Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод решеточных уравнений больцмана 26
Введение 26
1.1. Метод решеточных газов 33
1.2. Уравнения Больцмана с дискретными скоростями 38
1.2.1. Уравнения ББКГИ 38
1.2.2. Уравнения Больцмана с дискретными скоростями 40
1.2.3. Изотропность набора векторов скорости 42
1.2.3.1. Изотропность (длина всех ненулевых векторов скорости одинакова) 43
1.2.3.2. Изотропность (ненулевые модули скорости разные) 45
1.3. Метод LBE 46
1.4. Действие объемных сил 49
1.4.1. Метод точной разности для кинетического уравнения Больцмана 49
1.4.2. Метод точной разности для LBE 51
1.4.3. Разложение Чепмена - Энскога 53
1.4.4. Работа объемной силы 56
1.5. Анализ других известных способов учета'действия объемных сил 57
1.5.1. Методы, прямо использующие выражение для явной производной от равновесной функции распределения 57
1.5.2. Метод модификации оператора столкновений BGK 60
1.5.3. Метод неопределенных коэффициентов 60
1.5.4. Комбинированный метод 61
1.5.5. Результаты сравнительного анализа 62
1.6. Моделирование границ раздела фаз жидкость-пар в методе LBE 65
1.6.1. Метод сил притяжения Шана - Чена 65
1.6.2. Учет действия сил в методе LBE при расчете переходных слоев 67
1.6.3. Метод среднего поля Жанга - Чена для других УС с фазовыми переходами 69
1.6.4. Новая аппроксимация градиента потенциала 70
1.7. Моделирование границ раздела несмешивающихся жидкостей
в методе LBE 74
1.8. Численные расчеты 74
1.8.1. Распад разрывов 74
1.8.2. Моделирование фазовых переходов 80
1.9. Заключение 83
Глава 2. Мезоскопическое моделирование электрогидродинамических течений 86
Введение S6
2.1. Основные уравнения 88
2.2. Метод решения 92
2.2.1. Конвективный перенос носителей заряда 93
2.2.2. Метод дополнительного LBE-компонента 95
2.2.3. Вычисление электрического потенциала и переноса заряда токами проводимости 97
2.3. Результаты расчетов 98
2.3.1. Динамика проводящих пузырьков в электрическом поле 98
2.3.2. Капли в электрическом поле 101
2.4. Влияние электрострикции 103
2.4.1. Анизотропная неустойчивость жидкого диэлектрика в однородном электрическом поле 103
2.4.2. Эволюция парового пузырька 112
2.4.3. Электрострикция в неоднородном электрическом поле 114
2.5. Заключение 122
Глава 3. пРиближенные методы расчета распределения электрического поля по поверхности электродов сферической формы 125
Введение 125
3.1. Два параллельных металлических цилиндра 126
3.2. Две металлические сферы равного радиуса 129
3.3. Применение в прикладных задачах 137
3.3.1. Сила притяжения между сферами 13 8
3.3.2. Электрический пробой 141
3.4. Заключение 143
Глава 4. Моделирование частичных разрядов 145
Введение 145
4.1. Моделирование частичных разрядов в твердых диэлектриках на переменном напряжении 147
4.2. Моделирование частичных разрядов в жидких диэлектриках на постоянном напряжении 153
4.2.1. Частичные разряды в одиночной паровой каверне, находящейся в жидком диэлектрике 153
4.2.2. Возникновение микропузырьков парогазовой фазы на поверхности электрода в сильном электрическом поле из-за действия электростатических сил 155
4.2.3. Частичные разряды в жидких диэлектриках, связанные с пробоем газа в пузырьках, находящихся на поверхности электродов 158
4.3. Заключение 160
Глава 5. Стохастическая модель зарождения пробоя в жидких диэлектриках 162
Введение 162
5.1. Модель макроскопического описания процесса зарождения пробоя 164
5.2. Эксперименты 170
5.2.1. Пробой трансформаторного масла 170
5.2.2. Пробой перфтордибутилового эфира 173
5.3. Влияние геометрии электродов и формы напряжения на процесс зарождения пробоя 175
5.3.1. Вероятность зарождения пробоя 175
5.3.2. Реконструкция функции ju(E) для экспериментов по пробою на импульсах постоянного напряжения 178
5.3.3. Степенная аппроксимация /л{Е) 181
5.3.4. Методы реконструкции функции /л{Е) в случае степенной аппроксимации 186
5.3.4.1. Метод гистограмм напряжений пробоя 187
5.3.4.2. Метод фиксированной вероятности пробоя 195
5.3.4.3. Метод средних значений электрического поля пробоя 196
5.3.5. Специальный вид аппроксимации /л(Е) 201
5.4. Стохастическое моделирование зарождения пробоя 204
5.4.1. Стохастическое моделирование пробоев в н-гексане на постоянном напряжении 204
5.4.2. Стохастическое моделирование пробоев на переменном напряжении линейно нарастающей амплитуды 209
5.5. Обсуждение и заключение 213
Глава 6. Моделирование стохастического роста стримерных структур при электрическом пробое 218
Введение 218
6.1. Критерии роста и функция вероятности роста г(Е) 223
6.2. Критерии роста с "физическим " временем 226
6.2.1. Флуктуационный критерий роста стримеров 227
6.2.2. Первый одноэлементный критерий роста стримеров 230
6.2.3. Другие новые критерии роста стримеров 230
6.2.4. Моделирование роста диагональных звеньев структуры 232
6.2.5. Ограничение роста стримерной структуры только с вершин 234
6.2.6. Критерий роста на основе механизма типа анизотропного распада жидких диэлектриков в сильных электрических полях 235 6.2.6. Оценка скорости роста вершины линейного моноканала, распространяющегося по механизму типа анизотропного распада жидких диэлектриков 239
6.3. Моделирование конечной проводимости каналов стримерных структур 243
6.3.1. Двухстадийная модель с превращением стримеров в "лидеры" 244
6.3.2. Модели с постоянной электропроводностью 248
6.3.2.1. Постоянное сечение сегментов стримерной структуры 249
6.3.2.2. Переменное сечение каналов (приближенная гидродинамика расширения) 249
6.3.3. Модели с изменяющейся проводимостью 253
6.3.4. Модели с импульсной проводимостью каналов 255
6.4. Результаты моделирования 257
6.4.1. Двухстадийная модель 257
6.4.2. Модели с постоянной электропроводностью 263
6.4.2.1. Постоянное сечение сегментов стримерной структуры 263
6.4.2.2. Переменное сечение каналов (приближенная гидродинамика расширения) 267
6.4.3. Модели с изменяющейся проводимостью 272
6.4.4. Модели с импульсной проводимостью каналов 274
6.4.5. Модель роста на основе механизма типа анизотропного распада жидких диэлектриков 279
6.5. Рост стримерных структур с учетом гидродинамических течений 284
6.5.1. Модель роста стримеров в сильно вязких диэлектриках 284
6.5.2. Модель роста стримерных структур с учетом энерговыделения в проводящей фазе 286
6.6. Заключение 289
Заключение 292
Литература
- Уравнения Больцмана с дискретными скоростями
- Метод дополнительного LBE-компонента
- Две металлические сферы равного радиуса
- Возникновение микропузырьков парогазовой фазы на поверхности электрода в сильном электрическом поле из-за действия электростатических сил
Введение к работе
Одним из самых интересных физических явлений является электрический разряд в конденсированных диэлектриках. Действительно, это сложное для моделирования явление весьма многогранно и подчиняется законам электродинамики, газодинамики (гидродинамики), атомной и молекулярной физики, физики плазмы, теплофизики (в том числе с учетом переноса излучения).
Можно выделить три основные стадии этого явления [64]
Предразрядную (предпробойную), в результате которой формируется токопро-водящий канал, замыкающий межэлектродный промежуток;
Канальную, в которой основная часть энергии накопителя выделяется в плазме расширяющегося канала и трансформируется в энергию газодинамического расширения;
Деградация плазмы и распад канала. (В жидкости - пульсации парогазовой полости после разряда).
Для электрических разрядов в жидкости наиболее изучена канальная стадия [Г,2*,4*,65-70]. Имеется очень большое количество работ, в которых путем численного моделирования рассчитывались газодинамические течения при расширении канала разряда [1*,4*,68-72]. В основном эти исследования были связаны с электрогидравлическим воздействием электрического разряда в жидкости.
Известно, что предпробойные процессы в жидких диэлектриках проходят в две стадии. Первая из них связана с развитием ряда микроскопических процессов на поверхности электродов и в тонком слое прилегающего к ним диэлектрика. Эти процессы в итоге приводят к появлению одного или нескольких светящихся образований на поверхности электрода. Эти области новой фазы проводят электрический ток, поэтому в разрядной цепи появляются короткие импульсы предразрядного тока (так называемые частичные разряды). Продолжительность первой стадии (называемой статистическим временем запаздывания) является случайной величиной, плотность вероятности которой зависит от электрического поля и его распределения по по-
Здесь и далее в тексте диссертации ссылки на работы ее автора будут отмечены
звездочками
верхности электрода. Микроскопические процессы, происходящие при зарождении пробоя, достаточно сложны, происходят параллельно и изучены недостаточно. Существует целый ряд механизмов, с помощью которых предпринимаются попытки моделирования этих процессов. Одним из таких объяснений является инжекция носителей заряда и последующее действие на них электрических сил. При этом, с одной стороны, происходит локальный нагрев жидкости, а с другой - в жидкости возникают электрогидродинамические (ЭГД) течения.
На второй стадии, при условии достаточной величины электрического поля, из этих образований происходит быстрый рост проводящей ветвящейся структуры (называемой стримером) вглубь межэлектродного промежутка. Предразрядная стадия завершается так называемым пробоем диэлектрика, когда одна из токопроводящих ветвей перемыкает промежуток.
По-видимому, первое описание развития разряда в жидкости на основе одновременной оптической и осциллографической регистрации процесса было выполнено В. С. Комельковым в [73].
Электрогидродинамические процессы и явление электрического пробоя в жидких диэлектриках изучаются достаточно давно. Обзорными в этих областях являются монографии А. П. Александрова, А. Ф. Вальтера, Б. М. Вула и др.; Г. И. Сканави; И. Е. Балыгина; И. Адамчевского; В. Я. Ушакова; Г. А. Остроумова; Ю. К. Стишко-ва, А. А. Остапенко; Ю. Н. Вершинина; Е. О. Форстера; В. Я. Ушакова, В. Ф. Клим-кина, С. М. Коробейникова, В. В. Лопатина [74-83]. Целый ряд процессов аналогичен явлениям при разряде в газах и молниях, детально описанных в монографиях Дж. Мика, Дж. Крэгса; Г. Ретера; Э. М. Базеляна, Ю. П. Райзера [84-87].
Большое внимание этим вопросам постоянно уделяется на Международных конференциях по жидким диэлектрикам (ICDL), Международных конференциях по электрогидродинамике (EHD Workshops), и на Международных конференциях по электрофизике и электрогидродинамике жидкостей (MPEEL). На всех этих конференциях обязательно представлены результаты экспериментальных и теоретических исследований электрогидродинамических течений и пробоя диэлектриков, а также результаты компьютерного моделирования этих процессов.
Многочисленные эксперименты указывают на принципиальную роль стохастических процессов при пробое жидких диэлектриков (например, статистическое время запаздывания [88-91], асимметрия и невоспроизводимость детальной структуры стримеров [77,78,83], зубчатый вид осциллограмм тока и импульсов свечения [82,83,92], случайный характер распределения мест зарождения пробоя на поверхности электродов [93,94] и т.д.). Таким образом, чтобы построить адекватную модель этого явления необходимо правильное описание стохастических закономерностей пробоя.
Вместе с тем, хорошо известно, что газодинамические процессы играют очень важную роль не только на канальной стадии, но и на стадиях зарождения и распространения стримеров. В работе [95] (P. Gournay, О. Lesaint) были получены экспериментальные данные, которые четко показывают, что рост каждой вершины стример-ной структуры со скоростями, большими скорости звука, сопровождается расходящимися ударными волнами приблизительно конической формы. На более поздних стадиях наблюдается расширение, пульсации, а при некоторых условиях и распад каналов стримера. Очевидно, что только с учетом этих гидродинамических процессов возможно адекватное моделирование пробоя.
При относительно слабых электрических полях до 1 МВ/см реализуются, конкурируя друг с другом, известные механизмы пробоя (тепловой, пузырьковый и ионизационный) [96-104] (Н. М. Jones, Е. Е. Kunhardt; В. М. Атражев; В. Ф. Климкин; С. М. Коробейников). Эти механизмы позволяют удовлетворительно объяснить основные наблюдаемые в экспериментах явления и эффекты в диапазоне полей до ~ 1 МВ/см.
Способность диэлектрика сохранять свои диэлектрические свойства в сильных электрических полях принято характеризовать его электрической прочностью. Электрическая прочность собственно жидкого диэлектрика очень высока, так как ударная ионизация не происходит при таких малых длинах свободного пробега носителей заряда. Зарождение пробоя обычно связывается с появлением газовой фазы в виде пузырьков в жидком диэлектрике, так как электрическая прочность газа меньше, чем жидкости. При этом пузырьки газа могут либо присутствовать на электродах и в объеме жидкости изначально, либо возникать после подачи напряжения. После обра-
зования пузырьков происходит их рост и деформация под действием электрического поля [103,105,106] (С. М. Коробейников; С. G. Garton, Z. Krasucki; A. Berual).
Когда пузырьки достигают некоторого размера, появляются условия для пробоя газа внутри них (частичный разряд) [96] (Н. М. Jones, Е. Е. Kunhardt). После пробоя газа в пузырьке на его поверхности появляются заряды, что приводит к локальному усилению электрического поля в жидкости вблизи полюсов пузырька. При определенных условиях становится возможным последующий пробой непосредственно жидкого диэлектрика.
Образование паровых пузырьков на начальных стадиях пробоя жидкостей наблюдалось экспериментально в работах [107-110]. После образования пузырьков наблюдался их рост и развитие на их поверхности ЭГД-неустойчивости, приводящее к развитию стримерных каналов (росту проводящих структур в жидком диэлектрике).
Тепловой механизм образования пузырьков связан с локальным тепловыделением в жидкости за счет нагрева ее электрическим током. Когда температура становится выше температуры кипения жидкости при данном давлении, в жидкости начинают образовываться зародыши пузырьков паровой фазы, которые затем расширяются за счет испарения новых порций жидкости и за счет действия электрического поля. В работе [96] предложена модель, в которой зародыши пузырьков образуются в областях усиления электрического поля на микроостриях путем локального нагрева жидкости за счет полевой эмиссии. При этом показано, что время возникновения зародышей пузырьков вносит основной вклад в статистическое время запаздывания пробоя.
Другая возможность пересечь кривую фазового равновесия - локальное понижение давления в сильных электрических полях при действии электрических сил на заряд, инжектированный с поверхности электрода. При этом жидкость вблизи электрода может попасть в метастабильное состояние даже при начальной температуре, что приводит к ее вскипанию. Этот механизм можно назвать электрической кавитацией. На принципиальную возможность образования пузырьков за счет электрической кавитации указывалось в работах Z. Krasucki; О. А. Синкевича, П. В. Смирнова; С. М. Коробейникова; А. Л. Куперштоха [107,111,104,19*].
Особый интерес представляет собой поведение жидких диэлектриков в экстремально сильных электрических полях (1-100 МВ/см), в частности, механизмы, действующие на начальных стадиях электрического пробоя, и механизмы быстрого распространения проводящих ветвящихся стримерных структур.
Исследованием моделей, описывающих явления электрогидродинамики и электрического пробоя в СНГ и за рубежом занимаются несколько групп исследователей. Однако, несмотря на все многообразие известных экспериментальных и теоретических данных, в настоящее время не существует единой модели, позволяющей описать полную картину перечисленных явлений при различных напряженностях электрического поля, особенно при наличии фазовых переходов.
В частности, в рамках известных моделей пробоя не представляется возможным объяснить экспериментально наблюдающиеся экстремально высокие скорости распространения проводящих стримерных структур. В жидких диэлектриках наблюдаются скорости более 100 км/с [112,92,113] (В. В. Лопатин, В. Я. Ушаков, В. П. Черненко; О. Lesaint, G. Massala; О. Lesaint, М. Jung) для так называемой 4 моды стримеров (по классификации Гренобльской группы исследователей, CNRS, Гренобль, Франция). В твердых диэлектриках экспериментально зарегистрированы скорости ~ 1500 км/с [114] (Ю. Н. Вершинин).
Для объяснения таких высоких скоростей распространения необходимы поиски других возможных механизмов быстрого распространения ветвей стримеров.
До сих пор почти не уделялось должного внимание возможным эффектам влияния электрострикции. В основном это связано с тем, что электрострикционные силы считались малыми, а также со сложностью происходящих при этом процессов. Впервые предположение о возможном влиянии электрострикции на быстрые пред-пробойные процессы (~ 1-Ю не) в сильных электрических полях ~ 25 МВ/см было высказано в работе Э. В. Яншина, И. Т. Овчинникова, Ю. Н. Вершинина [115], где было сказано, что перед возникновением свечения в разрядном промежутке возникает ударная волна электрострикционного происхождения. Было экспериментально установлено, что вода теряла свою прозрачность за время ~ 1 не, причем предшествующей эмиссии света из этой области не было. Коэффициент прозрачности умень-
шалея до значений < 5 % одновременно во всем исследованном спектральном диапазоне.
Несколько позже появилась работа С. М. Коробейникова, Э. В. Яншина [116] о волнах электрострикции в окрестности сферического электрода. Однако, в расчетах не учитывалась возможность фазового перехода жидкость-пар в волне разрежения. Вместе с тем, указывалось на возможность фазового перехода вода-лед в области высокого давления вблизи поверхности электрода. Влияние электрострикции применительно к другой проблеме: зарождение и поведение пузырьков в жидком диэлектрике подробно исследовалось в работах С. М. Коробейникова; В. С. Воробьева, С.П.Малышенко[117-119].
Известно, что сильные электрические поля влияют на кривую сосуществования фаз жидкость-пар для диэлектриков, находящихся первоначально в жидком состоянии, при условии нелинейной зависимости диэлектрической проницаемости от плотности [120] (Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц). Там же приведено выражение для смещения критической точки по температуре, откуда следует, что и спинодаль, и бинодаль сдвинуты вверх тем сильнее, чем больше квадрат напряженности электрического поля. Соответственно, те состояния вещества, которые до включения поля находились в области стабильности, после включения достаточно большого электрического поля могут оказаться под спинодалью, соответствующей этому полю. Однако, работ, в которых это явление было бы детально изучено и построены кривые сосуществования фаз и спинодали, до сих пор нет. Тем более, ни в одной работе в принципе не рассматривалась возможность анизотропных эффектов.
В многочисленных экспериментальных исследованиях [75-77,82,83] наблюдался целый ряд эффектов, которые должны описываться в теоретических и компьютерных моделях роста стримерных структур:
возникающие при пробое стримерные структуры имеют ветвистый характер (типа кустов или деревьев) и состоят из тонких нитей (каналов) диаметром порядка Юмкм;
импульсный (пошаговый) характер свечения при распространении вдоль промежутка;
импульсный характер тока во внешней цепи.
Пионерской работой, в которой было впервые предложено моделировать рост ветвящихся стримерных структур, как стохастический процесс, управляемый локальными электрическими полями вблизи вершин стримерной структуры, считается работа Нимейера, Пиетронеро, Виссмана [121]. Эта модель впервые позволила смоделировать образование ветвистых стримерных структур, имеющих фрактальную размерность. Вместе с тем, в работе [321] и некоторое время в целом ряде более поздних работ считалось, что растущая структура имеет высокую проводимость, то есть эквипотенциальна. В этом случае задача сильно облегчается, так как для расчета распределения потенциала в диэлектрике (и, соответственно, электрического поля) на каждом шаге роста достаточно решать уравнение Лапласа в области вне растущей стримерной структуры.
Чтобы учесть релаксацию заряда, необходимо решать уравнение Пуассона совместно с уравнением переноса электрического заряда вдоль ветвей проводящей структуры с конечной электропроводностью. Впервые такой учет переноса зарядов по каналам конечной проводимости был выполнен в [8*].
Кроме того, в модели [121] отсутствовало "физическое время", так как каждому шагу роста не была поставлена в соответствие величина шага по времени. Первый одноэлементный критерий роста, в котором "физическое время" введено правильно, был предложен в 1993 г. Биллером [122].
Для многоэлементных критериев физическое время определяется естественным образом величиной шага по времени г. В этом смысле первый критерий роста с правильным физическим временем (флуктуационный критерий) был предложен несколько раньше (в 1991 г.) и опубликован в работах [5*,6*,8*],
Таким образом, вся совокупность известных экспериментов указывает на то, что явление имеет принципиально стохастическую природу, а также на важную роль гидродинамических течений. При этом моделей, описывающих даже основные стохастические свойства явления, практически не существовало. Расчетов гидродинамических течений, возникающих на предпробойной стадии, также практически не было. Основные вопросы: зарождения и распространения стримеров с высокими скоростями до сих пор не находили объяснения.
В основном это связано с тем, что классические конечно-разностные численные методы моделирования электрогидродинамических течений мало пригодны для расчета сложных двухфазных нестационарных течений, особенно в условиях возникновения в диэлектрике большого количества новых контактных границ жидкость-пар. Существенным прорывом в данном направлении является использование многофазных вариантов метода решеточных уравнений Больцмана (LBE). Метод LBE является методом расчета гидродинамических течений, являясь при этом методом сквозного счета границ раздела фаз, в том числе и вновь возникающих в объеме вещества [47*,49*,50*].
Актуальность работы. Разрушительные последствия аварий современного силового энергетического оборудования, содержащего десятки тонн жидкого диэлектрика, проявляются не только там, где собственно произошла авария (взрыв, пожар), но также приводят к отключениям электроэнергии в крупных энергосистемах жизнеобеспечения мегаполисов. Несмотря на все многообразие известных экспериментальных и теоретических данных, в настоящее время не существует единого описания явлений, происходящих в жидкостях при различных напряженностях электрического поля, особенно при наличии фазовых переходов. ЭГД-течения, зарождение пробоя, рост стримерных каналов рассматриваются независимо, зачастую феноменологически. Нет модели, позволяющей описать полную картину перечисленных явлений. Удовлетворительного теоретического описания процессов зарождения пробоя в жидких диэлектриках, особенно с учетом стохастических и гидродинамических эффектов, вообще до сих пор не существует.
Особый интерес представляет также динамика гетерогенных систем (диэлектрические жидкости, содержащие проводящие включения или пузырьки) под действием электрического поля. Ускорение слияния капель в электрическом поле используется, в частности, для очистки нефти от воды [123]. Поэтому адекватное описание этого процесса тоже представляет собой важную научно-техническую проблему. Настолько же важны исследования электрического пробоя криогенных жидкостей, широко используемых в качестве диэлектрика в современных сверхпроводящих системах. В криогенных жидкостях возможно интенсивное образование пузырьков за счет
медленного кипения, так как неизбежен тепловой поток из окружающей среды. Фактически, в этом случае мы тоже имеем гетерогенную систему.
Целями диссертационной работы являются: исследование стохастических закономерностей и гидродинамических характеристик при зарождении и росте разрядных структур в жидких диэлектриках на предпробойной стадии разряда, а также построение физических основ и компьютерных моделей этого явления.
Основной задачей работы является построение физической картины процессов, происходящих на предпробойной стадии электрического разряда в жидких диэлектриках и построение соответствующих компьютерных моделей, позволяющих описать основные стохастические и гидродинамические эффекты этого явления. В рамках основной задачи самостоятельной подзадачей является построение адекватных методов моделирования электрогидродинамических течений, в том числе и с возможностью моделирования фазовых переходов жидкость-пар. Одним из таких методов является метод решеточных уравнений Больцмана (Lattice Boltzmann equation, LBE).
Научная новизна работы. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми и опережают мировой уровень.
Впервые сформулирован и реализован принципиально новый метод учета действия объемных сил в решеточных уравнениях Больцмана - "метод точной разности".
Впервые на основе метода сквозного счета границ раздела фаз жидкость-пар для решеточных уравнений Больцмана удалось достаточно точно смоделировать кривую сосуществования фаз в широкой области температур для веществ с произвольным уравнением состояния.
Обнаружено новое физическое явление - анизотропная неустойчивость жидких диэлектриков в сильных электрических полях и распад диэлектрика на двухфазную систему тонких паровых цилиндрических каналов в жидкости.
Впервые предложен новый локальный стохастический критерий зарождения пробоя на поверхности электродов. В рамках данного подхода понятия динамической электрической прочности (вольт-секундные характеристики), а также эффек-
тивной площади электродов (в частности, полусферических) возникают естественным образом.
Впервые сформулирован стохастический критерий роста стримерных структур с правильным "физическим временем".
Практическая значимость работы. Источники импульсных высоких напряжений микро- и наносекундной длительности, широко используемые в экспериментальной физике, в лазерной и ускорительной технике и в разрядных технологиях, предъявляют высокие требования к изоляционным материалам накопителей и коммутаторов.
С этой точки зрения, одной из основных задач электрофизики является предсказание импульсной электрической прочности жидких диэлектриков в зависимости от внешних условий - параметров приложенного напряжения, геометрии электродов, внешнего давления и т.д. Для этой цели необходимо четкое понимание механизмов зарождения пробоя в жидких диэлектриках в экстремально высоких электрических полях.
Разработана методика прогнозирования электрической прочности н-гексана, пер фтор дибутилового эфира и трансформаторного масла при изменении геометрии электродов и формы напряжения, используя функцию плотности вероятности зарождения пробоя, восстановленную из данных по статистическим временам запаздывания пробоя или из данных по напряжениям пробоя.
Достоверность полученных результатов обеспечена тем, что использованы физические подходы и математические методы, адекватные природе явления. Достоверность подтверждается согласием ряда результатов, полученных при численном моделировании, с другими известными аналитическими и численными результатами.
Апробация работы. Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались автором и обсуждались на:
XI, XII, XIII, XIV, XV Международных конференциях по диэлектрическим жидкостям (ICDL) (Баден-Даттвиль, Швейцария, 1993; Рим, Италия, 1996; Нара, Япония, 1999; Грац, Австрия, 2002; Коимбра, Португалия, 2005),
V Всесоюзной школе "Физика импульсных разрядов в конденсированных средах"
(Николаев, УССР, 1991),
V, VI, VII, VIII Международных научных конференциях «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей» (Санкт-Петербург, 1998, 2000,2003,2006),
VI, VII, IX, X, XI, XII Международных научных школах-семинарах «Физика импульсных разрядов в конденсированных средах» (Николаев, Украина, 1993, 1995, 1999,2001,2003,2005),
Международном симпозиуме IEEE-1998 по электрической изоляции (Арлингтон, США, 1998),
XVI Международной школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 1998),
II, III, IV, VI Международных научных школах-семинарах «Импульсные процессы в механике сплошных сред» (Николаев, Украина, 1996, 1999,2001,2005),
XXV Международной конференции по защите от молний (Родос, Греция, 2000),
Международном научном семинаре «Инновационные технологии-2001», (Красноярск, 2001),
VI российско-корейском международном симпозиуме по науке и технологии KORUS (Новосибирск, 2002),
IV школе-семинаре "Физика взрыва и применение взрыва в физическом эксперименте" (Новосибирск, 2003),
XXVIII Сибирском теплофизическом семинаре (Новосибирск, 2005),
IV, V Международных конференциях французского общества электростатики (Пуатье, Франция, 2004; Гренобль, Франция, 2006),
II, V Международных конференциях по электрогидродинамике (Гренобль, Франция, 2000; Пуатье, Франция, 2004),
а также на научных семинарах:
Института гидродинамики СО РАН (семинар Теоретического отдела - руководи
тель академик РАН Л.В. Овсянников, 2003; семинар Отдела прикладной гидроди
намики - член-корреспондент РАН В.В. Пухначев, 2004; семинар Отдела быстро-
протекающих процессов - профессор М.Е. Топчиян, 2006; Объединенный семи-
нар взрывных отделов - академик РАН В.М. Титов, 2006);
Лаборатории электростатики диэлектрических материалов (руководитель профессор А. Денат, Гренобль, CNRS, Франция, 1998);
Института химических технологий и высокотемпературных химических процессов (руководитель профессор В. Бурганос, Патры, Греция, 2004);
Института теплофизики экстремальных состояний РАН (семинар Теоретического отдела, руководитель профессор B.C. Воробьев, 2005).
Института математики СО РАН (руководитель академик РАН С.К. Годунов, 2006).
Тема диссертационной работы соответствует "Приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники в Российской Федерации" - "08-Энергетика и энергосбережение", а также "Основным направлениям фундаментальных исследований": 1.1.7. Математическое моделирование, 1.2.10. Физика диэлектриков, 2.2.2. Механика жидкости, газа и плазмы, твердого тела, неидеальных и многофазных сред.
Тема диссертационной работы связана с темами НИОКР Института гидродинамики СО РАН: "Исследование задач импульсной электрофизики с целью создания новых методик ударно-волнового эксперимента" (государственный регистрационный номер № 01970003579, 1997-1998 гг.), "Импульсная электрофизика газодинамических течений при электрических разрядах" (государственный регистрационный номер №01990002778, 1999-2001 гг.), "Импульсная электрофизика газодинамических течений при зарождении и развитии электрических разрядов" (государственный регистрационный номер № 01200205256, 2002-2003 гг.), "Нестационарные явления в многофазных средах: динамика структуры, кумулятивные течения, ударные волны и кавитация" (государственный регистрационный номер №0120.0406862, 2004-2006 гг.).
Работа выполнялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Сибирского отделения РАН. Автор диссертации являлся руководителем грантов РФФИ № 95-02-04698-а (1995-1996), № 97-02-18416-а (1997-1998), № 03-02-16474-а (2003-2004) и № 06-08-01006-а (2006-2008) и руководителем блоков в Интеграционных проектах СО РАН № 2 (1997-1999) и № 47 (2000-2002).
Результаты работы четыре раза были отмечены среди основных научных достижений СО РАН в 1993, 1999, 2002 и 2006 гг.
Публикации. По теме диссертации опубликовано более 60 статей в отечественных и зарубежных изданиях [1*-4*,6*-63*] (без тезисов докладов). Среди них можно выделить 37 основных статей, в которых достаточно полно изложены основные результаты диссертационной работы, в том числе и в рецензируемых журналах (4 в ведущих иностранных журналах и 10 в российских журналах из списка ВАК). Список основных публикаций приведен во Введении ниже [Г-37а].
Личный вклад автора. Диссертационная работа выполнялась в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук. Результаты, опубликованные в [1а,2я,5я,20а,22я-25а,28а], получены без соавторов. Участие автора диссертации в работах [Зя,4а,6я-19а,2Г,26я,27а,29а-37а] отражено в прилагаемой справке о личном вкладе.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Во введении, а также в начале каждой главы приведены обзоры ранее опубликованных работ по теме исследования. Диссертация изложена на 324 страницах, содержит 9 таблиц и 139 рисунков. Библиография состоит из 324 наименований.
Первая глава посвящена развитию метода решеточных уравнений Больцмана, который используется для моделирования течений жидкости и двухфазных сред. Сформулирован принципиально новый способ учета действия объемных сил в методе решеточных уравнений Больцмана — метод точной разности. Для учета действия силы предложено использовать разность равновесных функций распределения при постоянной локальной плотности. При этом локально равновесная функция распределения просто сдвигается в пространстве скоростей, оставаясь равновесной, что не выполнялось во всех ранее известных методах учета действия сил в решеточных уравнениях Больцмана.
Для решеточных уравнений Больцмана разработан метод сквозного счета границ раздела фаз жидкость-пар, в том числе и вновь возникающих в объеме вещества, что позволило достаточно точно моделировать кривую сосуществования фаз для веществ с произвольным уравнением состояния в широкой области температур от кри-
тической точки до Т « 0.4Гкр (отклонения плотности менее 0.4 %). Для стационарных переходных слоев удалось добиться отношения плотностей фаз порядка 105-10б.
Описан также метод решеточных газов (LGA), который использовался в ряде случаев для качественного моделирования гидродинамических течений.
Основные результаты первой главы опубликованы в работах [20а,22\24а,26а,28а,ЗГ].
Во второй главе сформулирована модель расчета электрогидродинамических течений с учетом переноса электрических зарядов путем конвекции, диффузии и электропроводности. Для решения использовался метод расщепления по физическим процессам [124]. Для расчета гидродинамики и конвективного переноса носителей заряда использовался метод LBE. Выполнено моделирование поведения капель и пузырьков в электрическом поле. Обнаружено новое физическое явление - ранее неизвестный механизм электрогидродинамической неустойчивости жидких диэлектриков в экстремальных электрических полях — анизотропный распад на двухфазную систему нитевидных паровых каналов в жидкости под действием сил электрострик-ции. Теоретически предсказанное явление анизотропного распада подтверждено при компьютерном моделировании, как в однородном, так и в неоднородном электрическом поле. Этот механизм образования газовой фазы должен играть ключевую роль при зарождении и сверхбыстром распространении стримерных структур. Методом возмущений получены простые аналитические выражения для волн разрежения, возникающих в диэлектрике из-за действия объемных сил электрострикции в неоднородном электрическом поле для сферических и цилиндрических электродов. Такие электрострикционные течения с ударными волнами получены также при компьютерном моделировании. При этом в области разрежения перед ударной волной тоже возникает описанная анизотропная неустойчивость.
Продемонстрирована возможность зарождения пробоя в областях пониженной плотности, возникающих при интерференции электрострикционных волн разрежения между выступами на электроде.
Основные результаты второй главы опубликованы в работах [1Г,14а,1ба,18а,29а,31а,32а,34я,35а,37а].
В третьей главе предложена приближенная формула для распределения электрического поля вдоль поверхности сферических электродов. Для ряда задач электростатики, предложенная формула позволяет с помощью замены переменных перейти от интегрирования по поверхности электродов к интегрированию по величине локального электрического поля, что позволило аналитически получить ряд закономерностей, в частности, зависимость эффективной площади сферических электродов от их радиуса и величины зазора между ними и, в общем случае, от величины напряженности электрического поля.
Основные результаты третьей главы опубликованы в работах [За,8а,15а,19а,23а,25я].
В четвертой главе реализована стохастическая модель для частичных разрядов в твердых и жидких диэлектриках с детальным расчетом электрического поля в диэлектрике. Воспроизводятся основные закономерности процесса (распределение частичных разрядов по фазе, стохастические значения амплитуды импульсов тока и интервалов времени между ними, зависимость амплитуды и частоты импульсов от приложенного напряжения и т.д.). Выполнено численное моделирование процесса возникновения микропузырьков парогазовой фазы на поверхности электрода из-за фазового перехода при локальном понижении давления под действием электростатических сил.
Основные результаты четвертой главы опубликованы в работах [1Г,16а,18а,26а,27а,ЗЗа].
В пятой главе предложен локальный стохастический критерий зарождения пробоя на поверхности электродов, естественным образом объясняющий динамический характер электрической прочности (вольт-секундные характеристики) и ее зависимость от эффективной площади электродов. Для этого автором диссертации в 1992-1993 гг. было предложено ввести функцию /л(Е), с помощью которой возможно макроскопическое описание основных стохастических процессов зарождения стримеров на поверхности электродов [б*,7*]. Эта функция означает вероятность зарождения стримеров за короткий интервал времени на малом элементе поверхности электрода, вблизи которого значение электрического поля равно Е. Функция /и(Е) зависит от свойств исследуемого диэлектрика и от материала электрода. Функция
/л(Е) резко возрастает с увеличением электрического поля. Такой подход позволил описать основные закономерности явления пробоя, не вдаваясь в подробности детального микроскопического описания многочисленных конкурирующих между собой физических механизмов зарождения и развития пробоя, рассматривая функцию /л(Е) как характеристику конкретного жидкого диэлектрика. Макроскопический подход позволяет реконструировать функцию /л(Е) по экспериментальным данным, а затем использовать ее для моделирования пробоя, включая его стохастические свойства, например, были впервые смоделированы серии напряжений пробоя и статистических времен запаздывания, а также стохастические распределения мест зарождения пробоя на поверхности электродов.
Основные результаты пятой главы опубликованы в работах [2а,За,7а,8а,15а,19а,25а].
Шестая глава посвящена компьютерным моделям роста стримерных структур. На основе классификации известных критериев в моделях распространения стримерных структур сформулирован ряд новых стохастических критериев с правильным "физическим временем". Предложен ряд компьютерных моделей стохастического роста стримерных структур в жидких диэлектриках, в том числе с учетом импульсного характера проводимости плазменных каналов и их гидродинамического расширения. Впервые смоделирован рост ветвистой стримерной структуры с энерговыделением и образованием ударных волн от растущих и расширяющихся проводящих ветвей.
Предложена модель быстрого распространения вершин стримерной структуры на основе механизма типа анизотропного распада жидких диэлектриков в экстремальных электрических полях.
Основные результаты шестой главы опубликованы в работах [1а,2а,4а-ба,9а,12а,13а,17а,2Г,30а,34а,36а].
Уравнения Больцмана с дискретными скоростями
В 2003 г. предложен гибридный вариант метода LBE, включающий уравнение энергии [153]. Вместо значительного усложнения метода LBE путем обычно приня того увеличения набора векторов скорости с д., чтобы получить термический вариант метода, Жанг и Чен предложили использовать уравнение энергии в традиционном дифференциальном виде, а для законов сохранения массы и импульса вместо уравнений неразрывности и Навье - Стокса использовать сравнительно простой изотермический вариант метода LBE. При этом уравнение энергии можно решать одним из стандартных конечно-разностных методов, например, двухшаговым методом Лакса - Вендроффа. В этом случае решается проблема кондуктивного переноса тепла с произвольными значениями коэффициентов, а также при необходимости учета диссипации энергии за счет вязкого трения.
Во многих явлениях и процессах, течения жидкости происходят при наличии объемных сил (например, электрогидродинамические течения). Во всех вариантах метода LBE, законы сохранения массы и импульса выполняются точно благодаря соответствующему выбору равновесных функций распределения. Тем не менее, все известные методы учета действия объемных сил [154-160] справедливы только в первом порядке по Ди = F/р- At, что приводит к неправильным значениям одночас-тичных функций распределения. Здесь Ди - изменение скорости в узле за шаг по времени At. Это обстоятельство очень важно даже для изотермических моделей LBE, для которых уравнение энергии не рассматривается вообще. Действительно, в этом случае в области, где действовала объемная сила, внутренняя энергия, соответствующая степени свободы в направлении действия силы, не соответствует температуре, которая для изотермических моделей LBE должна быть точно равна
в - (hi At) /З. Ошибка во внутренней энергии (температуре) приводит к изменению плотности (или давления) в области, где ранее действовали объемные силы. Это объясняется тем, что эти три величины связаны между собой через уравнение состояния. Следовательно, с физической точки зрения, очень важно учитывать действие силы во всех вариантах метода LBE корректно, чтобы гарантировать точное сохранение энергии даже для изотермических моделей LBE.
В данной работе предложен новый способ учета действия объемных сил в методе решеточного уравнения Больцмана (LBE). Действие силового поля включено в метод LBE, используя разность равновесных функций распределения. Новый метод универсален и справедлив для любых решеток, используемых в моделях LBE, и для любой размерности пространства. Кроме того, в этом методе значения работы объемной силы, изменения полной энергии и изменения внутренней энергии являются точными. Правильный учет действия объемных сил в методе LBE чрезвычайно важен для моделей LBE с температурой, а также для многофазных и многокомпонентных систем.
Компьютерное моделирование фазовых переходов методом LBE представляет собой метод сквозного счета границ раздела фаз, в том числе и вновь возникающих в объеме вещества [153-155]. В этом случае вместо разрыва плотности моделируется тонкий переходной слой жидкость-пар, в котором плотность изменяется плавно на размерах нескольких узлов решетки (аналогично методам сквозного счета ударных волн в газодинамике). При этом заметно упрощается логика компьютерных программ, так как жидкая и газообразная фазы описываются единообразно. Кроме того, отпадает необходимость в сложных граничных условиях на поверхностях раздела фаз. Проблема заключается в том, чтобы обеспечить достаточную точность описания кривой сосуществования фаз жидкость-пар для конкретных уравнений состояния, а также сохранить устойчивость метода при отношениях плотности жидкости к плотности насыщенного пара рж/ рп 1000 (то есть при достаточном удалении от критической точки). В существовавших ранее способах моделирования фазовых переходов методом LBE удавалось получить отношение плотностей фаз в лучшем случае Рж/Рп 100 [161-166]. При дальнейшем удалении от критической точки кривая сосуществования фаз, получаемая в численных экспериментах, плохо соответствует уравнениям состояния (расчеты автора диссертации), причем с какого-то момента в расчетах теряется устойчивость.
Метод дополнительного LBE-компонента
Рассмотрим однородное течение жидкости с плотностью р и скоростью U , для которого функция распределения по скоростям частиц является равновесной (1.25).
Очевидно, что после действия короткого импульса однородного поля F, течение ос щ тается однородным, а распределение по скоростям будет просто сдвинуто на вели чину Au, оставаясь при этом равновесным (рис. 1.12), но с новым значением средней скорости u + Au. Для метода LBE это означает, что величины N {x,t + At) должны стать равными Nf (p,u + Au), если первоначально функции распределения были равновесными Nic(x,t) = N q(p,u) и соответствовали значению скорости и. Назовем это условие (т. е. сохранение равновесности функций распределения для локально однородного течения под действием локально однородного поля сил) Требованием 1.
Рассмотрим кинетическое уравнение Больцмана в виде (1.3), в котором вектор a = F(x,t)/p - ускорение из-за действия сил. До настоящего времени неясно, как вычислить член V%f для неравновесной функции распределения, чтобы можно было провести его дискретизацию в пространстве скоростей для последующего использования в методе LBE. Однако, имея в виду, что главной частью разложения функции распределения / в методе возмущений является fe , можно приближенно записать V / « V feq. На основе этого приближения в [ 156] была получена явная формула а V =-- J!)/ , (1.29) и которую и было предложено использовать в методе LBE для учета действия объемных сил.
С другой стороны, автору настоящей работы удалось заметить [38 ,42 ,45 ], что имеет место соотношение tfeq = -4ufeq, которое справедливо для любой равновесной функции распределения (включая равновесную функцию распределения (1.25) Максвелла - Больцмана), так она должна зависеть только от разности ( - u), чтобы была обеспечена Галилеевская инвариантность. Полная производная от равновесной функции распределения (при постоянной плотности р) в системе отсчета, которая перемещается вместе с жидкостью со скоростью и, dfeq(u(r(t),t))/dt = 4ufeq -(du/dt + Vu-dr/dt) равна изменению функции распределения под действием силы: aVufeq. Следовательно, непрерывное кинетическое уравнение Больцмана (1.3) в этом же приближении принимает вид [38 ,45 ] + V/- — = 0. (1.30) dt ъ J dt
Здесь член, учитывающий действие объемной силы dfeq/dt, записан как полная производная вдоль лагранжевой координаты при постоянной плотности р. Эта форма кинетического уравнения Больцмана более предпочтительна, чем приближение (1.29), потому что она точно преобразует равновесные функции распределения к равновесным после действия силы. В этом частном случае, оператор столкновений Q, = 0, так как распределение по скоростям остается равновесным. Поскольку изменение скорости за время At равно Аи = aAt, получаем яУ/Д/=-(/е»(лп + Аи)-/е»(р,и)). (1.31) Здесь обратим внимание, что последнее выражение является точным даже для конечного изменения скорости Ли, если распределение было локально равновесным перед действием силы.
Таким образом, предложенный способ можно назвать методом точной разности (МТР) для непрерывного уравнения Больцмана.
После дискретизации непрерывного уравнения Больцмана (1.30) в пространстве скоростей, аналогично тому, как это сделано в [148-150,157,158], мы получаем метод точной разности для моделей LBE в виде Nk{x + ckM,t + M) = Nk{x,t) + (NlHpM t))-Nk{x,t))lT + Nk. (1.32) Причем изменения функций распределения ANk под действием силы равны разности равновесных функций распределения при постоянной плотности р ANk=Nekq(p,u + Au)-Nekq(p )- (1-33) Если первоначально Nk(x,t) = Nkq(P,UQ) , то при использовании описанного способа, мы получаем желаемый результат Nk(x,t + At) = Ы (р,и0 + Дії). Это означает, что, действительно, функция распределения в локальной области пространства просто сдвигается на величину Аи под действием объемной силы, оставаясь равновесной. Отметим, что это справедливо для любых значений т 1/2.
Таким образом, нами предложен новый способ учета действия объемной силы в методе LBE, при котором равновесные функции распределения остаются точно равновесными после действия однородного поля сил, несмотря на то, что метод LBE является дискретным методом. То есть, действие объемной силы учитывается точно. Таким образом, мы получили метод точной разности для моделей LBE.
Более того, так как этот метод справедлив для непрерывного уравнения Больц-мана для произвольной формы интеграла столкновений, наш метод (1.32) и (1.33), предложенный для моделей LBE, справедлив не только для оператора столкновений с единственным временем релаксации (BGK), но также и для операторов столкновений произвольного вида
Две металлические сферы равного радиуса
Во многих задачах электростатики, а также при исследовании пробоя диэлектриков, очень важно знать не только максимальное значение электрического поля, но и распределение электрического поля по поверхности электродов. Численные методы расчета (решение уравнения Лапласа конечно-разностным методом, метод граничных элементов и метод конечных элементов) позволяют рассчитать электрическое поле для большей части конкретных задач прикладного характера [221,222]. Тем не менее, аналитические решения очень полезны для ряда задач, в частности, для расчета сил, действующих на металлические сферы, а также для моделей, дающих оценку электрической прочности систем, использующих как жидкие, так и газообразные диэлектрики.
В лабораторных экспериментах, как правило, используются: 1. плоские электроды, 2. электроды Роговского, 3. параллельные цилиндры, 4. сферические или полусферические электроды, 5. система электродов острие-плоскость.
В любом случае необходимо знать распределение электрического поля по поверхности. Самыми удобными являются сферические электроды, однако в этом случае точного аналитического решения нет.
Для многих конкретных задач при маленьком расстоянии между сферическими электродами, важно правильно учесть распределение электрического поля вдоль поверхности только в ограниченной области около оси симметрии, где напряженность электрического поля достаточно высока.
Одной из таких проблем является расчет силы притяжения, действующей на две сферические металлические частицы, расположенные на малом расстоянии друг от друга [223,224]. Другим примером является стохастический процесс зарождения электрического пробоя диэлектриков. Действительно, только малая часть площади электрода около оси симметрии, где напряженность электрического поля достаточно высока, вносит основной вклад в вероятность зарождения пробоя [15 ,18 ,37 ,46 ]. В [7 ,13 ,15 ,18 ,37 ] было показано, что в течение интервала времени t зарождения пробоя не произойдет с вероятностью P_(t) = ехр(-Я). Величина имеет физический смысл безразмерного аналога статистического времени запаздывания и может быть названа интегралом действия поля. Функция ц(Е), описывающая процесс макроскопически, зависит от локального электрического поля и является плотностью вероятности зарождения пробоя с маленького элемента площади электрода за короткий интервал времени. В некоторых случаях функция /4(E) может быть восстановлена из экспериментальных данных, полученных в серии пробоев конкретного диэлектрика [13 ,15 ,18 ,34 ,37 ].
Для двух параллельных металлических цилиндров применим хорошо известный метод изображений [74]. Он позволяет получить точное решение для распределения электрического поля. Рассмотрим два параллельных цилиндра равного радиуса Л с зазором между ними d (рис. 3.1). Расстояние между осями будет L = 2R + d.
Используя метод изображений, можно получить, что поле между цилиндрами эквивалентно полю от двух нитей, расположенных параллельно осям цилиндров и заряженных равномерно по длине зарядами + г и - т на единицу длины. Разность потенциалов между цилиндрами равна
Здесь в - полярный угол, отсчитываемый от точки на поверхности цилиндра, расположенной напротив другого электрода.
Можно написать выражение для напряженности электрического поля на поверхности цилиндра через полярный угол в и параметр ft [46 ]
Возникновение микропузырьков парогазовой фазы на поверхности электрода в сильном электрическом поле из-за действия электростатических сил
Рассмотрим частичные разряды (partial discharge, PD) на переменном напряжении, соответствующие микроразрядам в маленьких кавернах, случайно распределенных в твердом диэлектрике.
В работах [47 ,59 ] был предложен новый подход, с помощью которого можно моделировать основные стохастические свойства явления частичных разрядов на переменном напряжении в кавернах компактной формы с характерным размером менее 1 мм. В предложенной модели непосредственно рассчитывается распределение электрического поля между электродами в диэлектрике, содержащем каверны. Кроме того, для описания стохастического характера возникновения частичных разрядов в кавернах, использовался более современный критерий MESTL (multi-element stochastic time lag) [11 ,24 ]. Для всех каверн, находящихся в этот момент в непроводящем состоянии, рассчитывалось стохастическое время запаздывания микропробоя в соответствии с функцией распределения плотности вероятностей F(tt) = r(E)cxp(-r(E)tt), (4.1) что эквивалентно случайной величине /, =-1п( )/г(). Здесь и далее, f -случайное число, равномерно распределенное на интервале от 0 до 1. За один шаг по времени At микроразряды происходят во всех кавернах, для которых стохастическое время запаздывания меньше шага по времени tt At. Функция вероятности пробоя г(Е) зависит от локального электрического поля внутри каверны и должна быть достаточно резко возрастающей, чтобы качественно описать квазипороговый характер микроразрядов. В приведенных расчетах использовалась зависимость r(E) = BE . В общем случае эта функция зависит также от размеров каверны и от давления газов внутри нее. Предполагалось, что при возникновении микропробоя газ внутри каверны превращался в проводящую плазму с постоянной ЭЛеКТрОПрОВОДНОСТЬЮ ffQ.
Ряд диссипативных процессов в плазме (излучение, эрозия стенок каверны и т. д.) приводят к распаду плазмы. В настоящее время достаточно сложно описать эти явления точно, поэтому мы использовали простейший критерий порогового типа. Если электрическое поле внутри полости уменьшалось до значений, меньших критического Ecr, предполагалось, что микроразряд заканчивается, и проводимость становится равной нулю (подразумевается полный распад плазмы из-за уменьшения энерговыделения по сравнению с потерями энергии). Таким образом, предложенная модель качественно описывает импульсный характер проводимости.
Для расчета распределения потенциала электрического поля (р и, соответственно, электрического поля Е в области между электродами на каждом шаге по времени решалось уравнение Пуассона совместно с уравнениями переноса электрического заряда div(Vp) = -Ащ, = -divj, j = rE, E = -V p. (4.2) dt
Здесь є - диэлектрическая проницаемость, q - плотность электрического заряда. Предполагалось, что электропроводность а и плотность тока j отличны от нуля только внутри каверн. Задача решалась в двумерной прямоугольной области. Использовались следующие граничные условия. Потенциал р был равен нулю на поверхности нижнего электрода и равен текущему значению поданного напряжения V на поверхности верхнего электрода. В направлении х использовались периодические граничные условия. Неявное по времени конечно-разностное уравнение для переноса заряда qn+l=qn+div(aV pn+l)&t (4.3) (в сокращенной форме записи) подставлялось в конечно-разностную аппроксимацию уравнения Пуассона на верхнем временном слое, как это было предложено в [11 ]. Получившиеся в результате уравнения решались методом итераций относительно величин (pfj на следующем временном слое. Затем новые значения плотности заряда qft- вычислялись, используя (4.3).
Такая конечно-разностная схема обеспечивает сохранение заряда и более устойчива, чем явная по времени.
Исследовался набор маленьких каверн компактной формы, случайно распределенных в объеме твердого диэлектрика между двумя плоскими электродами (рис. 4.1) [47 ,59 ]. На электроды подавалось переменное напряжение V = VQ 5ІП(2Я$) , амплитуда которого была достаточна для возникновения частичных разрядов. Расчеты проводились на сетке 100x100. Соответственно, расстояние между электродами L равно 100 единиц шага сетки. Использованные в расчетах варианты структур проводящих каналов, возникающих при микроразряде в каверне, показаны на рис. 4.2. Размеры каверн 2x2. Экспериментальным наблюдениям, показанным на рис. 4.3 [246], более всего соответствует вариант (в).
