Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Нелинейные волны, описываемые обобщенным уравнением кортевега-де вриза 12
Введение 12
1.1. Обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза для волн в двухслойном потоке с учетом эффектов поверхностного натяжения 14
1.1.1. Вывод обобщённого уравнения Кортевега-де Вриза для двухслойной жидкости 14
1.1.2. Анализ коэффициентов уравнения (1.66) и различные частные случаи 24
1.1.3. Стационарные локализованные решения уравнения Гарднера-Кава-
хары (1.68) и их свойства 30
1.2. Уединенные волны в рамках уравнения Кортевега-де Вриза с логарифмической нелинейностью 36
1.2.1. Формальный вывод уравнения log-КдВ 39
1.2.2. Стационарные решения 42
1.2.3. Обоснование вывода гауссовых уединенных волн 46
1.2.4. Спектральная устойчивость уединенных волн Гаусса 48
1.3. Универсальные спектры опрокидывающихся волн в среде с произвольной
нелинейностью без учета дисперсии 53
1.3.1. Степенная асимптотика при обрушении волн 56
1.3.2. Малые дисперсионные и диссипативные эффекты 57
Выводы 61
ГЛАВА 2. Трансформация волн в стратифицированном двухслойном потоке переменной толщины 63
Введение 63
2.1 Безотражательное распространение внутренних волн в канале переменного сечения и глубины 64
2.1.1. Бегущие волны в двухслойном потоке переменной сечения 65
2.1.2. Конфигурации бассейна, допускающие безотражательное распространение внутренних волн 68
2.1.3. Структура бегущей внутренней волны в безотражательном канале 71
2.2. Отражение внутренней волны в критической точке, где двухслойный поток переходит в однослойный 74
2.2.1. Аналогия между задачами наката поверхностных и внутренних волн 74
2.2.2. Накат внутренней волны на откос 78
2.2.3. Обрушение волны на откосе 80
2.3. Адиабатическая трансформация солитонов внутренних волн в двухслойном потоке переменной глубины 82
2.3.1. Теоретическая модель, основанная на обобщенном уравнении Кортевега-де Вриза 83
2.3.2. Уединенные внутренние волны (солитоны) 86
2.3.3. Адиабатическая трансформация солитона внутренних волн в потоке переменной глубины 87
Выводы 91
ГЛАВА 3. Интрузия водного потока в воздушной среде над ровным дном 92
Введение 92
3.1. Физическая модель интрузии водного потока в воздух на ровном дне 93
3.2. Локальное существование решения линейной задачи для контактной линии на границе вода-воздух 101
3.2.1. Решение для постоянной скорости контакта V(t) = V0 103
3.2.2. Решение первоначальной проблемы с V(t) 112
3.3. Формирование особенностей при вхождении движущегося жидкого потока в воздух 120
3.3.1. Априорные оценки энергии 121
3.3.2. Автомодельные решения для формирования особенностей 123
3.3.3. Точечные уравнения 126
Выводы 129
Заключение 130
Библиографический список
- Вывод обобщённого уравнения Кортевега-де Вриза для двухслойной жидкости
- Бегущие волны в двухслойном потоке переменной сечения
- Теоретическая модель, основанная на обобщенном уравнении Кортевега-де Вриза
- Формирование особенностей при вхождении движущегося жидкого потока в воздух
Вывод обобщённого уравнения Кортевега-де Вриза для двухслойной жидкости
Уравнение Кортевега-де Вриза является эталонным уравнением в теории нелинейных волн, которое описывает волны различной физической природы при условии малой высокочастотной дисперсии и слабой нелинейности. Выведенное еще в 1895 году для гравитационно-капиллярных волн на поверхности слоя жидкости, оно показало возможность существования бегущих уединенных волн, впоследствии названных солитонами. В 1967 году было доказана его полная интегрируемость с помощью метода обратной задачи теории рассеяния. Литература по уравнению Кортевега-де Вриза огромна, и здесь достаточно упомянуть несколько книг [Уизем, 1977; Абловиц, Сегур, 1987; Ньюелл, 1989; Островский, Потапов, 2003]. В механике жидкости уравнение Кортевега-де Вриза применяется для описания поверхностных волн (что уже упоминалось), внутренних волн [Пелиновский и др., 1977; Миропольский, 1981], волн Россби и топографических волн Россби [Одуло, Пелиновский, 1978]. Оно выводится из исходных уравнений Эйлера в первом порядке теории возмущений по малым параметрам нелинейности и дисперсии, которые предполагаются одинаковыми. Между тем во многих физических ситуациях баланс между параметрами нелинейности и дисперсии нарушается, и необходимо учитывать следующие порядки теории возмущений. Наиболее известно так называемое расширенное уравнение Кортевега-де Вриза или уравнение Гарднера, учитывающее в одном порядке квадратичный и кубический нелинейные члены [Kakutani, Yamasaki, 1978; Miles, 1979; Gear, Grim-shaw, 1983; Funakoshi, Oikawa, 1986]. Этим, однако, не исчерпывается семейство уравнений типа Кортевега-де Вриза, и в этой главе будут рассматриваться ряд других модификаций уравнения Кортевега-де Вриза, которые мы объединяем термином обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза.
Данная глава посвящена обсуждению результатов исследования нелинейных волн, описываемых обобщенным уравнением Кортевега-де Вриза. В 1.1 приведен вывод обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза для волн в двухслойном потоке с учетом эффектов поверхностного натяжения и найдены его стационарные локализованные решения (солитоны) и исследованы их свойства. В 1.2 рассматриваются уединенные волны в рамках уравнения Кортевега-де Вриза с логарифмической нелинейностью. Для этого уравнения удается доказать ряд математических утверждений о локальном существовании решений. Нелинейная деформация волны в недиспергирующей среде с произвольной не-12 линейностью в рамках бездисперсионного предела обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза рассматривается в 1.3; показано, что в момент обрушения в спектре нелинейных волн возникает универсальная асимптотика. Она же сохраняется как промежуточная асимптотика в решениях обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза. В заключении приведены полученные результаты.
Основные результаты этой главы опубликованы в статьях [Г3, Г4, Г8]. 1.1. Обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза для волн в двухслойном потоке с учетом эффектов поверхностного натяжения
Хорошо известно, что для описания длинных нелинейных внутренних волн в стратифицированных средах широко используется уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) [Пе-линовский и др., 1977; Миропольский, 1981; Абловиц, Сигур, 1987] и его разнообразные обобщения, содержащие слагаемые, ответственные за диссипацию, неоднородность среды, сдвиговые течения, вращение жидкости как целого и т.д. [Островский, 1978; Ostrovsky, Stepanyants, 1990; Grimshaw et al., 1998; Holloway et al., 1999; Пелиновский и др., 2000; Grimshaw et al., 2002; Ostrovsky, Stepanyants, 2005; Apel et al., 2007; Kakutani, Matsuuchi, 1975].
В данном разделе представлен последовательный вывод обобщённого уравнения Кортевега-де Вриза для внутренних волн в двухслойном потоке с учётом поверхностного натяжения между слоями (жидкости могут быть при этом не смешивающимися). Он не связан с предположением о потенциальности движений в жидкостях, поэтому в равной степени приложим как к потенциальным движениям, так и к непотенциальным. В последнем случае без особого труда в рассмотрение могут быть включены такие эффекты, как вязкость, неоднородность (включая вертикальный сдвиг скорости основного течения), завихренность и т.п. эффекты. Отметим, что последовательный вывод обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза для поверхностных волн с учётом вязкости был выполнен в работе [Kakutani, Matsuuchi, 1975], а для внутренних волн во вращающемся плавно стратифицированном океане – в работе [Островский, 1978].
Выведенное уравнение анализируется с целью выявления отдельных частных случаев, представляющих интерес как с точки зрения изучения их математической структуры и особенностей их решений, так и с прикладной точки зрения в механике жидкости. Отметим, что в упомянутых частных случаях полученное уравнение может быть применимо для описания внутренних волн в океане, а также для описания внутренних волн в тонких слоях несмешивающихся жидкостей, например, на границе керосин–вода, нефть–вода или других комбинаций жидкостей.
Вывод обобщённого уравнения Кортевега-де Вриза для двухслойной жидкости
Рассмотрим распространение внутренней волны на границе раздела слоев в двухслойной жидкости (рис. 1.1), ограниченной ровным плоским дном и поверхностью, на которую наложено условие твердой крышки. Как известно [Бреховских, Гончаров, 1982], это условие позволяет отфильтровать поверхностные волны и выделить интересующие нас внутренние волны в «чистом виде». Толщину нижнего слоя обозначим через h1, а верхнего - через /?2. Плотность и давление жидкости в нижнем слое примем равными p1 и p1, соответственно, а в верхнем - р2 ( p1 для устойчивости движений) ир2. Введем следующие обозначения: х - горизонтальная координата, z - вертикальная координата, t - время; г (х, і) - отклонение границы раздела слоев от горизонтального положения, щ1,2 - горизонтальные компоненты, а "W1,2 - вертикальные компоненты возмущения скорости, при этом индексы 1 и 2 относятся к нижнему и верхнему слоям, соответственно. Жидкость предполагается идеальной и не сжимаемой.
Бегущие волны в двухслойном потоке переменной сечения
Как известно, уравнение Кортевега-де Вриза в силу его полной интегрируемости обладает свойствами повторяемости (рекуренции) решений. Это явление было открыто Ферми, Паста и Улама на примере механической системы связанных осцилляторов и получило название парадокса Ферми-Паста-Улама. Уравнение Кортевега-де Вриза может быть получено как непрерывный аналог однонаправленных волн из цепочки связанных осцилляторов. Поскольку при численном интегрировании нелинейные эволюционные уравнения представляются их дискретными аналогами, обсудим связь между дискретными моделями и их длиноволновыми асимптотиками. На дискретных моделях, состоящих из цепочки связанных частиц с потенциалом парного взаимодействия V, зачастую проще объяснять нелинейные эффекты [Campbell et al., 2005; Gallavotti, 2008]. Динамические уравнения для пространственно однородной ФПУ-цепочки имеют вид
Решение начальной задачи для локализованных решений (1.83) сильно зависит от свойств потенциала взаимодействия V. В самой общей форме потенциал взаимодействия удовлетворяет условиям: В работе [Mielke, Patz, 2010], устойчивость нулевого состояния равновесия доказана для к 0 и а 4, то есть при достаточно слабой нелинейности вблизи начала координат. В силу дисперсии, амплитуда решения ФПУ-решетки (1.83) стремится к нулю при t —» +оо для всех начальных условий достаточно малых по амплитуде.
Напротив, во многих ситуациях нелинейные эффекты достаточно сильны, чтобы компенсировать дисперсию; это явление хорошо описано для уравнения Кортевега-де Вриза [Уизем, 1977; Пелиновский, 1996; Ablowitz, 2011] и сохраняется для многих нелинейных эволюционных уравнений. В результате возможно существование когерентных локализованных решений ФПУ-решетки (1.83) таких, как уединенные волны, распространяющиеся с постоянной скоростью, или периодические по времени бризеры (см. [Pankov, 2005] и ссылки в ней). Теорема существования уединенных волн вблизи так называемого предела длинной волны была доказана в [Friesecke, Pego, 1999; boss, 2000] для гладкого потенциала V. Точнее, для к 0 и V"(Q) Ф 0 (т.е. а = 2 в (1.84)), показано, что существует семейство уединенных волн с малой амплитудой и параметризованной скоростью с cs =VK , где cs определяет «звуковую скорость» линейных волн. Эти решения принимают форму
Отметим, что эти уединенные волны затухают в пространстве экспоненциально и становятся широкими в пределе малой амплитуды. В общем случае решения уравнения Кортевега-де Вриза (1.86) дают решения ФПУ-системы в форме (1.85), действительные на шкале времени 0(г3) [Bambusi, Ponno, 2006; Kalyakin, 1989; Schneider, 1998]. Этот известный результат представляется существенным, поскольку зачастую нелинейные эволюционные уравнения рассматриваются на бесконечном интервале времени, забывая, что они получены из исходных уравнений при использовании асимптотических разложений.
Отметим, что уравнение Кортевега-де Вриза уже выводилось для внутренних волн в стратифицированном потоке в первом приближении (см. предыущий параграф). Там же мы уже подчеркивали, что нелинейность может быть не только квадратичной, но и кубической. На самом деле, при некоторых условиях на стратификацию плотности надо учитывать нелинейность более высокого порядка [Kurkina et al, 2011; Куркина и др., 2012]. Обсудим поэтому в данном параграфе более общий случай нелинейной характеристики.
Так, хорошо изучены решения, действительные для а 2 [Schneider, 1998], что приводит к обобщенному уравнению Кортевега-де Вриза, где квадратичный член заменяется -нелинейностью. Мы в предыдущем абзаце упомянули применимость такого уравнения к внутренним волнам. Нелинейная устойчивость уединенных волн малой амплитуды была доказана в [Friesecke, Pego, 2002, 2004 a,b; Hoffman, Wayne, 2013; Mizumachi, 2009], а существование и устойчивость асимптотических #-солитонных решений в [Hoffman, Wayne, 2008, 2009; Mizumachi, 2011, 2013]. Именно поэтому солитоны имеют большое значение для интерпретации наблюдаемых данных.
Другой интересный случай соответствует сильно-нелинейным потенциалам взаимодействия, где к = 0 (что соответствует исчезающей скорости звука, т.е. , cs = 0) и V имеет локальный минимум в начале координат. Классический пример такой зависимости дается потенциалом Герца: - ступенчатой функцией Хевисайда. Этот потенциал встречается в механике твердого тела и описывает силу контакта между двумя первоначально касающимися упругими телами (при отсутствии предварительного сжатия) после небольшого смещения х [Hinch, Saint-Jean, 1999]. Наиболее классический случай получается при а = 3/2 и соответствует контакту между сферами или, в более общем случае, двумя гладкими несогласованными поверхностями. Недавно были рассмотрены зернистые материалы с участием нелинейностей разных порядков [Khatri et al., 2012; Sekimoto, 2010; Sun et al., 2011; Sun, Sen, 2013]; такие среды встречаются в породах Земли. В частности, экспериментальные исследования распространения уединенных волн были проведены с цепочками полых сферических частиц различной ширины, ведущей к различным значениям а в диапазоне 1.2 а 1.5 [Ngo et al., 2013].
Распространение стационарных импульсов сжатия в ФПУ-решетке (1.82) с потенциалом (1.87) для а = 3/2 было впервые проанализировано Нестеренко [Nesterenko, 1983, 2001]. Эти результаты опираются на формальный длинноволновый предел, что упрощает получение приближенных решений в виде уединенной волны. Длинноволновй предел был также рассмотрен в [Ahnert, Pikovsky, 2009] для произвольных значений а 1, ведущих к различным приближениям уединенных волн. Существование точного решения для уединенной волны в ФПУ-решетке (1.82) с потенциалом (1.87) следует из общих результатов в [Friesecke, Wattis, 1994], упоминавшихся ранее (см. также [Л, Hong, 1999; МасКау, 1999; Stefanov, Kevrekidis, 2012]). Ширина этих солитонов не зависит от их амплитуды в связи с однородной нелинейностью потенциала Герца. Кроме того, сильно нелинейный характер потенциала Герца приводит к очень сильному пространственному затуханию уединенных волн [English, Pego, 2005].
Хотя приведенные ранее в литературе аналитические результаты для ФПУ решетки дают полезную информацию о сильно локализованных одиночных волнах, они не являются полностью удовлетворительными по нескольким причинам. Прежде всего, они получены в длнноволновом приближении [Ahnert, Pikovsky, 2009; Nesterenko, 2001], что не всегда оправдано (например, уединенные волны, рассмотренные в [Nesterenko, 2001], локализованы на пяти частицах). Кроме того, динамические свойства уединенных волн в сильно нелинейных ФПУ-решетках еще не изучены. В частности, нет доступных математических результатов в отношении их устойчивости или существования N-солитонного решения. Другой интересной задачей является описание возбуждения одной или нескольких уединенных волн из локализованного начального возмущения [Hinch, Saint-Jean, 1999; Job et al., 2007]. Для с 0 и длинных волн малой амплитуды, эта задача может быть частично проанализирована в рамках приближения Кортевега-де Вриза с помощью метода обратной задачи рассеяния [Ablowitz, 2011; Eckhaus, Van Harten, 1984], но такое упрощение в настоящее время недоступно для сильно нелинейной ФПУ-решетки. Эти вопросы особенно важны для анализа распространения волн в гранулированной среде [Асагу, Brogliato, 2003; Hinch, Saint-Jean, 1999; Liu et al., 2008, 2009].
В данном разделе эта проблеме рассматривается с новой точки зрения. Здесь не используются полно нелинейные версии уравнения Буссинеска, рассмотренные в [Ahnert, Pikovsky, 2009; Nesterenko, 2001], так как эти модели обычно не являются хорошо математически обусловленными. Вместо этого в пределе а —» 1 справа в качестве модуляционного уравнения для длинных волн в полно нелинейной ФПУ-решетке формально получается логарифмическое уравнение Кортевега-де Вриза (log-КдВ). Это уравнение допускает решения в виде уединенных волн гауссовой формы, которые ранее были идентифицированы как решения стационарного логарифмического нелинейного уравнения Шрёдингера (log-NLS) в контексте нелинейной волновой механики [Bialynicki-Birula, Mycielski, 1976].
Теоретическая модель, основанная на обобщенном уравнении Кортевега-де Вриза
Уравнение (2.8) содержит переменные коэффициенты, как и исходное волновое уравнение (2.5). Попробуем найти условия, когда коэффициенты уравнения (2.8) станут постоянными. Первое из них вытекает из структуры волнового оператора в первых квадратных скобках и приводит к определению фазы где мы для определенности взяли знак плюс. Такого рода выражение для фазы известно для волн в плавно неоднородной среде [Булатов и Владимиров, 2010], здесь же оно получается в весьма общем виде. Вторая скобка в (2.8) обязана быть равной нулю, чтобы решения не нарастали в пространстве
Волновое уравнение (2.12) очень хорошо изучено в математической физике, для него легко поставить и решить задачу Коши. В частности, решения уравнения (2.12) предста-вимы в виде суммы двух волн, распространяющихся в противоположные стороны (если т изменяется от минус до плюс бесконечности) две функции, находимые из начальных условий. Таким образом, решение (2.7) исходного волнового уравнения с переменными коэффициентами представляет собой бегущие волны, которые существуют, несмотря на изменчивость параметров потока в пространстве. Именно в этом смысле мы называем такие волны «безотражательными», подразумевая, что они не отражаются внутри канала переменного сечения. На самом деле ситуация несколько более сложная, потому что уравнение (2.12) задано на полуоси (- оо т 0), а не на полной оси. Поэтому в точке, соответствующей нулевому значению т, необходимо задание специальных граничных условий. Физический смысл этой точки будет очевиден далее - в этой точке двухслойный поток переходит в однослойный, в котором внутренние волны вообще не распространяются. Это важная проблема обсуждается в [Талипова и Пелиновский, 2011] и в следующем параграфе этой главы.
Конфигурации бассейна, допускающие безотражательное распространение внутренних волн Исследуем конфигурацию стратифицированного канала, в котором могут распространяться бегущие внутренние волны. Для этого необходимо решить обыкновенное дифференциальное уравнение (2.11), которое содержит две неизвестные функции. Уже отсюда ясно, что существует очень большое число безотражательных конфигураций бассейна. Рассмотрим несколько частных случаев.
Канал постоянной ширины В этом случае можно положить В = const и тогда уравнение (2.11) решается в общем виде где со и L характеризуют закон изменения скорости распространения внутренних волн. Используя (2.6), можно найти донный профиль, обеспечивающий безотражательное распространение внутренних волн где hu напомним, есть толщина верхнего слоя. Этот профиль уже обсуждался в работе [Талипова и Пелиновский, 2011]. В этой работе подчеркнуто, что функция h2(x) определена только на конечном участке 0 х L. В точке х = 0 жидкость становится однородной, и если считать, что в области х 0 глубина бассейна совпадает с глубиной верхнего слоя М или меньше нее, то в области х 0 внутренние волны не могут распространяться. По существу, точка х = 0 играет роль уреза для поверхностных волн: внутренние волны при приближении к ней могут отражаться или разрушаться (более детально этот важный вопрос обсуждается в следующем параграфе). На правой границе (х = L) глубина бассейна резко возрастает, хотя скорость распространения внутренних волн остается конечной и стремится к со в рамках теории мелкой воды. Очевидно, что в этой области необходима сшивка донного профиля с более реалистическим профилем глубины (или отказом от приближения мелкой воды), что обсуждалось в статье [Талипова и Пелиновский, 2011].
Канал постоянной глубины Если толщина нижнего слоя остается постоянной, то и скорость распространения, с(х) также постоянна. В этом случае уравнение (2.11) легко интегрируется где В0(х) и L характеризуют параметры канала. В этом случае, по существу, нет никакой специфики внутренних волн, и получаемый профиль безотражательного канала совпадает с известным для поверхностных волн [Диденкулова и др., 2012]. Здесь нет ограничений на размер переходной зоны, которая может быть неограниченной (если, конечно, канал расширяется).
«Согласованный» канал переменного сечения и глубины Наконец, выделим третий случай, когда ширина канала связана определенным образом с глубиной бассейна при этом изменение одного из параметров с расстоянием может быть любым. Учитывая определение скорости распространения внутренних волн (2.6), получаем следующую связь между шириной канала и толщиной нижнего слоя где Boo соответствует ширине канала на «глубокой» воде (в рамках приближения мелкой воды). При приближении к «урезу», где толщина нижнего слоя обращается в нуль, ширина канала должна неограниченно возрастать, чтобы обеспечить безотражательный характер распространения внутренней волны. На глубокой воде канал переменного сечения легко «сшить» с каналом постоянного сечения. Зависимость (2.18) показана на рис. 2.2. Связь ширины канала с глубиной (2.18) «Произвольный» канал переменной ширины и глубины Рассмотрим теперь более общий случай, когда необходимо решить уравнение (2.11), содержащее две неизвестных функции: B(x) и c(x). Считая, например, изменение глубины нижнего слоя с расстоянием заданным (следовательно, заданной является функция с(х)), уравнение (2.11) можно проинтегрировать + hJh2(x)] 1 і \ 1 + — j\ где B0 и h20 соответствуют параметрам канала в произвольной точке х = 0 (здесь она не совпадает с точкой перехода двухслойного потока в однослойный), а L характеризует масштаб изменения толщины нижнего слоя с расстоянием. Таким образом, задаваясь каким-либо профилем глубины, можно найти соответствующую ширину канала, обеспечивающую безотражательное распространение внутренней волны в нем.
В качестве примера рассмотрим монотонный профиль изменения толщины нижнего слоя Ширина безотражательного канала неограниченно возрастает с расстоянием, чтобы «компенсировать» убывание глубины жидкости. В частности, на бесконечности справедлива следующая асимптотика для толщины нижнего слоя и ширины канала
Графики изменения ширины канала (2.22) и глубины (2.20) приведены для различных значений параметра /г1//г20 и q на рис. 2.3.
Подчеркнем еще раз, что число возможных конфигураций неограниченно, поэтому ими легко аппроксимировать реальные профили, по крайней мере, на отдельных участках.
Структура бегущей внутренней волны в безотражательном канале
Рассмотрим структуру бегущей внутренней волны в безотражательном канале. Используя (2.7), (2.9) и (2.10), запишем общее выражение для бегущей волны при этом связь между В(х) и h2(x) задается формулой (2.19). Функция Ф(ґ) описывает форму волны в какой-то фиксированной точке (х = 0). Как видим, форма внутренней волны в безотражательном канале остается неизменной в любой точке пространства, меняется только амплитуда волны и время прихода (задержка сигнала). В пространстве, конечно же, форма волны меняется со временем. Учитывая, что большинство датчиков внутренних волн являются точечными, то свойство неизменности формы волны на различных датчиках должно указывать на безотражательный характер распространения внутренних волн.
Внутренние волны характеризуются не только смещением пикноклина, но и волновыми течениями в верхнем и нижнем слоях. Течение в нижнем слое, вызываемое бегущей волной, находится из формулы (2.4)
Формирование особенностей при вхождении движущегося жидкого потока в воздух
Заметим, что ограничение V0 =щ J(0)/WQ(0) также следует из точечного уравнения (3.34) полученного для достаточно гладких решений. Аналогично, второе уравнение (3.66) следует из уравнения адвекции-диффузии (3.36) после взятия первой производной по х в пределе х —» 0 и t —» 0.
Остается доказать, что система линейных уравнений, полученных из системы интегральных уравнений (3.59) и (3.61), может быть решена для любого порядка tn/4 и tn/4 соответственно при п 4. Из предыдущих вычислений, можно заключить, что первое интегральное уравнение при t{n+m дает линейное уравнение в переменных („/4, V{n.m) дробно-степенного ряда (3.63): где точками в правой части обозначены члены, выраженные через производную u0(x) в точке x = 0 и предыдущие члены степенного ряда (3.63). Аналогично, второе интегральное уравнение при tn/4 дает другое линейное уравнение в переменных (n/4,V(n-3)/4):
Зависимость Cn от номера, построенная по формуле (3.69) В настоящее время пока не доказано, что система интегральных уравнений (3.59) и (3.61) приводит к конечному времени «взрыва» в соответствие с гипотезой, представлен-116 ной в работе [Benilov, Vynnycky, 2012]. Тем не менее, наши численные решения интегральных уравнений (3.59) и (3.61), представленные на рис. 3.5, подтверждают, что для произвольных начальных условий скорость контакта растет по модулю, а коэффициент падает, что является «кинематическим» проявлением приближением «взрыва» и его дальнейшего не-существования. Более точные вычисления сделаны совсем недавно и опубликованы в препринте [Pelinovsky, Xu, 2013]; мы воспроизводим их результаты здесь на рис. 3.6. Из них ясно видно появление «взрывной» точки, в которой скорость контакта стремится к бесконечности, а к нулю. Более того, численные расчеты показывают, что V(t) (t0 – t)-1/2, в отличие от логарифмического закона (3.35) в [Benilov, Vynnycky, 2012].
Итак, в данном параграфе найдено решение линейного адвективно-диффузионного уравнения на полуоси при наличии неоднородных граничных условий в точке контакта и затухании на бесконечности. При этом скорость контакта предполагалась постоянной. Полученное решение формально существует на всей полуоси для любого момента времени, однако за конечное время оно становится немонотонным и выходит за рамки области изменения физической переменной. Тем самым доказывается локальное существование решения, описывающее динамику контактной линии на конечном интервале времени. В случае переменной скорости контакта выведены интегральные уравнения, описывающие скорость контакта и кривизну контактной линии вблизи контакта. Численное решение показывает «взрывной» характер изменения характеристик потока за конечное время, однако аналитическое описание решения вблизи точки «взрыва» не следует из доказанных теорем существования.
Формирование особенностей при вхождении движущегося жидкого потока в воздух было доказано локальное существование решений линеаризованной краевой задачи для контактной линии на границе вода-воздух с использованием преобразования Лапласа по пространственной координате и разложения в дробно-степенной ряд по времени. Целью данного раздела является проверка возможной скорости роста этого решения вблизи особенности (сингулярности) краевой задачи (3.36) и (3.37). Здесь под словом особенность или сингулярность, как и ранее, будет пониматься выход решения из области определения (0 h 1), что будет происходить при обращении скорости переноса контакта в бесконечность или обращения в нуль величины Р() = 2 в точке х = 0.
Во-первых, будут использованы априорные энергетические оценки для того, чтобы показать, что для гладких решений краевой задачи (3.36), (3.37) функция V(t) не может оставаться все время положительной. Этот результат одновременно означает две вещи: если V(t) остается положительной, то гладкое решение разрушается за ограниченное время, и если гладкое решение всегда существует, то V(t) либо колеблется, либо становится отрицательной. Также будет показано, что по той же причине функции (ґ) и V(t)2(t) не могут оставаться всегда отрицательными. Если (ґ) и V(t) (f) остаются отрицательными, то гладкое решение разрушается за ограниченное время, и если гладкое решение всегда существует, то () и V(t) 2(t) либо колеблются, либо становятся положительными. Сочетание обоих результатов показывает, что гладкое решение может всегда существовать, только при условии, что переменная скорость V(t) колеблется от положительных значений к отрицательным и обратно.
Во-вторых, будет рассматриваться класс автомодельных решений линейного уравнения адвекции-диффузии (3.4) с убыванием к нулю на бесконечности, и с первыми двумя граничными условиями (3.5). Третье граничное условие 0, = — для автомодельных решений не выполняется, и заменяется здесь новым условием вида 3 = y0V(t) при фиксированном 0 0. Далее будет показано, что автомодельное решение взрывается за конечное время про положительном V(t) и положительном (ґ), что согласуется с масштабным преобразованием (3.22), но, к сожалению, не соответствует физическим требованиям, предъявляемым к интрузийному потоку, показанному на рис. 3.1. Наконец, используя точечное уравнение которое получается при дифференцировании (3.36) по х и устремлении х —» 0, и его производную, покажем как в течение конечного времени функция (ґ) может обратиться в ноль, а V(t) стать бесконечной. При этом рост решения вблизи особенностей опять отличается от показателя, основанного на масштабном преобразовании (3.22), и на численно полученных в работе [Benilov, Vynnycky, 2013] результатах (3.35). Таким образом, дальнейшие исследования краевой задачи (3.36), (3.37), в том числе более точное численное моделирование, помогут лучше понять динамику формирования особенностей в поставленной задаче.
