Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние и перспективы развития теории и практики генераторов измерительных сигналов 18
1.1. Обзор литературы и постановка задачи исследований 18
Глава 2. Синтез математических моделей измерительных сигналов 32
2.1. Проблемы синтеза сигналов, пригодных для воспроизведения в измерительных генераторах 34
2.2. Метод композиции каузальных сигналов 42
2.3. Метод параметрической оптимизации в задачах синтеза измерительных сигналов 46
2.4. Синтез математических моделей периодических сигналов 58
2.4.1. Синтез моделей измерительных сигналов с заданным спектром 59
2.4.2. Синтез моделей измерительных сигналов с заданным коэффициентом амплитуды 73
2.4.3. Анализ и синтез модели измерительного сигнала с заданным коэффициентом гармоник 77
2.5. Синтез моделей случайных измерительных сигналов 84
2.5.1. Синтез моделей сигналов с заданной плотностью распределения вероятности 88
2.5.2. Синтез моделей сигналов с заданной спектральной плотностью 92
Выводы 97
Глава 3. Синтез колебательных систем генераторов 98
3.1. Основные положения принципа симметрии и его применение для синтеза колебательных систем 103
3.2. Синтез структур колебательных систем 117
3.2.1. Синтез структур колебательных систем на основе частотно-зависимой RC-цепи и активного элемента 119
3.2.1.1 Синтез колебательных систем на активном элементе с однонаправленной передачей сигнала 119
3.2.1.2. Синтез структур колебательных систем c активным элементом с двунаправленной передачей сигнала 139
3.2.1.3. Синтез структур колебательных систем на двухполюсных элементах 150
Выводы 154
Глава 4. Автоколебательные системы генераторов. Основные противоречия и пути их разрешения 156
4.1. Основные противоречия, возникающие в автоколебательных системах генераторов 157
4.2. Анализ процессов в автоколебательных системах 167
4.3. Синтез автоколебательных систем с одной оптимальной нелинейной функцией 172
4.4. Автоколебательные системы с двумя оптимальными нелинейными функциями 182
4.5. Синтез динамических систем методом стационарных автоколебаний 197 4.5.1. Синтез автоколебательных систем с заданной формой автоколебаний
197
4.6. Синтез автоколебательных систем со стохастическими колебаниями 206
Выводы 212
Глава 5. Оптимизация параметров колебательных систем 213
5.1. Оптимизация колебательных систем по уровню гармонических искажений 214
5.1.1. Оптимизация колебательных систем на основе пассивных RC-цепей 220
5.1.2. Оптимизация колебательных систем на основе активных RC-цепей 228
5.2. Минимизация частотной погрешности колебательной системы 234
5.3. Синтез и оптимизация структур колебательных систем с перестройкой частоты колебаний 245
5.4. Оптимизация длительности переходных процессов 255
5.4.1. Оптимизация переходных процессов в КС с релейными функциями 266
5.4.2. Оптимизация длительности переходных процессов в КС с импульсным воздействием 275
5.4.3. Анализ структурных схем генераторов с оптимальными переходными процессами 286
Выводы 289
Основные результаты и выводы 290
Литература
- Метод параметрической оптимизации в задачах синтеза измерительных сигналов
- Синтез структур колебательных систем на основе частотно-зависимой RC-цепи и активного элемента
- Анализ процессов в автоколебательных системах
- Оптимизация колебательных систем на основе пассивных RC-цепей
Введение к работе
Актуальность проблемы. Генераторы измерительных сигналов (ГИС) служат основным инструментом при постановке и проведении экспериментов по исследованию характеристик объектов различной физической природы, так как они создают стимулирующие воздействия на объекты измерений. От качества этих воздействий зависит достоверность сведений о параметрах объекта. Измерительные сигналы формируются как аналоговыми, так и цифровыми генераторами с помощью воспроизводимых в них колебательных процессов.
Основными метрологическими характеристиками ГИС синусоидальной формы являются коэффициент гармоник Kг, точность установки амплитуды и длительность переходных процессов. Выпускавшиеся ранее отечественные ГИС, существенно уступали по характеристикам зарубежным аналогам, Kг которых, в частности, был не лучше 0,05 %. Это отставание было следствием использования устаревших принципов и технических решений, что тормозило разработку высококачественной измерительной и звуковоспроизводящей аппаратуры. Одним из важнейших применений генераторов синусоидальных колебаний являются также испытания АЦП, имеющих разрешение до 24 бит. Для этих целей является актуальной разработка генераторов с Kг до 0,0001 %.
В последние годы бурное развитие получают цифровые генераторы, отличающиеся большей функциональностью. Сравнительный анализ наиболее массовых цифровых и аналоговых генераторов показал, что современные аналоговые генераторы имеют преимущество на два-три порядка по Kг наиболее востребованной в практических приложениях синусоидальной формы колебаний. По этому параметру в ближайшей перспективе аналоговые генераторы будут лидировать. Аналоговые генераторы отличает более высокая точность, стабильность амплитуды колебаний и меньший уровень шумов. Поэтому, несмотря на широкое распространение цифровых приборов, аналоговые генераторы получают дальнейшее развитие, благодаря широким возможностям, предоставляемым современной программируемой аналоговой микроэлектроникой. Однако их применение сдерживается недостаточно развитой теорией.
Теория колебательных процессов получила наибольшее развитие в работах научной школы А.А. Андронова, в трудах Б. Ван-дер-Поля и др. Однако до настоящего времени в рамках этой теории не решены многие вопросы воспроизведения в генераторах колебаний как синусоидальной, так и произвольной, в том числе случайной, формы.
Необходима разработка математических моделей колебательных систем с заданными параметрами колебаний, а также критериев воспроизведения сигналов нужной формы. Особого внимания заслуживает минимизация гармонических искажений при воспроизведении колебаний синусоидальной формы и оптимизация структур и схемотехнических решений по минимуму коэффициента гармоник и длительности переходных процессов.
Реализация теоретических достижений в современных генераторах требует разработки методов проектирования их структурных схем и отдельных блоков, что, в свою очередь, приводит к необходимости решения проблемы воспроиз-3
ведения сигналов с заданными параметрами и характеристиками, например, спектром, коэффициентом гармоник и т.д. Дальнейшее совершенствование в данной области невозможно без разработки методов синтеза измерительных сигналов периодической и непериодической (случайной) формы, пригодных для воспроизведения в колебательных системах генераторов.
Таким образом, диссертационная работа посвящена рассмотрению актуальных проблем синтеза новых измерительных сигналов для решения практических измерительных задач; развитию теории динамических систем, колебательные процессы в которых имеют заданную форму; синтезу оптимальных структур колебательных систем генераторов; проектированию схемотехнических решений генераторов, пригодных к серийному выпуску.
Тема диссертационной работы разрабатывалась в рамках одного из основных направлений научной деятельности Национального исследовательского Томского политехнического университета: «Методы и технические средства измерения и контроля физических величин на основе новых эффектов и информационных технологий».
Цель диссертационной работы состоит в решении научной проблемы, состоящей в развитии известных и разработке новых принципов создания средств измерений, предназначенных для генерации электрических сигналов, в соответствии с современными требованиями к их техническим и метрологическим характеристикам.
Основными задачами диссертационной работы в связи с поставленной целью являются:
анализ современного состояния методов синтеза измерительных сигналов как периодической, так и непериодической (случайной) формы с заданными параметрами и характеристиками для их реализации в генераторах;
разработка методов синтеза периодических сигналов с заданными параметрами: коэффициентом гармоник, коэффициентом амплитуды и спектром;
синтез случайных сигналов с заданными плотностью распределения вероятности, спектральной плотностью и автокорреляционной функцией;
разработка математических моделей автоколебательных систем генераторов сигналов с предписанной периодической и непериодической формой колебаний;
разработка методов синтеза оптимальных структур колебательных систем генераторов сигналов произвольной формы;
разработка вопросов практического схемотехнического конструирования генераторов, пригодных для серийного производства.
Методы исследований. Теоретическая часть работы выполнена на основе методов теории колебаний, теории синтеза сигналов и электрических цепей, теории вероятности, системного анализа, математического моделирования, методов дифференциальных и операторных уравнений Лапласа. При расчетах и моделировании использовались программные пакеты Mathcad, MATLAB, LabVIEW. Экспериментальные исследования проводились на лабораторных этапах разработки генераторов, а также в процессе научно-исследовательских и
опытно-конструкторских работ, государственных приёмосдаточных испытаний генераторов и в производственных условиях.
Научная новизна проведенных исследований:
-
Для построения измерительных генераторов разработан и исследован метод синтеза периодических и случайных сигналов с заданными параметрами и характеристиками путем композиции каузальных сигналов с известными формой, амплитудой и длительностью.
-
Разработан новый метод синтеза основного узла ГИС – колебательной системы, реализованной на управляемых и неуправляемых активных нелинейных элементах на основе общенаучных принципов симметрии и дополнения.
-
Предложен и исследован класс автоколебательных систем на основе наборов нелинейных элементов с взаимосвязанными характеристиками, в которых достигаются стабильные стационарные автоколебания заданной формы.
-
Впервые предложено расширение области применения известного критерия Г. Баркгаузена (баланса фаз и амплитуд), традиционно применяемого только для генераторов синусоидальных колебаний, на генераторы, воспроизводящие колебания произвольной формы.
-
На основе метода Л.С. Понтрягина впервые оптимизированы структура и параметры колебательных систем ГИС с целью минимизации длительности установления колебаний до 1-2 периодов.
-
Получены нетрадиционные оптимальные соотношения параметров узлов и элементов ГИС, позволяющие минимизировать уровень гармонических искажений до 0,0001% и погрешность частоты до уровня менее 1 %.
-
Для воспроизведения случайных сигналов предложен метод, основанный на введении в колебательную систему ГИС узла с кусочно-линейной характеристикой, управление параметрами которой позволяет получать сигналы с заданными плотностью распределения вероятности и спектральными характеристиками.
Основные положения, выносимые на защиту
-
Разработанная универсальная математическая модель измерительных сигналов, представляющая собой композицию каузальных сигналов, описывает периодические и непериодические (случайные) сигналы и пригодна для аппаратной реализации, как в аналоговых, так и в цифровых генераторах.
-
Применение фундаментальных принципов симметрии и дополнения обеспечивает возможность рационального синтеза частотозадающих цепей и активных элементов колебательных систем.
-
Разработанный метод расчета нелинейных функций левой и правой частей дифференциального уравнения колебательной системы позволяет получить заданную форму периодических колебаний.
-
Область применения классического критерия баланса фаз и амплитуд распространяется на колебательные системы, воспроизводящие колебания произвольной формы и реализованные не только на четырехполюсниках с однонаправленной передачей сигнала, но и на двухполюсниках и четырехполюсниках с двунаправленной передачей сигнала.
-
Колебательные системы генераторов синусоидальных сигналов оптимизируются по уровню гармонических искажений и длительности переходных процессов.
-
Предложенный метод стохастизации колебаний в детерминированных колебательных системах позволяет воспроизводить сигналы случайной формы с предписанными вероятностными характеристиками.
Предложенные и защищённые авторскими свидетельствами и патентами технические решения использованы при создании и массовом серийном производстве генераторов измерительных сигналов группы Г3.
Практическая значимость и реализация результатов исследований.
Результаты проведенных исследований позволили создать генераторы измерительных сигналов, освоенные в крупносерийном производстве, с метрологическими характеристиками на уровне лучших приборов ведущих мировых производителей. Генераторы и измерительные установки, выпускаемые крупными партиями, приведены в таблице 1.
Таблица 1. Генераторы измерительных сигналов, созданные на основе предложенных в диссертационной работе научно-технических решений
ООО "Великолукский радиозавод", г. Великие Луки
ООО "Великолукский радиозавод", г. Великие Луки
Kг - коэффициент гармоник; V - погрешность уровня выходного напряжения; f — по-
грешность частоты; Pmax – максимальная выходная мощность; V – диапазон выходных напряжений.
Разработанные в работе методы синтеза колебательных систем электрических сигналов составляют основу для создания современных ГИС, обеспечивающих повышение эффективности производства аналого-цифровых преобразователей, высококачественной звуковоспроизводящей аппаратуры, а также совершенствование государственных эталонов электрических величин.
Промышленные генераторы и измерительные установки применяются:
на предприятиях при производстве высококачественных звуковоспроизводящих устройств и радиоприёмной аппаратуры;
в научных организациях при разработке аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей, высококачественных усилителей и т. д.;
в учебных учреждениях при проведении лабораторных занятий;
в передвижных и стационарных комплексах военного назначения для проверки бортовой аппаратуры военной техники.
Применение результатов работы подтверждено актами внедрения в ООО "Великолукский радиозавод", г. Великие Луки, ЗАО "Руднев и Шиляев" и ОАО "МЗИА", г. Москва и ОКБ "Салют", г. Новосибирск.
Результаты работы использованы при проведении работ по госконтрактам 11.519.11.6026 и 14.516.12.0009 в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы».
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 29 международных, всесоюзных и республиканских конференциях, в том числе на 1-м, 2-м и 3-м Всесоюзных совещаниях "Точные измерения энергетических величин переменного тока, напряжения и мощности" (Ленинград, 1982, 1985 и 1989 гг.); Всесоюзной конференции "Измерение и контроль при автоматизации производственных процессов" (Барнаул, 1982 г.); Всесоюзной конференции "Развитие теории и техники сложных сигналов" (Севастополь, 1983 г.); 5-й Всесоюзной конференции "Влияние повышения уровня метрологического обеспечения и стандартизации на эффективность и качество выпускаемой продукции" (Тбилиси, 1983 г.); Республиканской конференции "Структурные методы повышения точности средств и систем АЭИ" (Остёр, 1983 г.); VI Всесоюзной конференции "Метрология в радиоэлектронике" (Менделеево, 1984 г.); 2-м Всесоюзном симпозиуме "Статистические измерения и применение микропроцессорных средств в измерениях" (Рига, 1984 г.); 10-м Международном конгрессе IМЕК0 (Прага, 1985 г.); 10-м Всесоюзном совещании "Проблемы управления-86" (Алма-Ата, 1986 г.); I Международном симпозиуме "Шумы в электрических измерениях" ІМЕК0 (Милан, 1986 г.); II Всесоюзной научно-технической конференции «Измерение параметров формы и спектра радиотехнических сигналов» (Харьков, 1989 г.); Республиканской научно-технической конференции "Теория и проектирование электронных вольтметров и средств их поверки" (Таллинн, 1990 г.); 10-м Международном симпозиуме ИМЕКО ТК7 "Развитие науки об измерениях" (Санкт-Петербург, 2004 г.); XI Международной научно-практической конференции "Качество - стратегия XXI века" (Томск, 2006 г.); Международной научно-практической конференции "Интеллектуальные информационно-телекоммуникационные системы для подвижных и труднодоступных объектов" (Томск, 2010 г.).
Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается метрологическими характеристиками серийно выпускаемых генераторов и из-
мерительных систем, полученными в ходе государственных испытаний, на всех этапах опытно-конструкторских работ и при периодических поверках и аттестации приборов в процессе многолетней эксплуатации.
Публикации. По теме диссертации опубликовано более 170 печатных работ, из них 4 монографии (две в издательстве Springer на английском языке), 66 авторских свидетельств и патентов Российской Федерации и 29 статей в журналах, рекомендуемых ВАК для опубликования научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук. 2 монографии и 15 статей индексированы в системе Scopus.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 201 наименования и 4 приложения. Общий объем работы – 320 страниц, включая 68 рисунков и 14 таблиц.
Метод параметрической оптимизации в задачах синтеза измерительных сигналов
Генераторы измерительных сигналов1 – одни из самых распространенных средств измерений. Они используются в государственных эталонах [7, 8], служат для определения метрологических характеристик электронных устройств [9 – 11], диагностики звукопроводящих свойств уха человека [12], для настройки и ремонта специальной и бытовой радиоаппаратуры [13], для контроля каналов спутниковой связи [14] и т. д. Они входят составной частью практически в любую измерительную установку или измерительную систему, используются в процессе разработки, настройки, проверки и поверки электро- и радиоизмерительных приборов и систем. По поводу значимости генераторов уместно привести цитату известных специалистов [15]: «Устройство без генератора либо вообще ни на что не способно, либо предназначено для подключения к другому устройству (которое, скорее всего, содержит генератор)».
С помощью подобных источников в измерительных задачах выполняют одну из основных операций измерительной процедуры – воспроизведение физической величины. В них параметры сигнала (амплитуда, частота, фаза и др.) преобразуются в физический процесс, значения основных одноименных параметров которого равны или близки к заданным. В этом смысле генератор измерительных сигналов можно рассматривать как измерительный преобразователь вектора параметров (чисел) в физический процесс обратно тому как, например, вольтметр или частотомер служат измерительными
Измерительным сигналом здесь и далее называется сигнал, содержащий количественную информацию о физической величине (РМГ 29-99). преобразователями физического процесса в параметр, значение которого пропорционально значению процесса. Конечно, имеется и существенное отличие от вольтметра или частотомера, поскольку генератор является многомерным преобразователем параметров в физический процесс. Поэтому автор рассматривает источники электрических сигналов как средство измерений. Эта точка зрения совпадает в основном с известными взглядами на место генераторов измерительных сигналов в системе обеспечения единства измерений.
Приведем некоторые измерительные и метрологические задачи, решаемые с помощью генераторов синусоидальных сигналов, например, с предельно малыми гармоническими искажениями: – измерение нелинейных искажений амплитудных и амплитудно-частотных характеристик высококачественной бытовой аудио- и видеоаппаратуры категорий Hi-Fi и Hi-End, а именно: электропроигрывающих устройств, усилителей, магнитофонов, электродинамических громкоговорителей, головных телефонов и т. д.; – измерение нелинейных искажений проигрывателей компакт-дисков; – измерение нелинейности характеристики преобразования аналого-цифровых преобразователей; – воспроизведение в эталонах и образцовых средствах измерения синусоидальных сигналов с заданным коэффициентом гармоник, коэффициентом амплитуды и коэффициентом формы; – воспроизведение сигналов с амплитудной, фазовой и частотной модуляцией при высоких требованиях к линейности модуляции (в стереофонии); – поверка средств измерений статистических характеристик (в частности, плотности распределения вероятности); – поверка и калибровка средств измерений амплитудных, средневыпрямленных и среднеквадратических значений переменных напряжений (вольтметров, преобразователей и др.); – проверка динамического диапазона анализаторов спектра, селективных вольтметров, измерительных приемников и т. д.; – точные мостовые измерения; – измерение нелинейности с целью определения качества электро и радиоэлементов: резисторов, потенциометров, конденсаторов (контроль технологического процесса при их производстве и входном контроле).
Приведем также несколько конкретных примеров применения источников измерительных сигналов. Так, при проверке параметров усилителей электрических сигналов согласно ГОСТ 23849–87 [13] источники непрерывных синусоидальных сигналов служат для определения модуля полного входного и выходного сопротивлений, выходного напряжения со значением нелинейных искажений 1 %, долговременного максимального выходного напряжения, характеристик ослабления громкости, неравномерности амплитудно-частотной характеристики, общих гармонических искажений, отношения «сигнал – шум» и других параметров.
Источники модулированных радиоимпульсных сигналов используются для измерения времени восстановления усилителя после перегрузки или воздействия кратковременного максимального выходного напряжения, а генераторы шумовых сигналов – для установления значения долговременного максимального выходного напряжения и выходной мощности [13].
С помощью генераторов синусоидального напряжения в государственном эталоне единицы коэффициента нелинейных искажений СССР воспроизводились сигналы типа «усеченный синус» и «разновеликий синус» [8].
Поверка измерителей нелинейных искажений [9] проводится источниками с калиброванным коэффициентом нелинейных искажений и генераторами синусоидальных сигналов с предельно малым коэффициентом гармоник.
При испытании планера самолета на ресурс и определении уровня вибраций в салоне необходимы генераторы вибрационных воздействий гармонической и случайной форм, моделирующих реальные условия полета [5]. Измерение и проверка линейности характеристик аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей осуществляются с помощью источников синусоидальных сигналов с предельно малым коэффициентом гармоник [16].
При испытаниях электрокардиографов согласно рекомендациям Международной электротехнической комиссии [17] применяются синусоидальные сигналы с частотой от 0,5 до 500 Гц, прямоугольные и треугольные сигналы с частотой от 1 до 10 Гц и специальные тестовые сигналы, имитирующие реальные электрокардиосигналы.
Испытания на электромагнитную совместимость в соответствии с национальными и международными стандартами, например стандартом IEC 61000-3-2, проводятся с использованием специальных измерительных сигналов, содержащих до 20 гармоник [18].
Синтез структур колебательных систем на основе частотно-зависимой RC-цепи и активного элемента
К этим недостаткам добавляются другие, вытекающие в процессе практического применения метода канонических разложений. В частности, на практике при аппаратном или программном воспроизведении случайного процесса в соответствии с вышеприведённой формулой ограничивают число членов суммы. В итоге следует ожидать, что ряд с ограниченным числом членов разложения будет отличаться в вероятностном смысле от исходного ряда. Здесь, так же как и при разложении детерминированных функций, возникает противоречие между стремлением к повышению точности и возникающими погрешностями. Поэтому модели на основе метода канонических разложений непригодны для практической реализации генераторов из-за необходимости формирования большого числа случайных элементарных процессов и невозможности получения высокой точности воспроизведения.
Более перспективными для практической реализации могут служить модели, предложенные В. И. Чернецким. В частности, им предложена модель вида где Л1,Л2,...Лп- независимые случайные величины, (ҐДД2,...ДП)-детерминированная нелинейная функция времени и случайных величин.
Такие модели получили название неканонических моделей. Например, в работе [42] исследован класс параметрических моделей вида соответственно, случайные амплитуда и частота гармонического представления случайного процесса, - случайная фаза. Фактически случайный процесс в этих моделях представляет собой амплитудно, частотно и фазомодулированный процесс. Управляя случайными параметрами можно менять характеристики процесса. Этот метод свободен от ряда недостатков присущих методу канонических разложений. Например, с помощью рассматриваемого метода можно выйти за рамки корреляционной теории. Метод отличается повышенной точностью представления случайных процессов, причём класс случайных процессов здесь значительно шире. Но вместе с тем, ему присущи и существенные недостатки, связанные с тем, что класс моделируемых процессов ограничен неэргодическими процессами. Этот недостаток имеет принципиальное значение и не позволяет выбрать его для реализации аппаратными средствами.
В работе [37] рассмотрена модель процесса в виде последовательности импульсов где {Д}, (/ }, i ij – соответственно, случайные: амплитуда, момент появления и длительность импульса, описываемого функцией h(t.,x.). Параметры и характеристики таких процессов достаточно хорошо изучены. Эти модели позволяют создавать случайные процессы общего вида.
Итак, сформулируем основное требование к моделям случайных сигналов, пригодных для воспроизведения аппаратными средствами. Модель должна быть наполнена физическим содержанием присущим данному классу моделируемых физических явлений с тем, чтобы переход от модели сигнала к модели порождающей его динамической системы был бы естественным и максимально формальным. В наибольшей степени этому удовлетворяют модели вида (2.4).
Поэтому синтез моделей случайных сигналов также как, и синтез моделей детерминированных сигналов будем проводить на основе обобщенной модели GO (2.4), J(0 = {J(0 : J(0 = У] ai Wi {U bj, у І , Tj, Ті )[H(t j)- H(t - rM )],i = 1, o} /=o где: y/(z) - не случайная функция; At - случайная амплитуда, распределенная по закону РА(Х), причем At = const на участке (г,_х, гг),; гг - случайный момент появ г ления і -го импульса, ті =2 к)- Т{-случайная длительность г-го импульса с к=\ плотностью вероятности Рт(х), причём Ti =г. -тіА,Уі, H(z)- функция Хэвисай да. Для воспроизведения этих сигналов автором предложен новый принцип их формирования [3, 4, 55, 56]
Выражением (2.4) математическая модель случайного процесса представляется в виде произведения последовательности случайных чисел At и двух детерминированных функций \f/(z) и H(z) случайных аргументов Tt и тг. Такая модель является обобщением известной модели случайных процессов в виде последовательности импульсов [37]. Однако, несмотря на известность этих моделей в литературе мало внимания уделено влиянию статистической и, особенно, функциональной связи однородных и разнородных случайных величин на характеристики процесса. Поэтому ниже на основе выражения (2.4) проводится синтез конкретных моделей случайных процессов с заданными вероятностными характеристиками. В частности, проводится синтез сигналов при статистически независимых, статистически зависимых и функционально связанных случайных величинах At и Tt. При этом под синтезом понимается определение детерминированных и вероятностных характеристик управляемых величин y/(z), Ai, Tj, соответственно, if/(z), РА(Х), PJ{X), RA(T), PJ{T) в зависимости от задан 88 ных параметров и характеристик M[x(t)],D[x(t)],Px(y),S(a),Rx(T), где M[x(t)] -математическое ожидание, D[x(t)] - дисперсия, Рх (у) - плотность вероятности, S(a ) - спектральная плотность, RY(T) - корреляционная функция процесса x(t).
В силу очевидных ограничений, средства измерений, предназначенные для воспроизведения случайных измерительных сигналов, формируют не ансамбль реализаций, а одну единственную реализацию. Следовательно, моделью случайного измерительного сигнала должен быть стационарный или случайный нестационарный эргодический процесс. Поэтому ниже проводится синтез моделей случайных стационарных эргодических процессов. Представленные далее результаты выполнены совместно с аспирантом Барановским А. Л. под научным руководством автора.
Анализ процессов в автоколебательных системах
Для иллюстрации основных противоречий, возникающих в АКС, обратимся к уравнению х + х = гх(\-х2), (4.1) где є - малый параметр, х, х, х - искомая функция времени и ее производные.
Это уравнение введено и применялось еще Ван-дер-Полем [75] при моделировании процессов в ламповом генераторе. Оно же исследовалось для моделирования нелинейных колебаний в ряде других работ. Применительно к этому уравнению развиты и методы решения: медленно меняющихся амплитуд [75], малого параметра [76], усреднения [77] и т. д.
В уравнении (4.1) можно условно выделить линейную - левую часть х + х = и(х,х) и нелинейную - правую и(х, х) = гх(\ - х2) = гх/(х). При є = 0 оно превращается в линейное уравнение консервативной колебательной системы х + х = О, решением которого является колебания синусоидальной формы x{t) = хт cos (Юо? + фо), где хт - амплитуда колебаний; ю = 1 - их частота и фо -начальная фаза. Это выражение можно рассматривать как модель идеализированного сигнала синусоидальной формы. Известно, что амплитуда и начальная фаза колебаний в консервативной системе зависят от начальных условий, т. е. от значений x(t0) и x(t0). При задании определенных начальных условий, скажем при x(t0) = хт и x(t0) = 0, колебания принимают вид x{t) = хт cos (Юо). Возникает вопрос, зачем нужна правая часть в уравнении (4.1), ведь колебания уже имеют синусоидальную форму, а их амплитуду и фазу можно задать заранее. Но дело в том, что создать такую электрическую цепь, моделирующую идеальную левую часть, практически невозможно.
При реализации консервативной колебательной системы всегда возникает слагаемое с первой производной решения, поэтому левая часть превращается не в консервативную, а в диссипативную систему х + гх + х = О, колебания в которой со временем либо затухают при є 0, либо нарастают при є 0. Вот эту неопределенность и призвана устранить правая - нелинейная часть уравнения (4.1). Она обусловливает нарастание колебаний, амплитуда которых меньше стационарного значения, и демпфирует их, если амплитуда превысит данное значение. Для этого функция f[x) должна порождать постоянную составляющую разного знака, при умножении которой на і и получаются нарастание или спад. Но постоянная составляющая f(x) порождается только четными членами разложения функции в ряд Тейлора например, j(x) - 1 - х . Однако наличие в правой части уравнения в функции j[x) слагаемого х переводит его в класс нелинейных дифференциальных уравнений.
Ван-дер-Поль, наверное, впервые сформулировал задачу исследования уравнения (4.1) как нелинейную. Тем самым он положил начало новой области знаний - нелинейной теории колебаний, научному направлению, получившему в дальнейшем широкое применение в разных отраслях науки и техники. Поэтому теория АКС приобрела междисциплинарное значение. Ван-дер-Поль предложил и метод решения своего уравнения - метод медленно меняющихся амплитуд.
Однако, несмотря на «солидный» возраст теории колебаний, до сих пор нет метода аналитического решения уравнения (4.1), т. е. решения в виде определенной функции времени. При этом решения приближенными методами хорошо известны и подтверждены экспериментально. Например, уравнение исследовано численными методами, методом фазовых траекторий изображающей точки при разных начальных условиях и разных значениях малого параметра (рис. 4.1). На рис. 4.1, а решение уравнения (4.1) и его производная: x{t) и y{t) = x{t) показаны сплошной и штриховой линиями соответственно.
Видно, что решения уравнения во времени и фазовые траектории из разных начальных положений стремятся к предельным циклам с амплитудой колебаний, равной 2, и частотой, примерно равной 1, что указывает на их асимптотическую устойчивость.
Предельный цикл на первой фазовой траектории (рис. 4.1, б) близок к окружности. Ему во времени соответствует периодическое колебание x(t), близкое к синусоидальной форме (сплошная линия на рис. 4.1, а). При большем значении фазовые траектории также стремятся к предельному циклу, но более сложной формы (рис. 4.1, в). Конечно, ему соответствует периодическое колебание несинусоидальной формы. Обратим внимание и на то, что в первом случае (при є = 0,1) процесс приближения к предельному циклу более длительный. Уже из этих рисунков можно увидеть противоречие: чем меньше малый параметр є, тем ближе предельный цикл к окружности, тем ближе колебание к синусоидальной форме и тем меньше гармонические искажения, но при этом наблюдается более длительный переходный процесс установления стационарной амплитуды колебаний. Это вывод из качественного рассмотрения фазовых траекторий. Выясним и количественную связь основных параметров колебаний.
Для определения основных характеристик решения уравнения, выяснения и подтверждения отмеченных противоречий между параметрами колебаний приведем исследование методом малого параметра. Учитывая близость предполагаемого решения при малых є к синусоидальной форме, можно записать его в виде ряда, содержащего основную - первую гармонику и сумму малых по амплитуде высших гармоник [76]: COS(\/) + щ(хт, \/) + Є U2(xm, \/) + ..., где х = хт cos(\/) - функция, описывающая первое приближение решения уравнения; щ(хт, \/), и2(хт, \/) - периодические функции, описывающие высшие приближения решения уравнения; хт - усредненная амплитуда; \/ = Ш + ф -полная фаза.
Оптимизация колебательных систем на основе пассивных RC-цепей
Синтез динамической автоколебательной системы, воспроизводящей сигналы с заданными вероятностными характеристиками, проведем в классе составных сигналов согласно формуле (2.4) [161 –166]:
В подобных системах при определенных условиях возникают стохастические автоколебания. В этом разделе речь пойдет о выявлении этих условий и синтезе автоколебательных систем с заданными вероятностными параметрами и характеристиками колебаний.
Предположим, что в КС, воспроизводящей колебания синусоидальной формы, амплитуды полуволн синусоид связаны уравнением xn + 1 = F(xn). (4.39) Уравнение (4.39) устанавливает связь значений амплитуд полуволн в дискретные n-й и (n + 1)-й моменты времени, разделенные длительностью половины периода. При периодических автоколебаниях xn + 1 = –xn = xm, т. е. амплитуда постоянна. Найдем такие функции F(xn), при которых амплитуды непостоянны и, более того, изменяются по случайному закону, т. е. найдем условия стохастизации колебаний. Эти условия можно найти, изучая только уравнение (4.53), а их вероятностные характеристики несложно установить, учитывая, что между моментами дискретизации форма колебаний представляет собой отрезок синусоиды. Для возникновения стохастичности решения уравнения (4.39) необходимо (но недостаточно) выполнения требования неустойчивости [78]:
Этому требованию удовлетворяют кусочно-линейные функции F, область определения которых Хє [-1,1] можно разбить на подобласти Xt (і = 1, 2, …, пі), так что х, пх,. = 0 при / Ф] и их, = х, причем в каждой подобласти Xt отображение {А : Xt — X} взаимно однозначно и является растягивающим [69], т. е. р(Ах, Ay) ap(jc,у), (р(Ах, Ау) = Ах-Ау, р(х,у) = х–у, где р(х,у) -расстояние) при a 1 для любых (х, у) є Хг.
Рассмотрим для простоты такие функции F, которые на интервале X состоят из т отрезков прямых линий:
Очевидно, что условие (4.40) и условие, при котором отображение является растягивающим, сводятся к выполнению неравенств кг 1. В этом случае, задав некоторое распределение плотности вероятности Р0(х) начальных значений X0, после преобразования получим распределение плотности вероятности Р1(х) значений х1 и т. д. Известно, такое распределение имеет предел Р(х) при п — оо, не зависящий от Р0(х) и определяемый только отображением F.
Поставим задачу конкретизировать вид функции F, а именно установить коэффициенты k и b, при которых финальное распределение плотности вероятности происходит согласно равномерному закону, т. е.
Согласно последнему требованию значения xn + 1 на концах i-го интервала прямых xn + 1 = kixn + bi равны ±1. Доказательство этого утверждения основано на том, что при равномерном распределении плотности вероятности каждая i-я область Xi посредством отображения А = Fi переходит в область X. Причем, если в одном из интервалов значение xn + 1 на одном или обоих концах прямой не равно ±1, существуют совместимые с ней прямые того же наклона в других областях Xi (см. рис. 4.20, а). При этом значения xn + 1 не выходят за пределы интервала [–1, 1]. Ограниченность решения в совокупности с его неустойчивостью – необходимый и достаточный признак стохастичности. Задание равномерного закона плотности вероятности позволяет наложить ограничения на значения коэффициентов ki, но не дает никаких условий для выбора значений коэффициентов bi и знаков ki.
Ограничения на значения bi и знаки ki получим, задав определенные требования на другие вероятностные характеристики, например корреляционную функцию. Для этого необходимо, чтобы она определялась следующим выражением:
Для выполнения равенства Rx(p) = 0 при р Ф 0 предположим, что каждая из сумм в правой части равна нулю. Равенство нулю последней суммы возможно при наличии в ней равных по значению, но противоположных по знаку слагаемых. Очевидно, что вероятность появления в реализации процесса при N двух значений хп, сколь угодно близких по значению и разных по знаку, отлична от нуля. Поэтому равенство нулю этой суммы возможно при равных коэффициентах hi, соответствующих равным, но противоположным по знаку значениям xt и Xj. Аналогично равенство нулю второй от конца суммы возможно при равных коэффициентах к и b соответственно, на (п+р- 1)-м и (п+р - 2)-м шаге. Первая сумма, как легко убедиться, равна нулю, если коэффициенты к соответствующие равным, но противоположным по знаку значениям х, на первом шаге равны и противоположны по знаку.
Таким образом, уравнение (4.39) при найденных выше ограничениях имеет решения в виде случайных колебаний амплитуд с корреляционной функцией и плотностью распределения вероятности амплитудных значений, характерные для последовательности взаимно независимых импульсов со случайной амплитудой [44].
Отметим следующий интересный факт. При разбиении отрезка оси абсцисс на целое число равных областей, в которых коэффициенты наклона прямых ki = m, уравнения (4.41) преобразуются к виду
Легко заметить, что правая часть выражения (4.47) представляет собой дробный остаток числа mzn. Поэтому полученное соотношение совпадает с известным алгоритмом вычисления псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения вероятности по методу сравнений: zn + \ = {mzn}, где {mzn} - дробная часть mzn. При определенных условиях процессы, порождаемые в такой системе, могут образовывать предельные циклы, т. е. периодически повторяющиеся последовательности чисел. Однако при экспериментальном исследовании подобных систем из-за влияния естественных шумов элементов они не образуются. Рассмотренный метод стохастизации колебаний реализован в ряде генераторов [168 - 178], в том числе, защищённых авторскими свидетельствами на изобретения.
