Содержание к диссертации
Введение
1 Принципы аналитического описания течения флюидов в решеточных моделях пористых сред 26
1.1 Перколяционный подход и модель эффективной среды 26
1.2 Комбинированная модель расчета проводимости капиллярной решетки 29
1.3 Определение порометрической кривой с использованием предложенной модели 37
2 Моделирование различных режимов двухфазного вытеснения 42
2.1 Расчет фазовых проницаемостей 42
2.2 Фазовые проницаемости в случае доминирования капиллярных сил 48
2.3 Фазовые проницаемости при преобладании гидродинамических сил 53
3 Особенности модельного описания фильтрации не ньютоновских жидкостей 58
3.1 Вывод уравнения фильтрации флюида в капиллярной решетке с учетом его реологии 58
3.1.1 Вязкопластическая жидкость 59
3.1.2 Степенная жидкость 62
3.2 Анализ поведения фазовых проницаемостей в процессе полимерного заводнения 64
3.2.1 Моделирование разовой закачки полимерного раствора и постоянного полимерного заводнения 65
3.2.2 Оценка эффективности применения полимерного заводнения 69
4 Моделирование течения взвесей и эмульсий в пористых средах 72
4.1 Современные методы описания фильтрации взвесей и эмульсий в пористых средах 72
4.1.1 Эмпирические модели 73
4.1.2 Модели анализа траектории частиц 74
4.1.3 Решеточные модели 75
4.2 Макроскопическое моделирование течения взвесей и эмульсий с учетом особенностей осаждения частиц на микроуровне 77
4.2.1 Общие положения развиваемой модели 77
4.2.2 Метод расчета по предложенной модели 81
4.2.3 Сравнение результатов численных расчетов с экспериментальными данными 83
Основные результаты 96
Список литературы 98
- Комбинированная модель расчета проводимости капиллярной решетки
- Фазовые проницаемости при преобладании гидродинамических сил
- Общие положения развиваемой модели
- Сравнение результатов численных расчетов с экспериментальными данными
Комбинированная модель расчета проводимости капиллярной решетки
Для расчета общей проводимости решетки необходимо знать значения проводимости ее связей. В первых решеточных моделях значение проводимости всех связей было одинаковым, т.е. связи разделялись только на проводящие и непроводящие. Такой подход неприменим для микронеоднородной среды, в которой проводящие элементы могут иметь любые проводимости, в диапазоне от нуля до максимальных значений. Для описания разброса проводимости связей в решетке, моделирующей микронеоднородную среду, используют функцию распределения элементов среды по величине их собственной проводимости. Таким образом, в предлагаемом подходе основной характеристикой пористой среды, моделируемой капиллярной решеткой, является функция плотности распределения капилляров по радиусам или поро-метрическая кривая /(г), удовлетворяющая условию нормировки
В принципе, данная функция может служить характеристикой не только системы капилляров (поровых каналов), но и системы макроскопических проводящих каналов, сформировавшихся в коллекторе, и даже системы пропластков различной проницаемости (каждому из которых соответствует свой средний радиус проводящих каналов). Непосредственный вид функции /(г) зависит от конкретного образца пористой среды. Для определения /(г) был предложен ряд порометрических методов [6, 99, 100], основанных на лабораторных исследованиях кернов. В дальнейшем в настоящей работе для моделирования пористой среды будем использовать регулярную решетку. Узлы решетки, которые соответствуют порам среды, соединены капиллярами, моделирующими собою поровые каналы. Капилляры имеют некоторую длину d, а значения их радиусов г задаются функцией распределения f(r). Распределение по размерам узлов решетки может быть различным и зависит о выбранной решеточной модели (например, размеры узлов могут быть много больше чем радиусы соединяющих их капилляров или коррелировать с ними). В развиваемой модели влияние размеров узлов решетки на протекание по ней не рассматривается. Таким образом полагается, что проводимость решетки определяется только течением в капиллярах. Данное предположение является стандартным для большинства решеточных моделей пористой среды [51, 101, 102].
Вначале рассмотрим течение в капилляре ньютоновского флюида, которое подчиняется закону Пуазеля
Определим гидравлическую проводимость а как коэффициент пропорциональности в линейной зависимости расхода q от градиента давления Vp
Рассмотрим цепочку, составленную из N капилляров данной решетки с радиусами г больше некоторого значения г і. Перепад давления на концах решетки Ар будет равен сумме перепадов давлений Apj на каждом капилляре
Данное соотношение можно записать в виде
Перейдя в (1.5) при N — со от суммирования к интегрированию для заданной плотности распределения капилляров по радиусам f(r), получим, что проводимость цепочки а (гі) из капилляров с г г\ равняется [70]
Если мысленно в решетке перекрыть все капилляры, а затем начать последовательно их открывать, начиная с самых крупных, то доля открытых капилляров будет определяться величиной (1.7) для текущего значения гі. Предельное значение ri, при котором образуется бесконечный кластер, обозначим гс и назовем критическим радиусом. Величину гс можно найти, приравняв (1.1) и (1.7),
Такая классификация цепочек по величине минимального радиуса входящего в них капилляра г\ [г\ гс) была введена в [70] и обусловлена тем, что при параллельном соединении основной вклад в суммарную проводимость дают цепочки из наиболее крупных капилляров.
Используя модельное представление о структуре скелета бесконечного кластера и (1.2), можно найти концентрацию п(г\) проводящих цепочек, приходящихся на единицу площади поперечного сечения решетки и составленных из капилляров с г т\
Зная концентрацию цепочек п(гі) и их проводимости т(гі), можно просуммировать проводимости цепочек и тем самым оценить проводимость решетки в целом. Такая оценка была проведена в [70], где представлено выражение для общей проводимости решетки его
При этом в [70] асимптотическое равенство (1.9), справедливое лишь вблизи Рс, использовалось в расчетах во всем интервале Р(гс) Р{г{) 1, в том числе и вдали от порога протекания. При этом возникала необходимость коррекции получаемых соотношений путем введения дополнительных численных множителей. Первый вводился непосредственно при проведении теоретических выкладок для обеспечения предельного перехода от решетки с разорванными связями к исходной решетке при P — 1. Второй - собственно поправочный коэффициент 7 1? возникающий из сопоставления полученных аналитических расчетных соотношений с результатами прямого численного моделирования течения на той же решетке.
В тоже время вдали от порога протекания, как это было показано в [23], проводимость решетки хорошо описывается в рамках модели эффективной среды [18]. При этом если проводимость связей данной решетки характеризуется некоторой функцией плотности распределения f(a) (которая может также учитывать наличие связей с нулевой проводимостью), то можно перейти к эффективной решетке с одинаковой проводимостью всех связей ат и общей проводимостью, равной проводимости исходной решетки. Уравнение для определения тт представлено в [18] и имеет вид
Гидравлическая проводимость капилляра о г4. Поэтому для решетки, в которой проводят все капилляры с г гі, уравнение (1.11) преобразуется к виду Получив из (1.12) значение эффективного радиуса rm, можно найти общую проводимость j\ однородной решетки капилляров которая равна проводимости исходной неоднородной решетки.
Для адекватного описания проводимости рассматриваемой решетки капилляров во всем интервале Р(гс) Р{г\) 1 необходимо объединить представленные выше результаты перколяционного моделирования, которые хорошо обоснованы при Р(гг) — - Р(гс), и расчетные соотношения модели эффективной среды, успешно работающие при P(ri) — 1- Для этого определим положение границы Р(гъ), слева от которой, в интервале Р{гс) Р{т\) Р{гь), наиболее эффективно использование перколяционного подхода, а справа, при Р(гъ) Р{г\) 1, -модели эффективной среды.
При этом отметим вначале, что если использовать перколяционный подход из [70] только вблизи порога протекания, то вычисление проводимости решетки можно заметно упростить, поскольку проводимость цепочек капилляров сг(г\) меняется незначительно. Таким образом будем считать все проводящие цепочки, состоящие из капилляров с минимальными радиусами г\: гс г і г\)) эквивалентными. Тогда выражение (1-10) для определения проводимости всей решетки т2 вблизи порога протекания упростится и примет вид
Что касается проводимости решетки вдали от порога протекания, то для данного г\ нужно решить уравнение (1.12) и воспользоваться (1.13) для получения искомой величины проводимости решетки капилляров. Рассмотрим теперь данные прямого численного эксперимента [18, 98] по определению безразмерной проводимости кубической (z = 6) решетки, полученные для предельного случая бинарного распределения проводимости связей, то есть для решетки с одинаковой проводимостью всех действующих связей, в которой доля проводящих связей равна Р, а доля разорванных (непроводящих) - (1 — Р) (круглые точки на рис. 1.1). Обезразмеривание осуществляется путем отнесения проводимости решетки а І (і = 1, 2) к максимальной проводимости решетки атах при Р = 1.
Для определения положения границы Р(гь) (для бинарного распределения обозначим ее Рь) сравним представленные результаты численного эксперимента с расчетами по предложенным соотношениями для о\ и «72- Обезразмерив проводимость решетки, найденную по модели эффективной среды (1.3), получим линейную зависимость 0\ = (J\/ Jmax от Р (сплошная линия на рис. 1.1)
Расчет по перколяционнои модели (1.14) для бинарной функции распределения дает зависимость &% — о.гІтах от Р, представленную на рис. 1.1 пунктирной линией. Приведенные на рис. 1.1 графики пересекаются в точке, слева от которой экспериментальные данные хорошо совпадают с проводимостью, найденной по перколяционнои модели, а справа - с результатами расчетов по модели эффективной среды. Абсцисса этой точки и есть искомая граница Pj,.
Фазовые проницаемости при преобладании гидродинамических сил
Другой известной моделью неустойчивого роста является диффузионно-ограниченная агрегация (DLA). Модель DLA была предложена в работе [55] и строится следующим образом. В решетке, полностью заполненной вытесняемым флюидом, задается исходное положение кластера вытесняющего флюида, как правило, это или точка в центре решетки, или одна из границ решетки. С границы (контура) решетки, удаленного от кластера вытесняющего флюида, запускается частица, которая совершает случайные блуждания по части решетки, заполненной вытесняемый флюид. Если частица в процессе движения коснется границы кластера вытесняющего флюида, то она "прилипает" к кластеру и он увеличивается на один элемент (один капилляр). Затем запускается следующая частица.
В работе [62] экспериментально наблюдался кластер вытесняющего флюида, образующийся в процессе неустойчивого вытеснения в капиллярной решетке, выгравированной в стекле, при больших значениях капиллярного числа, когда вязкость вытесняющего флюида много меньше вязкости вытесняемого. При этом отмечалось, что образующиеся в этом случае так называемые "вязкие пальцы" хорошо соответствуют виду кластера, построенного по модели DLA.
Аналогично случаю инвазионной перколяции результаты модели DLA можно использовать для определения функций /г (г) при различных значениях насыщенности решетки каждым флюидом. Для этого рассмотрим квадратную решетку капилляров, первоначально заполненную вытесняемым флюидом (нефтью). С одной стороны решетка граничит с вытесняющим флюидом (водою). Выбор капилляра, который в каждый момент времени включается в кластер вытесняющего флюида, осуществляется по следующей схеме. С противоположной занятой вытесняющим флюидом стороны решетки выпускается частица. Эта частица на каждом шаге случайным образом попадает из одного капилляра решетки, содержащего вытесняемый флюид, в другой. Если ча стица оказывается в капилляре, контактирующем с кластером вытесняющего флюида, то этот капилляр присоединяется к кластеру. Затем начинается блуждание следующей частицы. Типичный кластер вытесняющей жидкости, полученный по этой схеме, представлен на рис. 2.4. Определение функций распределения fi(r) для каждого флюида проведем, как и в случае инвазионной перко ляции, в некоторой выделенной центральной части решетки. Используя полученный вид функций fi{r) в каждый момент времени, можно рассчитать значение насыщенности решетки флюидом и фазовые проницаемости по выражению (2.3). Полученные на базе таких вычислений фазовые проницаемости показаны на рис. 2.5. Для сравнения на рис. 2.5 также показаны фазовые проницаемости, определенные по формулам (2.2) и (2.1). Наблюдаемое на рис. 2.5 существенное различие в кривых фазовых проницаемостей для рассматриваемых случаев объясняется тем, что при случайном направлении роста кластера вытесняющего флюида в модели DLA распределения флюидов по капиллярам является в среднем одним и тем же при одинаковых значениях насыщенности флюидами. При расчетах же по формулам (2.2) и (2.1) предполагается строгое разделение флюидов по крупным и мелким капиллярам.
Противоположный модели DLA случай (модель anti-DLA [56]) имеет место, когда при больших капиллярных числах вязкость вытесняющего флюида много больше вязкости вытесняемого. При этом наблюдается [57] устойчивый фронт вытеснения или так называемое "поршневое вытеснение". Рассчитывать фазовые проницаемости в этом случае не имеет смысла, так как они носят вырожденный характер.
Общие положения развиваемой модели
В предлагаемом подходе для представления микроструктуры пористой среды используется капиллярная решетка с заданной функцией распределения капилляров по радиусам f{r).
При моделировании осаждения будем считать, что частицы являются сферами радиуса а и имеют заданное распределение по размерам д(а), удовлетворяющее условию нормировки
Если крупная частица попадает в мелкий капилляр, то капилляр перекрывается и становится непроводящим. Этот механизм можно смоделировать деформированием функции распределения капилляров по радиусам посредством исключения из процесса фильтрации капилляров меньших, чем максимальный размер частиц атах в жидкости. Измененная таким образом функция распределения fm(r) определяется как
Постепенное осаждение на стенках капилляров можно представить как уменьшение радиусов капилляров на величину hr, равную средней толщине осажденного слоя. При этом деформированная функция распределения fm(r) ИМЄЄТ ВИД
В процессе осаждения проницаемость среды будет определяться гидродинамической проводимостью капиллярной решетки с изменяющейся функцией распределения капилляров по радиусам /т(г). Со временем проводимость решетки уменьшается. И когда доля проводящих капилляров Р становиться меньше порога протекания Рс, фильтрация по решетке прекращается
Если течение взвеси или эмульсии является ньютоновским, то общая проводимость решетки К определяется по методике, развитой в главе 1
Для дальнейшего моделирования механизма постепенного осаждения частиц необходимо определить условия, при которых частица, попадая в капилляр большего радиуса, в нем осаждается. Само по себе осаждение частицы может происходить в результате действия различных сил (гидродинамических, гравитационных, поверхностных и т.д.). В настоящей модели формальным условием осаждения частицы в капилляре является вероятность Р(а) осаждения частицы при протекании взвеси через капилляр. Для определения вероятности осаждения можно, например, использовать результаты экспериментов по течению взвеси в отдельном капилляре.
Возьмем представительный объем пористой среды, моделируемой капиллярной решеткой, через который фильтруется жидкость с частицами. За малый интервал времени St количество частиц, попавших в рассматриваемый объем через единицу поверхности, равняется cwSt, где с - объемная концентрация частиц, w - скорость фильтрации. Если считать, что частицы равномерно распределяются внутри поро-вого пространства среды, то в каждый капилляр за время St попадает в среднем MdCwSt частиц, где М - величина, обратная числу капилляров в решетке. Тогда количество осадившихся в капилляре частиц будет равняться P{a)M(j1cw5t. Изменение радиуса капилляра, определяемое толщиной осажденного слоя, за время St можно выразить как Sr = h(a)P(a)MdCwSt, где функция h(a) учитывает геометрию осаждения. Конкретный вид данной функции может быть задан на основании экспериментальных наблюдений осаждения в капилляре. Так в определении h (а) можно отразить различные способы осаждения частиц взвеси и эмульсии, характеризующиеся тем, что в отличие от капель эмульсии твердые частицы взвеси могут осаждаться друг на друга, в то время как капли эмульсии образуют только монослой осадка.
Усредним изменения радиуса St по всем капиллярам решетки Sr = hr = h{a)P{a)Mdcw5t (4.3)
Проводя аналогичные рассуждения для вариации концентрации осажденных частиц а получаем, что изменение данной величины задается уравнением
Обратимся теперь непосредственно к моделированию фильтрации взвеси через некоторый конечный объем пористой среды. Макроскопический процесс течения будем описывать теми же уравнениями, что обычно используются для описания фильтрации сильноразбавленной взвеси. Для простоты будем рассматривать одномерный вариант задачи, которым, например, можно описывать кольматацию призабоиной зоны скважины при плоскорадиальной фильтрации жидкости с примесью мелких твердых частиц малой концентрации [88] где ф - пористость, /І - вязкость, р - давление, проницаемость К = K(x,t), коэффициент фильтрования А = \(x,t). При численных расчетах также задаются давления на границах, начальное и граничные условия на концентрацию.
Сравнение результатов численных расчетов с экспериментальными данными
Используя описанную схему, вначале моделировалось осаждение монодисперсных частиц в решетке капилляров одинакового радиуса. Радиус капилляров и частиц равнялся 25 мкм и 5 мкм соответственно. Параметр 7 первоначально предполагался постоянным, что соответствовало условию v «С гЛ На рис. 4.1 показано влияние 7 на изменение проницаемости при протекании через образец среды Vp поровых объемов взвеси. Как и ожидается, увеличение интенсивности осаждения при возрастании 7 приводит к более быстрому уменьшению проницаемости.
Значения концентрации частиц на выходной границе, представленные на рис. 4.2, также уменьшаются при увеличении у. Кривые концентрации частиц проходят через максимум и монотонно убывают. Физически данное поведение объясняется увеличением вероятности осаждения частиц в капиллярах по мере уменьшения их радиусов вследствие образования на стенках слоя осадка. Также можно отметить менее заметный максимум у профиля концентрации для 7 = 0.5 и 7 = 5.0 по сравнению с 7 — 2.5. Это обуславливается тем, что для больших значений 7 уменьшение со временем радиусов капилляров не приводит к значительному увеличению вероятности осаждения, поскольку она и так изначально высокая. Напротив, для малых значений у радиусы капилляров уменьшаются очень медленно, и вероятность осаждения частиц в капиллярах меняется слабо.
Влияние отношения v/v (при фиксированном 7о) на изменение проницаемости показано на рис. 4.3. Малые значения критической скорости v означают, что наличие течения жидкости значительно ухудшает осаждение частиц, и проницаемость уменьшается медленно.
Интересно также отметить (рис. 4.4) характер изменения коэффициента фильтрования Л для различных начальных значений v/v при постоянном расходе жидкости. Если первоначальное значение v/v = 0.15, то график Л проходит через максимум. Если же первоначальное значение v/v = 0.5 то Л только монотонно убывает. Аналогичное поведение коэффициента фильтрования с возрастанием и последующим убыванием или только с монотонным убыванием для различных начальных скоростей фильтрации при постоянном расходе было также отмечено в экспериментальных исследованиях [91]. Рост Л, когда начальная скорость фильтрации мала, объясняется первоначальным увеличением вероятности осаждения за счет уменьшения радиусов капилляров. Однако уменьшение радиусов капилляров в условиях постоянного расхода ведет к возрастанию скорости течения в капиллярах v. Что в свою очередь приводит к доминированию экспоненциального члена (4.8) и к последующему уменьшению Л. С другой стороны v может быть сразу высокой, если начальное значение скорости фильтрации большое, тогда Л только монотонно убывает вследствие преобладания экспоненциального члена (4.8).
Дальнейшие численные эксперименты проводились для логнормаль-ных распределений частиц по размерам и капилляров по радиусам. При этом исследовалось влияние величины дисперсии частиц на изменение проницаемости среды. Уменьшение проницаемости в зависимости от дисперсии частиц при одном и том же среднем размере частиц изображено на рис. 4.5. Как видно из расчетов, более широкое распределение частиц приводит к более быстрому ухудшению проницаемости, что также было отмечено в работе [94].
Для сравнения результатов расчетов по предложенной модели с Экспериментальными наблюдениями использовались данные по фильтрации сильноразбавленных взвесей с заданными параметрами распределения частиц по размерам и капилляров по радиусам, представленными в работе [95]. В данной работе исследовалась фильтрация жидкости со взвешенными каплями эмульсии или твердыми частицами через пористую среду. Как показали эксперименты, осаждение капель эмульсии в отличие от твердых частиц происходит только в один слой, потому что капли эмульсии не осаждаются одна на другую. Данный механизм осаждения учитывался в модели при численных расчетах по фильтрации взвеси с каплями эмульсии. На рис. 4.6 сравнивается изменение проницаемости одного и того же образца пористой среды при осаждении капель эмульсии и твердых частиц при следующих одинаковых условиях: интенсивность осаждения, скорость фильтрации, концентрация, распределение частиц и капель по размерам. Как показывают результаты расчетов, модель позволяет адекватно предсказывать различие в изменении проницаемости при осаждении твердых частиц и капель эмульсии.
Также хорошо согласуются с экспериментальными данными модельные расчеты по определению концентрации частиц на выходной границе, представленные на рис. 4.7. Профиль концентрации твердых частиц проходит через максимум, в то время как концентрация частиц эмульсии только возрастает, поскольку после образования одного слоя эмульсии на стенках поровых каналов дальнейшего осаждение не происходит.
Из интересных результатов модельных расчетов, согласующихся с экспериментальными наблюдениями, стоит также отметить (рис. 4.8) замедление убывания проницаемости при увеличении среднего радиуса частицы в условиях одной и той же объемной концентрации частиц на входной границе. В эмпирическом описании [95] данное поведение характеризовалось введением специального параметра, а предложенный метод позволяет учитывать это без дополнительных предположений.
