Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Обзор численных и натурных исследований явления термобара 14
1.1 Термический бар как объект научного исследования 14
1.2 Озеро Байкал 21
1.2.1 Общие сведения 21
1.2.2 Описания натурных наблюдений 23
1.2.3 Математическое моделирование течений в озере Байкал 31
1.3 Некоторые важные аспекты численного исследования термобара 39
1.3.1 Уравнение состояния 39
1.3.2 Моделирование турбулентного переноса 45
1.3.3 Тепловые потоки на свободной поверхности 48
Выводы по главе 1 55
Глава 2 Комплексная модель расчёта термобара в глубоком озере 56
2.1 Физическая постановка задачи 56
2.2 Основные уравнения модели 58
2.3 Уравнение состояния Чена–Миллеро 59
2.4 Модель турбулентности 60
2.5 Начальные и граничные условия 62
2.6 Параметризация тепловых потоков на свободной поверхности 64 Выводы по главе 2 66
Глава 3 Численный метод решения задачи 67
3.1 Обобщённая форма записи конвективно-диффузионного уравнения 67
3.2 Дискретизация расчётной области методом конечного объёма 68
3.3 Схемы аппроксимации конвективных членов 70
3.3.1 Противопотоковая схема Upwind 70
3.3.2 Схема MLU 71
3.3.3 QUICK-cхема 72
3.4 Аппроксимация конвективно-диффузионного уравнения 73
3.5 Аппроксимация нестационарного уравнения конвекции–диффузии 77
3.6 Алгоритм SIMPLED согласования полей скорости и давления 78
3.7 Решение сеточных уравнений 82
3.8 Тестирование численного метода на примере каверны 84
3.8.1 Математическая постановка задачи 85
3.8.2 Исследование численного метода для случая квадратной каверны 86
3.8.3 Течения в каверне с наклонным дном 91
Выводы по главе 3 95
Глава 4 Исследование численной модели термобара на примере озера Камлупс 96
4.1 Описание численных экспериментов 96
4.2 Применение к-со модели турбулентности 97
4.3 Сравнительный анализ динамики термобара с расчётами
4.4 Воспроизведение гидродинамических сценариев и сопоставление их с натурными наблюдениями 102
4.5 Влияние солёности притока на характер развития термобара 108
Выводы по главе 4 110
Глава 5 Результаты моделирования термобара в озере Байкал 111
5.1 Моделирование течений в окрестности мыса Лиственичного 111
5.1.1 Постановка задачи и описание численных экспериментов 111
5.1.2 Результаты расчётов 113
5.2 Результаты применения комплексной модели в районе впадения
р. Селенги в оз. Байкал 116
5.2.1 Морфометрия исследуемой области и описание численных расчётов 116
5.2.2 Тепловые потоки и ветровое напряжение на поверхности озера 117
5.2.3 Динамика развития термобара 120
5.2.4 Влияние силы Кориолиса 124
5.2.5 Распространение концентрации загрязняющих веществ в районе впадения р. Селенги в оз. Байкал 126
Выводы по главе 5 128
Заключение 129
Список использованной литературы
- Математическое моделирование течений в озере Байкал
- Уравнение состояния Чена–Миллеро
- Дискретизация расчётной области методом конечного объёма
- Воспроизведение гидродинамических сценариев и сопоставление их с натурными наблюдениями
Введение к работе
Актуальность темы. Одна из важнейших проблем, которые ставит перед человечеством научно-технический прогресс, – проблема «чистой воды». По оценкам учёных через несколько десятилетий чистая пресная вода станет важнейшим ресурсом, поскольку она незаменима в отличие от других природных богатств Земли. Согласно прогнозам директора Института водных проблем РАН В. И. Данилова–Данильяна1 глобальный водный кризис ожидается в интервале от 2025 до 2035-2040 гг.
К истощению водных ресурсов ведёт не рост расходуемой воды, а её
загрязнение. Огромное количество пресной воды хранится в озёрах. Только в
озере Байкал сосредоточено около 20% мировых запасов пресной воды и более
80% запасов России. Понимание природных механизмов озёрной
гидродинамики необходимо для правильного выбора стратегии
предотвращения загрязнения воды. Прогнозирование и мониторинг состояния экосистемы озера позволят оценить возможные масштабы загрязнения водоёма.
К числу явлений, которое может оказать существенное влияние на процессы распространения загрязнения в водоёме, относится термобар. Под термобаром понимается узкая зона в глубоком озере умеренных широт, в которой происходит погружение имеющей наибольшую плотность воды от поверхности до дна. С физической точки зрения, причиной формирования термобара является так называемый эффект уплотнения при смешении вод, т. е. аномальное изменение плотности воды.
Ограниченность натурных данных, отсутствие математических моделей высокого порядка точности, адекватно отражающих процессы гидродинамики озера с учётом гидрометеорологических условий, – вот современное состояние знаний о термобаре в глубоком озере.
Исследования механизмов естественной конвекции, участвующих в
гидродинамических процессах экосистемы водоёмов, вызывают постоянно
растущий научный и практический интерес. Особое внимание уделяется данной
тематике в последние годы в связи с проблемой взаимодействия человечества с
окружающей средой. Ввиду сложности постановки натурных экспериментов в
реальных условиях наиболее естественным к изучению и оценке влияния
деятельности людей на гидросферу является подход создания математических
моделей, позволяющих с помощью численных экспериментов на
высокопроизводительных ЭВМ оценить возмущения основных параметров, характеризующих состояние и режим водоёма.
В настоящее время для исследования процессов, происходящих в окружающей среде, часто применяют методы математического моделирования. По сравнению с проведением измерений этот подход не требует значительных затрат, позволяет детально во всех подробностях воспроизвести изучаемое
1 Данилов–Данильян В. И. Водные ресурсы – стратегический фактор долгосрочного развития экономики России // Вестник РАН. – 2009. – Т. 79, № 9. – С. 789-798.
явление, дает возможность идеализировать процесс за счёт отключения некоторых факторов. Однако математическое моделирование, в конце концов, изучает не сам рассматриваемый процесс, а лишь его модель, которая представляет собой систему дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения. Поэтому важно, чтобы математическая модель, по возможности, адекватно представляла основные свойства изучаемого явления или процесса.
Исследование и прогнозирование возможного распространения загрязнения в озере в силу уникальности объекта можно проводить исключительно с использованием методов математического моделирования.
Объектом исследования выступают термогидродинамические процессы в озёрах.
Предметом исследования является математическая модель термобара в глубоком озере. Предмет исследования диссертационной работы соответствует специальности 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы по области исследования «Гидродинамические модели природных процессов и экосистем» (п. 19 паспорта специальности).
Целью диссертационной работы является разработка комплексной математической модели и эффективного численного метода для воспроизведения и исследования особенностей гидродинамических процессов, сопровождающих весенний термобар в глубоком озере.
Для достижения цели поставлены следующие задачи:
построение комплексной негидростатической модели в приближении Буссинеска для воспроизведения гидродинамических процессов в озере;
разработка эффективного метода решения уравнений негидростатической модели, опирающегося на использование неявных разностных схем второго порядка аппроксимации для решения уравнений движения и переноса;
апробация численного алгоритма негидростатической модели на имеющихся экспериментальных данных, анализ полученных результатов и сравнение их с результатами других авторов и описаниями натурных наблюдений;
проведение параметрических расчётов для реальных условий южного бассейна озера Байкал для исследования формирования и развития речного термобара в период весеннего прогревания;
анализ влияния вращения Земли, а также переменного потока тепла и ветрового трения на характер развития селенгинского термобара;
моделирование сценария распространения загрязняющих веществ под действием механизмов естественной конвекции, порождаемых речным термобаром.
Методы исследования. Моделирование нестационарного течения проводится путём численного решения системы уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска, замыкание которой осуществляется с помощью известной двухпараметрической к– модели Уилкокса или же алгебраических соотношений для коэффициентов турбулентной диффузии. Решение
конвективно-диффузионных уравнений основано на методе конечных объёмов, обеспечивающем выполнение интегральных законов сохранения.
Научная новизна полученных автором результатов заключается в следующем:
разработана новая негидростатическая модель в приближении Буссинеска для исследования закономерностей гидродинамических процессов в крупном озере, учитывающая влияние силы Кориолиса, метеорологических и гидрохимических условий, а также нестационарную и пространственную динамику турбулентной структуры; при моделировании термобара впервые применена двухпараметрическая дифференциальная к– модель Уилкокса для расчёта значений коэффициентов турбулентной диффузии и использованы граничные условия радиационного типа на открытой границе вычислительной области;
для согласования рассчитываемых полей скорости и давления предложена новая эффективная процедура (названная SIMPLED) для течений с плавучестью, представляющая собой модификацию известного алгоритма SIMPLE Патанкара и Сполдинга;
с помощью разработанной математической модели впервые воспроизведены гидродинамические сценарии в озере Камлупс для случаев «зима», «ранняя весна», «середина весны» и «поздняя весна», полностью соответствующие описаниям натурных наблюдений;
получены результаты численных расчётов весеннего речного термобара и связанных с ним распространения концентрации загрязняющих веществ в озере Байкал с учётом реальных морфометрических, метеорологических, гидрохимических условий исследуемого региона.
Теоретическая значимость диссертации заключается в развитии теории численных методов решения задач, связанных с моделированием гидродинамики глубокого водоёма, а именно в построении численного метода второго порядка и описании усовершенствованной процедуры согласования полей скорости и давления для течений с плавучестью.
Практическая значимость работы определяется тем, что предложенная модель и созданный алгоритм решения нестационарных уравнений переноса позволяют рассчитывать гидротермодинамические картины движения водных масс в период существования речного термобара и предсказывать возможные сценарии распространения загрязняющих веществ под действием сил естественной конвекции. Воспроизведение всех особенностей термобара позволит оценить его масштабы, что является важным с точки зрения прогнозирования экологического состояния воды в озере. Сведения, касающиеся районов расположения термобара, важны для решения задач рационального природопользования, например, для определения оптимальных сроков вылова рыбы рыбопромысловыми организациями.
Основные положения, выносимые на защиту:
комплексная негидростатическая модель речного термобара в приближении
Буссинеска, учитывающая влияние силы Кориолиса, атмосферных и
гидрохимических процессов, а также динамику турбулентной структуры;
численный метод решения уравнений негидростатической модели;
результаты сценарных расчётов, соответствующих случаям «зима», «ранняя весна», «середина весны» и «поздняя весна» на примере озера Камлупс;
результаты численного исследования селенгинского весеннего термобара и его экологических последствий в озере Байкал.
Достоверность и обоснованность научных положений и выводов, сделанных в диссертации, следует из адекватности физических и математических моделей, используемых в работе, что подтверждается сравнением с описаниями натурных наблюдений и известными результатами численного моделирования других авторов, а также расчётами, полученными с помощью лицензированного программного пакета FLUENT.
Личный вклад автора. Цыденов Б. О. под руководством профессора Старченко А. В. построил комплексную численную модель расчёта термобара в глубоководном озере, осуществил верификацию численного метода, получил основные результаты диссертационной работы и провёл их обоснование.
Апробация работы. Обсуждение результатов диссертационного исследования проводилось на 18 международных, всероссийских и региональных конференциях, в том числе 4 доклада были отмечены экспертами секций на XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «ЛОМОНОСОВ» (МГУ им. Ломоносова, г. Москва, 2011 г., грамота за лучший доклад); Международной школе-конференции «Фундаментальная математика и её приложения в естествознании» (г. Уфа, 2010 г., диплом I степени); III Всероссийской молодёжной научной конференции «Современные проблемы математики и механики» (г. Томск, 2012 г., диплом III степени); Международной экологической студенческой конференции «Экология России и сопредельных территорий» (г. Новосибирск, 2010 г., благодарность).
Текущие результаты докладывались и обсуждались в Лимнологическом институте СО РАН (г. Иркутск, 2012), на факультете математических наук Университета Лафборо (г. Лафборо, Великобритания, 2012).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 научные работы, в том числе 3 статьи в научных журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций; 2 - в сборниках трудов победителей и лауреатов Всероссийского конкурса научно-исследовательских работ; 18 - в материалах российских и международных конференций, симпозиумов и школ. Общий объём публикаций - 5.64 п.л., личный вклад автора - 3.97 п.л.
Объём и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы из 149 наименований; общий объём работы - 145 страниц.
Исследование выполнено при финансовой поддержке стипендии Президента РФ для молодых учёных и аспирантов, осуществляющих
перспективные научные исследования и разработки по приоритетным направлениям модернизации российской экономики (СП-71.2012.5), Программы развития деятельности студенческих объединений Национального исследовательского Томского государственного университета «Инновации и творчество на 2012-2013гг.», ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013» (соглашение №14.B37.21.0667), Министерства образования и науки РФ (задание №8.4859.2011).
Математическое моделирование течений в озере Байкал
В настоящее время для исследования процессов, происходящих в окружающей среде, часто применяют методы математического моделирования. По сравнению с проведением измерений этот подход не требует значительных затрат, позволяет детально во всех подробностях воспроизвести изучаемое явление, дает возможность идеализировать процесс за счёт отключения некоторых факторов. Однако математическое моделирование, в конце концов, изучает не сам рассматриваемый процесс, а лишь его модель, которая представляет собой систему дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения. Поэтому важно, чтобы математическая модель, по возможности, адекватно представляла основные свойства изучаемого явления или процесса.
Исследование и прогнозирование возможного распространения загрязнения в озере в силу уникальности объекта можно проводить исключительно с использованием методов математического моделирования.
Объектом исследования выступают термогидродинамические процессы в озёрах. Предметом исследования является математическая модель термобара в глубоком озере. Целью диссертационной работы является разработка комплексной математической модели и эффективного численного метода для воспроизведения и исследования особенностей гидродинамических процессов, сопровождающих весенний термобар в глубоком озере. Для достижения цели поставлены следующие задачи: ? построение негидростатической квазидвухмерной модели в приближении Буссинеска для воспроизведения гидродинамических процессов в озере; ? разработка эффективного метода решения уравнений негидростатической модели, опирающегося на использование неявных разностных схем второго порядка аппроксимации для решения уравнений движения и переноса; ? апробация численного алгоритма негидростатической модели на имеющихся экспериментальных данных, анализ полученных результатов и сравнение их с результатами других авторов и описаниями натурных наблюдений; ? проведение параметрических расчётов для реальных условий южного бассейна озера Байкал для исследования формирования и развития речного термобара в период весеннего прогревания; ? анализ влияния вращения Земли, а также переменного потока тепла и ветрового трения на характер развития селенгинского термобара; ? моделирование сценария распространения загрязняющих веществ под действием механизмов естественной конвекции, порождаемых речным термобаром.
Методы исследования. Численное моделирование нестационарного течения проводится путём численного решения системы уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска, замыкание которой осуществляется с помощью известной двухпараметрической k– модели Уилкокса или же алгебраическими соотношениями для коэффициентов турбулентной диффузии. Решение конвективно-диффузионных уравнений основано на методе конечных объёмов, обеспечивающем выполнение интегральных законов сохранения.
Научная новизна полученных автором результатов заключается в следующем: разработана новая негидростатическая модель в приближении Буссинеска для исследования закономерностей гидродинамических процессов в крупном озере, учитывающая влияние силы Кориолиса, метеорологических и гидрохимических условий, а также нестационарную и пространственную динамику турбулентной структуры; при моделировании термобара впервые применена двухпараметрическая дифференциальная k– модель Уилкокса для расчёта значений коэффициентов турбулентной диффузии и использованы граничные условия радиационного типа на открытой границе вычислительной области; ? для согласования рассчитываемых полей скорости и давления предложена новая эффективная процедура (названная SIMPLED) для течений с плавучестью, представляющая собой модификацию известного алгоритма SIMPLE Патанкара и Сполдинга; ? с помощью разработанной математической модели впервые воспроизведены гидродинамические сценарии в озере Камлупс для случаев «зима», «ранняя весна», «середина весны» и «поздняя весна», полностью соответствующие описаниям натурных наблюдений; ? получены результаты численных расчётов весеннего речного термобара и связанных с ним распространения концентрации загрязняющих веществ с учётом реальных морфометрических, метеорологических, гидрохимических условий южного бассейна озера Байкал.
Теоретическая значимость диссертации заключается в развитии теории численных методов решения задач, связанных с моделированием гидродинамики глубокого водоёма, а именно в построении численного метода второго порядка и описании усовершенствованной процедуры согласования полей скорости и давления для течений с плавучестью.
Практическая значимость работы определяется тем, что предложенная модель и созданный алгоритм решения нестационарных уравнений переноса позволяют рассчитывать гидротермодинамические картины движения водных масс в период существования речного термобара и предсказывать возможные сценарии распространения загрязняющих веществ под действием механизмов естественной конвекции. Воспроизведение всех особенностей термобара позволит оценить его масштабы, что является важным с точки зрения прогнозирования экологического состояния воды в озере. Сведения, касающиеся районов расположения термобара, важны для решения задач рационального природопользования, например, для определения оптимальных сроков вылова рыбы рыбопромысловыми организациями.
Основные положения, выносимые на защиту: ? негидростатическая квазидвухмерная модель речного термобара в приближении Буссинеска, учитывающая влияние силы Кориолиса, атмосферных и гидрохимических процессов, а также динамику турбулентной структуры; ? численный метод решения уравнений негидростатической модели; ? результаты сценарных расчётов, соответствующих случаям «зима», «ранняя весна», «середина весны» и «поздняя весна» на примере озера Камлупс; ? результаты численного исследования селенгинского весеннего термобара и его экологических последствий в озере Байкал.
Достоверность и обоснованность научных положений и выводов, сделанных в диссертации, следует из адекватности физических и математических моделей, используемых в работе, что подтверждается сравнением с описаниями натурных наблюдений и известными результатами численного моделирования других авторов, а также расчётами лицензированного программного пакета FLUENT.
Личный вклад автора. Цыденов Б. О. под руководством профессора Старченко А. В. построил математическую модель расчёта термобара в глубоководном озере, осуществил верификацию численного метода, получил основные результаты диссертационной работы и провёл их обоснование.
Уравнение состояния Чена–Миллеро
Как известно, этап весеннего прогрева в озере Байкал начинается сначала вблизи западного берега, а затем – вблизи восточного [87]. Благодаря возрастанию коротковолновой радиации, проникающей в воду, резко усиливаются темпы теплонакопления. В мае, после таяния льда, в процессах теплоотдачи поглощённой солнечной радиации в глубину помимо плотностной конвекции особую роль начинает играть и динамическое перемешивание, связанное с сильным ветровым воздействием на поверхность водоёма. Согласно Верболову и др. [17] в данный период скорость ветра достигает значения сезонного максимума. Это способствует росту скорости течения и интенсивности ветрового перемешивания. Прогрев озера и усиление вертикального обмена генерирует погружение слоя скачка (см. рис. 1.9) при некотором ослаблении величины градиента в нём. В итоге перемешивание становится причиной роста нижней границы гомогенного слоя до промежуточного температурного (мезотермического) максимума. Условно этот момент считается началом весенней гомотермии (под гомотермией понимается явление однородности температуры воды по всей глубине водоёма) [87]. С увеличением мощности гомогенного слоя, а также в период гомотермии темпы роста температуры в нём и на поверхности снижаются из-за относительно равномерного распространения тепла, поглощенного водой, во всё возрастающем слое воды, который достигает 200 – 300 м, а порой распространяется и на большую глубину. Данное явление отмечали Г. Ю. Верещагин [19] и Л. Л. Россолимо [43]. Гомотермия для глубоководных участков водоёма приблизительно длится один месяц (как правило, она начинается в конце мая – начале июня и заканчивается в конце июня – начале июля), хотя в отдельные годы её продолжительность может сильно варьироваться [87]. Срок существования гомотермии в заливах, на мелководьях и участках влияния речного стока значительно короткий. По сведениям Л. Л. Россолимо [43] в отличие от удалённых от берега глубоководных участков в прибрежной области открытого Байкала явление гомотермии возникает раньше и протекает в более короткие сроки. Есть районы, в которых она наступает при температурах (температура гомогенного слоя воды может составлять 2.0 – 3.6 С) всегда меньших температуры максимальной плотности при нормальном давлении [17, 43].
Временное различие начального этапа весеннего прогрева, а также влияние динамических процессов создают большое разнообразие в пространственном распределении температуры воды и особенностях её вертикального распределения. В общей сложности глубина залегания слоя температурного скачка и мощность гомогенного слоя могут сильно различаться даже на одном гидрологическом разрезе. В качестве примера можно привести вертикальное распределение температуры воды на разрезе Листвянка – Танхой 26 мая 1971 года (см. рис. 1.9) в 3 км от западного (ст. 1) и восточного (ст. 5) берега, в 7 км от них (ст. 2, 4) и на середине разреза (ст. 3) [87]. Если на ст. 1 размеры гомогенного слоя составляло около 150 м, то на ст. 3 – всего 50 м. Слой скачка оказался четко выраженным на ст. 1, 2, 4 и размытым на ст. 5 и особенно в середине разреза. При низкой еще температуре гомогенного слоя воды (2.3 – 2.5 С) температура на поверхности становится уже несколько выше, чем в нижележащих слоях (амфитермия). Согласно Россолимо Л. Л. [43], причиной ярко выраженной амфитермии в это время года служит то обстоятельство, что естественная конвекция не успевает обеспечить отток поглощённой солнечной радиации на глубину.
Измеренные через 2 недели значения вертикального распределения температуры на точках того же разреза (см. рис. 1.9б) свидетельствуют о разных темпах прогрева воды у восточного и западного берега. Фактически у западного берега и в центре озера уже имеет место гомотермия при температуре около 3.5 – 3.6 С, а вблизи восточного чётко выражена обратная стратификация с мало изменившейся по сравнению с предшествующей съёмкой мощностью гомогенного слоя и положением слоя скачка температуры. Сопоставление значений температуры 26 мая и 11 июня на разных горизонтах показывает, что вызываемые процессами вертикального перемешивания температурные изменения распространяются при гомотермии на значительную глубину. Благодаря вертикальному обмену прогрев верхней части водной толщи идёт частично и за счёт тепла глубинных слоёв воды, в которых температура воды при этом понижается. Такое понижение температуры заметно наиболее четко на ст. 1 в слое от 200 до 500 м, на ст. 2 – от 150 до 300, на ст. 3 – от 200 до 300, на ст. 4 – от 90 до 150 м. Граница слоя, в котором произошла заметная теплоотдача, может характеризовать глубину распространения весеннего перемешивания за интервал времени между наблюдениями [87].
Согласно оценкам Шимараева [87] этап весеннего прогрева в мелководных участках озера, как правило, заканчивается примерно на месяц раньше по сравнению с открытым озером. Эта причина в основном связана с поглощением солнечного тепла незначительным по мощности слоем воды.
Рассмотрим температурные разрезы Бугульдейка – устье Селенги, относящиеся к первому этапу периода весеннего прогрева [43]. Рис. 1.10а показывает, что в открытом Байкале сохраняется приближающаяся к гомотермии обратная стратификация. На всём сечении температура на поверхности и в лежащих глубже слоях возрастает с приближением к устью реки Селенги. В верхнем 100-метровом слое открытого Байкала имеется почти полная гомотермия при температуре, близкой к 3 С. С приближением к мелководной части всё больше возрастают вертикальные градиенты, которые достигают в верхнем 10-метровом слое 0.2 – 0.3 С на 1 м, а перед устьем Селенги – 2 С на 1 м. Имеет место поверхностное распространение прогретых на мелководье озёрных и вод Селенги на расстояние примерно 18 км от берега и на глубину более 100 м в области берегового склона.
Дискретизация расчётной области методом конечного объёма
В природе существует два типа течения жидкостей: ламинарные (слоистые) и турбулентные (вихревые). Они сильно отличающиеся друг от друга тем, что ламинарные течения обладают спокойным, плавным, регулярным режимом, а в турбулентных течениях гидродинамические величины как скорость, температура, давление и т. д. изменяются хаотично как во времени, так и в пространстве.
Согласно определению П. Брэдшоу (1971) [14]: «турбулентность - есть трёхмерное нестационарное движение, в котором вследствие растяжения вихрей создаётся непрерывное распределение пульсаций скорости в интервале длин волн от минимальных, определяемых вязкими силами, до максимальных, определяемых граничными условиями течения. Она является обычным состоянием движущейся жидкости, за исключением течений при малых числах Рейнольдса».
С 1883 года (классические работы О. Рейнольдса) многие математики и механики занимаются поиском наиболее приемлемых для практики моделей турбулентности. Ведь математическое описание турбулентных течений отличается исключительной сложностью, а в окружающем нас мире очень часто имеет место турбулентный характер движения жидкостей и газов [20].
Под «моделью турбулентности» понимается совокупность эмпирических и иных соотношений (как правило, дополнительных дифференциальных уравнений). Многие учёные пытаются построить универсальную модель турбулентности, которая способна прогнозировать широкий круг турбулентных течений. Такая модель отнюдь не должна включать в себя максимальное число уравнений: с ростом количества уравнений требуется соответствующая, порой трудно достижимая эмпирическая информация, необходимая для моделирования входящих в уравнения для турбулентностных характеристик членов [5]. В некоторых случаях вполне достаточно лишь приближённое описание характера турбулентности. Так, в задачах о больших водных массах значения турбулентной вязкости и коэффициента турбулентной диффузии обычно принимаются постоянными. Более сложные модели в таких задачах часто себя не оправдывают из-за значительных неопределенностей в задании граничных условий и погрешностей в численных решениях. Возникает вопрос: какова же должна быть сложность модели для получения результатов с достаточной для практических целей точностью? Ответ, конечно, зависит от условий конкретной задачи, т. е. от рассматриваемых физических явлений [41].
При численных исследованиях термобара часто используются простейшие полуэмпирические модели турбулентности. В частности, многие авторы (например, [10, 128]) коэффициенты турбулентной диффузии задают в виде константы. Следует заметить, что существует проблема сильного различия коэффициентов турбулентного обмена по разным направлениям относительно осредненного движения. Устойчивая плотностная стратификация является причиной того, что вертикальные пульсации гидрологических характеристик меньше горизонтальных, а это значит, что горизонтальные турбулентные потоки больше вертикальных. К тому же, из-за осреднения вертикальные градиенты субстанций больше горизонтальных. Всё это влечёт за собой резкое различие коэффициентов вертикальной и горизонтальной турбулентности: первые меньше вторых [25]. Например, при численном исследовании термобара в озере Байкал Холланд и др. (Holland P. et al.) [111] используют следующую модель турбулентности: Кх = 5M / С; Kz 0.0004 + 6x10 (AM M /C,N A min, (1.8) 0.02;w / c,N Nm min где Kx, Kz - коэффициенты горизонтальной и вертикальной турбулентной вязкости соответственно; Аm2in =9.371x10" с . Пороговое значение для условия устойчивости (Л min) вводится для того, чтобы избежать больших значений Kz при N — 0. Для определения условия устойчивой стратификации используется частота Брента - Вяйсяля (частота плавучести): дТ TV = ga 1 , (1.9) \dz J где а - коэффициент термического расширения, Г - адиабатический градиент температуры, g - ускорение свободного падения. Вообще говоря, модели, связанные с понятием турбулентной вязкости, подразделяются на следующие группы: ? модели нулевого порядка (в таких моделях при определении турбулентной вязкости используются только алгебраические уравнения), например (1.8); ? однопараметрические модели (в них используется одно дифференциальное уравнение, как правило, уравнение переноса турбулентной кинетической энергии к); ? двухпараметрические модели (в таких моделях для характеристики турбулентности используются два дифференциальных уравнения: одно уравнение - для определения турбулентной кинетической энергии k, а второе - для определения таких характеристик, как масштаба турбулентности или скорости диссипации турбулентной энергии или частоты турбулентных пульсаций). Применение двухпараметрических моделей турбулентности для численного исследования течений, связанных с термобаром, скорее всего, приведёт к более качественным результатам (Э. Кай, личная беседа). Из семейства двухпараметрических моделей турбулентности в океанологической практике [109, 121, 133] наиболее известны «классическая» модель Меллора-Ямада (1982) [127], которая состоит из уравнений для кинетической энергии турбулентности (к) и произведения Ы (/ турбулентный масштаб длины); к—Б модель Лаундера-Сполдинга с поправками на плавучесть Роди (1987) [137], где Б представляет собой скорость диссипации к; к-со модель Уилкокса (1988) [147], здесь со - частота турбулентных пульсаций. В работе [142] проведен сравнительный анализ вышеперечисленных моделей турбулентности для океанических течений. Авторы [142] сделали вывод о том, что к-со модель наиболее реалистично описывает процессы перемешивания в океане.
Воспроизведение гидродинамических сценариев и сопоставление их с натурными наблюдениями
Случай «середина весны». Этот случай представляет особый интерес, поскольку он связан с возникновением и развитием термобара. Вычислительный эксперимент проводился при следующих условиях: начальная температура притока составляла 5С и повышалась на 0.2С в сутки, TL = 2.4С. Этот эксперимент отличается тем, что температура реки выше ТМП, а озера -ниже. По этой причине, проникающий в озеро речной поток распространяется сначала поверхностной струёй, а затем, смешиваясь с озёрной водной массой и достигая ТМП, начинает погружаться вниз до дна, образуя термобар (см. рис. 4.11). Эти опускания происходят вследствие так называемой термобарической неустойчивости столба жидкости. Для инициирования такой неустойчивости необходима внешняя сила, способная преодолеть создаваемый архимедовыми силами потенциальный барьер. Иными словами, аномальный рост сжимаемости воды при приближении её температуры к температуре максимальной плотности приводит к необратимому погружению водных масс до дна. За 8 суток фронт термобара продвигается на расстояние 1.2 – 1.3 км от устья реки Томпсон, формируя по обе стороны циркуляционные ячейки с зоной схождения воды. По мере прогрева озера термобар смещается в центральную часть водоёма (на 16-е сутки достигает 2.7 – 2.8 км) и исчезает (24-е сутки).
Однако есть и различие: рассматриваемый случай характеризуется более интенсивным распространением поверхностной струи за счёт усиления темпов теплонакопления речного притока и поверхностного слоя водоёма (см. рис. 4.12). В течение лета втекающая в озеро вода остаётся более тёплой (менее плотной), чем озёрная. По этой причине основная масса речной воды продвигается по поверхности водоёма, а часть, смешиваясь с озёрной, погружается вглубь. В озере устанавливается прямая температурная стратификация (см. изотермы на рис. 4.12). Как показывают изотермы на 24-е сутки (см. рис. 4.12), повышение температуры распространяется на глубину не менее 100 м.
Таким образом, рассмотренные выше случаи полностью соответствуют описаниям натурных наблюдений Кармака Э. К. и др. [120] (рис. 1.6) в озере Камлупс. Следовательно, разработанная численная модель и построенный алгоритм адекватно отражают природу взаимодействия систем «река – озеро».
Известно, что минерализация реки меняется в зависимости от времени года. Как правило, зимой, до возникновения термобара, минерализация притока относительно высокая в связи с малым речным стоком. Весной, во время таяния снега, солёность в реке немного снижается. Спад паводка поздней весной приводит к повышению концентрации главных ионов в речной воде. Поэтому важно понять общие закономерности процессов вынужденной конвекции при изменении солёности притока. С этой целью выполнена серия численных экспериментов с различными значениями минерализации в реке, приведёнными в таблице 4.1. Температурный режим озера и речного притока, а также скорость реки соответствуют параметрам, описанным в п. 4.1.
На рис. 4.13 изображено распределение солёности в озере на 12-е и 20-е сутки согласно экспериментам №1, 3 и 4. Видно, что характер распространения концентрации главных ионов в озере имеет свои особенности в каждом конкретном случае. Изохалины свидетельствуют, что менее минерализованная речная вода имеет тенденцию распространяться по поверхности водоёма, в то время как более солёная водная масса под действием силы тяжести и силы Кориолиса интенсивно опускается по склону, формирую придонное течение.
Особый интерес вызывает влияние солёности вод притока на характер эволюции термобара. На рис. 4.14 представлены полученные в ходе экспериментов №1 – №4 профили температуры максимальной плотности, соответствующие 12-м и 20-м расчётным суткам. Из рис. 4.14 видно, что при минерализации притока, составляющей 0.05 г/кг (эксперимент №1), фронт термобара располагается на максимальном расстоянии (приблизительно 1.6 км на 12-е сутки и 3.1 на 20-е сутки) от устья реки по сравнению с остальными случаями. При солёности притока, равной 0.2 г/кг (эксперимент №4), развитие термобара происходит с некоторым запозданием (0.5 км на 12-е сутки и 2.1 на 20-е сутки). Результаты экспериментов №2 и №3 носят промежуточный характер. Здесь необходимо отметить, что высокая минерализация вод притока способствует распространению термобара в глубинную часть озера. Таким образом, если считать, что фронт термобара соответствует положению температуры максимальной плотности, то можно сделать следующий вывод: высокая минерализация речного притока замедляет распространение термобара в приповерхностной области и способствует его продвижению вглубь озера.
Выводы по главе 4
Проведено исследование численной модели на примере термобара в озере Камлупс, а также осуществлено моделирование гидродинамических сценариев, наблюдаемых в зимние и весенние периоды. Физическая картина динамики развития термобара в озере Камлупс качественно и количественно согласуется с результатами расчётов Холланда П. Р. и др. Серия экспериментов «зима», «ранняя весна», «середина весны», «поздняя весна» демонстрирует полное соответствие картин взаимодействия систем «река – озеро», описанных Кармаком Э. К. и др. на основе натурных наблюдений в озере Камлупс. Установлено, что высокая минерализация речного притока замедляет распространение термобара в приповерхностной области и способствует его продвижению в глубинную часть озера. Численные эксперименты показали, что использование k– модели турбулентности даёт более сложную картину эволюции термобара: в теплоактивной области формируется приповерхностная локальная циркуляция, влияющая на скорость горизонтального перемещения фронта термобара от устья притока.
Рассматривается взятый из работы [134] прибрежный профиль озера, соответствующий реальному рельефу в южной котловине озера Байкал (см. рис. 5.1). Протяженность расчётной области составляет 10 км, а глубина – 900 м. На свободной поверхности ставятся граничные условия типа “твердой крышки” (отсутствие ветровых напряжений) и задается поток тепла. На дне, помимо условия непроницаемости, задается связь касательных напряжений с придонной скоростью (квадратичный закон трения), а также условие отсутствия теплообмена с дном. Начальные условия соответствуют состоянию покоя и заданным полям температуры (температура однородна по горизонтали, но переменна по вертикали), взятым на основе натурных наблюдений в мае месяце [13, 87] (см. рис. 5.2).
