Введение к работе
Актуальность темы. Отыскание и классификация точных решений уравнений газовой динамики (УГД), которые описывают широкий круг явлений в механике сплошной среды, являются актуальными проблемами. Используя подгруппы преобразований, допускаемые УГД, можно находить подмодели (системы уравнений с меньшим количеством независимых переменных) движений газа и параметрические семейства точных решений. Полный список подмоделей еще не завершен. Важной задачей является построение и исследование новых подмоделей с целью получения точных решений и их интерпретации с точки зрения физики. Основой этих построений служит оптимальная система подалгебр, допускаемых УГД. На подалгебрах можно построить множество подмоделей: инвариантных, частично инвариантных, дифференциально-инвариантных. Построение проводится с помощью инвариантов. Первая группа инвариантов выражается через независимые переменные. Вторая группа инвариантов содержит газодинамические функции. Если часть инвариантов назначить функциями других, то получается представление решения, с помощью которого определяется подмодель. Представление решения характеризуется рангом и дефектом. Ранг — это число независимых переменных в подмодели. Дефект — это число функций общего вида. Когда дефект равен нулю, получаются инвариантные подмодели, когда дефект не равен нулю, получаются частично инвариантные подмодели. Инвариантная подмодель, у которой время есть одна из независимых переменных, приводится к эволюционному каноническому типу. В противном случае инвариантная подмодель приводится к стационарному каноническому типу.
В работе рассмотрен класс новых подмоделей УГД, описывающих движение сжимаемой жидкости, когда давление и температура могут достигать больших значений. Рассмотрены 12 двумерных подалгебр и одна четырехмерная подалгебра. Последняя подалгебра порождает 5 подмоделей, для одной из которых найдены все решения и даны их физические интерпретации. При исследовании подмоделей важно вычислить допускаемую алгебру. В диссертации ставится и частично решена задача групповой классификации гидродинамической системы ранга 2 стационарного типа. Такие системы более
общие, чем инвариантные подмодели ранга 2 УГД и появляются при рассмотрении регулярных частично инвариантных подмоделей.
Цель работы заключается в развитии методов группового анализа для построения и исследования новых подмоделей, описывающих движение сжимаемой жидкости. Поставленная цель достигается в результате решения следующих задач:
построение и исследование новых подмоделей сжимаемой жидкости на подалгебрах, взятых из оптимальной системы подалгебр 13-мерной алгебры Ли, которая допускается моделью сжимаемой жидкости;
нахождение всех точных решений одной переопределенной подмодели, описание движений сжимаемой жидкости, соответствующих этим решениям;
групповая классификация гидродинамической системы ранга 2 стационарного типа.
Методы исследования. Аналитические результаты получены с помощью методов группового анализа дифференциальных уравнений и методов общей теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна.
построены новые подмодели сжимаемой жидкости;
найдены новые частично инвариантные решения уравнений сжимаемой жидкости и дана их физическая интерпретация;
проведена групповая классификация гидродинамической системы ранга 2 стационарного типа с помощью модифицированного способа неопределенных множителей.
Теоретическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: теории движения сжимаемой жидкости, групповой анализ дифференциальных уравнений. При решении задачи групповой классификации гидродинамической системы ранга 2
стационарного типа найдено представление решений определяющих уравнений алгебры Ли. Это облегчает процесс нахождения допускаемой группы для конкретных систем уравнений такого вида.
Разработан новый метод интегрирования переопределенных систем, основанный на использовании новых переменных лагранжево-го типа.
Доказана разрешимость пространственно подобной задачи Гур-са, возникающей при сопряжении специальных решений уравнений сжимаемой жидкости.
Практическая значимость. Полученные точные решения можно использовать в качестве тестовых задач для численных методов.
Результаты работы использовались при составлении отчета о НИР Института механики "УНЦ РАН № 01.200.211712 инв. № 02.2.006 07719 за 2008 г.
Достоверность результатов диссертационной работы обусловлена строгостью доказательств полученных результатов и использованием развитых методов группового анализа.
Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и семинарах:
34-ой Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2003);
II конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов Уфимского научного центра и АН РБ (Уфа, 2003);
35-ой Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2004);
Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Че-ботаревские чтения по проблемам современного группового анализа и его приложениям в нелинейной механике» (Казань, 2004);
XX Всероссийской школе-семинаре «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (Абрау-Дюрсо, 2004);
II Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2004);
Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики» (Стерлитамак, 2004);
III конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов Уфимского научного центра и АН РБ (Уфа, 2004);
36-ой Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2005);
Российской конференции «Механика и химическая физика сплошных сред» (Бирск, 2007):
Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», посвященной юбилею академиков Ильина В.А. и Моисеева Е.Н. (Стерлитамак, 2008);
Научных семинарах Института механики Уфимского научного центра РАН под руководством д.ф.-м.н. С. Ф. Урманчеева, профессора В. Ш. Шагапова.
В 2005 г. работа связанная с результатами второй главы диссертации была удостоена диплома за II место на III конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов Уфимского научного центра и АН РБ.
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 10 печатных работах, из них 4 входят в список ВАК. Список представлен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 140 страниц, в том числе 13 рисунков и 18 таблиц. Список литературы состоит из 78 наименований.
