Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Трансформация поверхностных гравитационных волн малой амплитуды над донным уступом в однородной жидкости 14
1.1 Введение 14
1.2 Строгая постановка задачи о трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом и е приближнное решение 17
1.3 Численное моделирование процесса трансформации поверхностных волн малой амплитуды 30
1.4 Анализ решения строгой задачи о трансформации поверхностных волн и сопоставление с результатами численных расчтов 35
1.5 Вывод и верификация аппроксимационных формул коэффициентов трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом 47
1.6 Заключение 53
Глава 2. Трансформация внутренних гравитационных волн малой амплитуды над донным уступом в двухслойной жидкости 55
2.1 Введение 55
2.2 Строгая постановка задачи о трансформации линейных внутренних волн над донным уступом и е приближнное решение 56
2.3 Численное моделирование процесса трансформации внутренних гравитационных волн малой амплитуды 71
2.4 Анализ решения строгой задачи о трансформации внутренних волн и сопоставление с результатами численных расчтов 78
2.5 Вывод и верификация аппроксимационных формул коэффициентов трансформации линейных внутренних волн над донным уступом 95
2.6 Заключение 103
Глава 3. Динамика сильно нелинейных уединнных внутренних волн в квазидвухслойной жидкости 105
3.1 Введение 105
3.2 Описание лабораторного эксперимента и численной модели 106
3.3 Анализ полей течений в уединнной внутренней волне 111
3.4 Форма уединнной волны 116
3.5 Траектории жидких частиц 120
3.6 Заключение 121
Список литературы 125
- Численное моделирование процесса трансформации поверхностных волн малой амплитуды
- Вывод и верификация аппроксимационных формул коэффициентов трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом
- Численное моделирование процесса трансформации внутренних гравитационных волн малой амплитуды
- Анализ полей течений в уединнной внутренней волне
Численное моделирование процесса трансформации поверхностных волн малой амплитуды
Проблема трансформации поверхностных волн над донным уступом известна достаточно давно, так как имеет большое практическое значение. Пионером в изучении закономерностей трансформации волн над донным уступом является Г. Лэмб, который в монографии [Лэмб, 1947] (издание на русском языке) представил формулы коэффициентов отражения и прохождения для длинных волн из предположения непрерывности давления и потока на границе ступеньки.
Строго рассматриваемая задача была сформулирована Бартоломеушем [Bartholomeusz, 1958] для линейных поверхностных волн произвольной длины. Так, на границе уступа должны быть записаны строгие равенства горизонтальной и вертикальной составляющих скоростей, соответствующих бегущим волнам и счтному набору прижатых мод. На основе теории волногенератора Хэвелока [Havelock, 1929] (о волногенераторе Хэвелока см. так же [Martin, 1992]) он вывел интегральное уравнение, которое решил в приближении длинных волн, обосновав тем самым правильность формул Лэмба. В дальнейшем в том или ином виде этот подход был повторн в работах Ньюмана [Newman, 1965a; Newman, 1965b] для волн на глубокой воде и Майлса [Miles, 1967] для волн в жидкости конечной глубины. И хотя результаты Ньюмана были сравнены с лабораторными измерениями, условия лабораторных экспериментов оставляли место для критики, так как были выполнены в условиях бассейна конечной глубины. Майлс, в свою очередь, получив систему из бесконечного числа линейных алгебраических уравнения относительно коэффициентов трансформации, решил е без учта нераспространяющихся мод и показал, что коэффициент прохождения определяется с максимальной ошибкой в 5% для бесконечно глубокой жидкости. Подход Бартоломеуша впоследствии был повторн в работе Жермена [Germain, 1984] также для длинных волн. Похожий метод для вычисления коэффициентов трансформации, основанный на сшивке полного набора мод на границе уступа, был предложен Такано [Takano, 1960; Takano, 1967] для волн произвольной длины. С точки зрения аналитических вычислений он оказался несколько проще, чем у других авторов, так как исключал необходимость выводить промежуточное интегральное уравнение, а позволял практически сразу переходить к системе из бесконечного числа линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов отражения и прохождения. Впоследствии модифицированный подход Такано был применн Масселем [Massel, 1983; Massel, 1989] как для первой, так и для второй гармоники падающей волны. Что касается верификации представленных решений, то фактически единственные результаты в этом отношении опубликованы в работе Ньюмана [Newman, 1965a], где автор представил данные своих лабораторных экспериментов, о которых говорилось чуть выше. Впоследствии обзор работ Бартоломеуша, Ньюмана и Майлса был представлен в книге [Dingemans, 1997].
Существуют и другие работы, где используются вариации подхода Бартоломеуша для вычисления коэффициентов трансформации линейных поверхностных волн над донными неоднородностями. Например, решение задачи о преодолении подводного или приповерхностного блоков конечной ширины и длины волной с малой амплитудой можно найти в работах Масселя [Massel, 1989], Тубилевич-Витковской [Tubielewicz-Wikowska, 1965], Мея и Блэка [Mei, Black, 1969], Гаррета [Garrett, 1971], Рея и др. [Rey et al., 1992]. Здесь, однако, эти работы рассматриваться не будут.
Ввиду сложности расчтов в рамках строго похода и трудности анализа получаемых результатов до сих пор предпринимаются попытки получить простые приближнные формулы, способные с достаточной точностью предсказать амплитуды прошедших на ступеньку и отражнных от не волн произвольной длины. Некоторые из них предложены в работах Крылова [Крылов, 1949], Майлса [Miles, 1967], Маршала и Нагди [Marshall, Naghdi, 1990], Виссера [Visser, 2004], Свендсена и Джонсона [Svendsen, Jonsson, 1976]. Тем не менее, в связи с аппроксимационным характером этих формул, они требуют тщательной верификации, что большинством авторов сделано не было. Исключение составляют формулы Майлса и Маршала и Нагди, которые подверглись сравнению с результатами Ньюмана, построенными для волн на глубокой воде. Первый случай будет рассмотрен в 1.5. Что касается формул Маршала и Нагди, то наилучшая аппроксимация наблюдается только для коэффициента отражения, в то время как графики коэффициента прохождения содержат большие погрешности, из-за чего, вероятно, авторы их и не сравнивали с формулами Ньюмана. Анализ показал, что формулы Виссера, а также Свендсена и Джонсона справедливы только в приближении длинных волн. В случае волн произвольной длины они содержат большие ошибки вплоть до нескольких сотен процентов для существенных значений коэффициентов трансформации.
При рассмотрении процесса трансформации поверхностных волн с конечной амплитудой коэффициенты трансформации могут рассматриваться только вблизи ступеньки, так как за уступом для волны в более мелкой области нелинейные эффекты проявляются на меньших расстояниях, в результате возмущение может сильно изменять свою форму [Пелиновский, 1977; Пелиновский, 1996]. Так, в рамках нелинейных уравнений мелкой воды формулы Лэмба были уточнены в работе [Mirchina, Pelinovsky, 1992]. Для солитонов классического уравнения Кортевега – де Вриза (КдВ) амплитуды трансформированных волн можно вычислить с помощью формул Лэмба. Тогда, принимая, что формы прошедшей непосредственно на уступ и отражнной от него волн не меняются, Пелиновский и др. определили количество и амплитуды вторичных солитонов [Pelinovsky et al., 2010]. Свои результаты они подтвердили серией численных экспериментов в рамках слабо нелинейных моделей и в рамках исходных уравнений гидродинамики. Результаты численного и лабораторного моделирования по трансформации солитонов как на уступе, так и над ограниченным блоком, можно найти, например, в работах [Chang, Hsu, Liu, 2001; Chang et al., 2005; Lin, 2004; Liu, Cheng, 2001; Losada et al., 1989; Seabra-Santos et al., 1987].
В данной главе исследуется трансформация волн малой амплитуды над донным уступом. Возмущения рассматриваются с произвольной длиной волны на поверхности однородной жидкости при распространении как из более глубокой области в более мелкую область, так и в обратном направлении.
Как видно из представленного обзора литературы, строго сформулированный подход широко использовался во многих опубликованных работах. В данной диссертации этот же подход применяется для получения коэффициентов трансформации поверхностных волн, графики которых сравниваются с результатами прямого численного моделирования трансформации квазимонохроматического волнового пакета над донным уступом. Результаты численного моделирования также сравниваются с выведенными в диссертации формулами изменения характерной ширины огибающей квазимонохроматических волновых пакетов. Для оценки коэффициентов отражения и прохождения волн произвольной длины в этой же главе предложены упрощнные аппроксимационные формулы.
До сих пор не были исследованы несколько важных аспектов трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом. Среди них влияние количества учитываемых прижатых мод на точность решения в рамках строгого подхода. Исключение составляет работа Ньюмана [Newman, 1965a], в которой автор рассмотрел сходимость метода, но только для волн на глубокой воде. Кроме того, не были рассчитаны коэффициенты возбуждения прижатых к уступу мод. Представляется интересным выяснение влияния этих мод на смещение свободной поверхности вблизи уступа. Для волн произвольной длины трансформация фазы волны также не была ранее рассмотрена.
Задача о трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом в данной главе рассмотрена в три этапа: 1) решение строго поставленной задачи, 2) вывод и верификация простых аппроксимационные формул коэффициентов трансформации, 3) численное моделирование и сопоставление полученных данных с решениями, полученными в рамках строго и приближнного подходов.
Вывод и верификация аппроксимационных формул коэффициентов трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом
Задача о трансформации внутренних волн представляет несомненный прикладной интерес. Однако она не так полно исследована, как случай поверхностных волн, рассмотренный в предыдущей главе. В линейном приближении формулы коэффициентов трансформации длинных внутренних волн в двухслойной жидкости (формулы Лэмба) были впервые представлены в работе [Grimshaw et al., 2008] в буссинесковском приближении. Безотражательное прохождение длинных линейных волн на шельф было впоследствии рассмотрено в работе [Talipova, Pelinovsky, 2011]. В строгом виде для волн малой амплитуды и произвольной длины задача о трансформации внутренних волн над донным уступом до настоящего момента не рассматривалась. Однако схожий подходу Бартоломеуша [Bartholomeusz, 1958] – метод сшивки решения на границе донной неоднородности – был применн в работе [Абрамян и др., 1998] для решения задачи о колебании подводного штампа в двухслойной жидкости со свободной верхней границей. Основанные на методе геометрической оптики исследования процесса возбуждения, распространения и эволюции полей линейных внутренних волн в неоднородных и нестационарных стратифицированных средах представлены в работах [Булатов, Владимиров, 2010; Булатов, Владимиров, 2012; Булатов, Владимиров, 2013].
Значительно больше исследований посвящено трансформации внутренних слабо и сильно нелинейных волн. В работе [Djordjevic, Redekopp, 1978] для волн, распространяющихся из глубокой области в мелкую область, преодолевая шельфовый откос – плавный подъм дна, в рамках классического уравнения КдВ впервые получен закон расщепления солитона в чисто двухслойной жидкости. Этот закон позволяет определить количество прошедших на шельф уединнных волн. Численное решение задачи о трансформации солитонов внутренних волн над реальным шельфом продемонстрировано, например, в работах [Талипова, Пелиновский, 2013; Grimshaw et al., 2004; Grimshaw et al., 2010] в рамках расширенного уравнения КдВ с переменными коэффициентами.
Для волн малой, но конечной амплитуды коэффициенты трансформации могут рассматриваться только вблизи ступеньки. В таком случае, если принять нелинейность слабой, то для вычисления амплитуд прошедших и отражнных внутренних волн вблизи уступа можно воспользоваться формулами Лэмба. Это было сделано в работе [Grimshaw et al., 2008]. На основе этого подхода получены формулы, определяющие амплитуды и количество отражнных и прошедших вторичных солитонов в рамках уравнения классического Кортевега - де Вриза. Было показано, что в отражнной волне могут существовать не более одного солитона, а в прошедшей волне формируется как минимум одна уединнная волна. Трансформация солитонов уравнения Гарднера в двухслойной среде было аналитически и численно исследовано в работе [Grimshaw et al., 2008]. Сравнение результатов численного моделирования трансформации внутренних гравитационных волн над донным уступом в двухслойной жидкости в рамках уравнения Гарднера и нелинейной системы уравнений представлены в работах [Maderich et al., 2009; Maderich et al., 2010; Talipova et al., 2013]. Полученные результаты продемонстрировали хорошее согласие только для малых амплитуд исходных возмущений.
Результаты лабораторного моделирования процесса трансформации нелинейных внутренних волн в двухслойной стратифицированной жидкости можно найти, например, в следующих работах: [Chen et al., 2007b; Chen et al., 2007c; Helfrich, Melville, 1986] для шельфового склона с различным углом наклона и [Wessels, Hutter, 1996] для пирамидальной подводной ступеньки.
Таким образом, остатся неисследованной важная часть проблемы о трансформации внутренних волн над донным уступом - это случай волн произвольной длины и малой амплитуды на границе раздела двух жидкостей с произвольным соотношением плотностей. В рамках данной главы будет представлено решение этой задачи для волн, распространяющихся как из мелкой области в более глубокую область, так и в обратном направлении. Как в главе 1 для поверхностных волн, задача о трансформации внутренних гравитационных волн малой амплитуды над донным уступом будет рассмотрена в три этапа: 1) решение строго поставленной задачи, 2) вывод и верификация аппроксимационных формул коэффициентов трансформации, 3) численное моделирование и сопоставление полученных результатов с результатами, полученными на этапах 1) и 2).
Результаты, представленные в этой главе, опубликованы в работах [СЗ; С5; С14; С15; С16]. Строгая постановка задачи о трансформации линейных внутренних волн над донным уступом и её приближённое решение
В этом параграфе будет сформулирована задача о трансформации линейных внутренних гравитационных волн над донным уступом. Затем будет найдено е решение как в случае приближения длинных волн, так и для волн произвольной длины.
На рисунке 2.1 представлен процесс трансформации внутренней волны в чисто двухслойной среде, сверху ограниченной тврдой крышкой, а снизу - непроницаемым дном. Гармоническая волна бесконечно малой амплитуды и произвольной длины набегает на непроницаемый и неподвижный подводный уступ с вертикальной лицевой гранью. В результате е взаимодействия со ступенькой генерируются отражнное в 1 (1 = 10 U 11) и прошедшее в 2 (2 = 2 U 2 ) возмущения. При этом верхняя и нижняя жидкости являются однородными с плотностью p0 P1 соответственно. Верхняя и нижняя жидкости также принимаются невязкими, несжимаемыми и не подверженными перемешиванию, а течение в них не ограничены по предполагается потенциальным. Расчтные области на рисунке 2.1 горизонтали. Рис. 2.1 Схема расчётной области и процесса трансформации внутренних волн над донным уступом в двухслойной жидкости, где Qj = Qj UQ/ и Q2 = Q2 U Q2
Начало координат на схеме рисунка 2.1 размещено на уровне невозмущнной границы раздела жидкостей (интерфейсе), непосредственно над вертикальной стенкой ступеньки. Будем руководствоваться решениями, полученными в работах [Бреховских, Гончаров, 1982; Ландау, Лифшиц, 1986; Лэмб, 1947] для внутренних волн в двухслойной жидкости над ровным дном. В рассматриваемой задаче (рис. 2.1) потенциалы течений в соответствующих областях жидкости будут удовлетворять следующим уравнениям и граничным условиям:
Численное моделирование процесса трансформации внутренних гравитационных волн малой амплитуды
Как и ожидалось, согласие с формулами Лэмба (2.29) наблюдается при к = 0.1, а небольшие отклонения имеют место только при больших перепадах глубин h2/h 10. Аналогичная ситуация наблюдалась при изучении трансформации поверхностных волн.
Для коэффициентов трансформации внутренних также обнаружен эффект, когда коэффициент прохождения обращается в единицу не только при h2/h1 = 1, но и при некоторых других значениях h2/h1 (при h2/h1 1 на рис. 2.12). Это соответствует случаю прохождения возмущения через уступ без изменения амплитуды. При этом коэффициент отражения не обращается в ноль, а длина прошедшей волны не совпадает с длиной падающего импульса (рис. 2.11). На основе формулы (2.33), полученной в 2.2.3 из закона сохранения потока энергии, коэффициент отражения при этом удовлетворяет следующему соотношению:
Для коэффициентов трансформации внутренних гравитационных волн характерен безотражательный режим, когда Щ 0 и Т0 1, а волновое число прошедшей волны практически не меняется. Из рисунков 2.12 видно, что этот эффект в общем случае свойственен коротким волнам даже для h2/h1 1. Если пикноклин расположен близко к верхней границе расчтной области, то безотражательное прохождение фактически наблюдается для всего диапазона рассматриваемых волновых чисел падающего возмущения.
При анализе зависимости коэффициентов трансформации от положения границы раздела жидкостей выявлено, что чем выше располагается интерфейс, тем слабее происходит трансформация. Особенно это сказывается на длинных волнах (к = 0.1) и волнах средней длины (к = 1), а также для случая распространения волн из более мелкой области в более глубокую область (см. рис. 2.12а, h2/h1 1). аналитические расчты, хорошо работает для исследования трансформации внутренних гравитационных волн как в рамках строго подхода, так и при численном моделировании. Очевидно, это приближение стоит использовать в том случае, если исследователя интересует внутренняя мода исходного возмущения, в противном случае нужно учитывать свободные колебания верхней границы. Все представленные далее результаты численных расчтов получены с помощью модели с тврдой крышкой на поверхности.
Проанализируем зависимость коэффициентов трансформации R0 и T0, от перепада плотностей верхней и нижней жидкостей a. Представленные выше результаты численных расчтов, а также решения системы линейных уравнения (2.25) – (2.26) приведены для двухслойной жидкости в приближении Буссинеска a = 0.9961, что соответствует реальной стратификации «пресная вода – солная вода». На графиках рисунка 2.14 представлено сравнение результатов тех же численных расчтов при a = 0.9961 (рис. 2.12) и решений системы уравнения (2.25) – (2.26) для соотношения плотностей «машинное масло – чистая вода», когда a = 0.737. Как видно, отличия между графиками и расчтными точками минимальны. Наибольшие изменения по сравнению с графиками рисунка 2.12 наблюдаются для длинных волн ( = 0.1) и волн средней длины ( = 1) при h0/h1 = 0.1 (интерфейс располагается близко к тврдой крышке).
Анализ коэффициентов трансформации при различных соотношениях плотностей показал, что заметные изменения наблюдаются только при a 0.6, когда приближение Буссинеска перестат действовать. Особенно сильно они проявляются для случая, когда граница раздела жидкостей располагается ближе к тврдой крышке. Таким образом, когда соотношение плотностей верхней и нижней жидкостей мало a = 0.0012 (соответствует среде «воздух - вода»), коэффициенты трансформации описывают случай, рассмотренный в предыдущей главе 1 для чисто поверхностных волн (рис. 2.15).
Рассмотренные выше особенности коэффициентов трансформации R0 и T0 как функций волнового числа исходной волны , перепада глубин h2/h1 и положения интерфейса h0/h1 можно проследить на рисунке 2.16. На нм представлены коэффициенты отражения и прохождения для целого диапазона волновых чисел и соотношения глубин: 0.1 10 и 10-2 h2/h1 102, вычисленные на основе системы уравнений (2.25) – (2.26) при N = 200. Чрными кривыми представлены изолинии соответствующих уровней.
На рисунке 2.16а видно, что безотражательное прохождение (R0 0 и Т0 1) свойственно практически для всего диапазона рассматриваемых волновых чисел исходного возмущения . Однако близкое к донной поверхности расположение поверхности раздела жидкостей (рис. 2.16б, A0/A1 = 10) ограничивает безотражательный режим волновыми числами на полуплоскости 3, как это было в случае с поверхностными волнами.
На рисунках 2.16бв видны малозаметные локальный максимум коэффициента прохождения Т0 при 100 и h2/h 1 и локальный минимум, заключнный между изолинией Г0 = 1 и изолинией h2/h = 1 при 1 и h2/h 1. На рисунке 2.16а, который соответствует близкому к тврдой крышке расположению интерфейса, они сглаживаются из-за слабой трансформации.
Изолинии 70 = 1 на рисунке 2.16, соответствующие случаю прохождения исходного возмущения через уступ без изменения амплитуды, отдельно представлены на рисунке 2.17а, а соответствующий коэффициент отражения изображн на рисунке 2. 17б.
Как видно, минимальное значение волнового числа падающей волны, при котором наблюдается этот эффект, зависит от положения интерфейса h0/h1. При VM = 0.1 эффект имеет место для 0.793, при VM = 1 - для 0.765 и при A0/Л1 = 10 - для 0.544. Асимптотическое поведение коэффициента отражения для рассматриваемого диапазона волновых чисел падающей волны имеет место только при h0/h1 = {1, 10}. 2.4.1 Верификация формул, связывающих коэффициенты прохождения и отражения внутренних волн на основе законов сохранения энергии
Проверим, насколько полученные коэффициенты трансформации удовлетворяют закону сохранения потока энергии. Для этого вычислим функцию F(R, T) (2.34), приведнную в 2.2.3, которая в случае выполнения закона сохранения потока энергии тождественно равна единице. На рисунке 2.18 представлены графики функции F(R, T) при h0/h1 = {0.1, 1, 10} и a = 0.9961 для коэффициентов отражения и прохождения, вычисленных с помощью систем уравнений (2.25) – (2.26) (цветные линии для N = 500 и линии серого оттенка для N = {0, 5, 10, 20}) и в численной модели (символы «»).
Анализ полей течений в уединнной внутренней волне
Для вычисления значения переменных системы уравнений (3.1) на следующем шаге по времени в программном комплексе используется метод давления [Chorin, 1968] (проекционный метод). Для задания вертикальной сетки применяется z -координата z = h(x)(z – )/(h(x) + ), повторяющая возмущение свободной поверхности, спадающее с уменьшением расстояния до донной поверхности. Пространственная дискретизации уравнений (3.1) осуществляется методом конечных объмов.
Отклонение плотности от среднего значения в модельной области задавалось следующим образом: где первая строчка задат вертикальный профиль плотности слева и справа от ворот, а вторая -горизонтальный профиль на месте извлечнных ворот; т 10"6 м - малая величина, hOL = hov+ h0. Как видно из формулы (3.8), на месте перегородки G задавался размытый пикноклин с характерной шириной Ag, соответствующий небольшому перемешиванию жидкостей в результате извлечения негладких ворот. При этом скачок на свободной поверхности в начальный момент времени задавался в виде ступенчатой функции:
Таким образом, начальные условия в численной модели полностью соответствовали схеме, изображнной на рисунке 3.1. Исключение составляют ворота G, вместо которых задавался профиль вида (3.8).
Далее результаты лабораторных измерений и численных расчтов приведены в безразмерном виде: х = x/Lx , z = zj\ , - горизонтальная и вертикальная координаты, t = іс І\ - время, fj = rj/h0 - смещение свободной поверхности = СІК - вертикальное смещение пикноклина, и = и/с0 - горизонтальная составляющая скорости, w = w/c0 - вертикальная составляющая скорости, со = 0.0974 м/с - характерная скорость распространения внутренних волн (эта величина рассчитана из линейной теории длинных волн для данной стратификации), 3 = (o/Lx - ширина солитона на уровне половины от максимального значения, р = р/ pref плотность, нормированная на среднее значение pref = (fii+ Pi)/2- Символы тильда далее опускаются.
Размер пространственной сетки был следующим: х = 0.0064 м, z = 0.0013 м. Шаг по времени выбирался так, чтобы коэффициенты Куранта-Фридрихса-Леви для горизонтальной и вертикальной составляющих скоростей си = \u\At/Ax, cw = wAt/Az не превышали значений 0.05 в течение всех расчтов. (t = 0.0125 с).
После короткого переходного периода (t 30) в численном лотке рождалась уединнная волна отрицательной полярности. В момент времени ґ = 75.6 (центр солитона располагался в точке х = 0.66) е профиль уже вполне сформирован (рис. 3.2). Очевидно, что наблюдается хорошее согласие между лабораторной и расчтной формой волны.
Траектории движения уединнной внутренней волны в пикноклине (0 и возмущения свободной поверхности (rf) показаны на рисунке 3.3 в виде x диаграмм соответствующих смещений. Как видно из рисунка, внутренняя волна движется с постоянной скоростью к правой границе численного лотка, а затем отражается от не. На рисунке 3.36 также видны слабые полосы, соответствующие дисперсионному пакету, движущемуся за уединнной волной и растягивающемуся со временем.
Отметим, что если полярность уединнной внутренней волны отрицательна в термоклине, то на свободной поверхности она проявляется в виде волны возвышения (е амплитуда примерно 1% от амплитуды волны в пикноклине), как это и следует из линейной и слабо нелинейной теории [Пелиновский, 1982].
На поверхности кроме «следа» внутренней волны (тмная широкая линия на рисунке 3.3а), также видно быстро распространяющуюся собственно поверхностную волну, которая только за время зарождения внутреннего солитона успевает добежать до правой границы лотка и обратно (тонкая линия на рисунке 3.3а). Отметим, что в описании лабораторного эксперимента [Carr, Davies, 2006] не упоминаются поверхностные эффекты, но, наиболее вероятно, они присутствовали в лотке. Поскольку амплитуда поверхностного возмущения очень мала, то оно практически не оказывает влияния на динамику внутреннего солитона.
На рисунке 3.4а изображена эволюция поля плотности в момент времени t = 75.6, а также вертикальный профиль плотности до и после прохождения уединнной волны (рис. 3.4б). Отметим изменение вертикального профиля плотности после прохождения внутренней волны (рис. 3.4б) (на рисунке 3.4а пунктирными линиями отмечены точки, где в численной модели измерялся соответствующий профиль). Как известно в рамках линейной теории, после прохождения уединнной волны стратификация должна вернуться в начальное состояние, поэтому наблюдаемое изменение связано либо с диспергирующим пакетом, либо с нелинейными эффектами. Здесь же показана эволюция поля горизонтальной скорости при прохождении внутренней волны (рис. 3.4в). Как и следовало ожидать, под впадиной скорость отрицательна, а над ней положительна.
Возмущение поля плотности, (б) вертикальный профиль плотности до и после прохождения солитона, (в) поле горизонтальной скорости в момент времени t = 75.6.
Чрными кривыми на рис. 3.4в обозначены изолинии нулевой скорости. Особо необходимо отметить наличие изолинии нулевой скорости в придонном слое за уединнной волной, под которой горизонтальная скорость принимает положительный знак. В этом слое, называемом «реверсивный поток», частицы жидкости двигаются в том же направлении, что и солитон. Подробный анализ этого эффекта будет приведн далее.
Более точное сопоставление данных численного расчта и лабораторного эксперимента дано на рисунке 3.5, где показано смещение пикноклина в фиксированной точке х = 0.66. Здесь же приведены результаты расчтов, выполненных с помощью модели BOM [Thiem et al., 2011]. В обеих численных моделях амплитуда полученного возмущения на 14-15% превышает лабораторное значение. Однако длительность солитоноподобной волны в MITgcm за счт подбора турбулентной вязкости и придонного трения очень хорошо согласуется с лабораторным экспериментом, в отличие от модели ВОМ. Стоит отметить, что в модели ВОМ горизонтальный и вертикальный коэффициенты вязкости принимали значения AhBOM = 5 10 5 м2/с и AVB0M = 1x10 "6 м2/с, в то время как в MITgcm из многих экспериментов были выбраны Ампёст = 5х10 -4 м2/с и шт6ст = 75х10-б м2/с (таблица з.2). Таким образом, соответствующее увеличение диссипативных коэффициентов привели к уменьшению ширины солитона, что, в свою очередь, позволило добиться лучшего согласия с лабораторными данными.
