Введение к работе
Актуальность темы. Магнитно-резонансная томография (МРТ) является одним из ведущих методов неинвазивной (невторгающейся, неразрушающей) диагностики объектов. MP-томографы используются в медицине (для диагностики организмов пациентов), а также в спектроскопии (для определения химического состава веществ), в физике (для исследования свойств веществ в различных состояниях), в биологии (для изучения структур молекул ДНК), в технике (для диагностики технических изделий) и т.д.
Обычно аппаратура MP-томографа содержит магнитную систему (МС), генерирующую магнитные поля и включающую электронную аппаратуру, управляющий вычислительный комплекс и т.д.
Основные требования, предъявляемое к МС, - высокая относительная однородность магнитного поля в рабочем объеме, достаточно большая величина рабочего объема, умеренный вес и умеренная потребляемая мощность МС.
Для получения разрешения на томограммах в доли мм требуется относительная неоднородность магнитного поля АН ІН порядка 10 -10" или 1-Ю ррт. Такая высокая однородность поля достигается за счет определения соответствующей конфигурации магнита. При этом отметим, что магниты MP-томографов бывают трех типов: постоянные, резистивные и сверхпроводящие. В диссертации рассматриваются магнитные системы на постоянных магнитах (МСПМ). К настоящему времени для расчета МСПМ разработаны следующие методы: метод скалярного магнитного потенциала, метод диполей, метод эквивалентного соленоида и др. Метод скалярного потенциала (работы Б.М. Яновского и японских физиков Т. Miyamoto и др.) является наиболее универсальным — способным учитывать неоднородность намагниченности J и плотности р материала магнита, но он является весьма трудоемким — требующим как расчетов, так и измерений поля. Метод эквивалентного соленоида, основанный на аналогии между полем постоянного магнита и полем поверхностных некомпенсированных амперовых токов, является весьма эффективным, но он развит в основном для случая постоянства намагниченности магнита, практически не развит для случая, когда наконечники магнита имеют уг-
дубления сложного профиля, и в основном использовался для решения прямой задачи - расчета магнитного поля по заданной конфигурации магнита.
Диссертация посвящена, главным образом, разработке метода, названного методом эквивалентных витков, являющегося естественным продолжением метода эквивалентного соленоида. Метод эквивалентных витков ориентирован, в первую очередь, на определение сложного профиля углублений в наконечниках магнита я рассматривает эту задачу, как обратную задачу - расчет конфигурации магнита, при которой формируется наиболее однородное поле (при наличии некоторых ограничений на параметры магнита).
В решение задачи формирования высокооднородных полей различных магнитов MP-томографов внесли большой вклад как зарубежные ученые М.В. Гаррет, Т. Miyamoto, Н. Sakurai, Д. Монтгомери, так и отечественные ученые Б.М. Яновский, Л.А. Дружкин, В.В. Коген-Далин, Ю.М. Пятин, В.Н. Хорев, П.А. Галайдин и др. Однако эта задача требует дальнейшего развития.
Цель диссертационной работы — разработка метода эквивалентных витков определения оптимальной конфигурации постоянного магнита, при которой формируется высокооднородное поле в MP-томографе. Этот метод является дальнейшим развитием метода эквивалентного соленоида и предназначен для решения задачи синтеза высокооднородного поля постоянного магнита (обратной задачи расчета МСПМ). К цели работы относится также разработка численных алгоритмов и программ и выполнение модельных расчетов. Решение задачи синтеза высокооднородного магнитного поля имеет первостепенное значение для повышения разрешающей способности томограмм, что позволит повысить точность постановки диагнозов в медицине, уточнить анализ биологических структур, определить строение технических деталей и т.д.
Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи.
Критический обзор существующих методов расчета МСПМ
Разработка и обоснование метода эквивалентных витков определения параметров постоянного магнита для формирования высокооднородного поля.
Разработка алгоритмов и программ, реализующих метод эквивалентных витков, и выполнение модельных компьютерных расчетов с построением топографии магнитного поля (графиков, характеризующих степень однородности поля).
Обоснование преимуществ метода эквивалентных витков расчета параметров магнита и его поля по сравнению с другими методами.
Исследование изменения карт магнитных полей в зависимости от значений параметров магнита и их погрешностей.
Исследование вопроса о конструктивных особенностях магнита в зависимости от материала магнита.
Проверка адекватности метода эквивалентных витков.
Методы исследования. В работе использованы прямые и обратные методы расчета конфигураций магнитов и их полей: методы скалярного и векторного потенциалов, метод диполей, метод эквивалентного соленоида. Использованы также математические методы: метод линейной аппроксимации, метод минимизации функционала с ограничениями, метод решения уравнения Лапласа.
Научная новизна работы состоит в следующем. Разработан метод определения конфигураций постоянных магнитов МР-томографов, создающих высокооднородные поля, - метод эквивалентных витков. Метод основан на аналогии между постоянным магнитом и набором витков с током и для расчета магнитных полей использует формулы для полей витков.
Для повышения однородности поля в наконечники магнита включены углубления и выемки ("ямки") — рассматриваются магниты сложной конфигурации.
Разработана методика расчета параметров постоянного магнита путем минимизации функционала невязки.
Показано, что на основе решения некоторого (одного) примера можно простым путем получить ряд других примеров, умножив все параметры магнита на некоторый множитель а (это согласуется с теоремами подобия МС).
Выведены рабочие формулы, разработаны программы и решены модельные примеры с построением полевых карт, показавшие, что данный метод позволяет в
6 принципе получать высокооднородные поля постоянных магнитов с относительной неоднородностью МІІН = КГ5 -HO-6, т.е. 1-Ю ррт в рабочей области.
Показано, что погрешности изготовления постоянного магнита порядка 0.1 мм влекут повышение относительной неоднородности поля на порядок в рабочей области. Это предъявляет высокие требования к производству магнита.
,. Установлено, что разработанный метод дает правильное (адекватное) описание поля постоянного магнита.
Основные положения работы, выносимые на защиту
Физическая формулировка метода эквивалентных витков расчета конфигурации постоянного магнита, обеспечивающей создание высокооднородного поля в зазоре магнита в некоторой рабочей области.
Вывод удобных формул и соотношений для расчета полей (фиктивных) витков с током, уложенных по внешней и внутренней поверхностям осесимметричного магнита, магнитных наконечников и углублений с выемками в углублениях.
Линейная аппроксимация профилей углублений и выемок и математический критерий определения оптимальных значений параметров осесимметричного магнита, наконечников, углублений и выемок.
Пакет программ для определения оптимальной формы осесимметричного магнита и для расчета его полевых карт методом эквивалентных витков.
Сравнение полученных результатов с результатами японских физиков, полученных методом скалярного магнитного потенциала с использованием измерений поля с помощью магнитометра.
Доказательство адекватности метода эквивалентных витков.
Оценка погрешности расчета полевых карт методом эквивалентных витков.
Рекомендации по снижению токов Фуко и учету непостоянства намагниченности и неоднородностей материала магнита.
Достоверность научных результатов работы подтверждается строгостью постановки задач, использованием устойчивых математических методов и сравнением результатов с известными методами и экспериментальными данными. Чтобы проверить адекватность изложенного в диссертации метода эквивалентных витков,
а именно, установить, насколько точно данный метод, основанный на аналогии постоянного магнита набору витков с током, описывает поля постоянных магнитов, были проведены сравнения нормированных напряженностей #z(z,0)/#z(0,0) и H2(0,r)/Hz(0,0), рассчитанных данным методом для некоторой конфигурации постоянного магнита, с экспериментальными данными, полученными японскими физиками для такой же конфигурации магнита. Сравнение этих результатов позволило заключить, что погрешность построения линий на полевых картах методом эквивалентных витков (для идеализированного магнита) составляет менее 1%, что говорит о достаточной (в принципе) адекватности метода эквивалентных витков.
Практическая ценность работы. Результаты диссертационной работы могут являться научной основой при проектировании MP-томографов на постоянных магнитах, формирующих высокооднородные поля. Методы расчета параметров постоянного магнита доведены до программных продуктов, позволяющих вести инженерные расчеты. Данную методику можно рекомендовать для практической реализации в виде дешевого отечественного MP-томографа, предназначенного, например, для определения распределения плотности в технических деталях или для обследования детей с целью выявления у них патологий на ранней стадии развития.
Реализация работы. Разработанная методика проходила и проходит апробацию и реализацию на мини-ЯМР-томографе с постоянным магнитом в лаборатории при кафедре Измерительных технологий и компьютерной томографии (ИТиКТ) СП6ТУ ИТМО, в том числе, по НИР в рамках гранта РФФИ № 05-08-01304-а. Результаты работы используются в лекциях, практических и лабораторных работах по дисциплинам "Математические основы томографии" и "Алгоритмическое и программное обеспечение MP-томографов" при подготовке инженеров по специальности 200101 - "Приборостроение".
Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на кафедре Измерительных технологий и компьютерной томографии СПбТУ ИТМО, на XXXI, ХХХП, XXXV и XXXVT научно-технических конференциях СПбГУ ИТМО (2002 г., 2006 г. и 2007 г., СПб); на международной конференции "NMR in Condensed Matter" (2005 г., СПб); на 7-й сессии
международной научной школы "Фундаментальные и прикладные проблемы надежности и диагностики машин и механизмов" (2005 г., СПб); на IV межвузовской конференции молодых ученых (КМУ) (2007 г., СПб).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 5 журнальных статей.
Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, 6 глав, заключения, библиографического списка из 58 наименований. Объем диссертации 114 страниц, 37 рисунков, 1 таблица.
