Содержание к диссертации
Введение
1 Исследование одномерных эволюционных уравнений гидродинамического типа. 21
1.1 Численное исследование длинноволнового регуляризованного уравнения 21
1.1.1 Численная схема и тестовые расчеты 23
1.1.2 Взаимодействие двух солитонов 26
1.1.3 Задача о распаде прямоугольного положительного импульса 28
1.1.4 Задача о распаде прямоугольного отрицательного импульса 29
1.1.5 Задача о взаимодействии солитонов и осциллятор-ных волн 31
1.1.6 Задача о распаде разрыва в начальных данных. 33
1.1.7 Точное солитонное решение для сильно нелинейного уравнения 36
1.2 Изучение особых режимов генерации солитонов уравнения Бенджамина-Оно 37
1.2.1 Общие сведения о постановках задач и схемах 37
1.2.2 Осцилляторные волны и их взаимодействие с со-литонами 41
1.2.3 Общие закономерности генерации солитонов движущимися источниками 42
1.3 Тонкая временная и пространственная структуры периодических решений 46
1.3.1 Введение 46
1.3.2 Эффект "возврата" для уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега -де Вриза 48
1.3.3 Неустойчивость пилообразного решения модифицированного уравнения Бюргерса 54
Двумерные солитоны Захарова-Кузнецова. 57
2.1 Физические основы уравнения Захарова-Кузнецова 57
2.2 Структура двумерных локализованных солитонов . 61
2.3 Численная схема и её тестирование 64
2.4 Устойчивость двумерных солитонов 74
2.4.1 Численные доказательства неустойчивости плоского солитона 75
2.4.2 Устойчивость симметричных и плоских наклонных солитонов 77
2.5 Парные столкновения плоских и симметричных солитонов 80
2.6 Взаимодействия симметричных солитонов 84
2.6.1 Лобовые столкновения 84
2.6.2 Нелобовые столкновения 87
2.7 Генерация симметричных солитонов 90
Численное исследование решений плазменного уравнения Кадомцева-Петвиашвили 93
3.1 Вывод плазменного уравнения Кадомцева- Петвиашвили 93
3.2 Точные солитонные решения 95
3.2.1 Рациональные солитоны 95
3.2.2 Линейные солитоны 96
3.2.3 Законы сохранения 97
3.2.4 Многосолитонные решения 98
3.3 Численная схема и тестовые расчеты 100
3.4 Исследование устойчивости двумерных солитонов . 103
3.4.1 Неустойчивость линейных солитонов 103
3.4.2 Устойчивость рациональных солитонов 106
3.5 Парные взаимодействия линейных и рациональных солитонов 106
3.6 Парные взаимодействия рациональных прямых солитонов ПО
3.6.1 Лобовые столкновения 110
3.6.2 Нелобовые столкновения 112
3.7 Парные взаимодействия наклонных рациональных солитонов ИЗ
3.8 Численные решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили с источниковыми членами 115
4 Примеры численных решений устойчивого уравнения Кадомцева-Петвиашвили 121
4.1 Краткий асимптотический вывод уравнения 121
4.2 Конечно-разностные схемы 125
4.3 Генерация прямых солитонов источником 128
4.4 Структура течений, порождаемых стоком 133
4.5 Периодическая задача Коши 136
5 Решение некоторых прикладных задач теории длинных волн 139
5.1 Численное моделирование нестационарного отрыва в классическом пограничном слое 139
5.1.1 Отрыв пограничного слоя одиночным вихрем . 140
5.1.2 Возмущение пограничного слоя, индуцированное солитоном КдВ 142
5.2 Взаимодействие гидравлического прыжка с рельефом дна
в мелкой воде 143
5.3 Оценка характеристик волн, вызванных падением космических тел в океаны 149
5.3.1 Распространение волн на больших расстояниях от места удара 149
5.3.2 Взаимодействие одиночной волны с рельефом дна 152
Заключение 156
Основные результаты, представленные в диссертации 156
Список литературы 162
Иллюстрации 171
- Численное исследование длинноволнового регуляризованного уравнения
- Физические основы уравнения Захарова-Кузнецова
- Вывод плазменного уравнения Кадомцева- Петвиашвили
- Краткий асимптотический вывод уравнения
- Численное моделирование нестационарного отрыва в классическом пограничном слое
Введение к работе
Последние десятилетия отмечены очень бурным развитием физических и математических теорий многообразных волновых движений, которые в большинстве своем, в той или иной мере, используют приближение длинных волн. По многим причинам особый интерес привлекают нелинейные процессы. Фундаментальные математические идеи и результаты основополагающих конкретных физических приложений нелинейных волновых моделей были впервые обобщены в монографии Дж. Уизема [0.1], где были определены главные направления развития этой области науки.
Ввиду большого числа и разнообразия исследований весьма затруднительно дать исчерпывающий обзор литературных источников. Наиболее близкое изложение общих положений нелинейной теории волн в аэро- и гидродинамике, касающихся общей постановки изучаемых в диссертации задач, можно найти в обзорных работах [0.2] — [0.6].
В основном данная работа посвящена исследованию волновых движений, описывающихся группой эволюционных уравнений гидродинамического типа: Кортевега -де Вриза, Бенждамина- Оно, регуляри-зованного длинноволнового уравнения, Бюргерса, Захарова-Кузнецова, Кадомцева-Петвиашвили, которые совместно с уравнениями Буссине-ска, нелинейным уравнением Шредингера, Шрира и некоторыми другими близкими уравнениями, составляют основу современных волновых моделей механики сплошной среды.
Дополнительный интерес к изучаемым уравнениям привлек факт существования у всех них решений солитонного типа, которые в настоящее время стали объектом пристального всеобщего внимания. В связи с чем автору большую помощь оказали сведения, изложенные в [0.7] -[0.10], а также в конкретных оригинальных работах, ссылки на которые далее приводятся по мере изложения.
Внешние удивительные свойства солитонных решений порой затеняют их механическую сущность. Постоянно следует иметь в виду, что обсуждение поведения решения в специфических терминах "соли- тон","осцилляторная волна", всегда подразумевает возможность параллельного истолкования в физических понятиях, таких как плотность, скорость, завихренность и т.д.. Многие из исследуемых уравнений имеют несколько физических областей приложения.
Еще одна особенность представляемой работы состоит в том, что исследование ведется численными методами, имеющими свою специфику. Это приводит к возникновению дополнительных проблем, весьма далеких от решаемых исходных задач. Сюда можно включить составление схем, алгоритмов, выполнение и сопровождение расчетов на находящихся в постоянном обновлении вычислительных комплексах. Вероятно по этим причинам число работ, посвященных численному моделированию, относительно мало. Если для одномерных уравнений и есть некоторые устоявшиеся алгоритмы, то в двумерных случаях численные схемы приходится создавать практически на чистом месте. Все используемые автором алгоритмы оригинальны и на время их опубликования были новыми.
Актуальность темы диссертации.
Асимптотические теории, использующие разложение искомого решения и независимых переменных в ряд по малому параметру являются наиболее привлекательными и сводят уравнения Навье-Стокса или Эйлера к более простым уравнениям, поддающимся теоретическому или численному анализу. Наиболее широко данные теории применяются к исследованию длинноволновых возмущений, возникающих в жидкостях и газах. Это в первую очередь относится к наиболее интересной области нелинейной гидродинамики - движению массы воды со свободной поверхностью под действием силы тяжести. Сюда относятся как случаи волновых движений в открытых водоемах (каналах, озерах, морях и океанах), так и течения в тонких пленках, реализующиеся в различных устройствах специального вида, где кроме силы тяжести могут присутствовать инерциальные силы, вязкость и поверхностное натяжение.
Большой практический интерес представляет исследование внутренних волн в стратифицированных жидкостях, приповерхностных или внутренних сдвиговых слоях. В задачах аэродинамики актуальны задачи о восприимчивости пограничных слоев к возмущениям при больших числах Рейнольдса , что связывается с вопросами устойчивости и теорией ламинарно-турбулентного перехода. Исследуемые в настоящей работе эволюционные уравнения помогают пониманию ряда важных физических механизмов, существенных в данных задачах.
К теории длинных волн относятся также задачи о распространении ионно-звуковых и магнито-звуковых волн в неравновесной плазме, исследования которых позволяют определить совершенно новые волновые механизмы взаимодействий в плазме низкого давления.
В настоящее время важным методом исследования сложных нелинейных явлений стало численное моделирование, возможности которого очень быстро возрастают с увеличением быстродействия и памяти компьютеров. Именно в численных экспериментах были обнаружены существенно нелинейные локализованные решения - солитоны, сделавшие радикальный переворот в понимании нелинейных процессов в различных областях физики.
Используемые в данной работе численные схемы отличаются от обычно применяемых в теории уравнений Эйлера и Навье- Стокса. Наличие сложных дисперсионных зависимостей вынуждает использовать спектральные схемы, а присутствие сильной нелинейности заставляет привлекать схемы с искусственной вязкостью с последующей коррекцией. Построенные схемы с успехом разрешают сложные формы течений, в число которых входят двумерные солитонные решения разных видов и объясняющих важные качественные эффекты в возмущенных течениях жидкости и плазмы.
Цель работы.
Основные задачи, поставленные для решения, заключаются во всестороннем изучении волновых возмущений, развивающихся в жидкости и плазме в приближении конкретных моделей. В качестве последних выбран набор в разной степени изученных одномерных и двумерных эволюционных уравнений, а также уравнения классического пограничного слоя и мелкой воды.
Для одномерных моделей ставились задачи по исследованию проявления неупругих эффектов при взаимодействии солитонов (длинноволновое регуляризованное уравнение), особенности генерации солитонов (уравнение Бенджамина-Оно), эффект временной цикличности для периодических в пространстве решений (уравнения Бенджамина-Оно, Кортевега-де Вриза, Бюргерса). Во всех случаях обращалось внимание на выявление черт общности солитонов и осцилляторных волн.
В двумерных случаях основной целью являлось всестороннее исследование свойств неизвестных решений, в число которых входили одно-и многосолитонные решения, отвечающие столкновению солитонов разных типов, а также выявление особенностей волновых полей, появляющихся под действием внешних сил. В связи с чем проводился сравнительный анализ особенностей разных моделей при решении однотипных задач.
В рамках теории мелкой воды главным направлением следует считать определение характеристик волн, вызванных падением крупных космических тел в моря и океаны и анализ их развития при прохождении разных рельефов дна.
Основным методом исследования является метод численного моделирования. Поэтому разработка и проверка эффективных численных алгоритмов являются необходимым условием достижения поставленных целей.
Теоретическая и практическая ценность.
В диссертационной работе впервые проведен всесторонний исчерпывающий численный анализ волновых возмущений в форме двумерных локализованных солитонов и осцилляторных волн, развивающихся в плазме при воздействии магнитного поля и в отсутствии его, а также в пограничных слоях, приповерхностных струях, "мелкой" воде и т.д.. Это существенно расширяет границу знаний о формах существования , взаимодействия, генерации и распространения данных волновых образований. Детальное исследование вопросов устойчивости, парного взаимодействия, влияния дисперсионных эффектов вносят заметный вклад в общую теорию солитонов.
Построены эффективные численные алгоритмы для расчета целого ряда одномерных и двумерных эволюционных уравнений. Численное моделирование с помощью этих схем позволяет обнаружить много новых качественных физических эффектов не только в обсуждаемой области механики сплошной среды, но и в других областях физики.
Особый практический интерес представляют задачи, связанные с оценкой параметров гравитационных волн, вызванных падением крупных космических тел в моря и океаны, а также выяснение влияния донных рельефов на их распространение в связи с возможностью прогнозирования разрушительных последствий данного вида катастрофических явлений.
Изложенные в диссертации результаты, в особенности касающиеся исследований динамики двумерных солитонов, имеют большое научное значение, дают новые фундаментальные представления о закономерностях взаимодействий и генерации нелинейных диспергирующих возмущений в сплошной среде. Построенные оригинальные алгоритмы расширяют возможности метода численного моделирования, распространяя его на более широкий класс нелинейных дифференциальных уравнений.
Степень достоверности результатов.
Достоверность результатов, представленных в диссертации, определяется качеством используемых схем. Во всех случаях проводилась тщательная,исчерпывающая внутренняя поблочная проверка вычислительных алгоритмов, точность которых оценивалась при расчете многих известных точных решений, близких по структуре к элементам изу- чаемого решения. Там, где это было возможно, одна и та же задача решалась двумя разными по структуре схемами: конечно-разностными или спектральными. В одномерных случаях сравнения проводились с двумя, тремя известными ранее схемами. Точность одномерных расчетов оценивается на уровне 0.1 — 0.05%, а двумерных - 2 — 5% с сохранением первого интеграла движения с абсолютной точностью. Во всех случаях проверялась непротиворечивость получаемых результатов физической модели, экспериментам, проводилось сравнение с известными в литературе решениями.
Личное участие автора в получении новых результатов.
Главы 2, 3, 4, а также разделы 1.1.6,1.1.7 , раздел 1.2 и весь 1.3 содержат результаты, полученные автором лично.
Численное исследование длинноволнового регуляризованного уравнения
Для описания распространения волн на мелкой воде к настоящему времени предложено ряд моделей, среди которых наиболее перспективными являются различные модификации уравнений Буссинеска. В работе [1.1] для описания развития ундулярной боры было предложено регу-ляризованное длинноволновое уравнение (RLW):
В отличие от уравнения Кортевега-де Вриза это уравнение, несмотря на внешнее сходство, имеет существенные отличия в поведении решений. К общим теоретическим результатам для RLW относится доказательство существования и единственности задачи Коши, а также устойчивости его решений [1.2], установление факта невозможности построения теории, аналогичной теории обратной задачи рассеяния [1.3], исследование затухания решения уравнения RLW с вязкими членами при t — оо[1.4].
Уравнение RLW не инвариантно относительно сдвига Галилея, для него известно три закона сохранения [1.5].
Известно, что уравнение RLW имеет точные солитонные решения, которые могут быть положительными (Р— солитоны), либо отрицательными (п— солитоны). Подробнее о их структуре будет сказано ниже. Наиболее полно численными методами изучены парные солитонные взаимодействия. Показано, что они зависят не только от отношения амплитуд взаимодействующих партнеров, но и от самих амплитуд. При этом существенную роль могут играть диссипативные процессы, приводящие иногда даже к аннигиляции солитонов. Необычность поведения решений, а также широкий круг приложений, объясняют повышенный интерес к его всестороннему исследованию.
Применение численных методов для RLW усложняется необходимостью аппроксимации перекрестного дифференциального слагаемого, что приводит к предпочтительности использования неявных методов. Кроме этого, отсутствие точных теоретических выводов в некоторых случаях перемещает доказательную часть на численно получаемые результаты. Это ведет к необходимости конструирования схем повышенного порядка точности (вплоть до пятого). Примером может служить задача об определении фазовых и амплитудных сдвигов солитонов, имеющих место при взаимодействии двух или нескольких солитонов с близкими амплитудами. Искомые эффекты составляют 10_3 — Ю-5 от основных величин. Следует признать, что эти примеры все же являются исключительными и, как показали результаты всесторонних численных исследований многих задач, большинство эффектов может быть обнаружено при использовании менее точных схем.
Физические основы уравнения Захарова-Кузнецова
Данное модельное уравнение для магнито-акустических волн выводится из системы гидродинамических уравнений относительно плотности ионов п и ионной скорости v. Плазма считается сильно неизотермичной Те ТІ и находящейся в постоянном магнитном поле Н = Н2. Характерное время процессов во много раз больше, чем циклотронный период . При 42Т? С 1 амбиполярное поле является потенциальным и полная система исходных уравнений при данных предположениях приобретает вид [2.1].
Эти равенства можно соотнести с законами сохранения массы (полной М и частичной М(у, z)), импульса D и постоянства скорости движения центра масс. Кроме рассмотренного выше случая физического применения уравнения Захарова-Кузнецова существует еще одна ситуация, когда течение газа описывается этим же уравнением. Она рассмотрена в [2.3], где изучались слабонелинейные двумерные возмущения в пристеночной струе газа. В результате применения процедуры асимптотических сращиваемых разложений по малому параметру е = Re 7/2 [Re -число Рейнольдса ) оказывается, что во втором приближении по є течение описывается двумерным уравнением.
Ввиду сложностей, возникающих при численном исследовании трехмерных уравнений, в данной главе изучается уравнение (2.12), которое впоследствии будет называться двумерным аналогом уравнения Захарова-Кузнецова .11). Все результаты, полученные в двумерном случае справедливы и для трехмерного. Кроме этого, исходя из свойств двумерных решений, можно сделать ряд важных заключений о поведении ряда трехмерных решений.
Проведение непосредственной аналогии уравнения (2.12) с уравнением КдВ позволяет найти простейшие солитонные решения в виде плоских, наклоненных к оси X солитонов. Они не убывают на бесконечности вдоль направления линий равного уровня. Пусть u(x,y,t) = и(х — Cyy,t). Тогда для и получается уравнение КдВ.
Оно зависит от двух параметров. При фиксированном С определена его амплитуда, равная — ЗС и скорость D = —С. При изменении Су от 0 до оо изменяется от нуля до 7г/2 угол наклона солитона к оси Y. Прямому солитону отвечает нулевой угол. Соответственно изменяется ширина солитона, определяемая величиной А. Солитоны, имеющие больший угол наклона, имеют и большую ширину. Зависимости от знака С, нет.
Вывод плазменного уравнения Кадомцева- Петвиашвили
Изучаемое в этой главе уравнение можно вывести из системы гидродинамических уравнений (2.1), из которых исключено слагаемое Qz х v, учитывающее действие постоянного магнитного поля. В таком случае изменяется вид разложения искомых функций и преобразование координат (2.2).
Подставляя (3.6) и последнее равенство из (3.5) в первое уравнение из (3.5), и, переобозначая n = п, получим.
Найдя теоретически или численно решение (3.7) , пользуясь соотношениями (3.2), (3.3), из (3.4) можно определить составляющие скорости vx,vy, а, следовательно, и решение исходного уравнения в первом порядке по е. Несущественными переобозначениями переменных (3.7) приводится к более часто встречающемуся в литературе каноническому виду.
В дальнейшем будет использоваться двумерная версия (3.8) без слагаемого uzz и fi = 1. Приведенный вывод уравнения К.П. не единственный, но один из самых простых и физически наглядных.
Краткий асимптотический вывод уравнения
Обсуждаемые в данной главе задачи относятся к области нелинейной гидродинамики, описывающей волны на свободной поверхности воды (совершенной жидкости). Это довольно сложное явление и первые модельные эволюционные уравнения КдВ и Буссинеска были выведены именно для поверхностных гравитационных волн. В некоторых случаях приближенные уравнения выводятся на эвристическом уровне. В обзоре [4.1] дается обоснованный вывод модельных уравнений КдВ и Кадомцева-Петвиашвили из точной постановки задачи с использованием строгих асимптотических методов.
Асимптотический вывод уравнения Кадомцева-Петвиашвили во многом соответствует асимптотическому выводу уравнения КдВ. Здесь мы исходим из трехмерной физической задачи о волне на свободной поверхности воды с горизонтальным дном в плоскости z = 0 в пренебрежении.
Численное моделирование нестационарного отрыва в классическом пограничном слое
При исследовании течений близи поверхностей в общем случае необходимо решать полную систему уравнений Навье-Стокса. При больших числах Рейнольдса и умеренных возмущениях можно воспользоваться теорией "тонкого слоя" или классического пограничного слоя [5.1].
К настоящему времени широкое распространение приобрела теория пограничного слоя с самоиндуцированным давлением [5.2], [5.3], [5.4], в которой уравнения пограничного слоя дополняются соотношением, учитывающим изменения внешнего потока под влиянием вязкого слоя.
В приложении к тонким пленкам теория пограничного слоя с самоиндуцированным давлением была разработана в [5.5]. Следуя работе [5.6], для амплитуд возмущений, превышающих масштабы теории свободного взаимодействия, возникают течения, которые в первом приближении описываются одним нелинейным эволюционным уравнением. В задаче о пленке, стекающей по наклонной поверхности, таким уравнением является уравнение КдВ. В работе [5.7] приведены некоторые решения КдВ, применительно к развитию локальных возмущений в пленке, развивающихся на локальных неоднородностях. Характерными элементами этих решений являются солитоны.
В данном разделе будет рассмотрено влияние течения в форме одиночного солитона КдВ на вязкую область , т.е. задача [5.7] исследуется в более общем виде, когда на поверхности выполняются условия прилипания. Результаты опубликованы автором в [5.8].
