Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Построение поверхностей тока с использованием замыкающих экстремальных характери стических поверхностей 13
1.1. Постановка вариационной задачи 13
1.2 Использование метода неопределенной контрольной поверхности для получения необходимых условий экстремума 19
1.3. Численное решение задач с данными на волновых характеристических поверхностях различных семейств. Примеры расчетов 27
Глава 2. Схема метода пространственных характеристик прямого типа в координатах 39
2.1. Расчетные формулы метода пространственных характеристик с использованием бихарактеристических соотношений 39
2.2. Расчет пространственного течения разрежения с использованием двух схем метода пространственных характеристик. Сравнение схем 46
Глава 3. Профилирование сверхзвуковых частей пространственных сопел с звездообразными формами замыкающих характеристических поверхностей 50
3.1. Постановка вариационной задачи 50
3.2. Необходимые условия экстремума и их анализ 53
3.3. Цримеры расчета сверхзвуковых частей пространственных сопел с равномерным потоком на выходе 61
Заключение 71
Литература 73
- Использование метода неопределенной контрольной поверхности для получения необходимых условий экстремума
- Численное решение задач с данными на волновых характеристических поверхностях различных семейств. Примеры расчетов
- Расчет пространственного течения разрежения с использованием двух схем метода пространственных характеристик. Сравнение схем
- Цримеры расчета сверхзвуковых частей пространственных сопел с равномерным потоком на выходе
Введение к работе
Определение оптимальных аэродинамических форм при заданных ограничениях - одна из важнейших проблем современной аэродинамики. В настоящее время существуют различные подходы к ее решению. В последние годы широкое распространение получили прямые методы оптимизации. С их помощью к настоящему времени решен целый ряд задач оптимизации аэродинамических форм [l0,14,21,56,63,65,68) . Однако, успехи, достигнутые в этом направлении, не могут заменить необходимости исследования структуры оптимальных решений с привлечением необходимых условий экстремума. Широкое распространение в таких исследованиях получили метод А.А.Никольского ж общий метод множителей Лагранжа.
Вариационные задачи сверхзвуковой газовой динамики, как задачи оптимизации систем с распределенными параметрами, в рамках точных и линеаризированных уравнений начали рассматриваться с 50-х годов. В это время для решения двумерных оптимальных задач был предложен метод А.А.Никольского [40] , связанный с переходом к контрольному контуру (в трехмерном случае переход осуществляется к контрольной поверхности). С помощью этого подхода была решена серия двумерных оптимальных задач газовой динамики [3I,50,55J . Отметим, что метод А.А.Никольского позволяет свести двумерную задачу оптимизации к одномерным задачам оптимального управления (искомыми являются функции, определенные на контрольном контуре). Правда, после того, как искомые функции определены на контрольном контуре, для определения формы оптимального тела приходится все же решать двумерную задачу с данными на характеристиках - за- дачу Гурса *3j * Следует отметить, что при некоторых ограничениях формулировка вариационных задач в рамках метода контрольного контура невозможна. Необходимость учета таких ограничений привела к разработке общего метода множителей Лагранжа, рассматривающего плоские и оеесимметричные вариационные задачи газовой динамики, как двумерные задачи оптимального управления. Разработка этого подхода осуществлена К.Г.Гудерлеем, Д.В.Армитейджем и А.Н. Крайко [19,30,31] .
При решении вариационных задач газовой динамики с использованием метода контрольного контура необходимо учитывать дополнительные ограничения. В качестве таких ограничений выступают со -отношения, определяющие геометрию контрольного контура, и дифференциальные соотношения, связывающие между собой искомые функции на контрольном контуре. Для характеристического контрольного контура такими соотношениями являются условия характеристических направлений и условия совместности, связывающие газодинамические параметры на характеристиках. Естественно, что эти условия, являющиеся дополнительными ограничениями, должны учитываться при построении расширенного функционала с помощью множителей Лагранжа [55J . Однако Pao [67J не учел эти дополнительные ограничения и, тем не менее, получил правильные соотношения, определяющие экстремальный контрольный контур. Правильный окончательный результат, полученный в [67J , является, в известной мере, случайным [4,62]. Обоснованием подхода Рао является метод неопределенного контрольного контура, предложенный А.Н.Крайко [Зі] . Примеры использования метода неопределенного контрольного контура для решения двумерных вариационных задач газовой динамики даны в работах [47,48] .
Пространственные вариационные задачи сверхзвуковой газовой динамики начали рассматриваться во второй половине 50-х годов. Первыми работами в этом направлении явились работы М«Н.Когана [28] и Ю.Л.Шилина [22J . В этих работах с помощью метода контрольной поверхности в рамках линеаризированных уравнений газовой динамики были рассмотрены задачи об определении поверхностей крыльев минимального волнового сопротивления при заданной подъемной силе. Для некоторых типов крыльев авторам этих работ удалось аналитически определить форму экстремальных замыкающих характеристических поверхностей и распределение газодинамических параметров на них, что в конечном счете позволило определить экстремальные значения волнового сопротивления рассматриваемых крыльев. Однако, определить формы поверхностей крыльев, при обтекании которых реализуется течение с экстремальным волновым сопротивлением, авторам работ [22,28J не удалось, поскольку для этого необходимо было решить трехмерную задачу для волнового уравнения с данными на характеристических поверхностях различных семейств. Именно после решения этой задачи определяется искомая форма крыла. Аналогичные вариационные задачи рассматривались также Жерменом [бі] .
Следует отметить, что трудности в решении задач для уравнений газовой динамики с данными на характеристических поверхностях обусловлены, главным образом, принципиальными отличиями сверхзвуковых пространственных течений от аналогичных им плоских или осесиммет-ричных течений. Так, например, несмотря на кажущуюся на первый взгляд схожесть постановок пространственных и аналогичных им двумерных задач сверхзвуковой газовой динамики, пространственные задачи имеют ряд существенных отличий. Основное отличие трехмерных задач состоит в том, что в них допустимыми являются любые возмущения потока, распространяющиеся внутри коноида влияния. Другой - 7 -важной особенностью сверхзвуковых пространственных течений является наличие в них поверхностей, не совпадающих с характеристическими, для которых некорректна задача Коши (некорректность типа Дца-мара [3,39j ) Отмеченные особенности предъявляют новые требования к численным алгоритмам, предназначенным для решения пространственных задач. При этом недопустим формальный перенос алгоритмов, использовавшихся ранее для решения аналогичных двумерных задач. Одним из способов решения подобных задач [5ІІ является сведение их к последовательному решению серии корректных задач Коши с подбором таких начальных условий, которые обеспечивают выполнение интересующих нас условий. Наконец, при решении пространственных вариационных задач возникает необходимость рассмотрения качественно новых допустимых трехмерных форм, к которым относятся тела, имеющие продольные ребра (ребра вдоль вектора скорости). Впервые Г.Н,Майкапар в работе [Зб] показал, что волновое сопротивление таких пространственных аэродинамических форм может быть меньше, чем волновое сопротивление эквивалентных (по площади поперечного сечения) осесимметричных аэродинамических форм. В аэродинамике гиперзвуковых скоростей этот эффект был подтвержден как теоретически (в рамках приближенной модели Ньютона) А.Л.Гонором и Г.Г. Черным [50] , так и экспериментально [15,18,20] .
Метод контрольной поверхности для решения пространственных вариационных задач газовой динамики в рамках точных уравнений использовался в работах [69-71J . В работах [70,71J Томпсоном и Мюрти были получены необходимые условия экстремума, определяющие замыкающую характеристическую поверхность и газодинамические параметры на ней. Однако эти условия были получены в слишком громоздком виде, что не позволило провести их детальный анализ. Кроме то- го, при составлении расширенного функционала авторы работ [70,7Ij учли лишь одну связь на замыкающей характеристической поверхности. Такой подход требует дополнительного обоснования. Это обоснование будет дано в первой главе настоящей работы с помощью метода неопределенной контрольной поверхности. Следует также отметить, что в работах [70,7IJ не было приведено примеров экстремальных замыкающих характеристических поверхностей, удовлетворяющих полученным необходимым условиям экстремума.
Примеры экстремальных замыкающих характеристических поверхностей были приведены в работе Томпсона и Снайдера [69J . Однако при составлении расширенного функционала Томпсон и Снайдер не учли никаких связей на замыкающей характеристической поверхности. В результате при определении экстремальной характеристической поверхности ими было упущено одно из условий совместности, учет которого в пространственном случае носит принципиальный характер. Кроме того, определив, хотя и неправильно, экстремальную характеристическую поверхность, авторы работы [69 J не решили задачу с данными на характеристических поверхностях и не определили формы пространственного тела, при обтекании которого реализуется поток с известной замыкающей характеристической поверхностью.
Общий метод множителей Лагранжа для решения трехмерных вариационных задач газовой динамики использовался в работах В.М.Борисова и И.Е.Михайлова [5,11,38,57] , которым в окончательном варианте на основе высокоскоростного метода пространственных характеристик прямого типа [8/ удалось разработать методику расчета гладких экстремальных пространственных аэродинамических форм. Однако, успехи, достигнутые в этом направлении, нисколько не уменьшают значения метода контрольной поверхности, поскольку в задачах, в - 9 -которых этот метод применим, он является на порядок более экономичным в смысле времени счета на ЭВМ.
В первой главе диссертации рассмотрены вопросы построения поверхностей тока с использованием замыкающих экстремальных характеристических поверхностей. В первом параграфе обсуждаются вопросы, связанные с постановкой вариационной задачи об определении экстремальной замыкающей характеристической поверхности. Во втором параграфе этой главы с помощью метода неопределенной контрольной поверхности получены необходимые условия экстремума, определяющие форму гладкой экстремальной замыкающей характеристической поверхности и газодинамические параметры на ней. Эти условия записаны в форме,удобной для последующего анализа. Цроведен анализ этих условий. Оказалось, что рассматриваемые необходимые условия экстремума являются частным классом условий экстремума, полученных в [57J с использованием общего метода множителей Лагранжа. Отметим, что это важное обстоятельство не было в свое время замечено в работах [70,71 J . В третьем параграфе разрабатывается алгоритм определения пространственной поверхности, при обтекании которой реализуется поток с экстремальной замыкающей характеристической поверхностью. Приведены примеры численного определения таких поверхностей.
Прогресс в решении пространственных вариационных задач газовой динамики в значительной мере связан с разработкой быстрых и достаточно точных методов расчета сверхзвуковых пространственных течений. В настоящее время для расчета сверхзвуковых установившихся пространственных течений предложены различные численные методы. Среди них отметим методы сквозного счета, позволяющие рассчитывать сверхзвуковые течения со скачками уплотнения. К ним относятся сверхзвуковой аналог метода С.К.Годунова, предложенный в [24j , различные варианты схемы Мак-Кормака [49] . В качестве примеров использования указанных подходов отметим работы [l,23J , в которых опубликованы результаты численного исследования сверхзвуковых течений около пространственных тел сложной формы с использованием первого метода и работу [52 J , в которой проведено численное исследование сверхзвуковых течений в пространственных соплах с использованием схемы Мак-Кормака,
Расчеты сверхзвуковых пространственных течений с использованием понятия характеристик впервые были проведены в работах П.И. Чушкина [27,54] Разработанный им метод является комбинацией двух методов: метода интегральных соотношений и метода обратных характеристик. Среди зарубежных работ в этой области отметим предложенный Батлером бихарактеристический метод [58 J , который также относится к методу пространственных характеристик обратного типа. С помощью этого метода и его различных модификаций в работах [38,59,60,64,66J исследовались сверхзвуковые установившиеся пространственные течения в соплах и лопаточных машинах. Отметим, что во всех перечисленных методах расчетная сетка является фиксированной.
Разностные схемы метода характеристик прямого типа традиционно используются при решении вариационных задач газовой динамики сверхзвуковых течений, поскольку в этих задачах необходимо рассматривать точные области зависимости и влияния решения. В этом случае расчетная сетка не является априорно заданной, а выстраивается в процессе решения задачи. Первые тетраэдральные схемы метода пространственных характеристик прямого типа были разработаны и реализованы в работах [43-4б] К настоящему времени наиболее совершенной среди схем этого типа оказалась схема, разработанная в работах [7,8( . - II -
Во второй главе диссертации разрабатывается вариант схемы метода пространственных характеристик прямого типа, позволяющий с высокой точностью рассчитывать пространственные сверхзвуковые течения на сетках с сильно меняющейся геометрией. В первом параграфе получены расчетные формулы и обсуждаются вопросы организации алгоритма определения координат узлов характеристической сетки и газодинамических параметров в этих узлах. Во втором параграфе на примере задачи расчета пространственного течения разрежения демонстрируются преимущества нового варианта схемы метода пространственных характеристик по сравнению со схемой, разработанной в работах [7,8J .
Третья глава диссертации посвящена профилированию сверхзвуковых частей пространственных сопел с кусочно-гладкими замыкающими характеристическими поверхностями. В первом параграфе формулируется вариационная задача об отыскании кусочно-гладкой экстремальной замыкающей характеристической поверхности. В следующем параграфе с помощью метода неопределенной контрольной поверхности получены условия экстремума, определяющие форму экстремальной замыкающей характеристической поверхности. Проведен анализ полученных необходимых условий экстремума. В третьем параграфе с использованием разработанного во второй главе варианта схемы метода пространственных характеристик численно определяются формы сверхзвуковых частей пространственных сопел, реализующих на выходе равномерный поток и имеющих замыкающую характеристическую поверхность в виде пирамиды, основанием которой является правильный звездообразный многоугольник. Как показано во втором параграфе, такие замыкающие характеристические поверхности удовлетворяют всем необходимым условиям экстремума. Результаты расчетов показали, что длина полученных сверхзвуковых частей пространственных сопел меньше, чем длина аналогичных осесимметричных сверхзвуковых частей [32J , реализующих на выходе равномерный поток с тем же числом Маха и имеющих тот же расход.
В заключение отметим, что основные результаты диссертации опубликованы в работах [9,12,33-35J и докладывались на семинарах лаборатории механики сплошных сред Вычислительного центра АН СССР под руководством профессора Ю.Д.Шмыглевского, на УП конференции молодых ученых ШШ и на ІУ Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах. - ІЗ -
Использование метода неопределенной контрольной поверхности для получения необходимых условий экстремума
Метод неопределенной контрольной поверхности является обобщением на пространственный случай метода неопределенного конт -рольного контура, предложенного в [31J для решения плоских и осе-симметричных вариационных задач. В свою очередь, последний метод является приемлемой трактовкой известного подхода Рао [67J . Временно откажемся от предположения, что искомая экстремальная поверхность F является характеристической. Однако, поскольку в безвихревых сверхзвуковых пространственных течениях не существует свободных поверхностей, условие (1,1,10) на поверхности г по прежнему должно иметь место. Далее, вводя постоянный - Л и переменный - с на поверхности Fe множители Лагранжа, образуем расширенный функционал вариация которого будет совпадать с вариацией функционала RQ при выполнении изопериметрического условия (I.I.I4) и дифференциальной связи (І.І.І0) на поверхности F2 . Здесь и далее поверхности 1\ и F считаются гладкими, а подинтегральные выражения дифференцируемы необходимое число раз. Перед тем, как приступить к вычислению вариации расширенного функционала, преобразуем последнее слагаемое в формуле (1,2.1). В соответствии с известными свойствами векторных полей [29J имеем Далее, воспользовавшись теоремой Стокса, получим следующее представление последнего интеграла в (I.2.I) где через F2 обозначена граница области F . Теперь запишем расширенный функционал (1,2.1) в виде
Для вычисления вариации этого функционала воспользуемся приемом, разработанным в [іЗІ для вычисления первых вариаций от функционалов, являющихся интегралами различной кратности. В соответствии с [ІЗІ вариации от функционалов Х J J) h dF и JL- д ВаЧ вычисляются по следующим формулам: Здесь n - единичный вектор, направленный по нормали к поверхности F , ъ F - граница поверхности F , Я и Ь - некоторые век- торы, определенные на поверхности F и замкнутом контуре L соответственно. Далее учтем, что границы F4 и Р"г поверхностей F4 и F2 состоят из замкнутых контуров L , L , L2 , причем r F1=LfL4 р?г- LU Lz . Контуры Llf Ц и поверхность F± -фиксированы. Следовательно, на Lt и »г вариация радиуса-вектора где С - произвольная скалярная функция в точках контура Ц , либо Ц . Тогда на этих контурах обращается в нуль векторное произведение На поверхности F Поскольку на поверхности г все газодинамические параметры считаются заданными, то их вариации на этой поверхности, в том числе и на контуре L , обращаются в нуль, то есть С учетом сделанных замечаний, после приведения подобных членов, прийдем к следующему выражению для вариации расширенного функционала Согласно формулам (I.I.4) и (I.I.5) имеем Тогда первые три слагаемых в интеграле по поверхности гг в формуле (1.2.6) запишутся в виде {е Sp -ь [j V(A+Ve)J + \7x v}»г I-j (е ha) V + Воспользовавшись формулой двойного векторного произведения окончательно получим, что Далее в интеграле по F в формуле (1.2.6) преобразуем коэффициент при 4; .
Заметим, что справедлива следующая цепочка ра- венств Здесь мы воспользовались соотношением (I.I.4) для дифференциала dip и дифференциальной формулой, справедливой для постоянного вектора є Воспользуемся формулами для дивергенции от векторных полей Тогда коэффициент при Б ъ в интеграле по поверхности F в формуле (1,2.6) можно переписать в следующем виде Преобразуем два первых контурных интеграла в формуле (1.2.6), Для этого воспользуемся формулой (1 2.2) В результате получим На контуре L имеем Здесь в - некоторая отличная от нуля скалярная функция. Следовательно, на контуре L в силу условия совместности (I.I.I0)
Численное решение задач с данными на волновых характеристических поверхностях различных семейств. Примеры расчетов
Полученные в предыдущем параграфе необходимые условия экстремума позволяют полностью определить форму экстремальной замыкающей характеристической поверхности и газодинамические параметры на ней. После этого, как уже отмечалось в I.I, необходимо определить экстремальную поверхность тока F из решения трехмерной нелинейной гиперболической системы уравнений (I.I.I) - (1,1.2) с данными на характеристических поверхностях F и F\, (рис. I). Осесимметричные и плоские оптимальные задачи [55 J решаются, как правило, обратным способом: сначала определяются форма замыкающей экстремальной характеристики и газодинамические параметры на ней, а затем искомая линия тока получается после решения характеристической задачи Коши, которую часто также называют задачей Гурса [з] , с данными на характеристиках первого и второго семейств. Решение последней задачи получается широко известным численным методом характеристик. В интересующем нас пространственном случае дело обстоит иначе. В соответствии с [з] рассматриваемая задача не является характеристической задачей Коши и, следовательно, ее нельзя называть пространственным аналогом задачи іурса, как это делается в [22, 28 J . Кроме того, результаты работы [2] , где исследована устойчивость задачи Коши на всевозможныхъ шаблонах, рассматриваемых в методе пространственных характеристик, и численный эксперимент показывают, что при решении рассматриваемой задачи с помощью алгоритма, аналогичного используемому при решении двумерных задач Гурса, возникает вычислительная неустойчивость. Поэтому сформулированную трехмерную задачу для системы гиперболических уравнений (1,1,1) - (1,1,2) с данными на характеристических поверхностях і\ и " предлагается решать с помощью последовательного решения серии смешанных задач. В этом случае участки искомой поверхности тока F задаются в аналитическом виде с помощью наборов некоторых управляющих параметров. Затем с использованием метода пространственных характеристик можно найти численное решение смешанной задачи обтекания заданного участка поверхности тока F вплоть до замыкающей характеристической поверхности F. При этом условия экстремума (1,1,8), (1,1.9) и (1.1,10) на поверхности будут выполняться автоматически.
Подбирая управляющие параметры, определяющие форму рассматриваемого участка поверхности тока F , можно удовлетворить условиям экстремума (1.2.8) на поверхности F . Рассмотрим вопросы задания поверхности тока F и численного решения смешанных задач. При этом будем пользоваться численной схемой метода пространственных характеристик прямого типа, разработанной в работах [7»8J , которую далее будем называть схемой S6 . В этом случае вместо исходной системы уравнений в частных производных (I.I.I) - (I.I.2) рассматривают эквивалентную каноническую систему, выбор которой в пространственном случае неоднозначен и определяется видом характеристической сетки и условий совместности на характеристических поверхностях. В [8)в качестве координатных поверхностей выбираются волновые характеристические поверхности различных семейств и меридиональные плоскости ip= const цилиндрической системы координат х , t , у с ортами Є » Є , Є , в которой далее будет рассматриваться течение. Тогда на волновых характеристических поверхностях первого семейства Полные производные по ос. вычисляются вдоль линий пересечения волновых характеристических поверхностей соответствующего семейства с меридиональными плоскостями, а полные производные по и - вдоль линий пересечения характеристических поверхностей первого и второго семейств. Отметим, что соотношения (1.3.3), (1.3.4), (1.3.7) и (1.3.8) не являются линейно-независимыми.
В работе [б] показано, что любое из этих соотношений является линейной комбинацией трех оставшихся. Выбор конкретной канонической системы сделаем при построении схемы численного интегрирования рассматриваемых уравнений. Для расчета функций тока и X в соответствии с работой [8J можно использовать уравнения Форму поверхности тока F в каждой меридиональной плоскости на отрезке х.в ХІ] зададим в виде интерполяционного полинома второй степени заданными. Если на поверхность тока F с поверхности, являющейся носителем начальных данных, приходит характеристическая поверхность первого семейства, то для расчета координат точек на этой поверхности и газодинамических параметров в них используются соотношения (1,3.II), (1.3 1) - (1,3.4) вдоль линий пересечения характеристической поверхности первого семейства с меридиональными плоскостями. Эта система уравнений замыкается условием непротекания на поверхности тока F где У\0 - вектор,направленный по нормали к поверхности F . Если на поверхность тока F с поверхности, являющейся носителем начальных данных, приходит характеристическая поверхность второго семейства, то в указанной системе уравнений вместо уравнений (I.3.I) - (1.3.4) следует использовать уравнения (1.3.5) -(1.3.8). Для расчета функций тока на поверхности F использовались соотношения (1.3.9), (1.3.10). Рассмотренная .система уравнений интегрировалась методом Эйлера с двумя пересчетами.
Расчет пространственного течения разрежения с использованием двух схем метода пространственных характеристик. Сравнение схем
Поскольку рассматриваемая нами система дифференциальных уравнений в частных производных является сугубо нелинейной, то для ее разностной аппроксимации не существует аналитических способов оценки погрешности. Поэтому приходится использовать другие способы оценки точности получающихся разностных решений. Одним из таких способов служит сравнение результатов расчетов с известными точными решениями. Поэтому для выяснения качества рассмотренной С 6 схемы метода пространственных характеристик были проведены расчеты пространственного течения разрежения, образованного изломом образующей сверхзвуковой части стенки сопла в поперечном сечении х-= consx "= О . Известно, что в таком течении окружная составляющая вектора скорости г5" должна в точности равняться нулю, поэтому отличие вычисленного значения 1АГ ОТ нуля характеризует абсолютную погрешность расчета. Было проведено две серии тестовых расчетов. Рассматривались течения с одной плоскостью симметрии. В первой серии тангенс угла излома образующей сверхзвуковой части стенки сопла в критическом сечении х =COhst=0 задавался по формуле где -j- vp/ОГ , 0 ; vp ЗГ . График этой функции изображен на рис. 10.
Начальные данные задавались на характеристической поверхности второго семейства, в качестве которой выбиралась осесиммет-ричная характеристическая поверхность № 14 из работы [26 для показателя адиабаты зе = і. 4 Эта поверхность была ограничена контурами ( х = 0, (у)-, Оіір 20Г ) и (x=2.5T68,t(ip)=0.0?$, 04 Ф 20Г ). Расчеты проводились на сетке Jx х J х J a &S х Q х 5 0 » гДе р " количество характеристических поверхностей в веере разрежения, a J . и X, имеют тот же смысл, что и в 1.3. Были рассмотрены три типа 16" схем метода пространственных характеристик. В (Е &)_ схеме метода пространственных характеристик при расчете компонент вектора скорости, как и во всех остальных схемамх, использовались два условия совместности (2.1.15) и (2.1.17) вдоль бихарактеристик, принадлежащих характеристическим поверхностям первого и второго семейств соответственно, а третье условие совместности (2.1.16) рассматривалось вдоль бихарактеристик, принадлежащих характеристической поверхности первого семейства. В (іб"\ схеме третье условие совместности рассматривалось вдоль бихарактеристик, принадлежащих характеристической поверхности второго семейства. В ((б"\- схеме это: условие рассматривалось вдоль бихарактеристик, принадлежащих характеристической поверхности первого либо второго семейства, так, чтобы обеспечить наименьшее уклонение значения угловой скорости ЛАГ ОТ нуля во вновь расчитываемых точках. В таблице I выписаны значения координат и компонент вектора скорости в точках пересечения меридиональных плоскостей у=0, Я"/2 , ЗГ с характеристическими поверхностями, ограничивающими пространственный веер разрежения.Для сравнения в таблице I приведены также результаты расчетов по лучшей среди аналогичных S6 схем метода пространственных характеристик. В этой схеме условие совместности (2,1.16) рассматривалось на характеристической поверхности второго семейства. Из таблицы I видно, что наилучшие результаты расчетов, в смысле наименьшего уклонения от известного точного решения yS= 0 , получаются при использовании (J- бг)- и (с г)— схем метода пространственных характеристик. Во второй серии тестовых расчетов также рассматривалось течение разрежения с одной плоскостью симметрии, но тангенс угла излома образующей сверхзвуковой части стенки сопла в критическом сечении х=0 задавался по следующей формуле
Цримеры расчета сверхзвуковых частей пространственных сопел с равномерным потоком на выходе
В этом параграфе рассматриваются примеры расчета экстремальных сверхзвуковых частей пространственных сопел с нерегулярными замыкающими характеристическими поверхностями, соответствующими равномерному потоку с заданным числом Маха М .
Впервые численное определение сверхзвуковых частей пространственных сопел, реализующих на выходе равномерный поток, проведено в работе B.n.BepxoBCKoro[l6J . В этой работе формы сверхзвуковых частей пространственных сопел получались следующим образом. В качестве исходных рассматривались осесимметричные сопла, реализующие на выходе равномерный поток. Известно, что замыкающая характеристическая поверхность для таких сопел является боковой поверхностью кругового конуса с вершиной, расположенной на оси сопла (в наших обозначениях это ось зс ), и имеющего угол полураствора, равный oncsin (і/Мр). В качестве замыкающих характеристических поверхностей сверхзвуковых частей пространственных сопел в работе [16J выбирались боковые поверхности пирамид, поперечным сечением которых является многоугольник. Эти характеристические поверхности располагались в области равномерного потока за конической характеристической поверхностью, отделяющей равномерный поток от неравномерного. Поверхность сверхзвуковой части соответствующего пространственного сопла получалась в результате расчета течения в осесимметричном профилированном сопле с конической замыкающей характеристической поверхностью и выделении поверхности тока, проходящей через заданный многоугольник. Полученная таким образом поверхность тока принималась за стенку искомого пространственного сопла. Очевидно, что длина сверхзвуковой части полученных таким способом пространственных сопел будет больше, чем длина осесимметричных сопел, имеющих ту же тягу. Далее рассмотрим вопросы численного определения формы сверхзвуковой части пространственного сопла, реализующего на выходе равномерный поток с заданным числом Маха М » в случае нерегулярной замыкающей характеристической поверхности Рг такой, что коническая характеристическая поверхность, соответствующая этому же числу Маха и имеющая ту же вершину, что и поверхность Рг , лежит вниз по потоку за поверхностью Рг , либо касается ее по некоторым линиям. В этом случае задача об определении формы сверхзвуковой части пространственного сопла, реализующего на выходе равномерный поток, сводится к решению системы уравнений (1.1 1) - (I.I.2) с данными на характеристических поверхностях F и Решение подобной задачи обсуждалось в 1.3. Особенность рассматриваемой задачи состоит в том» что в данном случае, как показано в 3.2, условия экстремума на поверхности f выполнены тождественно и форма поверхности Fz известна заранее. Поэтому выбор управляющих параметров ( ч/ х) с , определяющих форму искомой стенки сопла F , будем осуществлять из удовлетворения одному из условий совместности вдоль характеристической поверхности второго семейства приходящей со стенки сопла на замыкающую характеристическую поверхность первого семейства F Что касается второго условия совместности вдоль характеристической поверхности второго семейства, то оно также будет выполнено, поскольку согласно [6J является линейной комбинацией первого условия и двух условий совместности, имеющих место вдоль замыкающей характеристической поверхности первого семейства. На линии пересечения характеристической поверхности второго семейства с замыкающей характеристической поверхностью это условие в соответствии с формулой (1.3.7) можно представить в следующем виде Здесь полная производная по х вычисляется вдоль линий пересечения характеристической поверхности второго семейства с меридиональными плоскостями.
Рассмотрим І -ю меридиональную плоскость. Цусть индекс М соответствует узлу характеристической сетки на замыкающей характеристической поверхности. Тогда индексы Л/"- і и //-2 соответствуют узлам характеристической сетки, расположенным на линии пересечения характеристической поверхности второго семейства с J -ой меридиональной плоскостью и предшествующим узлам с индексом ЛГ и Аґ-l соответственно. Аппроксимируя в (З.ЗЛ) производные по X со вторым порядком по точкам с индексами hf , /sT-d »W-2 и умножая на ( эсы - эСд ) обе части этого соотношения, получим следующую разностную формулу для вычисления невязки Е : ус-ловия совместности в і -ой меридиональной плоскости От поверхности тока F до узлов с индексом Л/ -і расчет проводился обычным способом с использованием 16 схемы метода пространственных характеристик.
Расчет в узлах с индексом bf проводился особым способом: поскольку точки с индексом bf лежат на замыкающей характеристической поверхности, то газодинамические параметры в этих точках считались известными, и в расчете определялись только координаты этих точек, а затем вычислялись невязки условия совместности. Параметры (fb i/a:5c) L , определяющие форму поверхности тока F на отрезках otj_ эс« J в каждой меридиональной плоскости, подбирались из условия W\CLX I Е: 1 ( - заданная точность) с по-мощью релаксационного алгоритма, описанного в 1.3.
