. Сравнение с методом Луганского 119
5.2.2. Сравнение с методом математического проектирования конструкции MP-томографа 121
5.2.3. Сравнение с методом Андерсона 123
Заключение 126
Литература
- Связь основных характеристик МР-томографов с характеристиками их отдельных систем
- Магнитное поле соленоидальной катушки стоком
- Выражения для коэффициентов ряда Маклорена
- Заключения по МС4-го порядка
Связь основных характеристик МР-томографов с характеристиками их отдельных систем
Определим связь основных технических характеристик МР-томографов с характеристиками их отдельных систем. В MP IS томографии основным показателем является качество получаемого изображения. Очевидно, качество изображения зависит, в основном, от разрешающей способности аппаратуры и контрастности. Разрешающая способность определяется наименьшим расстоянием между точками образца, которое система может различить. Разрешающую способность ограничивают различные параметры аппаратуры.
Реконструкция ЯМР-изображепий. Для получения МР-изображения используется большое количество способов, характеризуемых различными последовательностями расстановки во времени радиочастотных и градиентных импульсов [54, 69, 86]. Методики получения информации от тонких слоев описаны в работах [64, 68, 75, 78]. Для построения изображений в последнее время наиболее часто используется метод преобразования Фурье, который предложили Кум ар, В ел ти и Эрнст в 1975г.[74,75].
Под реконструкцией (формированием) ЯМР-изображений понимают определение плотности протонов с- (х, у) в сечениях по измеренным на разных частотах о = о (г) эхо-сигналам &, .-)(/).
Основной принцип реконструкции заключается в пространственном кодировании частоты резонанса [8, 9]. На статическое поляризующее однородное магнитное поле Иа накладываются градиентные поля, индукции которых зависят от координат х,у, а значит и наоборот каждой точке (х,у, z) соответствует определенная индукция, а следовательно, частота и/или фаза. Иначе, точки пространства (х, у, г) кодируются под частоту и/или фазу и наоборот под частотой и/или фазой закодированы координаты x,y\z.
Предположим, что поле Во отсутствует, а включены три градиентных поля с;х, с;г, О -, тогда в некоторой точке (х,у, z) индукция поля будет равна [10, 12] Gx + (L+ G: = & х + & у + & г, а резонансная частота (частота ларморовой прецессии) будет равна со (д\у, г) = у (#, х + i yy + #z) = yGr, где G - вектор суммы градиентных полей, а г- радиус-вектор точки (.v. у. г). Введение градиентных полей позволяет решать обратную задачу - определять координаты х, у, z точки, из которой исходит сигнал некоторой частоты о. Это - основа методики реконструкции ЯМР-изображений.
Множество точек, соответствующих некоторому фиксированному значению со, образуют в пространстве плоскость, уравнение которой y(gxx + gyy + fizz)=(o. (1-Ю) Если измерения выполнять на этой частоте о, то эхо-сигнал равен SAn = Jllc(x,y,z)ehlg x }lJxdyJ=, (1.11) где Л - некоторая константа. Интегрирование в (1.11) ведется по плоскости (1.10) с учетом фазы, так как S(t) - волновой процесс, поэтому вводится множитель схр[/у (#.,г+ #,.. +_г)/], учитывающий фазовые различия интегрируемых точек.
Однако (1.11) нельзя рассматривать как интегральное уравнение относительно c(x,y,:)t поскольку искомая функция c(x,y,z) -трехмерная, а измеренная функция дц /) - одномерная. Поэтому вводится ряд практических схем, в которых это противоречие устраняется. Приведем некоторые из них. Во всех схемах полагается, что это создает так называемую селекцию по г, в результате которой, во-первых, плоскости (1.10) получаются практически перпендикулярными оси z, а во-вторых, получается четкое разграничение по частотам со вдоль z.
Вместо плоскости — слой. Идея селекции плоскости состоит в следующем [10, 12]. Если возбуждать ансамбль протонов с частотой to» = у/Jo и одновременно прикладывать градиентное поле (;_- g:{z-z{i), так что H:=B0+g:(z-:0), ОМ) то будут возбуждаться только протоны в плоскости z = г0. Однако исхо 20 дящий из этой плоскости эхо-сигнал будет бесконечно слабым. Поэтому нужно возбуждать не плоскость, а ачои некоторой толщины 5:, которая должна быть достаточно «большой», чтобы получить надежно детектируемый эхо-сигнал, и достаточно «малой», чтобы частоты протонов в пределах слоя не сильно отличались. Обычно я/2-импульс имеет следующий вид в функции /(рис. 1.5).
Магнитное поле соленоидальной катушки стоком
Что касается практических расчетов, то вычислять интегралы /;(А) и A (A ) можно двояко. Во-первых, можно это делать, используя таблицы [47, с. 68]. Однако при использовании таблиц требуется выполнять, как правило, интерполяцию. Кроме того, таблицы неудобно обрабатывать на компьютере. Поэтому был использован другой способ, а именно, вычисление интегралов (2.6) и (2.7) было запрограммировано по квадратурной формуле трапеции с постоянным шагом Ду=тг/200 _ это позволяет вычислять К(к) и К{к) с точностью до 7 цифр за время порядка КГ ч-КГ1 сек.
В работе [14, с. 328] на основе формул (2.3), (2.4) выведены формулы для магнитного поля двух параллельных коаксиальных круговых токов. Этот вопрос более подробно рассмотрен в работе [20]. Из этих работ видно, что два параллельных круговых витка могут обеспечить относительную неоднородность поля лишь 10"2-т-10"" (на оси витков).
Более существенных результатов по формированию высокооднородного поля можно достичь, как показано в работах[12], [25] и др., используя набор соленоидов. Поэтому мы рассмотрим магнитное поле катушки в виде соленоида.
Магнитное поле соленоидальной катушки с током Рассмотрим цилиндрическую катушку в виде соленоида конечной длины с некоторой толщиной обмотки и с равномерным (однородным) распределением тока вдоль обмотки. Такая задача уже рассмотрена в работе [12], однако она требует уточнения ряда формул.
Напомним, что соленоидом называется единый намотанный провод с одинаковым током в его витках.
На рис. 2.2 представлен соленоид в виде цилиндрической катушки, у которой Я] - внутренний радиус, R2 - внешний радиус. Ось z направлена вдоль соленоида, а начало прямоугольной системы координат xyz помещено необязательно в центр соленоида - это позволит сделать удобным расчет полей магнитных систем из нескольких катушек (см. далее п. 2.2.2). С прямоугольной системой координат совместим также цилиндрическую систему координат ф/г, где р - угол, а - расстояние от оси. Пусть р и q - z-координаты соответственно левого и правого краев катушки. Тогда L = q-p - длина катушки. Щг0,г Рис. 2.2. Соленоид в виде цилиндрической катушки 2.3.1. Основные формулы для продольной составляющей поля Продольная составляющая вектора магнитной индукции в некоторой точке Л/(г0,г0) равна интегралу от (2.1) по виткам и толщине обмотки, а именно, 2л R-, i (2.10) u , . 10,/ f / Г Г(Г-Г0СО5ф)(/ф(/Г /= Яг(г0,г0) = -— I lj -V2 4л о І ilr2+r0:-2rr0cos9 + (z0-rrj где,/- плотность тока в обмотке в А/м2 или А/мм2.
Тройной интеграл (2.10) можно вычислять численно с помощью компьютера по некоторой кубатурной формуле, например, каждый из интегралов вычислять по формуле трапеций. Однако это потребует больших затрат машинного времени. Пробные вычисления на MathCAD e показали, что для расчета поля B,(ra,z0) на сетке узлов г„,г0 порядка 100x100 узлов с точностью до 6 цифр требуется несколько часов машинного времени.
Целесообразнее взять аналитически интегралы в (2.10) по / и по г, а интеграл по Ф вычислить численно. Это, как показали компьютерные вычисления, снижает требуемое машинное время на несколько порядков, доводя его до нескольких минут.
Выполним аналитическое взятие интегралов по г и по г в (2.10), следуя методике работы [12, с. 5-7], устранив при этом все неточности этой работы. При этом, как сказано в [25, с. 258], «в силу симметрии поле на конце каждой катушки равно V поля в точке, относительно которой катушка расположена симметрично, т.е. поле на конце любой катушки равно Уг центрального поля катушки удвоенной длины». Вторая половина этого правила не сопровождена математическим доказательством, поэтому правило Монтгомери следует считать интуитивным. Приведем математическое обоснование правила Монтгомери.
Из формул (2.19) и (2.18) следует: ВЛО,ге) / = г/- -(0.0) = 2. (2.19 ) где / - полудлина катушки, откуда следует правило 1: поле на краю катушки полудлины zc равно Л центрального поля катушки полудлины 2zc (при неизменных значениях R, и лг). Отсюда вытекает правило 2: поле H.(0,zQ) на оси катушки в любой ее точке ло можно рассчитывать не согласно (2.17), а разбивая катушку длины Ъс на две катушки длины zc+z0 и zc -z0 (см. F- 0 Рис. 2.5 рис 2.5) и складывая поля на их краях (в точке го), используя при этом формулу (2.19 ) (т.е. правило 1). Математически вычисление #.(0,2(,) согласно правилам 1 и 2 имеет вид: #-(0,г0) / = г. = -»-(0.0) + -Дг(0,0) (-zc+z0 і. I -Zf - Zft (2.20) причем #.(0,0) вычисляется согласно формуле (0.0) ГЛп їШ, (2.18 ) Rl+fif следующей из (2.18). Сделаем проверку полученного результата, для чего в (2.20) подставим (2.18 ), получим (учитывая, что zc + z0 = Az2, гг -г0 = -Art): /f2+V +( ,+-o)2 , й.(0,г0) =лС(гс + г0)1п- + яС(,с-,0)1п + +(-- ): [л:21п в„Л:п + 1 ч Л, + Л,2+Дг /?, +,JR?+Azf J т.е. подучим формулу (2.17), что подтверждает правильность рассмотренных правил. На основе формул (2.17), (2.20) и (2.18 ) можно сделать следующий вывод. Использование правила Монтгомери для вычисления Л.(0,го) в виде формул (2.20), (2.18 ) равносильно использованию формулы (2.17), даже с точки зрения программирования этих формул с использованием подпрограммы-функции типа Bz(dz, Rl, R2) или Bz(l, Rl, R2). Поэтому мы далее будем ссылаться исключительно на формулу (2.17), как более компактную. 4) Если точка M(rQ,z0) приближается к обмотке, т.е. rQ- Jil и -о є [/ , /], то как следует из (2.16), B.(r0,z0)- oo. 5) Пусть точка М расположена на оси (при г(,=0) катушки с бесконечно тонкой обмоткой (т.е. при Ml R2-R\ - 0). Если воспользоваться формулой (2.17) при R2- R{t то получим нулевой результат: Ji.(0,zo) = 0.
Выражения для коэффициентов ряда Маклорена
Рассмотрим задачу компенсации коэффициента Иг (а, (І) в разложении (3.4) поля в ряд Маклорена. Математически и технически этого можно достичь, накладывая на поле основной катушки поле катушки меньшей длины (меньшей катушки). При этом направления полей должны быть противоположны (чтобы из поля основной катушки вычиталось поле меньшей катушки) и поля fi:{Q, а, р) должны быть такими, чтобы их коэффициенты #:(сс, Р) были одинаковы. Тогда если после вычитания полей получим #4 (а, Р) 0, причем меньшая (компенсирующая) катушка имеет вид зазора (см. рис. 3.1), то полученная магнитная система будет МС 4-го порядка из двух катушек (система Гельмгольца).
Технически проще и экономичнее изготавливать такую систему не в виде двух совмещенных катушек разной длины с противоположным направлением полей (или токов), а в виде двух разделенных зазором катушек (рис. 3.1). При этом математический подход вычитания полей двух катушек следует использовать лишь как удобный прием для определения параметров катушек.
Например, если сравнить MP-томограф фирмы GE Medical Systems с Signa-платформой и MP-томограф MAGNETOM Open фирмы Siemens, то можно сделать следующие выводы. Оба томографа имеют магнитные системы типа системы Гельмгольца, Отличия магнитных систем состоят в том, что у томографа фирмы GE Medical Systems платформа расположена вдоль оси и внутренний радиус / ЗОсм, а у томографа фирмы Siemens платформа расположена перпендикулярно оси и внутренний радиус У аЗОсм, Кроме того, томограф фирмы Siemens снабжен дополнительно мощным постоянным магнитом.
Математическая постановка задачи
Рассмотрим МС, технически состоящую из двух катушек прямоугольного сечения, разделенных зазором (рис, 3.1), Математически поле такой системы можно представить как разность полей двух совмещенных катушек с одинаковыми внутренним / и внешним Rz радиусами (а, значит, одинаковым параметром а = Н2/ Н\) и разными длинами. Чтобы данная МС была системой 4-го порядка, должно выполняться равенство /Ма,р2) = Я2(а,р,), (4.1) где р2 = h I R\ и Pi = /і I R} - нормированные полудлины соответственно большой и малой (компенсирующей) катушек, l2-2 i.2j2 и /, = гГ] = /,]/2 - полудлины катушек, а /,; и L\ - их длины. Равенство (4.1) является уравнением для определения параметров a, pi. р2. Вопрос о решении уравнения (4.1) кратко рассмотрен в [25, с. 275-281] и более подробно в [12, с. 10-11]. Мы дадим расширенную модификацию решения уравнения (4.1),
Как следует из (3.25), (3.26), (ЗЛО), (3.11) и таблицы 3, коэффициент при втором члене ряда (3.4) равен Раскрывая неопределенность при Р - О, найдем, что /h(a, 0) = 0. При р эо имеет асимптотику; Я2(а, Р) -р 4. Что касается значений PG(0, ), то функция Нг (а, Р) переменной р при ае[], 3] имеет один экстремум при некотором рсч, =рс ](а) (см. рис. 4.1 при./ 1 А/мм:, Ri \ м). -3152(а,й,ТЛ -0.1 Рис. 4.1. Кривые Н2( х, р) при./ 1 А/мм1,R}=\ м В работе [12, с. 10] подобрано аппроксимирующее выражение для р ,(а) в диапазоне а є [1, 3]: Р,ч,(а) =0.5+0.2) (а-1 )-0.05 (а-1):. Из изложенного следует, что значения нормированных полудлин катушек pt и Р: должны располагаться по разные стороны от значения Р..И (пунктир, рис. 4.1).
Поскольку мы располагаем одним уравнением (4.1), а искомых парамет ров три; а. рк р2 то решений будет множество.
Чтобы сузить область значений a. Pi, рг или даже сделать решение единственным, нужно привлечь дополнительные условия. Таковыми могут быть следующие; (4.4) (4.5) (4.6) Условия (4.3)-(4.5) направлены на ограничение габаритов МС. В условии (4.6) - коэффициент эффективности [25, с. 283-285], равный отношению создаваемого в центре МС поля к объему (а значит, и весу) МС, где Яц, выражается формулой (4.7), а объем ранен Г = 2л(Л: - A, )( 2 - Лі2) = 2к!Іі(а2 - 1)(р2 -р,) (если считать, что в зазоре на рис. 3.1 находится пустота, а не компенсирующая катушка). Значок \ у поля Ни означает суммарное поле, созданное всей магнитной системой (а не одной катушкой). Коэффициент G может выражаться также как отношение ИІЬ - суммарного поля в центре МС к Р- потребляемой мощности, т.е. G-BQJP [12, с. 281]. Условие (4.7) также говорит о том, какую плотность тока J нужно создать в обмотке, чтобы сформировать поле в центре МС, и это условие целесообразнее записать в виде:
Формула (4.7) получена из формулы (3.3) (с учетом (3.1)) путем вычитания полей двух катушек с нормированными полудлинами р; и р] р:. Точно такая же формула (4.7) получается, если рассматривать не две наложенные друг на друга катушки, а две разделенные зазором катушки (см. рис. 3.1).
Рассмотрим случай, когда значения а и Pi заданы, а определяется р:.
Корень р2 уравнения (4.1) можно в принципе находить с помощью одного из методов решения нелинейных уравнений (Ньютона, хорд и др.) [4, т. 2, с. 155], что удобно при компьютерной реализации. Однако, как показали пробные решения, итерационные методы такие, как метод простой итерации, Ньютона, секущих (хорд) и др. [4, т. 2, с. 155], [7, с. 496-497] обладают тем недостатком применительно к уравнению (4.1), что при некоторых значениях а и р могут давать сходимость процесса итераций, а при иных а и pi - расходимость итераций или сходимость
Отметим, что, например, метод вилки (деления отрезка пополам, дихотомии) дает всегда сходимость процесса итераций, если в качестве начального приближения к р2 задано два значения р2 и р: таких, что разности #2(а,Рз)- :(0 ) и #2(а,р:;)-#2(а Рі) имеют разные знаки. Что касается метода Ньютона, то для его сходимости в подавляющем большинстве случаев требуется лишь близость начального приближения р:п к искомому значению корня р2. Поэтому в диссертации было использовано соединение мстада втки (fork method) [4, с. 328-329] с модифицированным методом Ньютона [15, с. 87]. Его суть в следующем.
Пусть требуется рассчитать зависимость Рг(рі) при некотором а путем решения нелинейного уравнения (4.1), задавая ряд значений Рь 0 р1( p( ... plv рсч1 и находя для каждого р, соответствующее значение р;. При Pi =р,о решение уравнения (4.1) осуществляем методом вилки [4, с. 328-329] (деления отрезка пополам, дихотомии [15, с. 88]), а при последующих значениях Pi - модифицированным методом Ньютона [15, с. 87], беря в качестве начального приближения р; значение с предыдущего шага.
Можно находить корни Pi и р: также графически, что более наглядно, однако дает меньшую точность. Проиллюстрируем это на примере 2. Можно использовать следующие способы.
Заключения по МС4-го порядка
Недостаточную систему уравнений (4.11) (систему, в которой уравнений меньше, чем неизвестных) целесообразно решать, задавая а\ и а; Если при этом аі т а:, то кривые /?3 (а, Р) и Ил (а, Р) будут выглядеть следующим образом (см. рис. 4.10).
Систему из двух уравнений (4.11) нужно решать, задавая, помимо си, а;, еще два параметра, например, pi и р4 и находить Р; и Pi. Можно также «разбить» систему двух уравнений (4.11) на систему четырех уравнений: #2(0 0:)- 1 1) = . //2(а2,р4)-й2(а2,р,) = 0, Я4(а1,р3)-Я4(а,,р!) = 0, однако из опыта расчета МС 4-го порядка мы уже знаем (см. рис. 4.7), что такая система не имеет решения. Еще один вариант - «разбиение» системы (4.11) на систему трех уравнений: (4.13) /t,(a,.p2)-#i ct.Pi) = 0. Д (а2.Р4)- Ма2,рл) = 0, как это сделано в работе [12, с. 12] 0 10 і 0.05 2?4(«2.р) 0 00 -0.05 -0.10J ,П«2-Р; \ 2054ftt2.W Рис. 4.10. Кривые #2{a,, Р), ft(a2, р), /М«і. р), й4 (аг, р) и расчет МС 6-го порядка из двух пар катушек (a,= ].3,ci2» 1.5, р4= 1.7,7=1 А/мм2, Л, =0.5 м) Систему (4.13) целесообразно решать в два этапа.
На первом этапе графическим способом находим решение системы (4.13). Задаем, например, значение р4 - нормированную полудлину внешней катушки. Тогда однозначно определится р из условия (второе уравнение системы (4.13)): Я4(а2,р.О = (а2,р,), (4.14) что делаем графически, используя вторичный максимум кривой #4(a:, Р) (см. рис. 4.10). Далее также графически находим значение Д2 =#:(a:,pj)-#2(a24%)- Затем подбираем такой горизонтальный уровень на основном максимуме кривой B4(ab Р), чтобы выполнялось равен ство (см. третье уравнение системы (4.13) и рис. 4.13) где Л, = #2(аі Р:) #2(аі ЗіЬ причем pi и Р; определяются графически из равенства (см. первое уравнение системы (4.13)) Л4(а,,р,) = й4(а,р;). (4.16) При выполнении (4.15) будет выполняться первое из равенств (4.11), а при выполнении (4.14) и (4.16)-второе из равенств (4.11).
Первый (графический) этап не обладает высокой точностью определения значений Р], рг, PJ. Цель первого этапа - получить хорошие начальные приближения для Рі, рг, ря, чтобы на следующем этапе использовать их для получения более точных значений PJ, Р;, pi путем численного решения системы нелинейных уравнений (4.13). На втором этапе значения Рі, рг, рл уточняем путем численного решения системы трех нелинейных уравнений (4.13). В действительности эта система распадается на уравнение Н4(а2$л)-й4(а2,р4) = 0 (4.17) относительно р, и систему двух уравнений: (4.18) Л4(а,-Р)-Я-,(а,,р2) = 0. [ (а„Р2)-й2(а1,Р1)]-[Я:(а2,р,,)-й;(а2,Р4)]=0 относительно pt и р2.
Вопрос о решении как одного нелинейного уравнения (4.17), так и системы двух нелинейных уравнений (4.18) является непростым. Несмотря на то, что разработано немало методов их решения - это методы Ньютона, секущих (хорд), простой итерации и др. [4, т. 2, с. 129-155], [7, с. 496 197], [15, с. 86-93], многие из методов могут расходиться или сходиться к нежелательным корням.
В связи с этим предлагается следующая схема решения нелинейных уравнений (4.17), (4.18) относительно Pi, рг, р.я. 1. Задаем сетку значений р.,: р4а,р44+Др4 p4v, где .ip4=consi шаг сетки. «Разумные» значения р4а и p4v можно оценить из графика типа рис. 4.10 (например, р4а =1.5, p4v =2.5). 2. При р4 =р4о приближенные значения рь р:, p.i находим согласно 1 му (графическому) способу. Более точное значение р. находим путем численного решения нелинейного уравнения (4.17), а более точные значения pi и р3 — путем решения нелинейной системы (4.18) модифицированным методом Ньютона [15, с. 87, 92]. 3. При последующих значениях р4 графический способ не использу ем, а в качестве приближенных (начальных) значений pi, р:, р. использу ем значения, найденные методом Ньютона при р4 - Др4. Затем уточняем значения Pi, pi, рд путем решения уравнений (4.17), (4.18). Такая схема решения является эффективной вследствие того, что в ней используются «хорошие» начальные приближения для р,, р:, pi и это обеспечивает сходимость метода Ньютона. 4. В результате получим три зависимости Р,(р4), Р;(Р4), р,(Р4). 5. Задавая некоторое значение р4, оценим графически р(, р3, рь а также #о„ Г, (Ї,:І.
Примеры расчета МС 6-го порядка из двух пар катушек На рис. 4.11 приведен результат расчета МС 6-го порядка из двух пар катушек при ai = 1.3, а2= 1.5, ./=1А/мм:Яі=0.5м.
Сравним рис. 4. 6 (расчет МС 4-го порядка) и рис. 4.11 (расчет МС 6-го порядка) при одинаковых размерах МС, например, при р2 = 2 на рис. 4.6 и р4 = 2 на рис. 4.11. Главный параметр =(, увеличился с 0.03м до 0.069м, т.е. область с 6Я,... =104 увеличилась примерно вдвое. 0.082 м 0.078 0.074 0.070 О.Обб 0.062 0.118-Тл/м 0.
Расширенная диаграмма для МС 6-го порядка из двух пар катуїиек (осі= 1.3, аг = 1.5,./ 1 А/мм3,Лі=0.5 м) Пример 3 (см. рис. 4.9 и табл. 8). В нем рассчитан ряд вариантов МС 6-го порядка из двух пар катушек с одинаковыми внутренними радиусами Я=0.5м и плотностями тока ./= і А/мм2. В каждом варианте задаются значения ai, ссххі и р.;, а значения pi, р2, рЛ сначала определяются путем расчета кривых Нг{а.и Р), #Kai, р), ИА(аи Р), ( :. р), и такого подбора горизонтального уровня на кривой /?j(oti, Р), чтобы выполнялись равенства (4.14-4.16) (см. рис. 4.10). Затем значения Pi. р:. Pi были найдены более точно путем решения уравнения (4.17) и системы уравнений (4.18) модифицированным методом Ньютона. Коэффициент эффективности 0=ВоЛ\где І = 2кіі?[{а{-\)ф2 - Pi) +(а -1)(Р4 -Рл)1 -объем МС.
