Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные положения механики гранулированных сред 16
1. Напряженное состояние 16
2. Деформация 31
3. Скорость деформации 36
4. Дифференциальные уравнения равновесия. Граничные условия 39
5. Упругое тело, идеальная и вязкая жидкости 40
6. Поверхность и кривая текучести. Условия текучести 41
7. Уравнения пластического состояния 49
8. Предельное равновесие сыпучей среды 57
9. Предельное равновесие сыпучей среды при плоском деформированном состоянии 61
10. Уравнения равновесия в напряжениях и скоростях 64
11. Линии разрыва полей скоростей 69
12. Основные краевые задачи. Численное интегрирование уравнений 73
Глава 2. Устойчивость оснований и откосов 80
13. Напряженное состояние оснований 80
14. Устойчивость откосов. 88
15. Устойчивость оснований. Минимальное давление 94
16. Активное давление засыпки на подпорную стенку 100
17. Пассивное давление засыпки на подпорные стенки 107
Глава 3. Упругопластическое деформирование и предельное равновесие гранулированных сред 114
18. Условие интегрируемости уравнений теории течения 114
19. Разрешающая система уравнений. Плоское деформированное
состояние 120
20. Нагружение цилиндрической трубы внутренним давлением 125
21. Упругопластическое деформирование кругового пласта 131
22. Упругопластическое деформирование склона 136
23. Численные итерационные методы решения 143
Выводы
Список литературы
- Дифференциальные уравнения равновесия. Граничные условия
- Предельное равновесие сыпучей среды при плоском деформированном состоянии
- Активное давление засыпки на подпорную стенку
- Упругопластическое деформирование кругового пласта
Введение к работе
Согласно сложившейся терминологии, под механикой сыпучих сред понимается наука о законах деформирования грунтов, горных пород, собственно гранулированных и сыпучих сред и других материалов, поведение которых объединяется тем, что условия перехода к состоянию пластического течения (критерии текучести) зависят от гидростатического давления.
Механика сыпучих сред является научной основой инженерных методов расчета оснований и фундаментов объектов гражданского и промышленного строительства, подземных сооружений и объектов горнодобывающей промышленности (шахты, скважины и др.) и т.д.
Ее важными задачами являются: прогнозирование и предотвращение таких катастрофических явлений как горные лавины, камнепады, оползни, сели и др.; мониторинг напряженного состояния естественных откосов и склонов; минимизация землеотводов под дорожное строительство, отвалы промышленных отходов, уменьшение объемов вскрышных работ при открытом способе добычи полезных ископаемых; рационализация ресурсопользования и решение современных экологических проблем.
В настоящее время решение этих задач является особенно актуальным в связи с повышением этажности зданий, увеличением габаритов сооружений и массы технологического оборудования, что приводит к увеличению удельных нагрузок на основания. Одновременно возросли требования к качеству строительства, сокращению его материалоемкости, стоимости и продолжительности работ. Это повышает значение правильной оценки несущей способности грунтов оснований, обеспечивающих нормальную эксплуатацию указанных сооружений. Уплотнение городской и промышленной застройки, интенсивное использование подземного простран-
ства требуют надежной оценки влияния строительных работ на существующие здания, обоснования безопасных технологий строительства. Сложные проблемы возникают в связи с резким увеличением объемов работ по реконструкции зданий и сооружений. В экономически развитых районах при наличии сложившейся городской застройки ощущается нехватка территорий с благоприятными грунтовыми условиями и приходится застраивать площадки, ранее считавшиеся непригодными. Все в большей степени строительство смещается в районы со сложными климатическими, сейсмическими и грунтовыми условиями. Очень важной проблемой является также увеличение глубин подземных сооружений и объектов горнодобывающей промышленности (шахты, скважины и др.)
Все это делает особенно актуальной разработку новых и уточнение существующих теорий деформирования грунтов и горных пород, построение эффективных численных методов, решение возникающих краевых задач.
Основоположник теории предельного равновесия К. Кулон (1773) сформулировал основные положения предельного равновесия и применил их к определению давления засыпки, ограниченной горизонтальной плоскостью, на подпорную стенку с вертикальной абсолютно гладкой задней гранью, исходя из допущения о существовании плоской поверхности сползания. Те же положения были использованы впоследствии при нахождении давлений засыпки, ограниченной произвольной поверхностью, на подпорные стенки с наклонными и ломаными шероховатыми задними гранями. Далее В. Ренкин (1857) рассмотрел предельное равновесие бесконечного массива, ограниченного наклонной плоскостью, ввел понятие о поверхностях скольжения и нашел условие предельного состояния сыпучей среды, которое Г.Е. Паукер применил к оценке устойчивости оснований. Затем В.И. Курдюмов (1889) провел ряд экспериментов о предельном сопротив-
лении оснований, ясно показавших, что нарушение равновесия происходит путем сползания сыпучей среды по некоторым криволинейным поверхностям.
Дальнейшие исследования по теории предельного равновесия, обстоятельно разобранные в известном курсе Н.А. Цытовича, составили два направления.
Первое направление ставит своей целью создание упрощенной теории предельного равновесия, дающей возможность разбирать различные задачи простейшими средствами. Оно было развито СИ. Белзецким (1914), Г. Креем (1918), Н.М. Герсевановым (1923), Н.П. Пузыревским (1923) и В. Фелениусом (1926), которые принимали допущение о существовании поверхностей сползания некоторых простейших форм - плоских, призматических или круглоцилиндрических.
Указанное допущение, сводящее рассмотрение каждой задачи к выяснению самого невыгодного положения поверхности сползания выбранной формы, хотя и не имеет достаточного обоснования, нередко все же дает приемлемые результаты. Поэтому упрощенная теория, еще более разработанная И.П. Прокофьевым (1934) и Н.И. Безуховым (1934), а впоследствии снабженная удобными графиками и таблицами, до сих пор имеет довольно широкое распространение.
Второе направление, продолжающее идеи В. Ренкина, пытается построить строгую теорию предельного равновесия, позволяющую рассматривать различные задачи и находить соответствующие сетки линий скольжения. Оно ведет свое начало от Ф. Кеттера (1903), который, взяв дифференциальные уравнения равновесия и условие предельного состояния в каждой точке, составил систему уравнений предельного равновесия сыпучей среды, а затем успешно занялся ее исследованием.
Большое влияние на дальнейшее развитие этой теории оказал Л. Прандтль (1920), который поставил и рассмотрел ряд задач о пластическом равновесии, причем впервые использовал решение с особой точкой и пучком прямых линий скольжения, проходящих через нее. Эти результаты затем были применены Г. Рейснером (1925) и В.Н. Новоторцевым (1938) к некоторым частным задачам об устойчивости оснований, но лишь для невесомой сыпучей среды, когда линии скольжения хотя бы одного семейства являются прямыми и решения имеют замкнутую форму.
Иным путем шли Т. Карман (1927) и А. Како (1934), изучавшие систему уравнений предельного равновесия идеально-сыпучей среды; им удалось рассмотреть некоторые частные задачи о давлении на подпорные стенки весомой засыпки, когда простых решений построить уже нельзя.
*
Работы В.В. Соколовского (1947) в той же области имели своей целью: с одной стороны - построение общего метода, дающего возможность рассматривать задачи о предельном равновесии также и для связной среды, с другой стороны — получение метода, позволяющего достаточно просто разбирать различные задачи о напряженном состоянии идеально-сыпучего клина.
Результатом всех этих исследований явилось значительное развитие теории предельного равновесия, как в отношении расширения круга затрагиваемых вопросов, так и повышения эффективности применяемых методов, что позволило ей стать надежной основой инженерных расчетов в статике сыпучей среды.
Начиная с основополагающей работы К. Кулона (1773) и до начала 1960-х годов механика сыпучих сред развивалась в основном как наука о статике сыпучих сред. Это в значительной степени объясняется тем, что уравнения, описывающие напряженное состояние среды при плоском деформированном состоянии [1], так же как и уравнения теории идеальной
пластичности, являются статически определимыми, т.е. в случае статически определимых краевых условии могут быть решены без привлечения кинематических соотношений. При этом уравнения, описывающие напряженное состояние, принадлежат к гиперболическому типу и имеют два семейства характеристик, являющихся линиями скольжения и пересекающихся под углами, зависящими от угла внутреннего трения сыпучей среды.
Попытки исследования деформированного состояния гранулированной среды в областях, находящихся в предельном равновесии, основывались, как правило, на предположениях о жесткопластическом поведении материала и его несжимаемости. Последнее предположение приводило к тому, что уравнения для определения полей скоростей также имели два семейства характеристик, которые оказывались взаимно ортогональными и, следовательно, не совпадающими с характеристиками уравнений для напряжений.
Это противоречие удалось преодолеть в работе [2], в которой была предложена теория течения, основанная на применении к критерию текучести ассоциированного закона и предположении о жесткопластическом поведении материала. Основным преимуществом этой теории являлось то, что характеристики уравнений, описывающих поля напряжений и скоростей при плоском деформированном состоянии, совпадали, и области, находящиеся в предельном равновесии, могли быть определены однозначно. На базе этой модели в работах [3-6] было проведено подробное исследование разрешающей системы уравнений и линий разрыва скоростей и напряжений; решен ряд новых задач, в том числе и со смешанными краевыми условиями, разработаны эффективные численные методы. Недостатком этой теории, как и вообще теории предельного равновесия, являлось то, что она позволяла определить только предельные нагрузки и распределение напряжений и деформаций в пластических областях. Нахождение на-
пряжений и перемещений вне этих зон с помощью этой теории невозможно.
Исторически сложилось так, что изложенные выше теории, следуя Кулону, не вполне точно называют теориями предельного равновесия. Их основная задача - нахождение предельных нагрузок, трактуемых как нагрузки, при достижении которых происходит потеря равновесия (потеря устойчивости) среды. По существу, с современной точки зрения, они являются теориями течения идеально-жесткопластического материала, а предельные нагрузки понимаются как нагрузки, при достижении которых такое течение становится возможным. Именно в этом смысле указанные термины будут применяться в дальнейшем.
Попытка учета упругих свойств материала в рамках данного подхода приводит к уравнениям типа Прандтля-Рейсса в теории идеальной пластичности, т.е. к тому, что скорости полных деформаций начинают зависеть не только от напряжений, но и от их частных производных по времени, что вызывает математические трудности, как при анализе разрешающей системы уравнений, так и при решении конкретных задач.
Одной из последних работ в данной постановке является исследование1, в котором проведено численное моделирование динамического процесса обрушения склона на основании модели Дракера-Прагера течения упругопластического тела. Учитываются большие перемещения и деформации материала. Исследование направлено на выявление параметров и условий, приводящих к большим локализованным деформациям. Принималось начальное напряженно-деформированное состояние слоя под действием веса, учитывающее историю образования склона. Возмущением и одновременно началом процесса деформирования служило мгновенное об-
Кукуджапов В.Н. и др. Исследование локализаций пластических деформаций при потере устойчивости откосов. Препринт № 538. М.: ИПМ РАН, 1994.
разование наклонной поверхности, на которой нормальные и касательные напряжения отсутствуют. Здесь основной интерес представляет переходной процесс. Характер обрушения зависит в основном от параметров задачи, а также предварительных напряжений, но в меньшей степени от способа задания возмущения.
Другой" подход к определению напряженно-деформированного состояния (НДС) сыпучей среды состоит в том, что в качестве уравнений связи между компонентами тензоров напряжений и деформаций широко используются, особенно в инженерных приложениях [7, 8], соотношения, подобные соотношениям теории упругости. На начальных этапах нагружения упругие коэффициенты полагаются постоянными, т.е. справедлив обычный закон Гука, а по мере роста нагрузок их считают переменными, определяемыми из эксперимента. При обработке экспериментальных диаграмм рекомендуется использовать как касательные, так и секущие модули, т.е. применяемая процедура подобна способу введения переменных коэффициентов упругости в методе упругих решений, разработанному в деформационной теории-пластичности. Однако гипотезы, позволяющие применять этот метод в механике сыпучих сред, не сформулированы и общепринятая деформационная теория сыпучих сред до настоящего времени не разработана. Переход от упругого состояния к состоянию предельного равновесия исследован недостаточно.
Отметим, что и в теории пластичности в этом вопросе тоже нет полной ясности. Так, при упругопластическом изгибе и кручении стержней и при изгибе пластинок переход всего сечения стержня или пластшжи в пластическое состояние происходит при внешних нагрузках, совпадающих с нагрузками, даваемыми теорией предельного равновесия (см., например, [9], [10]). С другой стороны, при упругопластическом деформировании толстостенной, трубы всё сечение трубы переходит в чисто пластическое
состояние при нагрузке меньше предельной. Причем в случае изгиба и кручения переход всего сечения в чисто пластическое состояние сопровождается неограниченным возрастанием деформаций, тогда как в случае тру-бы деформации остаются конечными [11].
Основной целью настоящей работы является разработка деформационной теории упруго-пластического деформирования гранулированных сред, содержащей в себе теорию предельного равновесия, т.е. позволяющую путем определенного предельного перехода получить из уравнений упруго-пластического деформирования среды известные уравнения предельного равновесия.
Прежде чем перейти к построению деформационной теории предельного равновесия сыпучих сред, отметим, что в теории пластичности имеется теорема А.А. Ильюшина [12], утверждающая, что в случае простого нагружения теория течения и деформационная теория приводят к одинаковым результатам, то есть уравнения теории течения могут быть проинтегрированы. При доказательстве этой теоремы используется предположение о несжимаемости материала и степенном законе упрочнения. Поскольку в модели [2] имеет место изменение объема, а материал считается не упрочняющимся, то прямой перенос теоремы Ильюшина на нее невозможен. В работе показано, что для случая простого деформирования уравнения теории течения [2] удается проинтегрировать и представить уравнения предельного равновесия механики сыпучих сред в виде уравнений деформационной теории [13].
Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В ней кратко приводятся основные формулы теории напряжений и деформаций; при этом выделяются сведения, наиболее важные для построения теории деформирования гранулированных сред. Также в этой главе проведено исследование сыпучей среды, находящейся в предельном состоянии, приве-
депо условие предельного равновесия, сформулированы системы уравнений. Проведено исследование уравнений, описывающих поля напряжений и скоростей, и преобразование их к канонической системе. Показано, что эти уравнения являются гиперболическими и описаны способы их численного решения.
Во второй главе приведены решения большого количества практических задач: об устойчивости оснований, откосов, активном и пассивном давлении засыпки на подпорную стенку, а также задача о нахождении распределения напряжений и скоростей в склоне. Наибольший интерес представляет задача о склоне. В работе показано существенное отличие решения автора от решения А. Надай и В.В. Соколовского, и подробно объяснена причина данного отличия.
В третьей главе предложена новая теория деформирования гранулированной среды за пределами упругости, учитывающая как упругие, так и пластические деформации, и имеющая структуру, подобную структуре деформационной теории пластичности. Она существенно упрощает анализ разрешающей системы уравнений и позволяет проследить переход от чисто упругого состояния к состоянию предельного равновесия. Показано, что в случае простого (пропорционального) деформирования уравнения для скоростей в теории предельного равновесия сыпучей среды могут быть проинтегрированы и она может быть представлена в виде теории деформационного типа. Введена система специальных функций, определяющих компоненты тензоров напряжений и деформаций, и получена разрешающая система уравнений упругопластического деформирования среды для случая плоского деформированного состояния. Указан предельный переход, с помощью которого из этих уравнений получаются известные уравнения теории предельного равновесия. Далее приводится решение с использованием предложенной теории ряда прикладных задач.
В 20 решена упругопластическая задача о нагруженни трубы (толстостенного кругового цилиндра) внутренним давлением. Показано, что нагрузка, соответствующая переходу трубы в чисто пластическое состояние по всему сечению, как правило, не совпадает с нагрузкой, полученной на основании теории предельного равновесия. Определен предельный переход, при котором такое совпадение происходит.
В 21 представлена новая задача об упругопластическом деформировании кругового пласта, имеющего отверстие (скважину) в центре. Впервые возможность появления пластических зон в подобной задаче рассматривался С. А. Христиановичем [14] применительно к исследованию гидроразрыва нефтеносного пласта. Обычно нефтеносные пласты состоят из довольно прочного песчаника, ограниченного сверху и снизу высокопластической глиной. Метод гидроразрыва состоит в том, что в скважине на верхней и нижней границе пласта устанавливаются гидравлические паркеры и между ними в скважине создается повышенное давление. В результате этого в пласте образуется трещина, в которую затем закачивается крупнозернистый песок. Определенное С.А. Христиановичем давление гидроразрыва оказалось больше соответствующего давления, наблюдаемого на практике. В некоторых случаях реальное давление гидроразрыва оказывалось даже меньше горного давления, действующего на пласт. Для объяснения этого явления С.А. Христианович полагал, что ограничивающие нефтеносный пласт слои глины перешли в предельное состояние в окрестности скважины, но сам пласт оставался упругим.
Одна из последних работ в этом направлении [15], посвящена численному решению данной задачи с учетом больших деформаций и накопления повреждаемости. Нефтеносный пласт также принимается упругим. Для описания неупругого поведения слоя глины используется модель упру-говязкопластической среды с повреждаемостью, которая строится на осно-
ве представлений феноменологической теории дислокаций и развития микродефектов применительно к процессам вязкопластического деформирования материала [16].
В данном параграфе полагалось, что ограничивающие пласт слои глины обладают настолько малой сдвиговой прочностью, что на внешних границах пласта не возникает касательных напряжений и предполагается нагружение только гидростатическим давлением. Определены глубины залегания пласта, при которых в окрестности скважины появляется зона пластической деформации. Установлено предельное значение глубины, при которой происходит схлопывание пласта. Найдено поле остаточных напряжений и деформаций. Задача имеет важное прикладное значение в вопросах добычи артезианских вод, углеводородного сырья и др. Решение этой задачи по теории предельного равновесия невозможно.
В 22 приведено решение классической задачи о напряженном состоянии плоского склона в упругопластической постановке. Установлено соотношение между механическими характеристиками среды и углом склона, при котором склон по всей глубине всегда остается в упругом состоянии. Показано, что при упругопластическом деформировании возможны три разлииных напряженно-деформированных состояния. Прослежен переход к состоянию предельного равновесия и установлено, что, в отличие от существующих представлений, пластическое течение склона из же-сткопластического материала невозможно при углах склона меньших угла внутреннего трения. При углах склона больших угла внутреннего трения происходит пластическое течение не всего склона, а только его верхнего слоя определенной толщины.
Для нахождения напряженного и деформированного состояния в упругопластических задачах общего вида предложены три итерационных численных метода (аналогичные методам дополнительных нагрузок, до-
полнительных деформаций и переменных коэффициентов упругости в деформационной теории пластичности). В 23 на тестовой задаче исследована скорость сходимости каждого из методов. Проведено комплексное сравнение этих алгоритмов друг с другом.
Предложенные в работе деформационная теория сыпучей среды, позволяющая "проследить переход от чисто упругого состояния к состоянию предельного равновесия, и построенные на ее основе численные методы сделают более эффективными инженерные методы расчетов оснований и фундаментов объектов гражданского и промышленного строительства, подземных сооружений и объектов горнодобывающей промышленности. Они также позволят осуществлять мониторинг напряженного состояния откосов и склонов, т.е. решить задачу прогнозирования и предотвращения таких катастрофических явлений как горные лавины, камнепады, оползни, сели и т.д.
Применение результатов работы на практике помогут в решении вопросов рационализации природопользования и охраны окружающей среды, таких как*минимизирование землеотводов под дорожное, промышленное и гражданское строительство, под отвалы промышленных отходов, уменьшение объемов вскрышных работ при открытом способе добычи полезных ископаемых и т.д. Решенные задачи имеют важное прикладное значение в вопросах добычи артезианских вод, углеводородного сырья и др.
Обоснованность и достоверность полученных результатов вытекает из математической строгости и постановки рассматриваемых задач и применяемых методов. Предложенные в диссертации математические модели и вытекающие из них результаты основаны на общих законах и уравнениях нелинейной континуальной механики, а также фактически естественных гипотезах и допущениях. Кроме того, обоснованность и достоверность подтверждаются сравнением полученных результатов с известными ре-
зультатами других авторов, полученных по теории предельного равновесия использованием внутренних проверок точности вычислений.
Таким образом, результаты работы внесут фундаментальный вклад в механику сыпучих сред, которая составляет научные основы многих современных технологических процессов и инженерных методов расчетов.
Дифференциальные уравнения равновесия. Граничные условия
Граничные условия. Кроме приведенных выше уравнений, мы располагаем еще граничными условиями, которые могут иметь разнообразный характер. На границе S тела могут быть заданы нагрузки рх, ру, pz.B этом случае на S должны выполняться уравнения (1.2), которые будут условиями равновесия элементарного тетраэдра, примыкающего к границе, под действием внутренних и внешних сил.
Могут быть заданы смещения (или скорости) точек границы тела. Наконец, встречаются смешанные граничные условия, когда на границе частично заданы нагрузки, частично - смещения (или скорости). Упругое тело, идеальная и вязкая жидкости
Механика континуума издавна изучает движение идеальной и вязкой жидкостей, а также деформацию идеального упругого тела. Для последнего в качестве уравнения состояния принимается обобщенный закон Гука: z — k 5, (5.1) Da = GD,, (5.2) me k = - коэффициент объемного сжатия, G = - модуль Е 2(1+ v) сдвига, v — коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга.
В приведенной записи закона подчеркнуто различие в сопротивлениях упругого тела изменению объема и изменению формы (сдвигу). Постоянные к, G можно считать независимыми.
Для идеальной оісидкости имеем характеристическое уравнение /(а,р) = 0 (5.3) и условие отсутствия внутреннего трения Da=0. (5.4)
Для вязкой жидкости, кроме характеристического уравнения (5.3), принимается обобщенный закон Ньютона De = H D4, (5.5) где р/ = const - коэффициент трения. Поверхность и кривая текучести. Условия текучести
Поверхность и кривая текучести. Сформулируем условия текучести, представляющие собой критерии перехода из упругого состояния в пластическое. Очевидно, что при простом растяжении в состоянии текучести a, = const = as , при чистом сдвиге т = const = т,.
Определение формы критерия, характеризующего переход за предел упругости при сложном напряженном состоянии, основано на допущении, что состояние текучести может быть выражено через главные нормальные напряжения или через компоненты напряжения и не зависит от пути на-гружения в упругом состоянии. Поэтому условия текучести могут быть выражены соотношением
Функция f сохраняет свой вид при любых напряженных состояниях. Она может быть как аналитической, так и неаналитической от своих аргументов. Этому условию текучести для рассматриваемой точки соответствуют некоторые поверхности в трехмерном пространстве главных нормальных напряжений с,.
Для изотропных тел критерий текучести должен быть симметрической функцией главных напряжений, поэтому он может быть представлен также соотношением /[а,/2(Гст),/3(Гст)] = 0 или /[a,/2(Z e),/3(Z e)] = 0 (6.1) между инвариантами тензора и девиатора напряжения.
Условиям текучести для рассматриваемой точки может быть дана геометрическая интерпретация в виде так называемой поверхности текучести, построенной в трехмерном пространстве at. Если воспользоваться геометрической интерпретацией напряженного состояния, то уравнение (6.1) будет уравнением цилиндра, осью которого является прямая ai = ст2 = з Рассмотрим след этого цилиндра на девиаторной плоскости. Это будет кривая, симметричная относительно осей / и называемая кривой текучести. Эта кривая симметрична относительно прямых, перпендикулярных к осям / , потому что при изменении знаков напряжений пластическое состояние не нарушается. Кроме того, она не проходит через начало координат и не имеет больше одной точки пересечения с любым лучом, выходящим из начала координат. Вследствие сказанного кривая текучести состоит из 12 одинаковых дуг.
Предельное равновесие сыпучей среды при плоском деформированном состоянии
Условия предельного состояния. Рассмотрим некоторую точку сыпучей среды и представим себе какую-нибудь площадку с нормалью п , проходящую через эту точку. На площадке действует вектор напряжения, имеющий нормальную а„ и касательную хп компоненты (рис. 9).
Сопротивление сдвигу по данной площадке сыпучей среды, как устанавливают эксперименты [19], может быть представлено линейной зависимостью, связывающей нормальную ал и касательную тл компоненты напряжения: Ы = - «16Р + . (8Л)
Это сопротивление складывается из сопротивления от внутреннего трения и из сопротивления от сцепления. В работе предполагается, что сжимающие напряжения имеют отрицательный знак, а растягивающие -положительный.
Постоянные р и к называются углом внутреннего трения и коэффициентом сцепления. Эти два параметра характеризуют полное сопротивление сыпучей среды сдвигу.
Сыпучую среду, в которой отсутствует сцепление k = 0, условимся называть идеально-сыпучей, а среду, в которой отсутствует внутреннее трение р = 0, - идеально-связанной. Эти среды обладают некоторыми характерными особенностями, на которые в дальнейшем будет обращено особое внимание. Коэффициент H = kctgp (8.2) является временным сопротивлением всестороннему равномерному растяжению. Этот коэффициент далее в работе будет часто использоваться.
Наряду с вектором действительного напряжения на площадке с нормалью п удобно рассматривать так называемый вектор приведенного напряжения, имеющий нормальную -сп + Н и касательную т„ компоненты (рис. 9). Выведем основные условия, при которых возможно равновесие сыпучей среды в какой-нибудь ее внутренней точке. Ясно, что соскальзывание по рассматриваемой площадке не будет иметь места, если T„ (-a„+H)tgp, причем о-„ #. (8.3)
Поэтому в сыпучих телах, для которых Н невелико, возможны лишь небольшие растягивающие нормальные напряжения, а в идеально-сыпучих средах, когда // = 0,- только сжимающие нормальные напряжения.
Для равновесия сыпучей среды в рассматриваемой точке неравенство (8.3) должно быть выполнено на любой площадке, проходящей через эту точку, а, следовательно, max{T„ + (G,,f)tgp} 0. (8.4) Исследуем случай, когда предыдущее выражение вырождается в точное равенство max{T„ + (a„-//)tgp} = 0. (8.5)
Такое состояние называется предельным или пластическим. Площадки, на которых нормальная компонента стй = S и абсолютная величина касательной компоненты іи = 7" вектора напряжения удовлетворяют соотношению T = -(S-H)tgp, (8.6) называются площадками скольжения. Таких площадок всегда две; они проходят через одну из главных осей и одинаково наклонены к другим главным осям. Если все точки некоторой зоны находятся в предельном состоянии, то будем в дальнейшем говорить, что вся эта зона находится в предельном состоянии.
В зоне, где имеет место предельное состояние, можно провести поверхности, обладающие тем свойством, что касательные плоскости в каждой их точке совпадают с соответствующей площадкой скольжения. Такие поверхности образуют систему двух не ортогональных семейств и называются поверхностями скольжения.
Активное давление засыпки на подпорную стенку
В 1947-49 гг. в лаборатории оснований и фундаментов Всесоюзного НИИ водоснабжения, канализации и т.д. (института ВОДГЕО) к.т.н. М.В. Малышевым на моделях было проведено экспериментальное исследование работы оснований под сооружениями. На фотографии (рис. 29) представлена картина деформирования грунта при постепенном нагруже-нии его жестким штампом.
Фотографирование велось при длительной экспозиции (средняя продолжительность - 1 мин.). В качестве сыпучей среды применялся сухой речной песок. Ширина штампа составляла 20-30 см. Максимальная осадка штампа в конце процесса нагружения (к моменту закрытия объектива фотоаппарата) составляла всего 6-9 мм.
При столь незначительных абсолютных значениях перемещений частиц траектории движения последних и векторное поле направлений скоростей должны практически совпадать, или, короче говоря, движение частиц среды за время нагружения штампа является практически установившимся.
Зафиксированные на фотографиях траектории движения частиц, являющиеся, таким образом, и линиями тока, с большой степенью точности совпадают с теоретическими направлениями линий тока. Лини скольжения в местах выхода на свободную поверхность наклонены к горизонтальному направлению под острым углом, близким к значению , а линии тока наклонены к горизонтальной поверхности под углом —+ —. Этот экспериментальный результат полностью согласуется с теоретическими данными. Активное давление засыпки на подпорную стенку
Рассмотрим задачу об определении давления сыпучей среды, находящейся в предельном равновесии, на подпорную стенку при наличии трения по задней грани. Определим поле скоростей при потере устойчивости подпорной стенки под действием на грунт распределенной нагрузки.
Будем считать, что подпорная стенка являются достаточно крутой и вдоль задней грани для нормальной а„ и касательно тш составляющих тензора напряжений выполняется соотношение сухого трения, которое удобно записать в виде
Предположим, что вдоль положительной полуоси х задано нормальное давление а = -р(х). Задача имеет два решения: одно соответствует активному давлению от напора сыпучей среды на подпорную стенку, а другое - пассивному давлению от отпора сыпучей среды подвигающейся подпорной стенкой. В первом случае среда двигает подпорную стенку, во втором - подпорная стенка двигает среду.
Эти два предельных случая плоского напряженного состояния можно наглядно представить себе, рассматривая отвечающие им линии скольжения, а также при помощи простого эксперимента. Воткните вертикально гладкую лопату в песок на плоской поверхности и попытайтесь сдвинуть лезвие лопаты вперед или назад. Обращая внимание только на то, что происходит на передней стороне лопаты. После того, как будет удалено некоторое количество песка с задней части, мы обнаружим, что если лопату толкать горизонтально вперед, то она сдвинет значительно больший клин песка (рис. 30, а), чем тот, который соскользнет вниз под действием собственного веса, если лопату сдвинуть в противоположном направлении (рис. 30, б), освободив впереди нее песок. Мы почувствуем также, что сила, необходимая для проталкивания песка вперед, значительно больше, чем сила, действующая на лопату во втором случае.
Определим сначала активное давление засыпки на подпорную стенку, а также поле скоростей, получающееся в результате сползания сыпучей среды вниз (рис. 31). Подпорная стенка препятствует сползанию засыпки int 0, и на задней грани имеет место соотношение
Упругопластическое деформирование кругового пласта
Система из трех уравнений (20.11) - (20.13) позволяет найти три искомые функции ст, у и со, которые полностью определяют НДС в области а г с. Радиальное смещение может быть найдено по формуле
Граничные условия для уравнений (20.11), (20.12) находятся из условия непрерывности компонент тензоров напряжений и деформаций на границе г = с между упругой зоной и областью пластического состояния. После преобразований эти условия приобретают вид
В упругой зоне c r b по-прежнему справедливы формулы (20.5), причем второе из условий (20.6) позволяет записать первые три из них так: Значение стс дается вторым выражением в (20.15).
Считая величину с/Ь параметром нагружения, получим задачу Копій для уравнений (20.11) — (20.13) с начальными условиями (20.15) в точке с и областью интегрирования а г с; в упругой зоне с г Ъ решение задано аналитически соотношениями (20.16). Внутреннее давление р, соответствующее конкретному значению параметра с/Ь, будет найдено из условия р = -сг (а).
Хотя указанная система уравнений и может быть решена аналитически, это нецелесообразно ввиду громоздкости получающихся выражений. Было приведено [36] подробное численное решение поставленной задачи. Отметим только, что при изменении параметра нагружения с/Ь от значения а/Ъ до 1, внутреннее давление р меняется от р0 (20.8) до некоторого давления /?!, соответствующего переходу трубы в пластическое состояние по всему сечению. Деформации трубы при этом остаются конечными.
Когда внутреннее давление р в трубе превышает рх, упругая зона отсутствует и труба полностью находится в пластическом режиме (однако при этом ее несущая способность не исчерпывается). Во всем сечении трубы по-прежнему справедливы уравнения (20.11)-(20.13) с граничными условиями (20.6). Поскольку в этом случае первое из условий (20.14), (20.15) теряет смысл, введем в качестве параметра нагружения значение функции у на внешнем контуре трубы. Заданная величина у(Ь), а также второе и третье из условий (20.14), (20.15), позволяют найти значения a(Z ), со(6) и тем самым определить задачу Коши в области Ъ г а. 2 3 4 ь/а
Внутреннее давление р, соответствующее выбранному значению У (6), по-прежнему будет найдено из условия /? = -ar(a). Нормируя функцию у(Ь), введем безразмерный параметр у = у(Ь) так, что у (6) = 1 соответствует переходу трубы в пластическое состояние по всему сечению. На рис. 45 при tga = 1.7, v = 0.1 и разных значениях у показаны зависимости безразмерной величины р = р(Ь/а)/Н. По мере возрастания у, что соответствует увеличению смещения u(b) на внешнем контуре трубы, кривые на рис. 45 приближаются к предельной кривой, показанной штрихами. Вид этой кривой может быть достаточно просто получен, если рассмотреть предельный случай, когда нагружение трубы приводит к бесконечно большим ее деформациям. Как было показано выше, такой предельный переход равносилен замене l/G = 0 в уравнениях упругопластического деформирования и переходу их в уравнения предельного равновесия.
В этом случае получим (о = со0 = const (19.11). При этом уравнения (20.11), (20.12) достаточно просто интегрируются А и В - постоянные интегрирования. Граничные условия (20.6) позволяют определить величину А, а также внутреннее давление, соответствующее этому предельному решению
Постоянная В может быть выбрана произвольно, поскольку материал не-упрочняющийся, т.е. в предельном состоянии смещения в трубе могут быть определены только с точностью до произвольного постоянного множителя. Итак, в зависимости от величины внутреннего давления р, труба может находиться в одном из трех режимов деформирования: чисто упругом при 0 р р0, упруго-пластическом при р0 р р{, чисто пластическом при рх р р . При р- р деформации трубы, найденные из упруго-пластического решения, становятся бесконечно большими (разрушение). Внутренние давления, превышающие р , невозможны. Из этих результатов следует, что переход трубы в пластическое состояние по всему сечению не означает наступления предельного равновесия. Нагрузки р асимптотически стремятся к предельным нагрузкам р (верхняя кривая на рис. 45) при неограниченном возрастании деформаций трубы. Отметим, что ранее [36] это отмечено не было.
