Содержание к диссертации
Введение
1 Методы математического моделирования турбулентных течений в компрессорах 9
1.1 Современые подходы к моделированию и расчёту турбулентности 9
1.2 Исходные уравнения газодинамики 15
1.3 Постановка граничных условий 18
1.3.1 Условия на твёрдой стенке 19
1.3.2 Граничные условия на проницаемых границах . 24
1.3.3 Условие пространственно-временной периодичности . 25
1.4 Законы подобия и приведенные величины 27
1.5 Численные методы интегрирования уравнений сохранения . 28
1.5.1 Метод конечных разностей 29
1.5.2 Метод контрольного объема 31
1.5.3 Методы расчёта давления 33
1.5.4 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 35
1.6 Пространственная дискретизация области интегрирования . 38
1.7 Обзор опубликованных расчётов течений в компрессорах . 43
1.8 Выводы по разделу 1 47
Модификация теории к — є с учётом пропорциональности составляющих тензора Рейнольдсовых напряжений и энергии турбулентности 49
2.1 Алгебраические соотношения для составляющих тензора Рейнольдсовых напряжений 50
2.2 Уточнение локально-неравновесного демпфирования коэффициента турбулентной вязкости 53
2.3 Процедура интегрирования уравнений Навье-Стокса . 55
2.3.1 Дискретный аналог основных законов сохранения . 56
2.3.2 Алгоритм расчёта давления 58
2.3.3 Интегрирование по времени и расчёт потоков 59
2.3.4 Реализация локально-неравновесных поправок в CFX 61
2.3.5 Блок-схема алгоритма интегрирования 63
2.4 Обоснование достоверности модифицированной модели к — є 64
2.4.1 Турбулентный пограничный слой 64
2.4.2 Турбулентный след за эллипсоидом вращения . 66
2.4.3 Свободное сдвиговое течение 69
2.4.4 Течение в плоском трансзвуковом диффузоре 76
2.5 Выводы по разделу 2 82
Расчётно-параметрическое исследование турбулентных характеристик в межлопаточном канале трансзвукового компрессора 83
3.1 Математическая постановка задачи 84
3.1.1 Постановка граничных условий 85
3.1.2 Постановка начальных условий 87
3.1.3 Расчётная сетка 87
3.1.4 Параметры численного интегрирования 89
3.2 Результаты моделирования 90
3.2.1 Сеточная сходимость численного интегрирования . 90
3.2.2 Влияние турбулентной вязкости на интегральные газодинамические характеристики компрессора . 90
3.2.3 Параметры турбулентности в проточной части . 93
3.2.4 Распределения числа Маха на расчётном режиме . 95
3.2.5 Апробация модифицированных уравнений к — є на переходных режимах 97
3.2.6 Эффективность подвода удельной работы сжатия . 99
3.2.7 Степень турбулентности в отрывных областях и вблизи радиального зазора 101
3.3 Выводы по разделу 3 103
Выводы и основные результаты работы 104
Литература 106
- Современые подходы к моделированию и расчёту турбулентности
- Пространственная дискретизация области интегрирования
- Уточнение локально-неравновесного демпфирования коэффициента турбулентной вязкости
- Влияние турбулентной вязкости на интегральные газодинамические характеристики компрессора
Введение к работе
Актуальность темы. Разработка и исследование высоконагруженных экономичных компрессорных ступеней является приоритетной задачей для авиации, газотранспортной отрасли и энергетики, так как при создании газотурбинных двигателей нового поколения важно обеспечить наибольшие значения степени сжатия и коэффициента полезного действия.
Математическое моделирование в ряде случаев позволяет существенно уменьшить материальные затраты на экспериментальную доводку элементов проточной части проектируемых компрессоров, однако для трансзвуковых ступеней результаты расчётов, как правило, существенно отличаются от экспериментальных данных. Одна из основных причин отклонения связана с недостаточной точностью определения характеристик турбулентности, поэтому совершенствование расчётных моделей течения газа во вращающихся лопаточных венцах с целью расширения диапазона применимости и повышения точности - актуальные задачи современной газодинамики.
Цель работы заключается в разработке метода расчёта течений в высоконагруженных трансзвуковых осевых компрессорах, основанного на уточнённой к — є модели турбулентной вязкости.
Научная новизна работы определяется тем, что впервые
с учётом слабого неравновесного приближения Лаундера-Риса Роди и сопоставления результатов интегрирования с экспериментальными данными, предложена зависимость турбулентной вязкости от локальных значений отношения генерации к скорости диссипации энергии турбулентности, повышающая точность пространственного моделирования газодинамических параметров осевого компрессора;
на основе расчетно-теоретического исследования характеристик турбулентного потока в рабочем колесе высоконагруженного трансзвукового компрессора, установлено, что в зоне отрыва потока от спинки лопатки турбулентная вязкость jit/'ц = 1.8 102 -=- 1.6 103; неравновесность генерации и скорости диссипации энергии турбулентности R = 1.5 -г- 3.0; степень турбулентности Ти = 0.15 -т- 0.25; вблизи скачка уплотнения R — 102 -Е- 103; в области радиального зазора Ти = 5 -г- 10;
показано, что отношение удельных работ сжатия при изэнтро-пическом и реальном процессах вблизи взаимодействия скачка уплотнения и пограничного слоя лопатки находится в пределах Vad = 0-15 -г- 0.35, в области развитого отрыва т]а(і — 0.65 Ч- 0.75 при средне-интегральном адиабатическом КПД рабочего колеса 0.87, что определяет возможности аэродинамического совершенствования компрессоров.
Достоверность научных положений обусловлена
применением фундаментальных физических законов, корректностью математических постановок задач и сопоставлением тестовых численных расчётов с известными результатами других авторов;
использованием экспериментальных данных, полученных с помощью общепринятых при газодинамических исследованиях проточной части компрессоров методик измерения.
На защиту выносятся:
Модель турбулентной вязкости, учитывающая различный уровень локальной неравновесности генерации и скорости диссипации энергии турбулентности в компрессорной ступени.
Результаты расчёта и сопоставления с экспериментальными данными распределений основных интегральных газодинамических характеристик рабочего колеса трансзвукового компрессора.
Выявленные закономерности в распределении и значении параметров турбулентности в проточной части компрессора.
Практическая ценность работы заключена в разработке уточнённой к — є модели турбулентности, позволяющей сократить материальные и трудовые затраты на проектирование, изготовление, испытание и доводку трансзвукового осевого компрессора. Результаты выполненной работы внедрены на предприятиях ОАО «Тюменские моторостроители».
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на XIII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции «Газотурбинные и комбинированные установки и двигатели» (г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008 г.), в конструкторском бюро «Гранит» (г. Москва, ФГУП ММПП «Салют», 2008 г.), на Тюменском межотраслевом научном и методологическом семинаре «Теплофизика, гидрогазодинамика, теплотехника» (г. Тюмень, ТюмГУ, 2009 г.), в НПФ «Теплофизика» (г. Уфа, УГАТУ, 2009 г.), на научных семинарах кафедры механики многофазных систем Тюменского государственного университета и Тюменского филиала Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН (2009 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, в том числе 3 статьи в журналах из перечня ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх разделов, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации -123 страницы, в том числе 37 рисунков, расположенных по тексту. Список литературы включает в себя 134 наименования.
В разделе 1 описаны современные методы и проблемы моделирования течений в проточной части компрессоров, формулируются конкретные задачи исследования. Построение уточнённой теории к — є, основанной на пропорциональности составляющих тензора Рейнольдсовых напряжений и энергии турбулентности, приведено в разделе 2. В разделе 3 исследуются течения в тестовом трансзвуковом рабочем колесе с учётом поправок на неравновесность турбулентности.
Современые подходы к моделированию и расчёту турбулентности
В [4] Ментер показал, что использование DNS-метода для моделирования течений с характерным числом Рейнольдса Re = 5-Ю4 на суперкомпьютере со скоростью 1 терафлоп/с требует 88 дней, с Re = 5-Ю5 - около 122 лет. Становится очевидно, что DNS-метод позволяет получать результаты только для малых чисел Рейнольдса и не может быть использован в турбомашиностроении, где Re 107 -Ь 108.
Сущность LES (Large Eddy Simulation) метода состоит в прямом разрешении крупных вихрей и моделировании мельчайших (подсеточного масштаба) [5, 6]. Основной предпосылкой такого подхода является то, что наибольшие вихри несут максимум Рейнольдсовых напряжений и должны быть рассчитаны, а вихри с Колмогоровским масштабом имеют близкие к изотропным характеристики и поддаются моделированию [7, 8]. Так как LES включает моделирование мельчайших вихрей, характерные размеры ячеек и временные шаги могут быть намного больше, чем в DNS. Исторически, LES-метод был предложен метеорологами (Дж. Смагоринский [9] и др.) для прогноза погоды и позволил понять физику некоторых основных турбулентных течений, таких как течение с однородным сдвигом и течение в канале при высоких числах Рейнольдса. Однако имеются серьёзные проблемы применения LES-метода к турбулентным течениям, ограниченным твёрдыми стенками, поэтому практически все приложения LES относятся к течениям простых геометрий, где может быть использована эмпирическая поправка Ван Дрийста [10]. Вследствие этого, применение метода моделирования турбулентных течений с выделением крупных вихрей представляется на практике крайне трудоёмким, даже если не принимать во внимание методологические проблемы физического характера [11, 12].
RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) приближение с концепцией турбулентной вязкости (fit) остаётся, по существу, единственным средством для решения задач сложных турбулентных течений. Простейший способ оценки fit состоит в использовании алгебраических моделей Прандтля [13], Ссбсси-Смита [14], Болдуина-Ломакса [15] и Джонсона-Кинга [16]. К их достоинствам можно отнести скорость вычислений, простоту калибровки и модификаций с учётом специфики рассматриваемых течений. Однако очевидна узкая специализация данных моделей, поскольку они опираются на эмпирическую информацию о структуре исследуемых течений. Алгебраические модели турбулентности предполагают локальное равновесие моделируемой турбулентности и неприменимы в случаях с доминирующим влиянием переноса турбулентности или предыстории процесса.
Модели с одним дифференциальным уравнением (Секундов [17, 18, 19, 20], Брэдшоу [21] и др.) обладают большей универсальностью при описании турбулентных течений с учётом сжимаемости, переходных явлений, кривизны и отрыва потока, однако объектами их применения, как правило, являются простые конфигурации потоков. Как и в случае алгебраических моделей, однопараметрическая теория турбулентности сильно зависит от привязки к калибровочным типам течений. Снять указанные ограничения можно, например, при определении масштаба турбулентности введением независимой переменной, т.е. решением дополнительного уравнения переноса. Более универсальные методы инженерных расчётов турбулентных потоков основаны на моделях с двумя дифференциальными уравнениями [22]. Первая двухпараметрическая теория была предложена Колмогоровым [23, 24] и содержала в себе уравнения переноса кинетической энергии турбулентности к и её удельной скорости диссипации ш. В дальнейшем, уравнения к — ш совершенствовались Саффменом, Уилкоксом и Сполдин-гом [13]. Результатом данных работ является повышение точности расчёта пристеночных течений, свободных поверхностей, низкорейнольдсовых течений и течений с большими градиентами скорости и давления. Однако отрыв потока, рассчитанный с помощью теории к — и заметно интенсивнее и происходит раньше, чем в действительности. Также следует отметить сильную зависимость результатов расчёта от граничных условий при входе.
Высокорейнольдсовая модель к — є, предложенная Чоу [25] и получившая дальнейшее развитие в исследованиях Лаундера, Джонса и Сполдинга [26], является, по-видимому, одной из наиболее удачных. Её особенности заключаются в высокой устойчивости и применимости для комплексных течений с поперечными градиентами скорости, включая быстрые деформации, умеренные вихри и нестационарные течения. Основные недостатки теории к — є сводятся к избыточной генерации турбулентности в областях течения с преимущественно безвихревой деформацией и низкой точности описания пристеночных эффектов при продольных перепадах давления и малых числах Рейпольдса. Тем не менее, уравнения к — є лучше описывают свойства сдвиговых течений, а модели к — ш имеют преимущества при моделировании пристеночных явлений.
Пространственная дискретизация области интегрирования
В настоящее время рекордную скорость решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) демонстрирует метод неполной факторизации, предложенный Н.И. Булеевым [71, 72] в середине 50-х годов (г. Обнинск). Идея метода неполной факторизации для решения алгебраической системы заключается в построении такой матрицы J5, называемой предобуслов-ливающей, которая легко обратима и близка к исходной матрице А в том смысле, что собственные числа матрицы - произведения В 1А не сильно различаются между собой. Тогда последовательные приближения фР+1 строятся с помощью итерационного процесса, который в канонической записи имеет следующий вид: где А - матрица, полученная из коэффициентов аппроксимации уравнения (1.32) для каждого контрольного объема; ф - вектор значений фр для каждой расчётной ячейки (рис. 1.4); Q - вектор источниковых членов; con+i - вычисляемые параметры, а число итераций п — 1..птах зависит от числа обусловленности матрицы cou.d(B 1A) = An/Ai, An ... Ai 0.
Вводя обозначения фп = ф — фп,гп = f — Aun для векторов коррекции и невязки, соотношение (1-46) можно разбить на два: из которых видно, что наиболее трудоёмкая процедура на каждой итерации - решение вспомогательной системы с матрицей В. Первооткрыватель методов неполной факторизации Н.И. Булеев предложил искать В как приближённую (неполную) факторизацию исходной матрицы А: где L и U - нижняя и верхняя треугольные матрицы. Помимо конструктивного построения множителей L и U Булеев предложил в качестве критерия близости матриц принцип компенсации, основанный на том, что в задачах математической физики решения в основном гладкие, и «лишние» члены, обусловленные неточностью факторизации, будут взаимно компенсироваться: где е - вектор с постоянными (единичными) компонентами.
Практически одновременно (в 1983 г.) и независимо в работах Аксельсона и Дж.Голуба [73] были предложены неявные блочные методы неполной факторизации, в которых матричные множители L и U — блочно-треугольные матрицы, причём диагональные блоки - ленточные матрицы, ненулевые элементы которых сосредоточены в окрестности ленты заданной ширины d около главной диагонали. Такие алгоритмы позволили уточнить саму приближённую факторизацию и значительно сократить число итераций [74).
Вычисления на последовательности сгущающихся сеток Универсальность и эффективность вычислений на последовательности сеток связаны с тем, что в их основе лежит тот или иной способ учёта априорной информации о дискретизованном решении исходной континуальной задачи, описывающей физический процесс. Для многих численных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных, а также интегральных уравнений, характерно, что аналитик вначале дискретизирует задачу, выбирая аппроксимирующее алгебраическое уравнение на конечномерном пространстве (сетке), а затем строит вычислительный процесс для приближённого решения системы дискретных уравнений (как правило, большого порядка). Обычно не допускается непосредственной связи между процессами дискретизации и решения системы. В этом случае не используются преимущество того, что решаемая алгебраическая система возникает не сама по себе, а является, по существу, аппроксимацией континуальных уравнений и поэтому может быть сама, вместе со своим решением, аналогично аппроксимирована другими, более простыми алгебраическими системами. При этом погрешность приближенных решений может регулярным образом зависеть от параметров дискретизации. Поэтому основной идеей многосеточиых (или многоуровневых) методов является работа не с единственной сеткой, а с последовательностью измельчающихся сеток (по тем или иным параметрам дискретизации), так что решения, определённые на этих сетках, взаимодействуют друг с другом, а также с точным решением континуальной задачи [75]. В результате алгоритмы дискретизации и решения алгебраической системы объединяются в единый вычислительный процесс, делая его существенно более эффективным, зачастую на несколько порядков [52, 76, 77, 78].
Построение расчётной сетки - один из важнейших этапов численного решения аэродинамической задачи. При выборе конструкции сетки в пространственном межлопаточном канале большинство исследователей останавливались на сетках типа «Н» (рис. 1.5), которые могут быть приспособлены для расчётов широкого класса течений в многоступенчатой турбомашине.
Уточнение локально-неравновесного демпфирования коэффициента турбулентной вязкости
На основании обобщённого уравнения для Рейнольдсовых напряжений, слабого локалыю-неравновесного приближения и модели Ротта для тензора перераспределения предложена зависимость турбулентной вязкости от отношения генерации турбулентной кинетической энергии к скорости её диссипации.
Проведена верификация уточнённого выражения для турбулентной вязкости на тестах с турбулентным пограничным слоем, обтеканием эллипсоида вращения, свободным сдвиговым течением и потоком в трансзвуковом диффузоре. Показано, что результаты расчёта с учётом поправки на локальную неравновесность турбулентности удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.
Нестационарное моделирование свободного сдвигового течения с помощью модифицированной модели к — є выявило неустойчивость зоны смешения. Данный эффект находится в соответствии с обобщённой экспериментальной зависимостью числа Струхаля от числа Рейнольдса и не описывается стандартными уравнениями к — є (при количестве расчётных узлов N = (100 500) 103).
Применение модифицированных уравнений к — є для моделирования течения со скачком уплотнения показало повышение точности результатов (особенно на грубых сетках). Установлено, что характерные значения неравновесности турбулентности вблизи ударной волны соответствуют R 102 и R 1.0 Ч-1.2 в отрывных зонах.
Адекватное моделирование пространственного течения в трансзвуковых компрессорах - одна из самых актуальных задач газодинамики. Для отработки различных аспектов моделирования, связанных в том числе и с выбором подходящей модели турбулентности, выполнен ряд подробно документированных образцовых экспериментальных исследований. К их числу относятся работы научно-исследовательских центров NASA, Rolls-Royce, Deutsche Forschungs- und Versuchsanstalt fur Luft- und Raumfahrt, ЦИАМ им. П.И. Баранова, ГНЦ ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского, НТЦ им. A.M. Люльки и др. [32, 86, 88, 91, 124].
Трансзвуковой осевой компрессор NASA Rotor 37 разработан в 1978 г. (Reid L., Moore R.D. [86]) и характеризуется степенью повышения полного давления 7г — 2.056, адиабатическим КПД r]ad = 0.876 при массовом расходе воздуха 20.74 кг/с и номинальной частоте вращения QQ = 1800 рад/с. Описание экспериментальных данных приведено в [32, 86, 95, 87], а результаты расчётно-теоретических исследований [93, 92, 94, 32] позволяют провести проверку методики вычислений. Течение в компрессоре Rotor 37 - тест моделей турбулентности и газодинамических программ, рекомендованный ASME [32] и принятый основным в настоящей работе. Следует также отметить, что результатами экспериментальных исследований указанного компрессора являются значения газодинамических параметров более чем в 103 точках проточной части (включая данные лазерной анемометрии), что представляет собой существенный массив данных, необходимых для достоверного обоснования расчётной модели.
Моделирование трансзвуковых течений газа в компрессорах основывается на системе, состоящей из уравнений неразрывности (3.1), сохранения импульса (3.2), полной энергии (3.3), состояния (3.4) и модифицированной к — є модели турбулентности (3.5)-(3.7). Консервативная форма записи исходных уравнений сохранения во вращающейся с постоянной угловой скоростью Q системе координат имеет вид.
Влияние турбулентной вязкости на интегральные газодинамические характеристики компрессора
Исследовано влияние количества контрольных объемов на точность расчёта основных газодинамических характеристик компрессора. Установлено, что увеличение числа узлов интегрирования от 5-Ю5 до 2 106 приводит к изменению степеней повышения полного давления и полной температуры не более чем на 0.3%.
На основе численного моделирования течений в рабочем колесе трансзвукового компрессора установлены характерные распределения и значения турбулентной вязкости; интенсивности и неравновесности турбулентности в проточной части.
Показано, что использование стандартной теории к — є для расчёта течений в осевых трансзвуковых компрессорах приводит к существенному завышению турбулентной вязкости (до 4.5 раз).
Статистическим анализом на основе критерия Фишера обосновано повышение точности результатов моделирования расчетных и нерасчётных режимов работы компрессора при использовании поправок на неравновесность генерации и скорости диссипации энергии турбулентности в уравнениях к — е.
Установлено, что на расчётном режиме работы компрессора в области взаимодействия скачка уплотнения и пограничного слоя лопатки отношение удельных работ сжатия при изэнтропическом и реальном процессах составляет 0.15 -г- 0.35 и 0.65 -=- 0.75 в отрывных областях.
Установлено, что использование стандартной модели к—є для расчёта основных газодинамических характеристик трансзвуковых осевых компрессоров приводит к отклонению от экспериментальных данных. Выявлено существенное завышение коэффициента турбулентной вязкости на расчётных и нерасчётных частотах вращения тестового рабочего колеса. На основе алгебраической формы уравнений переноса напряжений Рейнольдса предложено уточнение теории к — є в зависимости от локального отношения генерации к скорости диссипации энергии турбулентности.
Проведена верификация модифицированных уравнений к — є на тестах с турбулентным пограничным слоем, обтеканием эллипсоида вращения, свободным сдвиговым течением и потоком в трансзвуковом диффузоре. Показано, что результаты расчёта с учётом поправки на неравновесность турбулентности удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. В тесте с трансзвуковым диффузором установлены преимущества модифицированной модели вблизи скачка уплотнения. При моделировании свободных сдвиговых течений с учётом введённых уточняющих соотношений отмечена газодинамическая неустойчивость зоны смешения, которая находится в соответствии с обобщённой экспериментальной зависимостью числа Струхаля от числа Рейнольдса и не воспроизводится стандартными уравнениями к — є.
Расчётно-теоретическим путём показано, что в проточной части рабочего колеса трансзвукового компрессора отрывные зоны со стороны спинки лопатки характеризуются степенью турбулентности Ти = 0.15 -f- 0.25, турбулентной вязкостью /І //І = 1.8 102 -f-1.6 103, неравновесностью генерации и скорости диссипации энергии турбулентности R 1.5 -V- 3. Вблизи скачка уплотнения и радиального зазора установлены максимальные значения неравновесности (R = 102 -f- 103) и степени турбулентности (Ти = 5 -т- 10) соответственно.
На основе статистического анализа по критерию Фишера обосновано повышение точности расчёта газодинамических характеристик рабочего колеса при использовании уточняющих локально-неравновесных соотношений для коэффициента турбулентной вязкости.
Установлено, что при среднеинтегральном адиабатическом КПД компрессора rjad = 0.87 на расчётном режиме вблизи области взаимодействия скачка уплотнения и пограничного слоя со стороны спинки лопатки отношение удельных работ сжатия при изэнтропическом и реальном процессах составляет 0.15 Ч- 0.35 и 0.65 - 0.75 в отрывных областях.
