Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Винтовая вихревая нить 28
1.1. Уравнения гидродинамики течений с винтовой симметрией 29
1.2. Гидродинамика течений с винтовыми вихревыми линиями 31
1.3.Поле скорости, индуцированное винтовой вихревой нитью 35
Глава II. Развитие моделей вихревых структур 52
2.1. Винтовая вихревая пелена 52
2.2. Колоннообразные винтовые вихри 56
2.3. Колоннообразный вихрь с винтообразными вихревыми линиями, движущейся вдоль плоскости 66
2.4.Винтовой вихрь с ядром конечного размера 71
2.5. Структура поля завихренности в сферическом вихре Хикса 76
Глаза III. Метод дискретных вихревых частиц 88
3.1. МДВЧ для плоских течений в ограниченных односвязных областях 90
3.2. МДВЧ для осесимметричных течений без закрутки 107
Глава IV. Структура и неустойчивость двумерных сдвиговых течений 116
4.1. Формирование разгонного вихря 116
4.2. Неустойчивость разгонного вихря 134
4.3. Неустойчивость следа за тонкой пластиной 142
Глава V. Описание и классификация вихревых структур в закрученных потоках 153
5.1. Параметры закрученного потока 153
5.2. Винтовая симметрия вихревых течений 158
5.3. Вихри с прямолинейной осью 164
5.4. Стационарные вихри винтовой формы 175
5.5. Прецессия вихревого ядра 182
5.6. О влиянии вихревой структуры течения на горение в закрученном потоке и энергоразделение в вихревой трубке Ранка 187
5.6.1. Форма пламени в закрученном потоке 187
5.6.2. Учет структуры течения в эффекте Ранка 192
Глава VI. Движение вихрей в цилиндрических трубах 197
6.1. Уравнения движения вихревых частиц в круговой области 198
6.2. Прецессия прямолинейного вихря в трубе 199
6.3. Движение винтовых вихрей в трубе 206
6.3.1. Самоиндуцированное движение винтового вихря 206
6.3.2. Движение винтового вихря в трубе 219
6.3.3. Частота прецессии винтового вихря в трубе 223
6.3.4. Движение системы соосных винтовых вихрей в трубе 226
Заключение 236
Приложение 240
Литература 246
- Гидродинамика течений с винтовыми вихревыми линиями
- Колоннообразный вихрь с винтообразными вихревыми линиями, движущейся вдоль плоскости
- МДВЧ для осесимметричных течений без закрутки
- Неустойчивость следа за тонкой пластиной
Введение к работе
Исследование вихревой структуры течений и, в частности, крупномасштабных энергонесущих вихрей, составляет значительную часть современной гидро- и аэромеханики. Вихревые структуры вносят существенный вклад в процессы переноса и могут служить источником шума. Вихри образуются в результате развития неустойчивости в сдвиговых течениях и при отрывном обтекании тел. Отрыв, по сути, - явление нестационарное. Вопросы зарождения, развития, неустойчивости и формирования вторичных вихревых структур в отрывных течениях и следах требуют развития новых подходов моделирования. Особо важно знать вихревую структуру потока при создании и эксплуатации технических устройств, использующих закрутку потока. С целью интенсификации процессов вихревые аппараты эксплуатируются на режимах с повышенной закруткой потока. При этом течение оказывается существенно трехмерным и, как правило, нестационарным. Структура таких течений, особенно с теоретической точки зрения, изучена недостаточно. Наконец, заметим, что создание новых и развитие существующих моделей вихревых структур актуальны в связи с развитием вихревой концепции в теории турбулентности.
На современном этапе исследований закрученных потоков стало ясно, что основную роль в них играют трехмерные вихревые структуры винтовой формы (см. обзор [СВ. Алексеенко, В.Л. Окулов, 1996]). В то же время до сих пор в огромном потоке публикаций преобладают работы, игнорирующие новые представления о сложной пространственной структуре сильнозакрученных потоков. Хотя для улучшения эффективности вихревых аппаратов увеличивают закрутку потока (при этом течение становится существенно не осесимметричным), в основной массе публикаций их продолжают рассматривать с позиций устаревших представлений. В создании расчетных методов здесь преобладают упрощенные осесимметричные модели, игнорирующие пространственную структуру реального течения. Многие экспериментальные исследования все еще ограничиваются лишь измерением осредненных характеристик потока, по которым невозможно получить представление о пространственной структуре реального течения. Продолжает удивлять живучесть устаревших (осредненных) подходов, несмотря на работы Faler & Leibovich [1977] и многих других исследователей по неустойчивости закрученных потоков и монографию А. Гупта [1987], определившую задачу изучения потери устойчивости и образующихся сложных вихревых структур как основную проблему дальнейшего развития вихревых технологий. Понятно, что без изучения трехмерной структуры сильно закрученного потока невозможно правильно оценить новые конструкторские решения и найти границы переходных зон работы для вихревых аппаратов, нельзя определить, достигнута ли максимальная эффективность в существующих технологиях, и создать теорию подобия сильно закрученных потоков, необходимую для решения задач масштабирования вихревых аппаратов.
При изучении трехмерных нестационарных течений важную роль играют модели трехмерных вихревых структур. Поле скорости, индуцированное прямолинейной вихревой нитью или вихревой нитью кольцевой формы описывается достаточно простыми формулами (см., например, [Г. Ламб, 1947]]. Эти простейшие модели послужили основой создания моделей колоннообразных вихрей и вихревых колец, а также для развития вихревых методов расчета плоских и осе-симметричных течений, обзор которых можно найти в книге СМ. Белоцерков-ского, М.И. Ништа [1978]. Третья по сложности после прямолинейной и кольцевой - винтовая вихревая нить оказалась изучена совершенно недостаточно. Обычное представление скорости через интеграл Био-Савара приводит к интегрированию осциллирующих функций на бесконечном интервале. J.C. Hardin [1982] нашел подходящее преобразование интегралов и получил аналитическое решение для поля скорости, индуцированного винтовой вихревой нитью в безграничном пространстве. Поле скорости при этом было записано через бесконечные ряды от модифицированных функций Бесселя. Дополнительная сложность возникает при попытке моделирования ограниченных течений, в частности, течений в трубах. В отличие от прямолинейных и кольцевых вихревых нитей, для которых наличие стенок можно учесть с помощью принципа отражения, для винтовой геометрии вихря последний не работает.
За последние годы был достигнут значительный прогресс в изучении винтообразных вихревых структур в ограниченных закрученных потоках. Теоретические исследования здесь базируются на точном решении для поля скорости, индуцированного простейшей структурой, - бесконечно тонкой винтовой вихревой нитью в цилиндрической трубе. Решение впервые получил В.Л. Окулов [1993], сведя задачу к решению дифференциального уравнения на функцию тока. Поле скорости, как и у Hardin [1982] представлено через бесконечные ряды от модифицированных функций Бесселя, но удовлетворяет условию непротекания на стенке трубы. Еще одно преимущество работы В.Л. Окулова заключается в прямом выделении особенностей в найденном решении. Сингулярные члены выражены через элементарные функции и содержат основную информацию о структуре течения.
Полученный В.Л. Окуловым результат послужил отправной точкой серии исследований, результаты которых представлены в данной диссертации. В частности, впервые путем численной визуализации проведен анализ структуры течения, индуцированного винтовой вихревой нитью в безграничной жидкости и в цилиндрической трубе в зависимости от параметров вихря.
Анализ экспериментальных данных по закрученным потокам [И.И. Смульский, 1992; А.А. Халатов, 1989; А.Н. Штым, 1985; А. Гупта и др., 1987; Escudier, 1984; Escudier et ai, 1980, 1982 и др.] дает основание утверждать, что даже в случае осевой симметрии вихревые линии в таких течениях не прямолинейные, а винтообразные. Это означает, что профиль осевой скорости - неоднородный. Для аппроксимации опытных данных исследователи подбирают функции чаще всего интуитивно. В то же время, если предположить, что вихревые линии - канонические винтовые спирали, то удается описать обе компоненты скорости - окружную и осевую - через одну функцию, получаемую путем интегрирования радиального распределения осевой компоненты завихренности.
В диссертации построен целый класс моделей колоннообразных вихрей с винтовыми вихревыми линиями, пригодный для описания структуры различных закрученных течений. В результате обобщены известные модели вихрей - вихря Рэнкина [Г. Ламб, 1947], вихря с дробно-рациональной функцией распределения завихренности [Scully, 1975] и вихря Ламба (см. [Hopfmger & van Heijst, 1993].
Модель винтового вихря с ядром конечного размера давно привлекает внимание ученых-гидродинамиков. В первую очередь это связано с прикладными задачами: следом за гребным винтом [Н.Е. Жуковский, 1912, 1937а, 19376], пропеллером или гидротурбиной [Fanelli, 1989]. Однако факт конечного использовался лишь для оценки скорости самоиндуцированного движения вихря. Распределение скоростей в течении, индуцированном таким вихрем, до сих пор найдено не было. В данной работе сделан первый шаг на пути построения такой модели, а именно - найдены профили скоростей, осредненных по угловой координате. Если в эксперименте винтообразный вихрь совершает вращательное движение, то осреднение по углу будет соответствовать осреднению по времени, что позволяет проводить сопоставление опытных и модельных профилей. Тем самым по осредненным профилям скорости можно восстановить локальную про-странственную структуру потока. В более полной постановке требуется решение задачи о сшивке вихревого и потенциального течений (при однородном распределении осевой завихренности в ядре) и определение формы ядра. В предложенной же модели рассмотрено круговое сечение ядра, что справедливо либо для тонких ядер, либо, наоборот, для слабоискривленных колоннообразных вихрей.
Теоретические подходы к оценке скорости самоиндуцированного движения винтовых вихревых структур достаточно широко представлены в литературе. Однако все исследователи ограничиваются здесь изучением вихревых нитей в безграничном пространстве. Это объясняется тем, что для описания вихрей используется закон Био - Савара, который является удобным инструментом в неограниченных областях и становится мало пригодным для описания вихревых структур в присутствии границ (например, при описании закрученных потоков в трубах или рабочих участках вихревых аппаратов). Тем не менее, накопленный
материал весьма полезен для дальнейших исследований. Кратко остановимся на основных результатах.
Известно [Дж. Бэтчелор, 1973; Kida, 1981; и др.], что искривленная вихревая нить в общем случае движется и деформируется не только под воздействием внешнего потока, но и за счет самоиндуцированного движения, причем в некоторых случаях искривленная нить не меняет своей формы. К примерам таких нитей относятся вихревое кольцо и винтовой вихрь, который может вращаться и двигаться поступательно вдоль своей оси. Изучение винтовых вихрей в несжимаемой идеальной жидкости имеет длинную историю. Впервые слабоискривлен-ный винтовой вихрь с большим шагом винта исследовал Lord Kelvin [1880]. Н.Е. Жуковский [1912], применяя закон Био-Савара, приближенно получил формулу для определения скорости самоиндуцированного вращения винтового вихря в безграничном пространстве. Позднее Levy & Forsdyke [1928] рассмотрели вихрь с малым шагом. Другие фундаментальные результаты по приближенному описанию динамики винтовых вихревых нитей в безграничном пространстве можно найти в целом ряде широко известных работ [Widnall, 1972; Moore & Saffman, 1972; Adebiyi, 1981; Ricca, 1994; и др.]. В последних перечисленных работах предложен, по-видимому, наиболее удачный подход, заключающийся в представлении скорости винтового вихря через скорость вихревого кольца эквивалентной кривизны. Но даже и в этом случае остается проблема вычисления интегралов от осциллирующих функций на бесконечном интервале.
Возможность решить задачу о самоиндуцированном движении винтового вихря и представить результат не в квадратурах, а в окончательной явной форме появилась после доработки методики прямого выделения особенностей из бесконечных рядов от модифицированных функций Бесселя [Kuibin & Okulov, 1998]. Вывод формул для скорости движения, как одиночного винтового вихря, так и их системы в безграничном пространстве и в цилиндрической трубе сделан в данной диссертации.
В вихревых аппаратах первое наблюдение винтообразного вихря связано с его самоиндуцированным вращением. Были обнаружены интенсивные низкочас тотные окружные пульсации потока, которые назвали прецессией вихревого ядра. Правда, установить, что причиной прецессии является самоиндуцированное вращение винтового вихря, удалось не сразу. Наиболее детально это явление было изучено, пожалуй, для вихревых горелок. В монографии А. Гупта с соавторами [1987] проанализировано влияние прецессии вихревого ядра на горение. Однако то, что прецессия вызывается вращением винтового вихря (жгута), по-видимому, впервые было показано при изучении закрученных потоков в отсасывающих трубах гидротурбин. Идентификация винтовой формы пламен при горении в закрученном потоке была получена много позднее в работах Ishizuka [1984, 1989]. Теоретическое описание формы пламени в закрученном потоке в литературе до настоящего времени не встречалось.
Одно из первых наиболее полных описаний прецессирующего вихря с воспроизведением его винтовой структуры сделал R.C. Chanaud [1965]. Изучению прецессии вихревого ядра в вихревой камере с удлиненным рабочим участком посвящен цикл работ R.F. Guarga с соавторами [1985а, 1985b, 1985с, 1985d]._ Они измеряли частоту пульсаций давления на стенке (частоту прецессии) и одновременно визуализировали трехмерную структуру вращающегося винтового вихря, порождающего эти пульсации. С.С. Кутателадзе, Э.П. Волчков, В.И. Терехов [1987] также изучали прецессирующий поток с одновременной визуализацией. Изучение трехмерной структуры течения в пылевых циклонах проведено Yazdabadi, Griffiths & Syred [1994] с помощью ЛДА. Однако в этой работе, как и в монографии А. Гупта с соавторами [1987], прецессия вихревого ядра не отождествляется с самоиндуцированным вращением винтообразной вихревой структуры. Несмотря на обнаружение связи между прецессией и возникновением рециркуляционной зоны (противотока вдоль оси) в циклоне, авторы не делают заключения о существовании винтового вихря (или вихрей), который является причиной, как первого, так и второго явления. В прозрачной модели гидроциклона винтовая структура потока была выявлена А.Г. Лопатиным [1991].
Перечисленные экспериментальные данные относятся к режиму с вращающимся винтовым вихрем. Работ по второй форме организации потока в вихревых аппаратах - с неподвижным винтовым вихрем - до недавнего времени практически не было. Данные о существовании таких режимов, конечно, имелись - это режимы с подавленной прецессией вихревого ядра [А. Гупта и др., 1987], режимы без пульсаций [С.С. Кутателадзе и др., 1987] и др. Однако явно структура потока здесь выделена не была. Kumar & Conover [1991, 1993] с помощью визуализации течения провели исследование трехмерного вращающегося потока в цилиндрическом циклоне с тангенциальными входом и выходом. Фотографическим путем ими показано существование устойчивой трехмерной структуры потока. Основной поток движется по спиральной траектории, окружающей вторичный поток, в котором имеется неподвижный одиночный вихрь. Ось вихря искривлена, но на ее винтообразный характер авторы явно не указывают. Установлено, что такая структура потока не меняется в диапазоне чисел Рейнольдса от 15000 до 60000. Alekseenko & Shtork [1992], проводя исследования на модели топки квадратного сечения, впервые в закрученном потоке, кроме достаточно хорошо изученного вращающего вихря, визуализировали стационарные (неподвижные) винтовые вихри. При вариации граничных условий они выявили режимы течения с неподвижными винтообразными вихревыми структурами (одиночными и двойными).
Концентрированные вихри винтовой формы весьма распространены в природе и технике. Помимо описанных выше вихрей, укажем далеко не полный их список: воронка в жидкости, истекающая из сосуда через донное отверстие [М. Ван-Дайк, 1986]; смерчи [Д. Сноу, 1984]; продольные вихри при обтекании дельтовидного крыла под большим углом атаки [Peyne et al., 1988]; продольные вихри в турбулентном пограничном слое [Kim et al., 1971] и в следе за обтекаемым телом на пластине [Tani et al., 1962]; система вихревых шнуров, образующаяся за несимметричной струей, вдуваемой в поток [Д.М. By и др., 1989]; система вихревых шнуров во вращающемся слое жидкости, подогреваемой снизу [Boubnov & Golitsyn, 1986]; вихревые шнуры в восходящем над закрученной
жидкостью паре [В.А. Владимиров, 1977]; вихревые нити в модели турбулентности для сверхтекучего гелия [Р.Д. Доннели, 1989]; концевые вихри за винтом и пропеллером [Н.Е. Жуковский, 1912, 1937а, 19376]; вихревые нити при обтекании лункообразной каверны [Г.И. Кикнадзе и др., 1986]. Данная тематика широко освещена в литературе. Некоторые экспериментальные наблюдения винтовых вихрей приведены в хорошо известных обзорах [Сэффмэн, 2000; Widnall, 1972; Leibovich, 1984; Escudier, 1988]. Однако описанные в них результаты сконцентрированы в основном на явлении неустойчивости закрученных течений, подобном распаду вихря пузырьковой и спиральной форм. В общем объеме исследований вихрей винтовой формы более детально изучен случай вращающегося винтового вихря (или явления прецессии вихревого ядра). Исследования крупномасштабных вихревых структур, формирующихся в интенсивно закрученных потоках, практически отсутствуют. Хотя Takaki & Hussain [1984] и нашли стационарное решение в виде двух переплетенных винтовых вихрей с одинаковой циркуляцией, экспериментально получить неподвижную двойную винтовую структуру долгое время не удавалось. Этот факт говорит о том, что экспериментальное изучение вихревых структур в закрученных потоках - задача достаточно сложная. И только недавно в экспериментах СВ. Алексеенко и СИ. Шторка [1994] эта структура была найдена.
Отдельно следует остановиться на исследованиях, посвященных эффекту энергоразделения в трубках Ранка. Дело в том, что, несмотря на интенсивное изучение этого явления в течение последних пятидесяти лет, исследователи не пришли к единому мнению о его механизме. Гертлеровские вихри [Stephan et al., 1983]; сжимаемость [Amitani et al., 1983; Д.К. Зайцев, E.M.-Смирнов, 1994]; турбулентный перенос тепловой энергии [Linderstrom-Lang, 1971]; акустические потоки [Kurosaka, 1982]; перестройка вынужденного вихря в свободный [А.П.Меркулов, 1969]; влияние вязкостных эффектов [В.И. Кузнецов, 1989; В.А. Баранов и др., 1994] и многое другое предлагалось как возможные механизмы.
В эффекте энергетического разделения, скорее всего, значительную роль играет прецессирующая винтообразная вихревая структура. А. Гупта с соавторами [1987] указывают на значительное влияние прецессии вихревого ядра на процесс энергоразделения. Н.А. Артамонов, Б.Ф. Абросимов и М.З. Максименко [1987] при изучении динамики течения в вихревой трубе сделали важное наблюдение о винтовой структуре потока в трубе Ранка. СВ. Лукачевым [1981] было дано объяснение регулярных пульсаций потока (типа прецессии) в вихревых трубах как следствие возникновения крупномасштабных вихревых структур. В своей последующей работе он предложил гипотезу о возможности существования двойных и тройных вихревых образований на основе анализа сдвига фаз между пульсациями давления, измеренными в двух диаметрально противоположных точках вихревой трубы [СВ. Лукачев, 1984]. Развитие этих представлений было продолжено в работе Ю.А. Кныша [1988]. Однако возникновение вихревых структур в вихревых трубах оба исследователя связывают не с неустойчивостью интенсивно закрученных потоков, а с неустойчивостью типа контактного разрыва на поверхности раздела периферийного подогретого газа и центрального холодного ядра потока. В связи с этим базовыми вихревыми структурами они считают вихревые кольца в виде тора, которые в реальном несимметричном потоке деформируются и сворачиваются в спиральные вихревые структуры. Точное представление о винтообразной форме вихревой структуры, образующейся в результате неустойчивости потока, в указанных работах отсутствует. Вместе с тем при исследовании структуры потока в другом аппарате - вихревом генераторе звука СВ. Лукачев [1988] связывает образование прецессирующего винтового вихря с распадом вихря. Наконец, явное подтверждение наличия винтообразных винтовых структур в вихревой трубе получено с помощью специальных методов визуализации в работе В.А. Арбузова с соавторами [1997].
В виду изложенных данных об экспериментальных наблюдениях представляется необходимым проведение классификации закрученных потоков с точки зрения геометрии возникающих в них вихревых структур. В то же время, наблюдаемая форма вихрей дает основания для проведения специального исследования, направленного на установление возможности реализации винтовой симметрии в реальных закрученных потоках. Наконец, требуется оценка влияния вихревой структуры потока на протекание физических процессов - горения и энергоразделения в закрученном потоке.
При попытках сопоставления моделей вихрей с реальными течениями закономерно возникает вопрос о влиянии вязкости. Конечно, существуют области науки, где вязкость несущественна. Например, - при изучении сверхтекучего гелия. В этом случае применяют классическую модель вихревых нитей. Но, вследствие хаотического поведения нитей, рассматривают лишь статистические и макроскопические характеристики [Р.Д. Доннели, 1989; Nemirovskii, 1998а, 19986]. Однако и в обычной жидкости возможны условия, когда непосредственным влиянием вязкости можно пренебречь. Дж. Бэтчелор [1973] назвал их течениями эффективно невязкой жидкости. Такие условия могут возникать в течениях с достаточно большими числами Рейнольдса (Re 103). Необходимо также, чтобы область завихренной жидкости находилась на достаточном удалении от твердых границ - вне пограничных слоев. Следует заметить, что применение моделей вихрей с ядром конечного сечения предполагает, что вязкость уже оказала свое действие на этапе формирования вихря. Размер ядра определяется Геометрическими параметрами установки-генератора и, в меньшей степени, числом Рейнольдса, т.е. скоростью потока и вязкостью жидкости [Maxworthy, 1977]. Еще один довод в пользу применения моделей вихрей заключается в том, что простыми зависимостями аппроксимируется поле завихренности, а сопоставление ведется по полю скорости, которое находится путем интегрирования. При этом повышается степень гладкости функций (например, кусочно-непрерывной завихренности соответствует непрерывное распределение скоростей, кусочно-линейной завихренности - гладкое и т.д.).
Новые возможности открываются перед исследователями в связи с развитием дифференциально-геометрического формализма, группового анализа и вариационных методов применительно к описанию течений несжимаемой жидкости. Так А.В. Кистовичем, Ю.Д. Чашечкиным [2000] предложен геометрический подход: линии тока рассматриваются как геодезические на интегральных поверхностях. В результате осуществляется переход от уравнений Эйлера к системе уравнений для параметров, описывающих геометрию интегральных поверхностей. Такой подход позволил авторам построить решение в форме совокупности модифицированных вихрей Рэнкина, которые в отличие от классического обладают ограниченными интегральными инвариантами (энергией, импульсом, моментом импульса, циркуляцией и спиральностью). Теми же авторами [А.В. Кистович, Ю.Д. Чашечкин, 2001] развит метод регулярного поиска дискретных симметрии дифференциальных уравнений, обладающий большими возможностями чем стандартный метод групп Ли и обобщающий упомянутый геометрический подход на другие классы дифференциальных уравнений.
Интересен подход, основанный на вариационном принципе максимума информационной энтропии, заимствованный из теории информации [Ю.Н. Григорьев, В.Б. Левинский, 1986; Ю.Н. Григорьев, В.Б. Левинский, В.П. Нартов, 1989]. Его применение позволило авторам построить модели цепочек вихрей, в которых распределение завихренности неоднородно, в отличие от моделей когерентных структур в сдвиговых слоях, построенных на базе вихрей Рэнкина или эллиптических вихрей Кирхгофа с равномерным распределением завихренности. Другое применение вариационных принципов - для построения методов дискретных вихревых частиц будет подробно рассмотрено ниже.
Классические модели элементарных вихревых структур - прямолинейная и кольцевая вихревые нити - явились основой построения методов расчета таких нестационарных явлений, как отрыв. Вихревые методы расчета развивались наряду с другими подходами к решению этой проблемы [П. Чжен, 1972-1973; Дж. Уильяме, 1979; Л.В. Гогиш и др., 1974; В.В. Сычев, 1987; В. Маккроски, 1977]. Первые попытки теоретического изучения отрыва сводились к построению стационарных моделей отрывных течений идеальной несжимаемой жидкости. В ходе их развития были сформулированы такие принципиальные положения теории отрыва, как гипотеза о конечности скорости на острых кромках обтекаемых тел (Н.Е. Жуковский, С.А. Чаплыгин, Кутта) и идея Н.Е. Жуковского о присоединенных вихрях [Н.Е. Жуковский, 1937а]. Эта идея дала возможность не только объяснить механизм образования подъемной силы крыла в идеальной жидкости, но и позволила создать удобный аппарат для численных расчетов.
Дальнейшее развитие теории отрыва связано с разработкой нестационарных моделей [В. Маккроски, 1977; СМ. Белоцерковский, М.И. Ништ, 1978; С.К. Бетяев, 1983]. Вследствие нелинейности уравнений гидродинамики при решении задач используются различные численные методы. В частности, в последнее время появляется все больше работ, в которых задачи о течении вязкой жидкости и газа при наличии отрывов исследуются путем прямого численного решения уравнений Навье-Стокса. Обзоры по этой теме содержатся в статьях [П. Чжен, 1972-1973; Дж. Уильяме, 1979; Л.В. Гогиш и др., 1974; Batchelor, 1956; Lissaman, 1983]. Прямое численное решение уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса Re сопряжено, однако, с определенными трудностями. Во-первых, вследствие наличия малого коэффициента при старшей производной, пропорционального Re , появляются узкие области с большими локальными градиентами функций, что приводит к потере точности и устойчивости решения. Во-вторых, не во всех случаях известно существование стационарного устойчивого решения при достаточно больших числах Re. В-третьих, решение нестационарных задач требует существенных затрат машинного времени.
Поэтому в настоящее время все более широко используются более экономные и удобные в применении вихревые методы, основанные на лагранжевом подходе к описанию движения жидкости. Наиболее известным из вихревых методов является метод точечных вихрей (МТВ), применяемый для расчета плоских течений несжимаемой невязкой жидкости. Суть МТВ состоит в том, что поле завихренности аппроксимируется системой прямолинейных вихревых нитей. Впервые МТВ был применен Rosenhead [1931], который исследовал эволюцию вихревой пелены, моделируя ее точечными вихрями. С появлением ЭВМ этот метод начал широко использоваться для численного моделирования нестационарных отрывных течений [СМ. Белоцерковский, М.И. Ништ, 1978; К.П. Ильичев, СН. Постоловский, 1972] и турбулентных струй [А.Б. Айрапетов, 1977,
СМ. Белоцерковский и др., 1985J. МТВ достаточно эффективен для класса задач, где требуется получить интегральные характеристики (например, силы, действующие на тело, размер отрывной зоны и т.п.), а в ряде случаев позволяет получать и правильную качественную информацию о течении. Применяют МТВ и в задачах с образованием пограничных слоев - как составную часть, пригодную для описания течения в зонах, где вязкие эффекты несущественны [СМ. Белоцерковский и др., 1988]. Что же касается более тонких характеристик, связанных с пульсационным характером течения, с развитием неустойчивости, исследованием структуры отрывной зоны, то здесь возникают значительные ошибки. Дело в том, что для моделирования указанных эффектов требуется увеличивать число точечных вихрей, а при этом происходит стохастизация их траекторий [Kuwahara & Takami, 1973; Birkhoff & Fisher, 1959], что связано с неограниченным ростом скоростей, индуцируемых вихрями при взаимном сближении. По этой же причине погрешность в определении поля скорости может быть очень значительной, даже, если движение точечных вихрей является регулярным [Beale & Maida, 1985]. Очевидно, также, что с помощью точечных вихрей нельзя сколь-нибудь удовлетворительно аппроксимировать физически интересные поля завихренности. Точечные вихри оказываются просто слишком сингулярными. В связи с этим в последние годы были развиты методы моделирования течений жидкости системой вихревых частиц, имеющих, в отличие от 5-образных точечных вихрей, конечные размеры [Kuwahara & Takami, 1973; Chorin, 1973; Chorin & Bernard, 1973; Moore, 1974; Leonard, 1980; Meng & Thomson, 1978]. Эти модели можно назвать феноменологическими, так как в них содержится ряд параметров, выбор которых никак не связан с физическими закономерностями задачи.
В работах А.Н. Веретенцева, В.Я. Рудяка, Н.Н. Яненко [1982, 1985, 1986] развит вариационный принцип построения вихревых моделей, свободный от недостатков, характерных для упомянутых выше модели точечных вихрей и моделей вихревых частиц (vortex blobs). Более того, построенные модели сохраняют свойства консервативности, присущие континуальной среде, т. е. в них выполняются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Исследованиє вопроса сходимости решений, полученных с помощью построенных моделей, к точным решениям уравнений Эйлера приводится в работах тех же авторов [1982, 1986].
В то же время метод, предложенный в указанных работах, позволяет описывать лишь безграничные плоские течения. Поэтому развитие подобных методов построения вихревых моделей, связанных с обтеканием тел, в том числе с отрывом, и для случая осесимметричных течений представляется актуальным.
Большинство упоминаемых здесь вихревых моделей строятся в рамках модели невязкой жидкости. Но отрыв потока всегда связан с вязким взаимодействием потока с поверхностью - с образованием пограничных слоев. В действительности же, при больших числах Рейнольдса важен сам факт наличия вязкости, а детали отрывного обтекания тел практически не зависят от величины вязкости среды и определяются инерционным взаимодействием в жидкостях и газах, опи- : сываемым нестационарным уравнением идеальной среды. Поэтому разрабатываемый в диссертации метод оказывается пригодным для описания отрывных течений при больших числах Рейнольдса.
Классической задачей в классе отрывных течений считается задача обтекания бесконечного клина, сформулированная еще Прандтлем [Prandtle, 1924] и моделирующая течение около тела (поверхность которого имеет изломы) в локальной области в окрестности излома. Существенный вклад в решении указанной проблемы внес А.А. Никольский [1957], получивший уравнение эволюции вихревой пелены, возникающей в результате отрыва, с использованием суммарной интенсивности вихревого следа в каждый момент времени в качестве ла-гранжевой координаты точки вихревой пелены, покидающей в этот момент кромку клина. В работе исследованы автомодельные режимы течения, когда потенциал внешнего (безотрывного) течения зависит от времени по степенному закону. Решение полученной таким образом автомодельной задачи применялось при исследовании некоторых стационарных пространственных задач для конических тел [А.А. Никольский, 1970; Ward, 1955] и при моделировании начальной стадии отрывного обтекания [Л.В. Гогиш, Г.Ю. Степанов, 1983; В.Ф. Молчанов, 1975]. Достаточно полное исследование разгонного вихря за бесконечным клином, основанное на численном решении автомодельной задачи (задача сведена к интегро-дифференциальному уравнению с одной переменной) проведено Pullin [1978]. Получена картина сворачивания в вихрь сходящей с клина вихревой пелены для различных углов раствора клина и в широком диапазоне показателей автомодельности. Проанализирована форма вихревой пелены в окрестности кромки и в ядре разгонного вихря. Вопрос же о рамках применимости автомодельного решения в конкретных задачах остается открытым.
В работе А.А. Никольского [1957] особо выделен случай вырожденного автомодельного течения, когда вся циркуляция стягивается в точечный вихрь. Реализация такого течения представляет интерес, как в численной модели, так и на практике: таким образом можно создавать вихри с наибольшей концентрацией завихренности. Актуальность их изучения диктуется, в частности, задачами переноса импульса силы, транспортировки легких примесей и др. [В .И. Меркулов, 1989].
Экспериментальные исследования показывают, что в процессе формирования разгонного вихря гладкая спиралевидная структура образуется не всегда. В альбоме течений жидкости и газа Ван-Дайка продемонстрировано развитие вторичных вихревых структур на фоне разгонного вихря (см. фото №№ 81, 82, 241 в [М. Ван-Дайк, 1986]). Для прямолинейного сдвигового течения (слой сдвига, слой смешения) механизмы образования подобных (когерентных) структур хорошо изучены (см. обзоры в [Но & Huerre, 1984; Hussain, 1986; Е.В. Власов, А.С. Гиневский, 1986]). В частности, экспериментально установлено, что образование когерентных структур (КС) в возбуждаемом слое смешения происходит на длине волны возбуждения. Результаты экспериментов подтверждаются также и численными расчетами [Acton, 1976; Ghoniem & Ng, 1987], где методом вихревых частиц моделировалось образование и последующее спаривание крупномасштабных вихревых структур в сдвиговом слое.
В рассматриваемом здесь классе течений - отрывные обтекания кромок с образованием разгонных вихрей - проведение исследования образования и эволюции КС затруднено в связи с тем, что основное течение является сильно нестационарным. В связи с последним обстоятельством требуется развитие методов и подходов к изучению неустойчивости разгонного вихря.
На первый взгляд, след за тонкой пластиной представляет собой частный случай слоя смешения - когда скорости с обеих сторон пластины одинаковы. Тем не менее, переносить результаты исследования слоя смешения на задачу о следе нельзя. Это связано, в первую очередь, с симметрией профиля средней скорости относительно оси следа, и, как следствие, с наличием двух мод неустойчивости различной четности. О существовании двух мод неустойчивости в течениях с симметричным профилем скорости сообщалось в работах Michalke, Schade [1963], Tatsumi, Kakutani [1958]. Там же было показано, что в следе наиболее неустойчивой является антисимметричная мода (с нечетным профилем пульсаций продольной скорости). На этом основании в подавляющем большинстве работ по неустойчивости следа, особенно в экспериментальных (см., например, Sato, Kuriki [1961], Mattingly, Criminale [1972]), второй модой - симметричной - пренебрегали. Вместе с тем в экспериментах обычно возбуждается возмущение, являющееся суперпозицией двух мод. В работах Wygnanski, Champagne, Marasli [1986], Marasli, Champagne, Wygnanski [1989] были предприняты попытки экспериментально генерировать отдельно каждую из мод. С другой стороны, ясно, что если на линейной стадии обе моды развиваются независимо, то на нелинейной - взаимодействие между ними будет существенно влиять на характер развития течения.
Выше было показано, что основной механизм развития неустойчивости на нелинейной стадии в слое смешения - субгармонический. Из общих соображений подобный механизм представляется возможным и для следа [С.Я. Герценштейн, Ю.М. Штемлер, 1977]. В работе Kelly [1968] было однако показано, что хотя для симметричного профиля принципиально и возможно резонансное взаимодействие нейтральных возмущений симметричной и антисим-метричной мод, коэффициент связи мод, вычисленный в рамках слабонелинейной теории типа теории Стюарта-Ватсона, тождественно равен нулю. Полученный в цитируемой работе при многочисленных весьма сильных предположениях негативный результат вряд ли можно считать окончательным и, кроме того, он не дает ответа на вопрос о том, как протекает нелинейная стадия развития неустойчивости в следе.
Развитие возмущений в течении типа следа за телом (точнее в течении с
профилем продольной скорости и = 1 - 0,7ехр(-0,9г/2)) изучалось ранее численно в [С.Я. Герценштейн и др., 1985]. Здесь был получен целый ряд интересных результатов. В частности, было установлено выделение длинноволновых составляющих спектра. Причем при нелинейном взаимодействии таких возмущений наибольшее нарастание наблюдается у их разностной составляющей. Важным представляется и обнаружение вторичной неустойчивости конечно-амплитудных волновых режимов к поперечным трехмерным возмущениям.
С точки зрения построения методов управления рассматриваемым течением необходимо исследовать механизмы нелинейной стадии развития неустойчивости отдельно каждой из мод и при их взаимодействии. Принципиальным является и вопрос о возможности вторичной неустойчивости, связанной с резонансным усилением двумерных субгармонических возмущений.
Цель данной работы заключалась в разработке моделей вихревых структур и методов моделирования нестационарных течений и изучении на их основе вихревой структуры потоков, в том числе - на стадии развития возмущений.
Работа состоит из шести глав, заключения, списка литературы и двух приложений.
В первой главе выводятся уравнения гидродинамики течений с винтовой симметрией и рассматривается класс течений с винтовыми вихревыми линиями. На основе решения, полученного В.Л. Окуловым [1993], проводится анализ трехмерных течений, индуцированных вихревой нитью винтовой формы при различных значениях определяющих параметров.
Вторая глава посвящена развитию моделей вихревых структур с винтообразной формой вихревых линий. Предложена модель винтовой вихревой пелены. Построены обобщенные модели колоннообразных винтовых вихрей, в том числе для случая вихря, движущегося вдоль плоскости. Разработана модель винтового вихря с ядром конечного размера. Уточнена структура поля завихренности в сферическом вихре Хикса.
В третьей главе развивается метод дискретных вихревых частиц с целью его применения для моделирования плоских отрывных и безотрывных нестационарных течений несжимаемой жидкости в ограниченных областях, а также на основе вариационного метода выводятся уравнения движения системы элементарных вихревых колец, предназначенных для описания осесимметричных течений без закрутки.
В четвертой главе развитым методом решается задача об отрывном обтекании кромки полубесконечной пластины при различном нестационарном набегающем потоке. На основе известного автомодельного решения производится тестирование метода. Изучается неустойчивость разгонного вихря и процессы образования на его фоне вторичных вихревых структур. Исследуется нелинейная стадия развития неустойчивости в плоском следе за пластиной. Основное внимание здесь уделено нелинейному взаимодействию основного и субгармонического возмущений симметричной и антисимметричной мод.
Глава V посвящена описанию и классификации вихревых структур, обра зующихся в закрученных потоках. Предложены новые интегральные характеристики для описания закрученных потоков — шаг винтовой вихревой структуры и скорость ее чисто поступательного перемещения вдоль оси. Проведена проверка существования винтовой симметрии в закрученных течениях. Для вихрей с прямолинейной осью установлена возможность существования композиции винтовых вихрей. Изучены причины образования левовинтовых- и правовинтовых вихрей в вихревых камерах. Установлена взаимосвязь явления прецессии вихревого ядра с вращающимся винтовым вихрем. Проведен анализ влияния структуры потока на энергоразделение в вихревой трубке Ранка и на форму пламени в закрученном потоке.
В шестой главе изучается движение вихрей в цилиндрических трубах. На основе развитого метода дискретных вихревых частиц решается задача о неустой-чивости положения прямолинейного вихря в трубе к возмущениям завихренности локализованным на окружности некоторого радиуса. Выводится формула для скорости самоиндуцированного движения винтового вихря в безграничном пространстве и в цилиндрической трубе. Получена формула для частоты прецессии винтового вихря в трубе. Исследовано движение системы соосных винтовых вихрей в трубе.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы. В приложении I приводятся примеры вычисления характерных размеров вихревых частиц различными способами. В приложении II дано доказательство теоремы о законе изменения вихревого импульса при отрывном обтекании пластины, используемого для оценки погрешности метода в п. 4.1 четвертой главы.
Гидродинамика течений с винтовыми вихревыми линиями
Пусть движение идеальной несжимаемой жидкости обладает винтовой симметрией, т.е. все характеристики течения зависят только от двух пространственных переменных г, х и удовлетворяют системе уравнений (1.6). Предположим, что во всей области течения что приводит к тождественному выполнению последнего уравнения системы (1.6). Это означает, что проекция скорости на касательные к винтовым линиям (1.1) пропорциональна B = (l + r2 //2)-1 2, то есть косинусу угла наклона винтовых линий относительно оси Oz. Кроме того, для рассматриваемого класса течений в соответствии с первым уравнением системы (1.6). можно ввести аналог функции тока vy, которая определяется через соотношения
Рассматриваемый класс течений можно условно назвать течениями с винтовой симметрией, которые характеризуются "однородным" движением вдоль винтовых линий. В соответствии с (1.5) для окружной и осевой компонент скорости в цилиндрической системе координат условие постоянства ив примет вид где постоянная щ определяет значение осевой компоненты скорости на оси течения. Разрешая (1.5) относительно щ и uz, получим с учетом (1.7) и (1.8)
Анализируя (1.8) и (1.9), можно заключить, что рассматриваемый класс течений только условно можно считать однородным. Действительно, компоненты скорости течения иг,и ,и2 могут принимать произвольные значения в пространстве при условии выполнения соотношения (1.8), связывающего всего лишь значения осевой и окружной компонент скорости. И только в предельном случае, когда / — со, а винтовые линии (1.1) становятся прямыми, осевая компонента скорости будет постоянной во всей области течения, т.е. uz = uQ И течение действительно станет однородным в направлении оси z. Впервые класс течений, удовлетворяющих условию (1.8), был введен в работах B.JI. Окулова [1993], Okulov [1995]. Одно частное решение из этого класса было применено для анализа горения [Borissov, Kuibin & Okulov, 1993] и энергетического разделения [Borissov, Kuibin & Okulov, 1994] в закрученных потоках в трубах. Наиболее полный анализ эффективности применения данного класса течений для описания реальных закрученных потоков был дан в работе Alekseenko et al [1999].
Рассмотрим особенности распределения завихренности в таких течениях. С этой целью запишем компоненты вектора завихренности в цилиндрических координатах
Из (1.10) следует равенство нулю радиальной компоненты поля завихренности и связь между осевой и окружной компонентами вектора завихренности
Условие (1.11) означает, что для данного класса течений вектор завихренности всегда направлен по касательной к винтовым линиям. Оказывается верным и об- ратное утверждение [В.Л. Окулов, 1993, Okulov, 1995]: если поле завихренности коллинеарно винтовым линиям, то будет выполняться условие (1.8). Действи- , тельно, если в течениях с винтовой симметрией на поле завихренности наложить условия (1.11), то после интегрирования первого уравнения из (1.11) с учетом определения сог получим ив = f{r). В соответствии со вторым условием (1.11) составим разность сое -гсог// = 0 и учтем (1.10) и (1.9). В результате получим f (r) = 0, т.е. ив = const. Таким образом, для данного класса выполнение условия (1.8), накладываемого на поле скорости, эквивалентно требованию коллинеарности поля завихренности с касательными к винтовым линиям (1.11). В таком случае рассматриваемый класс течений может быть еще назван течениями с полем завихренности, вектор которой направлен вдоль винтовых линий или просто течениями с винтовой завихренностью.
Третье уравнение в (1.10) можно представить как уравнение для определения функции тока ц/ по заданному распределению осевой компоненты завихренности сог
Для данного класса течений в соответствии с соотношениями (1.10) и (1.11) вектор завихренности может быть направлен только по касательной к винтовым линиям (1.1) и его можно полностью определить заданием только одной компоненты, например сог. Причем, как функция координат и времени, величина сог должна удовлетворять уравнению Гельмгольца, которое в винтовых переменных г и х сводится к одному скалярному уравнению
Исходя из (1.11), получим, что правая часть уравнения (1.13) равна нулю. Это означает, что осевая компонента завихренности не изменяется вдоль траектории жидкой частицы, а в стационарном случае сог является произвольной функцией только от функции тока у и явно не зависит от пространственных координат. Причем из-за существования соотношения (1.11) последнее утверждение не справедливо для окружной компоненты завихренности сое.
Следует отметить еще одно интересное свойство рассматриваемого класса течений с винтовой симметрией при "однородном" движении вдоль винтовых линий (1.8), которое можно получить, если рассмотреть движение в равномерно движущейся со скоростью щ вдоль оси z системе координат. В этом случае на основании (1.8), (1.9) и (1.10) поля скорости и завихренности примут соответственно вид:
Нетрудно проверить, что их скалярное произведение равно нулю, т.е. в некоторой инерциальнои системе отсчета поле скорости и завихренности ортогональны
в отличие от рассматриваемого ниже случая винтовых потоков. Тем самым завихренные течения с винтовыми вихревыми линиями принципиально от так называемых винтовых потоков (см., например, [Dritschel, 1991]), в которых векторы завихренности и скорости коллинеарны.
Далее будет рассмотрен базовый объект, необходимый для построения моделей вихревых течений с винтовой симметрией, - бесконечно тонкая винтовая вихревая нить. Но в отличие от безграничной области, где для описания вихревых нитей можно применять интеграл Био-Савара, будет изучаться винтовая нить в сосной цилиндрической трубе.
Колоннообразный вихрь с винтообразными вихревыми линиями, движущейся вдоль плоскости
В практических расчетах течений жидкости при больших числах Рей-нольдса в настоящее время с успехом применяются дискретные вихревые модели. Поскольку метод точечных вихрей не позволяет получать удовлетворительные результаты из-за сингулярности носителей завихренности, используются различные способы регуляризации. Выбор параметров регуляризации нередко малообоснован и слабо связан с физическими свойствами течения, что естественно, ухудшает аппроксимационные свойства моделей. В работах А.Н. Вере-тенцева, В.Я. Рудяка, Н.Н. Яненко [1982, 1985, 1986] был развит вариационный метод, позволяющий строить вихревые модели, не содержащие сингулярностей. Параметры вихревых частиц - их характерные размеры - определяются по начальным условиям. Метод расчета, основанный на построенных моделях был назван методом дискретных вихревых частиц, или сокращенно МДВЧ.
Модели, предложенные в упомянутых работах, пригодны лишь для описания безграничных течений. При разработке вихревых методов применительно к задачам обтекания тел и к задачам внутренних течений необходимо учитывать два обстоятельства: во-первых, уравнения движения должны удовлетворять условию непротекания на твердой границе; а во-вторых, в случае с отрывом, надо еще каким-либо образом моделировать генерацию завихренности. В более полной постановке учитывается и условие прилипания на поверхности тел. При этом вблизи поверхности решаются уравнения пограничного слоя и производится сращивание с внешним невязким течением [СМ. Белоцерковский и др., 1988].
Удобным методом, позволяющим учесть условие непротекания на поверхности тела произвольной геометрии, является метод присоединенных вихрей [СМ. Белоцерковский, М.И. Ништ, 1978]. Поскольку поверхность тела, обтекаемого невязкой жидкостью, является линией тангенциального разрыва скорости, то ее заменяют присоединенной вихревой пеленой, которую в свою очередь моделируют набором точечных вихрей. Само же условие непротекания ставится лишь в конечном числе контрольных точек, расположенных между вихрями. Вопрос о способе размещения присоединенных вихрей и контрольных точек и о выборе их числа наиболее полно изучен в работах Д.Н. Горелова [1980, 1990]. В отличие от обычно применяемого равномерного размещения (см. СМ. Белоцер-ковский, М.И. Ништ, [1978]), здесь предлагается находить положение контрольных точек из условия равенства в них скорости, индуцированной присоединенными вихрями, и скорости, индуцированной непрерывным вихревым слоем, что позволяет существенно повысить точность определения циркуляции сходящих вихрей или увеличивать шаг интегрирования по времени. Общая точность расчетов зависит и от числа присоединенных вихрей. Его увеличение ограничено возможностями ЭВМ - приходится решать системы линейных уравнений с большим числом неизвестных. По этой причине возникает сложность в применении метода присоединенных вихрей в задачах о движении завихренных областей вблизи протяженных границ (около плоскости, в канале и т.п.).
В то же время широкий класс задач позволяет применить методы теории функции комплексного переменного: отобразить область течения на более простую, например, на верхнюю половину комплексной плоскости, и ввести зеркально отраженную вихревую систему. Такой подход использовался в задачах о втекании жидкости в канал [В.А. Сабельников, Е.А. Смирных, 1985], об обтекании препятствия [Е.В. Власов и др., 1982; Evans & Bloor, 1977], об истечении струи [Shimizu, 1986] и др..
Генерацию завихренности в задачах обтекания тел с отрывом на острой кромке учесть легко: в соответствии с теоремой Томпсона (см. [Л.И. Седов, 1966]) циркуляция скорости по контуру, охватывающему тело и сходящие с него вихревые следы, не меняется со временем. Это условие дает уравнение для определения завихренности, сходящей с тела в поток. Именно такой подход используется в работах СМ. Белоцерковского, М.И. Ништа [1978]; К.П. Ильичева, СН. Постоловского [1972], В.Ф. Молчанова [1975]. Другие соображения приходится применять в случае, если задача содержит бесконечные или полубесконечные элементы: пластина, канал и т.п. В таких задачах обычно удается записать условие Жуковского-Кутта в явном аналитическом виде [В .А. Сабельников,
E.A. Смирных, 1985; Evans & Bloor, 1977; A.H. Веретенцев и др., 1989], которое и позволяет определить порождаемую завихренность. Именно такой подход используется в настоящей работе.
В отличие от плоских задач, моделирование двумерных течений другого класса - осесимметричных течений - с помощью вихревых методов наталкивается на дополнительную трудность, связанную с тем, что бесконечно тонкое вихревое кольцо имеет бесконечную скорость самоиндуцированного движения. Чтобы обойти эту проблему, используют различные приемы: исключают самоиндуцированную скорость из рассмотрения и учитывают лишь наведенную системой окружающих вихрей [М.А. Брутян, П.Л. Крапивский, 1984]; берут вместо одного два кольцевых вихря и приписывают им скорость, найденную в точке посередине между вихрями [СМ. Белоцерковский, М.И. Ништ, 1978]; вместо вихревых нитей берут вихревые трубки, радиус сечения которых определяет меру дискретности; внутри этих трубок скорость изменяется по линейному закону [СМ. Белоцерковский, А.С. Гиневский, 1995]. То есть, как и в плоских ограниченных течениях остается открытым вопрос о корректной регуляризации сингулярных носителей завихренности.
В данной главе вариационный метод, основы которого заложены в работах работах А.Н. Веретенцева, В.Я. Рудяка, Н.Н. Яненко [1982, 1985, 1986], позволяющий строить вихревые модели, обобщается для описания плоских отрывных течений и осесимметричных течений без закрутки.
Остановимся далее на выводе уравнений движения вихревых частиц для моделирования плоских течений в односвязных областях с возможностью отрыва на острых кромках. Следуя работе П.А. Куйбина [1993], рассмотрим плоское течение несжимаемой невязкой жидкости в области D, граница которой 3D имеет точку излома. Локально граница вблизи точки излома представляется в виде
клина с углом раствора р\ Введем в D декартовы координаты zu z2, выбрав начало координат на кромке клина, и соответствующую комплексную переменную z = Z\ + iz2 (і - мнимая единица). Пусть известно конформное отображение C,(z) области D на полуплоскость С, - С, х + гС, 2 {С, і 0). Граница 8D переходит при этом в линию С, 2 = 0. Без потери общности предположим, что (0) = 0. Отрыв течения будем моделировать сходом бесконечно тонкого вихревого слоя (вихревой пелены) с острой кромки. Представим поле завихренности со в виде суммы внешней завихренности сое (external), присутствующей в общем случае в потоке в начальный момент времени, и завихренности, генерируемой в результате отрыва cos (separated). Зная поле завихренности и функцию Грина оператора Лапласа для полуплоскости [B.C. Владимиров, 1976], известным образом находим функцию тока
МДВЧ для осесимметричных течений без закрутки
В отличие от плоских задач, моделирование двумерных течений другого класса - осесимметричных течений - с помощью вихревых методов наталкивается на дополнительную трудность, связанную с тем, что бесконечно тонкое вихревое кольцо имеет бесконечную скорость самоиндуцированного движения. Чтобы обойти эту проблему, используют различные приемы: исключают самоиндуцированную скорость из рассмотрения и учитывают лишь наведенную системой окружающих вихрей [М.А. Брутян, П.Л. Крапивский, 1984]; берут вместо одного два кольцевых вихря и приписывают им скорость, найденную в точке посередине между вихрями [СМ. Белоцерковский, М.И. Ништ, 1978]; вместо вихревых нитей берут вихревые трубки, радиус сечения которых определяет меру дискретности; внутри этих трубок скорость изменяется по линейному закону [СМ. Белоцерковский, А.С. Гиневский, 1995]. Рассмотрим здесь подход к построению вихревых методов для расчета осесимметричных течений, основанный на вариационном принципе, где движение системы элементарных кольцевых вихрей конечного сечения описывается уравнениями Гамильтона [А.Н. Веретен-цева, П.А. Куйбин, В.И. Меркулов, В.Я. Рудяк, 1986].
Будем изучать осесимметричное течение неограниченной несжимаемой жидкости, предполагая, что области локализации завихренности распространяются в окружающей невязкой жидкости. В этом случае течение можно описать с помощью функции тока, которая в цилиндрической системе координат (ст, ф, z) не зависит от ф и определяется выражением [Дж. Бэтчелор, 1973]
Чтобы получить уравнения движения дискретных вихревых частиц, разобьем исследуемую область завихренной жидкости В в плоскости лагранжевых переменных (GQ,Z0) на ячейки Ва (a = 1,...,N). Пусть D„ - образ ячейки Ва на плоскости эйлеровых переменных (a, z) в момент времени t, a Sa (t) - площадь данной области. Аппроксимируем завихренность ю(г, t) ступенчатой функцией
Представление (3.43) не удается непосредственно использовать для построения дискретной вихревой модели, так как неизвестен закон движения жидкости г ( , і) и поэтому неизвестен закон изменения со временем функций
Xa(r,t)/Sa(t). Можно показать, однако, что эти функции сходятся к 6 функциям, когда диаметры областей ) стремятся к нулю. Тогда для G N получается выражение X - функция распределения завихренности в вихревой частице а, координаты центра которой совпадают с центром соответствующей лагранжевои ячейки a = ("а, Za)- Интенсивности вихревых частиц Га не меняются со временем. В то же время, в отличие от плоской задачи, характерный размер частицы za(t) зависит от времени. Естественно полагать, что sa пропорционален площади лагранжевои ячейки, которая, в свою очередь, меняется таким образом, что объем занимаемой ею тороидальной области сохраняется.
Когда диаметр лагранжевои ячейки da - 0, параметр sa - 0. Используя этот факт, удается, как и в плоском случае [А.Н. Веретенцев, В.Я. Рудяк, Н.Н. Яненко, 1982], доказать слабую сходимость G N к со при iV-»co и d = max da - 0,
Здесь COJV и со рассматриваются как элементы пространства обобщенных функций, сопряженного пространству пробных функций ф [B.C. Владимиров, 1976].
Таким образом, функция со/у слабо аппроксимирует точное распределение завихренности со. Это позволяет, в частности, при достаточно большом числе вихревых частиц сколь угодно точно вычислять моменты поля завихренности.
Для вычисления лагранжиан дискретной модели L перейдем в (3.42) к эйлеровым переменным и заменим со на содг, согласно выражению (3.44). В результате получим
Чтобы получить в явном виде выражение для лагранжиана L , необходимо прежде всего конкретизировать функцию распределения завихренности %. Эта функция, как мы видели, должна слабо сходиться к б-функции. Потребуем также, чтобы полные потоки завихренности в дискретной и континуальной моделях были равны. Последнее условие выполняется, если функция х будет нормирована на единицу. Указанным требованиям удовлетворяет весьма широкий класс функций. Выбирая ту или иную функцию из этого класса, мы будем получать при достаточно большом числе вихревых частиц близкие результаты, поэтому конкретный выбор функции х в значительной мере определяется соображениями удобства. В частности, эта функция должна быть достаточно удобной при интегрировании. Выберем поэтому в качестве % следующую функцию: которую можно рассматривать как аналог гауссового распределения завихренности в плоской задаче. Здесь /0 - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Функция (3.47) слабо сходится при 8а- 0 к 5-функции и нормирована на единицу. Чтобы полностью определить функцию х необходимо еще задать тем или иным образом параметры єа. Если площади Sa достаточно малы, (для этого N должно быть достаточно большим), то Saoa = Saoa и, следовательно, єа - Иа ( а аа/аа) Коэффициенты ца определим из условия наилучшей ап проксимации поля завихренности в начальный момент времени.
Подставляя определенную таким образом функцию х в выражение (3.45), вычислим лагранжиан дискретной модели. Первое слагаемое в L можно вычислить с помощью процедуры, описанной в работе А.Н. Веретенцева, В.Я. Рудяка, Н.Н. Яненко [1982]. В результате оно сводится к выражению
Возьмем в качестве обобщенных координат и импульсов вихревых частиц величины za и ра = Га I аа + а) и будем рассматривать гамильтониан Н как функцию этих переменных. Тогда
Заметим, что ра с точностью до постоянного множителя совпадает с импульсом вихревой частицы (элементарного вихревого кольца), который равен прра.
Применяя к лагранжиану (3.48) вариационный принцип (3.41), получим уравнения Гамильтона, описывающие движение системы кольцевых вихрей
Чтобы использовать уравнения (3.49), необходимо иметь явное выражение для гамильтониана Ядг (3.46).
Неустойчивость следа за тонкой пластиной
Классическое течение, след за пластиной, реализующееся при ее обтекании под нулевым углом атаки, является наименее изученным сдвиговым течением. Такое течение имеет симметричный профиль скорости и характеризуется двумя неустойчивыми модами: симметричной и антисимметричной. Расчеты, выполненные в рамках линейной теории устойчивости показывают, что течение наиболее восприимчиво к антисимметричным (синусоидальным) возмущениям. Коэффициенты усиления синусоидальной моды примерно вдвое выше, чем у симметричной (варикозной). По этой причине наличием симметричной моды вообще пренебрегали. Вместе с тем в экспериментах обычно возбуждается возмущение, являющееся суперпозицией двух мод.
С другой стороны, ясно, что если на линейной стадии обе моды развиваются независимо, то на нелинейной - взаимодействие между ними будет существенно влиять на характер развития течения. Действительно, возмущение синусоидальной моды имеет антисимметричный профиль пульсаций продольной скорости их и симметричный профиль пульсаций поперечной скорости Vі и пульсаций завихренности ш . Поскольку же уравнения гидродинамики содержат квадратичную нелинейность, то ясно, что на нелинейной стадии будут генерироваться комбинационные возмущения разной четности и, следовательно, развитие возмущений на этой стадии определяется взаимодействием мод.
В данном параграфе приводятся результаты систематических расчетов развития неустойчивости в следе под действием заданных внешних возмущений. Изучается эволюция (линейная и нелинейная) возмущения данной частоты f каждой из мод, а также их взаимодействия. Большое внимание уделено исследованию неустойчивости следа под действием пары возмущений: основного и субгармонического. В расчетах в широких пределах варьировались амплитуды возмущений и их фазы.
Рассмотрим плоский ламинарный след за пластиной, расположенной параллельно потоку несжимаемой жидкости. Скорость течения представим в виде: и = щ+и , v = v , где щ(хуу) - невозмущенная скорость установившегося течения. Эту скорость будем считать известной и аппроксимируем ее функцией Щ =U - Аиехр( 0,6931у2/b2) [Nishioka, Miyagi, 1978], где иж - скорость набегающего потока. Дефект скорости Аи убывает с расстоянием х от задней кромки пластины по закону Aw = иж{АхЦ + 1)1/2, а полуширина следа Ь нарас тает Ь = /[0,6931 (4Л:// + 1)/Re] . Здесь / - длина пластины, Re = [/«, l/v - число
Рейнольдса. Ось х направлена вниз по потоку, а у - поперек, начало координат - на задней кромке пластины.
Будем в дальнейшем предполагать, что источник возмущений находится в окрестности задней кромки пластины. Это позволяет задавать возмущения завихренности a (Q,y,t) в сечении х = 0. В такой постановке задача может быть решена методом дискретных вихревых частиц, описанным выше. Поле пульсаций завихренности моделируется тогда набором дискретных вихревых частиц, уравнения движения которых имеют вид (см. (4.9)) где zk= xk+iyk,xk,yk - координаты центра k-той вихревой частицы. Nf - 2Nt - полное число сошедших с пластины вихрей, Nt - номер шага по времени. Циркуляции сходящих с пластины вихревых частиц определяются соотношением Г„ = Лх„/о гДе A w = д мо( «о) и М - длительность шага по времени, t = NtAt, а знаки "плюс" и "минус" относятся к частицам над и под пластиной.
Начальное положение вихревой частицы задается координатами хп0 = 0 и уп0 = /j // . Дисперсии частиц определяются из условия наилучшей аппроксимации сходящей на п -ом шаге завихренности и равны
Функцию (n (0,y,t) удобно выбрать таким образом, чтобы циркуляции вихревых частиц имели вид Тогда, если А = А и ф = (р , получаются возмущения симметричной моды (которую по форме следа называют варикозной), а при А = А , но (р - ф = TZ - антисимметричной (синусоидальной), f{ - частота вводимого возмущения. Таким образом, задача изучения развития неустойчивости в следе под действием заданных внешних возмущений сводится к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений (4.25). Система интегрировалась методом Рунге-Кутта второго порядка с равномерным шагом по времени АШ00// = 0,0625. Расчеты соответствуют числу Рейнольдса Re = 2,5-105 (ReQ = 443, Q = 0,5lyjn/Ke - толщина вытеснения) и выполнялись при числах Струхаля Stfe = fkв/их =0,015/&. Безразмерные амплитуды возмущений a A /QU варьировались в пределах от 0,281 до 2,81. В дальнейшем верхние индексы будем опускать, а безразмерные амплитуды антисимметричной и симметричной мод - обозначать соответственно ak и sk. /. Нелинейное взаимодействие возмущений одинаковой моды
В случае, когда в течение вводятся малые возмущения частоты f какой-либо одной моды, первичная неустойчивость будет развиваться именно на этой частоте. Типичные результаты расчетов приведены на рис. 4.13. Расчет течения проводился вплоть до расстояний х = x/Q = 600. При возбуждении антисимметричной моды наблюдается формирование синусоидального следа (рис. 4.13а, ах =2,81). На начальной линейной стадии развития возмущения форма возмущения остается синусоидальной, увеличивается лишь его амплитуда. Затем начинают проявляться нелинейные эффекты, форма возмущения перестает быть синусоидальной и формируется вихревая дорожка типа дорожки Кармана. Если в течении возбуждается возмущение варикозной моды, то его развитие приводит к формированию симметричной относительно осевой линии следа вихревой дорожки (рис. 4.136).
