Содержание к диссертации
Введение
1 Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его изгибных колебаний 12
1.1 Обзор литературы 12
1.2 Прямая задача 16
1.3 Влияние параметров жидкости на значения собственных частот колебаний трубопровода 24
1.4 Обратная задача 37
2 Определение закреплений трубопровода в случае протекания по нему жидкости 41
2.1 Единственность решения обратной задачи . 41
2.2 Метод восстановления четырех краевых условий 47
2.3 Устойчивость решения обратной задачи 51
2.4 Применение метода определения краевых условий по 14 собственным частотам колебаний трубопровода с жидкостью 53
2.5 Сохранение диапазона частот колебаний трубопровода при изменении скорости жидкости 59
2.6 Сохранение первых трех собственных частот колебаний при известных параметрах жидкости 61
2.7 Сохранение первых двух собственных частот колебаний при известных параметрах жидкости 69
3 Определение закреплений трубопровода в случае непротекания жидкости 74
3.1 Двойственность решения обратной задачи 74
3.2 Метод восстановления четырех краевых условий 78
3.3 Устойчивость решения обратной задачи 82
3.4 Применение метода определения краевых условий по 9 собственным частотам колебаний трубопровода с жидкостью 85
3.5 Сохранение первых трех собственных частот колебаний при известной плотности жидкости 91
3.6 Сохранение двух собственных частот колебаний трубопровода при заданной плотности жидкости 95
3.7 Применение построенного алгоритма решения задач к определению закреплений полого трубопровода 97
Заключение 108
Список литературы
- Влияние параметров жидкости на значения собственных частот колебаний трубопровода
- Применение метода определения краевых условий по 14 собственным частотам колебаний трубопровода с жидкостью
- Сохранение первых трех собственных частот колебаний при известных параметрах жидкости
- Применение метода определения краевых условий по 9 собственным частотам колебаний трубопровода с жидкостью
Введение к работе
Актуальность темы. Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний является актуальным в связи с необходимостью решений задач акустической диагностики трубопроводов и виброзащиты топливных систем.
Поставленная проблема непосредственно связана с исследованиями колебательных процессов упругих систем, зависящих от изменения параметров потока жидкости. Задачи акустической диагностики важны в связи с увеличением техногенных катастроф и опасностями, связанными с изношенностью основных фондов. В настоящее время достаточно хорошо разработаны акустические методы обнаружения трещин, определения формы области или размера предмета. Быстрыми темпами развивается и электронная диагностика технических систем. Ученые создают все новые и новые методы диагностики в целях обеспечения большей безопасности людей и быстрого обнаружения неисправности. Однако задачи по акустической диагностике состояния закреплений трубопроводов еще не разработаны. Ранее решались лишь задачи акустического диагностирования струн, мембран, стержней и пластин.
Другое важное использование задачи определения закреплений трубопровода — виброзащита топливных систем. Действительно, трубопроводы являются важнейшими элементами топливных конструкций автомобилей, тракторов, судов, самолетов и т.п. Их колебания приводят порой к дребезжанию, вызывающему неприятные ощущения экипажа и пассажиров. Связано это с тем, что спектры колебаний трубопроводов иногда находятся в опасном для здоровья человека диапазоне. Для изменения частот колебаний трубопровода не всегда бывает целесообразно менять его длину или же прикреплять сосредоточенные массы. Поэтому для создания комфортных условий пассажирам возникает задача определения таких закреплений трубопровода, которые обеспечивали бы нужный (безопасный) диапазон частот его колебаний. Эта проблема связана с научными задачами колебательных процессов систем (оболочка — жидкость), шумоподавления, акустической диагностики и теории обратных задач математической физики. Именно этой важной теме — разработке методов определения параметров закреплений трубопроводов, соответствующих изменяемым параметрам жидкости и обеспечивающих нужный диапазон частот его колебаний, — и посвящена настоящая диссертация.
Цель работы — теоретическое исследование влияния скорости потока жидкости и ее плотности на собственные частоты изгибных колебаний трубопровода и определение закреплений трубопровода по собственным частотам колебаний в зависимости от изменений параметров жидкости.
Основными задачами работы являются: 1) исследование зависимостей собственных частот колебаний трубопровода от скорости потока жидкости и ее плотности; разработка метода определения параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в зависимости от изменений скорости течения и плотности жидкости; построение алгоритма решения задачи, позволяющего при изменении параметров жидкости определять такие закрепления трубопровода, которые обеспечивают заданный диапазон частот его колебаний; 2) определение параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в случае протекания по нему жидкости; доказательство единственности решения задачи и его устойчивости; разработка математических методов восстановления четырех, двух краевых условий; 3) определение закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в случае непротекания по нему жидкости; доказательство двойственности решения задачи и его устойчивости; разработка математических методов восстановления четырех, двух краевых условий; исследование возможности применения найденного метода при диагностировании относительной жесткости упругих закреплений полого трубопровода; 4) разработка на основе построенных алгоритмов решения задач пакетов программ для пользователей.
Методы исследований. Поставленные задачи решались аналитически на основе спектральной теории дифференциальных уравнений, обратных задач математической физики с применением вычислений на ЭВМ.
Научная новизна. Впервые исследована и решена задача определения вида и параметров закреплений трубопровода, содержащего жидкость, по собственным частотам его изгибных колебаний.
Задача исследована в случаях протекания и непротекания жидкости по трубопроводу, а также в зависимости от изменения скорости потока жидкости и ее плотности. Доказаны единственность определения упругих закреплений трубы в случае протекания по ней жидкости и двойственность решения задачи в случае непротекания жидкости. Разработаны методы восстановления по собственным частотам колебаний трубопровода четырех, двух краевых условий, соответствующих заданным
параметрам жидкости. Показано применение методов решения задачи к определению любых (не только упругих) закреплений трубопровода с жидкостью, а также полого трубопровода по собственным частотам его колебаний.
Построены алгоритмы и разработаны пакеты программ для решения задачи акустической диагностики закреплений трубопровода с жидкостью.
Теоретическая и практическая значимость. Разработанные методы решения задачи позволяют обеспечивать заданный диапазон частот колебаний трубопровода при изменении параметров потока жидкости. Построенные алгоритмы решения задачи могут быть применены для диагностики недоступных для визуального осмотра закреплений элементов механических систем и строительных конструкций, составляющими которых являются трубопроводы.
С помощью предложенных методов можно также судить о виброзащитных закреплениях трубопровода с жидкостью. Найденные методы учитывают случаи протекания и непротекания жидкости по трубопроводу, случаи изменения скорости потока жидкости и ее плотности. Они позволяют также определять не только упругие закрепления, но и жесткие защемления, шарнирные опирання, свободные концы и т.п. Предложенные алгоритмы решения применимы и к определению упругих закреплений полых трубопроводов по собственным частотам их колебаний.
О практической значимости исследований свидетельствует участие в грантах: 1) № 13/7, 170-05 (АН РБ) "Методы неразрушающего контроля механических систем", 2005г; 2) № 05-02 (НФ БашГУ) "Прямые и обратные спектральные задачи второго и четвертого порядков", 2005, 2006гг.
Достоверность результатов и предложенных в диссертации методов обоснованы математическими доказательствами, совпадением в частных случаях с результатами других авторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: "IV Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике"(БГУ, Уфа, 2004г.); Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, СамГТУ, 2005г.); V Российская конференция с международным участием "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Саратов, авг. 2005г.); II Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и
краевые задачи"(Самара, СамГТУ, 2005г.); V, VI, VII Всероссийские симпозиумы по прикладной и промышленной математике (май 2005г., Санкт-Петербург; окт. 2005 г., Сочи-Дагомыс; май 2006г., Кисловодск); Всероссийская научно-практическая конференция "Наука и образование", посвященная 15-летию со дня принятия Декларации о государственном Суверенитете Республики Башкортостан и 5-летию образования Нефтекамского филиала БашГУ (25-27 окт.2005г., Нефтекамск); "V Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике"(БГУ, 27-29 окт. 2005г., Уфа); "Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых" ( 30 нояб.-б дек. 2005г., Уфа).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Работа содержит 120 страниц текста, в том числе 16 рисунков, 7 таблиц. Список литературы состоит из 87 наименований.
Влияние параметров жидкости на значения собственных частот колебаний трубопровода
Рассмотрим влияние на значения собственных частот колебаний трубо- . провода таких параметров жидкости, как скорость и плотность, а также параметров закреплений трубы.
Исследуем вначале зависимость значений собственных частот колебаний трубопровода с жидкостью от параметров потока жидкости.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (10) при следующих параметрах [36] системы (оболочка — жидкость): гі = 0,01м, r = l,08ri, / = 1м, р = 7,8-103кг/м3, ро = 0,85 103 кг/м3, Е = 2 1011 Н/м2, р0 = 176 105 Н/м2.
Здесь в качестве материала трубы рассматривается сталь, а в качестве жидкости — керосин. Определим максимальное значение внутреннего давления, которое может привести к разрыву трубы. Это значение опре деляется формулой [20] Ртах = Т(Г- Гі)/Г. (15)
Для принятых выше параметров г — г\ = 8 10 4 м, а = 5700 -105 Н/м значение максимально допустимого давления равно ртах = 422-105 Н/м . Значит, рассматриваемое внутреннее давление ро значительно меньше максимально допустимого значения. Поставим к уравнению (10) краевые условия в виде Х(0) -Х "(0) = 0, Х"(0) = 0, Х(1) + Х "(1) = 0, Х"{1) = 0..(16)
Эти краевые условия означают упругие закрепления обоих концов трубопровода пружинами с относительными жесткостями на изгиб, равными единице. Будем вычислять значения собственных частот колебаний трубопровода с жидкостью, меняя скорость Vo потока жидкости и оставляя постоянными другие параметры системы. Как изменятся при этом собственные частоты колебаний трубопровода?
Собственные частоты колебаний находим как корни уравнения А(щ) = 0. Решая уравнение (13) при данных значениях коэффициентов уравнения (10), (известных параметрах системы (14)) и краевых условиях (16), определяем значения собственных частот колебаний трубопровода, соответствующие различным скоростям потока жидкости.
Результаты решения прямых задач рассмотрим на диаграммах и таблицах. График зависимости значений первой собственной частоты щ колебаний трубопровода от скорости Vo потока жидкости для задачи (10), (16) при значениях параметров системы (14) показан на рисунке 9. График показывает, что увеличение скорости течения жидкости по трубопроводу ведет к уменьшению значений первой собственной частоты его колебаний. Такое изменение касается не только первой собственной частоты, но и всего спектра частот колебаний трубопровода. В таблице 1 указаны значения первых пяти собственных частот колебаний трубопровода при различных скоростях потока жидкости для рассматриваемой выше задачи.
Для принятых здесь параметров г—ri = 5-10 м, а = 1800-10 Н/м значение максимально допустимого давления по формуле (15) pmax = 9 106Н/м . Результаты решения уравнения (13), соответствующего параметрам системы (17) и краевым условиям (16) при изменении скорости потока жидкости, представим снова на диаграммах и таблицах. График зависимости значений первой собственной частоты колебаний трубопровода от скорости потока жидкости для задачи (10), (16) при значениях параметров системы (17) рассмотрен на рисунке 10.
Графики также подтверждают уменьшение значений первой собственной частоты колебаний трубопровода при увеличении скорости потока жидкости. Для этой же задачи в таблице 2 приведены 5 значений из спектра частот колебаний трубопровода при различных значениях скорости потока жидкости.
Причем из таблиц 1 и 2 видно, что изменение скорости потока жидкости в трубе сильнее влияет на значения первых собственных частот колебаний трубопровода. Действительно, при увеличении скорости потока жидкости значения первых собственных частот уменьшаются значительнее, чем значения последующих частот колебаний.
При исследованиях мы увеличиваем скорость потока жидкости. Естественно возникает вопрос: до какого значения можно увеличивать ско рость течения жидкости? При каких ее значениях система (оболочка — жидкость) может потерять устойчивость? В работе А.С. Вольмира [26] показано, что явление дивергенции как статической неустойчивости будет иметь место при частоте ш\ — 0, а явление флаттера объединяет случаи wi — 0, 0 - 0. Для нашей задачи (10) при данных упругих краевых условиях (16) и параметрах системы (оболочка — жидкость) можно также установить значения реальной скорости потока жидкости, которые соответствуют порогам дивергенции и флаттера. Например, для задачи (10), (16) при параметрах системы (17) порогом дивергенции является значение скорости Vo = 12 м/с, порогом флаттера — Vo = 36 м/с. Эти значения скоростей найдены также при решении прямых задач. Пороговые значения скоростей можно определять и при других краевых условиях.
Заметим, что результаты наших исследований зависимости собственных частот колебаний трубопровода с протекающей жидкостью от скорости потока жидкости соответствуют результатам, описанным в работе [26]. В указанной работе проведено аналогичное исследование зависимости собственных частот от скорости течения жидкости при защемлении концов трубопровода, шарнирных опираннях и получено, что при увели чении скорости значения собственных частот уменьшаются. Мы же рассматриваем более общие краевые условия, которые включают и упругие закрепления трубопровода.
Исследуем теперь влияние на значения собственных частот колебаний трубопровода плотности жидкости. Рассмотрим задачу (10), (16) при следующих параметрах системы гі = 0,0095м, г = 0,01м, 1 = 5м, р = 7,8 103кг/м3, V0 = 5 м/с, Е = 2 1011 Н/м2, ро = 1,78 Ю5 Н/м2.
Будем вычислять собственные значения частот колебаний при увеличении плотности жидкости и неизменных значениях остальных параметров системы. Результаты, полученные по решениям прямых задач, продемонстрируем снова на графиках и таблицах. Для указанной выше задачи на рисунке 12 показан график зависимости значений первой собственной ча-стоты Ш\ колебаний трубопровода от различных значений ро плотности жидкости.
По графику видно, что при увеличении плотности жидкости первая собственная частота колебаний трубопровода уменьшается. Вычисления показывают, что увеличение плотности жидкости ведет к уменьшению не только первой собственной частоты колебаний трубопровода, но и всех значений из спектра частот его колебаний.
Применение метода определения краевых условий по 14 собственным частотам колебаний трубопровода с жидкостью
Рассмотрим непрерывность решения задачи определения параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний. Введем обозначения. Через [С] и [С] обозначим соответственно классы матриц С и С. Справедлива теорема.
Теорема 1.3 (об устойчивости решения обратной задачи) Пусть {щ} u {uJk} (к = 1,...,14) — собственные частоты задач (10), (23) и (10), (2\) соответственно; rank С = rank С = 4, С Є [С], С Є [С]. Тогда для любого е 0 найдется такое S О, что для собственных частот, удовлетворяющих неравенству Ylk=\ \шк к\ $ выполняются Х =1 ]Cj=i \сц — сц\
Доказательство. Система уравнений (49) имеет решение Щы = Fn(wh -, wi4), п = 1,..., 15, (55) где функции Fn(wi, ...,wu) представляют собой функции, полученные из функций fijki с помощью конечного числа алгебраических операций. Аналогично, система уравнений ДрУ = (Mi257 - Мізбб) /l257p5jfc) + Mi268 /l26s( fc) + - 2456 /2456p fc) + +М1368 /l368p fc) + M2457 /2457( + 1278 /l278p fc) + M3456 /з45б(Й ;) + +M1378 /і378р ) + M3457 /3457(Э jfc) + M2478 /2478 P Jfc) + 3468 /j468p Jb) + + 1357 /і357рJfc) + M2468 /2468(ЗД + MmG /і25б( Лг) + MM78 /3473(шk) = 0 (56) имеет решение Щы = Fn(u h ...,S14), n = 1,..., 15. (57)
В силу непрерывности решений Xj = Xj(x,uS) = eXjX (j = 1,2,3,4) по параметрам щ ( т.к. Xj = Aj(wfc)), функции fijki(uk), как функции от суммы, разности и произведения непрерывных функций, представляют собой непрерывные функции по собственным частотам колебаний щ. Следовательно, функции Fn(uji, ...,0 4), Fn(cDi,...,c ;i4) также являются непрерывными фукциями по параметрам шк и u k соответственно. Тогда \Mijki(uJi, ...,u}u)-Mijki{oJh...,ши)\ = \Fn(ui, ...,u)u)-Fn(uJi, ...,wu)\ eh (58) Е 14 1 і г к=1 \ик — Мк\ 0. Если же миноры Мфі, Mijki, найденные из систем уравнений (49), (56), не удовлетворяют соотношениям (53), то после описанной выше корректировки миноров (54), например, для миноров М ье, Миье имеем Мі25б - Мі25б = \Mm7MmG/Mm7 - M1257M1356/M1357I.
С учетом того, что центральный минор Міз57 отличен от нуля, получим, что функции G„(wi,..., w14) = М1257МіШ/М1ш и Gn(uh..., wu) = M1257 -Л і35б/-Мі357 являются непрерывными по параметрам щ и и; ; соответственно, как произведение и частное непрерывных функций М ы и M ki. Следовательно, 1 1256 - Мі25б = п(а7і,...,а/і4)-С7п(2і,...,2і4) б2, (59) как только J2k=i \к — щ\ Поступая аналогичным образом и для остальных миноров (54), получаем \Мт-Щы\ б2, как только Ylk=i \шк — йк\ S.
Коэффициенты краевых условий задач (10), (23) и (10), (24) могут быть выписаны по минорам М ы и М ы матриц С и С соответственно, согласно описанному в предыдущем параграфе правилу (см., например, (50), (51)). Так как для миноров M i и Мцы верны (58), (59), то для коэффициентов матриц С и С верно 53j=i 2j=\ \cij il б Теорема доказана. Вычисления, выполненные на компьютере, подтверждают вывод об устойчивости решения обратной задачи.
Из теорем 1.1, 1.2 и 1.3 следует, что обратная задача по определению параметров закреплений трубопровода корректно поставлена, поскольку ее решение в случае протекания жидкости по трубопроводу существует, единственно и непрерывно зависит от и к (к = 1,..., 14).
Применение метода определения краевых условий по 14 собственным частотам колебаний трубопровода с жидкостью покажем на примерах. Пример 1.1. Упругое закрепление Рассмотрим известное из главы 1 дифференциальное уравнение ХІ4) + Х" + 2ішХ -ш2Х = 0 (6 0). (60)
Пусть известны 14 собственных частот сок задачи (60), (И), (12): ш\ = 21.81, и2 = 61.32, шъ = 120.58, щ = 199.56, о;5 = 298.27, щ = 416.71, UJ7 = 554.89, u8 = 712.86, w9 = 890.46, ww = 1087.86, шп = 1304.99, u12 = 1541.86, wi3 = 1798.47, шц = 2074.82.
Найдем краевые условия. С помощью пакета Maple получаем, что ранг системы (49) равен 14, а ее решение имеет вид: Міз57 = К, М3457 = К, Mi378 = -2 К, М3478 = -2 К, Мпы - Міз56 = 0, остальные миноры М ы равны нулю. Здесь и далее К = const ф 0.
Из равенства М1357 Ф 0 имеем а\ ф 0, аз ф 0, Ь\ ф 0, 6з Ф 0. Разделим первую строку матрицы С на oi, вторую строку на аз, третью — на &i, четвертую — на Ъ%. Тогда получим, что матрица С (с точностью до линейной эквивалентности) имеет вид: 1 0 0 а4 0 0 0 0 0 а2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 64 О О О О О Ь2 1 О Отсюда следует, что М1357 = 1 т-е- К — \. Тогда из равенств М3457 = 1, Міз78 = -2, М3478 = 2 получаем, что а4 = —1, 64 = 2, а из равенств Mi257 - Міз56 = 0, Мі256 = 0 имеем а2 = 0, 62 = 0. Следовательно, матрица С имеет вид: 10 0-10000 001 0 0000 0 0 0 0 10 0 2 0 0 0 0 0 0 10 Откуда получаем единственное представление для краевых условий: Х(0) - Х "(0) = О, Х"(0) = 0, Х(1) + 2Х" (1) = 0, Х"(1) = 0. Таким образом, при рассмотренных 14 собственных частотах колеба ний трубопровода, по которому протекает жидкость, установлено, что левый конец трубы закреплен пружиной с относительной жесткостью на изгиб, равной единице, а правый — с относительной жесткостью на изгиб, равной двум. Заметим, что краевые условия определены верно. Именно эти граничные условия (вид упругого закрепления) и использовались при выборе частот колебаний ujk
Сохранение первых трех собственных частот колебаний при известных параметрах жидкости
Возникает вопрос: как, меняя поток подачи жидкости, сохранить частоты колебаний трубопровода без изменения? Эту важную проблему мож но разрешить снова с помощью решения обратной задачи. Действительно, если нам известны нужные собственные частоты колебаний трубопровода и необходимо при этом изменить скорость движения жидкости, то можно определить необходимые для этого изменения в закреплениях.
Рассмотрим использование найденного метода определения параметров закрепления трубопровода с протекающей по нему жидкостью на конкретном примере.
Пусть снова рассматривается уравнение X + Х" + 2іиХ -и?Х = 0 с краевыми условиями Х(0) - Х "(0) = О, Х"(0) = 0, Х(1) + Х "{1) = О, Х"(1) = 0, по которым оба конца трубопровода с жидкостью закреплены пружинами с относительными жесткостями на изгиб, равными единице. Из вестны 14 собственных частот си к задачи: Требуется увеличить скорость подачи жидкости. Увеличивая скорость потока жидкости с Vo = 1 м/с, например, до Vo = 5 м/с, получим новое уравнение Х(4) + 18X" + 8го;Х - w2X = 0. (61)
Подставляя известные необходимые значения частот в новое частотное уравнение (61) задачи, получим систему из 14 уравнений с 15 неизвестными минорами Mijki. Вычисления показывают, что ранг матрицы полученной системы уравнений равен 14, и система имеет решение в виде: остальные миноры равны нулю. Тогда, рассматривая такие же шаги по определению матрицы С, как в приведенных выше примерах, получим единственное для нее представление (с точностью до линейной эквивалентности)
Эти краевые условия, в свою очередь, говорят о заделке обоих концов трубопровода. Таким образом, в рассматриваемом случае получили, что при увеличении скорости Vo сі м/с до 5 м/с (и неизменных остальных параметрах системы (17)) необходимо заменить упругие закрепления трубопровода на заделки обоих концов для того, чтобы сохранить нужные частоты колебаний трубопровода. Значит, используя найденный метод восстановления краевых условий спектральной задачи, можно определять необходимые закрепления для наблюдения нужных колебательных процессов трубопровода с жидкостью.
Сохранение первых трех собственных частот колебаний при известных параметрах жидкости Рассмотрим частный случай изгибных колебаний трубопровода с жидкостью и поставим к задаче Х + аХ" + 2ЫшХ -и2Х = 0 (62) следующие краевые условия : tfipO = oi Х(0) + а2 Х» (0) = О, U2(X) = Х"(0) = о, Щ(Х) = h Х(1) + Ь2 Х "{1) = О, Щ(Х) = Х"(1) = 0.
Краевые условия (63) в зависимости от значений коэффициентов а\, аг и &i, Ь2 характеризуют упругие закрепления соответственно на правом и левом концах трубопровода с жидкостью. Общее решение уравнения (62) представится в виде суммы фундаментальных решений: Xj{x,u) = C1eXl + C2ehdi + C3eX3 + C4eXi , где Xj = Xj(oo) — различные корни соответствующего характеристического уравнения.
Уравнение частот получаем снова из условия равенства нулю характеристического определителя [24] А (о;). Обратная задача и в этом случае заключается в определении параметров закреплений трубопровода с жидкостью для обеспечения нужного диапазона частот его колебаний в соответствии с измененными параметрами потока жидкости. Но здесь требуется восстановление двух краевых условий по известным собственным частотам изгибных колебаний трубопровода с протекающей по нему жидкостью.
Для математической постановки обратной задачи введем следующие обозначения. Матрицу, составленную из коэффициентов а\, а2, Ь\, Ь2 форм U\(Xj) и Us(Xj) (j = 1,2,3,4), обозначим через А: A = ai 02 О О О 0 Ьх ь2 а миноры второго порядка, образованные из і-го и j-ro столбцов матрицы А, будем обозначать через Мц.
В таких обозначениях определение краевых условий, соответствующих измененным параметрам жидкости и сохраняемому диапазону частот колебаний трубопровода, равносильно нахождению линейной обо-лочки (а, Ь), построенной на векторах а = (оі, а2, 0, 0) и b = (0, 0, bh b2f.
Поэтому в терминах задачи (62), (63) поставленная выше обратная задача формулируется следующим образом.
Обратная задача. Коэффициенты а\, а2, ь Ь2 форм U\(X) и Us(X) задачи (62), (63) неизвестны. Ранг матрицы А равен двум, миноры М\і, М34 равны нулю. Известны параметры системы (оболочка — жидкость), значения Xj, соответствующие собственным частотам колебаний для задачи (62), (63). Требуется восстановить краевые условия, соответствующие известным параметрам жидкости и сохраняющие диапазон частот колебаний трубопровода, т.е. восстановить линейную оболочку (а, Ь).
Применение метода определения краевых условий по 9 собственным частотам колебаний трубопровода с жидкостью
Мы показали, что задача определения упругих закреплений трубопровода по собственным частотам изгибных колебаний в случае непротекания по нему жидкости имеет два решения. Построим эти решения, основанные также на решении системы линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим точное решение обратной задачи. Итак, пусть жидкость не течет по трубопроводу, т.е. в уравнении (10) коэффициент Ь = 0 и {щ} — собственные частоты изгибных колебаний трубопровода. В этом случае {щ} удовлетворяют частотному уравнению (49).
Если а; — лишь девять собственных частот из всего спектра задачи (10), (23), то равенства (49) образуют систему 9-ти линейных алгебраических уравнений ОТНОСИТеЛЬНО 10-ТИ неИЗВеСТНЫХ Х\, Х2, ..., Х\0 . Если rankfk1k2k3k4(a;k)iox9 = 9) то система линейных алгебраических уравнений (90) имеет единственное с точностью до постоянного множителя решение xi,х2,...,X\Q. По значениям х\,х2,...,хю находятся (с точностью до эквивалентных) две матрицы С.
Покажем, как это делается. Так как rank С = 4, то хотя бы один из миноров Mijki не равен нулю. Пусть, например, М\2 ф 0. Тогда по доказанной выше теореме 2.1 следует, что матрицу С с помощью линейных для второй матрицы 1356 = -Ьз, 2456 = &4, М{257 = "«З, 2468 = «4 МИНОРЫ Мі256, Міз56, Мі257, М1268, М2456 И М[т, М[256, М{т, М{257, М 68, М2456, участвующие в записях (92), (93) матрицы С, являются основными, а ненулевые миноры М ьб и М 256 — центральными. Таким образом, в случае непротекания жидкости по трубопроводу верна теорема.
Теорема 2.2 Если матрица системы уравнений (49) имеет ранг 9, то решение обратной задачи восстановления краевых условий (23) двойственно.
Так как собственные частоты задачи (10), (23) часто задаются приближенно, то построим приближенное решение обратной задачи.
Пусть ранг системы уравнений (90) равен 9 и собственные частоты Uk известны лишь приближенно Uk [J k {к = 1,2,..., 9). Подставив ць в систему уравнений (90), найдем неизвестные xi, Х2, Согласно теоремам 2.1, 2.2, определим далее две группы миноров М ы и М к1.
Для того, чтобы значения Мфі и М к1, найденные по искаженным //it, являлись минорами какой-либо матрицы, необходимо выполнение соотношений Плюккера ([54], [80]), которые в данном случае (с учетом Afi256 Ф 0 и нулевых миноров ) имеют вид:
Такие же соотношения справедливы для миноров М -ы. Значит, если числа Mijki, Mfjkl удовлетворяют соотношениям (94), то они являются минорами некоторой матрицы, и по ним можно восстановить краевые условия задачи (10), (23).
Если же числа Мфі, М к1 не удовлетворяют соотношениям (94), то миноры -/1 1278, -/ 3456? Missj, 2468? 2457? Між, М2478? - 1378? 3457? -/1 3468? -/1 3478 (95) и М1 278 М3 456 М1 357 М2 468 М2 457 М1368, М2478, МШ8, М3457? М т, М т (96) можно выразить соответственно через основные миноры Mi256, - 1356, 1257, Ml268, М2456 И М[ш, М{ш, М{257, М{268, М2_45б. УСЛОВИЯ Плюккера будут выполняться автоматически. Таким образом, в случае непротекания жидкости по трубопроводу можно также скорректировать значения Mijkh M w найденные из системы уравнений (90), так, чтобы они являлись минорами матриц.
Исследуем непрерывность решения задачи определения параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его колебаний в случае непротекания по нему жидкости. Так же, как и в случае протекания жидкости по трубопроводу, введем обозначения. Кроме матриц С к С, рассмотрим также матрицу С , составленную из введенных ранее векторов Cf = () Cj6, -Ci7, -сі8, Си, Ъ2, -са, -Cj4)T, ( = 1, 2, 3, 4).
Элементы матрицы С обозначим через ctJ, а миноры этой матрицы — через MfjM. Введем в рассмотрение также классы матриц С, С, С , которые обозначим через [С], [С], [С ] соответственно. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3 ( об устойчивости решения обратной задачи) Пусть {щ}, (} (к = 1,...,9) — собственные частоты задач (10), (23) и (10), (Ц) соответственно; rank С = rank С = rank С- = 4; С Є [С], С Є [С], С Є [С ]. Тогда для любого є 0 найдется такое 5 0, что для собственных частот, удовлетворяющих неравенству Йь=1К - щ\ 6, выполняются YA=\ Yj]=i\cij - Cij\ Є І=І 2 j=i \cij cij I e Доказательство. Из теорем 2.1, 2.2 и рассмотренного выше метода решения обратной задачи следует, что система уравнений (90) имеет единственное с точностью до постоянного множителя решение xi, Х2,..., жю, по которому находятся (с точностью до эквивалентных) две матрицы С, а именно С = С или С = С .
Похожие диссертации на Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний
