Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Постановки стохастических задач теории упругости ... 10
I. Особенности статистических методов II
2. Определение статистических характеристик полей механических величин 14
3. Постановка задачи об определении статистических характеристик полей перемещений, деформаций и напряжений для случайно неоднородного тела 18
Глава 2. Деформирование микронеодйородного цилиндра 23
4. Постановка в перемещениях пространственной задачи теории упругости для неоднородного тела 23
5. Метод быстро осциллирующих функций 25
6. Решение задачи о растяжении микронеоднородного цилиндра при Л=Л(г,2г), ^ = Я(г,г) 39
7. Метод быстрой осцилляции с использованием функции напряжений Лява 61
Глава 3. Статистический анализ решения задачи о растяжении микронеодйородного цилиндра 69
8. Общий характер зависимости дисперсий компонент тензоров деформаций и напряжений от координат 69
9. Сравнение статистических характеристик решения рассмотренной задачи с аналогичными для полуплоскости и полупространства 76
Выводы 79
Литература 80
Приложение 86
- Определение статистических характеристик полей механических величин
- Постановка задачи об определении статистических характеристик полей перемещений, деформаций и напряжений для случайно неоднородного тела
- Метод быстро осциллирующих функций
- Сравнение статистических характеристик решения рассмотренной задачи с аналогичными для полуплоскости и полупространства
Введение к работе
Задача об определении напряженно-деформированного состояния упругого цилиндра является одной из распространенных и важных пространственных задач теории упругости. Разработка математических методов решения задач механики твердого деформируемого тела для областей цилиндрической формы привлекала и привлекает к себе множество исследователей. Из наиболее ранних работ, посвященных задачам об упругом однородном цилиндре, следует отметить работы Вангерина [б9], Иериша[б4], Кри[_62], Л. Похгаммера [.67], В. А. Стеклова [44, 45], І. Файлона 1_63]. В 30-х годах задачами об упругом равновесии цилиндра занимается Б. Г. Галеркин [із]. Большой вклад в разработку методов решения задач о цилиндре сделал в конце 40-х начале 50-х годов В. К. Прокопов Цз5, Зб] . В работе [35] им дано решение задачи о цилиндре, удовлетворяющее краевым условиям на боковой поверхности, и показано, что использование однородных решений позволяет полностью удовлетворить условиям на торцах для нормальных напряжений 6g ; условия же для касательных напряжений Tj?* , однако, остаются невыполненными.
В книге А. И. Лурье [28] отмечается, что "краевые задачи, которые здесь возникают, весьма сложны, и если не говорить о некоторых тривиальных случаях, то не известно ни одного решения, которое полностью и строго удовлетворяло бы всем краевым условиям и на боковой поверхности и на торцах цилиндра".
Эти слова относятся к 1955 году; однако, несмотря на прошедшие почти 30 лет, положение с получением точных решений для задач о цилиндре существенно не изменилось. Попрежнему такие решения для цилиндра, как и вообще "полезные частные решения пространственных задач, можно свободно пересчитать по пальцам". СИ. С. Сокольников [43]).
Во все годы выходит большое число работ, посвященных задачам для цилиндрических областей, но в кратком введении невозможно сделать сколько-нибудь обстоятельный разбор всех этих работ. Отметим еще книги А. А. Ильюшина, П. М. Огибалова [17] , М. А. Кол-тунова, Ю. Н. Васильева, В. А. Черных [I8J, обзор работ по однородным решениям задач теории упругости и их приложениям В. К. Про-копова [37], статью Р. Литла и С. Чилдса [бб], а из работ последних лет - статьи СМ. Хзарджяна [51, 52J.
Все упомянутые выше работы посвящены задачам в классической постановке, когда материал деформируемого тела представляется в виде однородной сплошной среды. В последние два-три десятилетия решение задач механики твердого деформируемого тела все больше связывается с использованием усложненных моделей сплошных сред, основанных на более полном учете различных факторов, определяющих процессы деформирования реальных тел. Показано [16, 39J, что параметров, определяющих в классических теориях состояние квазиоднородной среды, уже недостаточно.
Например, для характеристики напряженного состояния такой среды недостаточно одного тензора напряжений; напряженное состояние характеризуется тензором напряжений и некоторой совокупностью дополнительных параметров. При статистическом подходе к исследованию напряженно-деформированного состояния структурированных сред такие параметры появляются наиболее естественно [26 J.
Вообще, появление и развитие статистических методов в механике твердого деформируемого тела объясняется требованиями более полного учета свойств реальных тел, наличием всегда некоторой неопределенности в знании условий нагружения и упругих характеристик конкретного тела, для которого решается задача, и необходимостью более точных расчетов, чем те, что обеспечиваются детерминированными методами. Обычно применяемые детерминированные ме-
5 тоды расчета являются первым и в ряде случаев недостаточным приближением. Неточности такого расчета на прочность покрываются, например, назначением коэффициентов запаса прочности, которые во многих случаях выбираются без достаточных основании и не являются оптимальными. Это приводит либо к неиспользованным резервам прочности в реализуемых конструкциях, либо к преждевременному их разрушению. Есть ряд факторов, которые вообще не могут быть учтены и никак не объясняются в рамках детерминированных методов. (Проявление масштабного эффекта. В. А. Ломакин [24] . Влияние на прочность качества обработки поверхности деформируемого тела. В. А. Пальмов
Роль статистических методов в механике твердого деформируемого тела, несомненно, большая и, конечно, в будущем будет еще увеличиваться. Это связано с более быстрой сменой конструкций, с появлением новых машин и конструкций с небольшим опытом эксплуатации, с использованием новых материалов, высоких скоростных режимов, давлений, температур и т.д. В связи с этим возрастает значение научного прогноза и, как следствие этого, роль статистических методов исследования.
Первые работы, связанные с применением статистических методов в механике твердого деформируемого тела, относятся к двад-цатым-тридцатым годам. В работе Майера t_66] впервые ставится вопрос о статистическом подходе к назначению коэффициента запаса прочности. Далее этот подход развивается в СССР Н. С. Стрелецким [4б]. В последующие годы диапазон применения статистических методов для обоснования нормативных расчетов в строительстве, машиностроении и авиации постоянно расширяется. Существенный вклад в разработку этих методов внесен Н. С. Стрелецким [46], А. Р. Ржаницыным [38], В. В. Болотиным [4], С. Д. Волковым [ю].
Первоначально в работах этого направления используются простейшие вероятностные методы, основанные лишь на свойствах распределения случайных величин. Дальнейшее развитие и применение статистических методов в механике твердого деформируемого тела связано с использованием теории стационарных случайных процессов при расчете колебаний упругих систем под действием случайных сил (В. В. Болотин [7], В. В. Екимов [15], В. Ф. Гладкий [l4j). Широкому кругу проблем, связанных с применением статистических методов в механике деформируемых твердых тел и надежности конструкций посвящены работы В. В. Болотина [I -5].
Большое число исследований в механике и физике твердого тела связано с изучением микронеоднородных сред Споликристаллов и различных композитов), с определением их эффективных упругих модулей и других характеристик. К наиболее ранним работам в этой области относятся работы И. М. Лифшица и Л. Н. Розенцвейга [20]. В дальнейшем (в 60 - 70 годы) выходит большое число публикаций, посвященных решению задач этого направления (В. В. Болотин и
B. Н. Москаленко [8, 9], В. А. Ломакин [21, 22], В.В. Новожилов
[Зі] , А. Г. Фокин и Т. Д. Шермергор [49, 50], Т. Д. Шермергор
[56] , Л. П. Хорошун [53, 54], Ю. В. Соколкин [40]. Особо следует
отметить монографии В. А. Ломакина [26], Т. Д. Шермергора [57],
C. Д. Волкова и В. П. Ставрова [її].
Задачи, решаемые механикой твердых деформируемых тел, обычно приводят к краевым задачам для уравнений в частных производных, и поэтому полный учет разнообразных факторов случайной природы, влияющих на процессы деформирования, требует применения аппарата теории случайных полей (случайных функций нескольких переменных). Начиная с 60-х годов, стали появляться работы, в которых различные статистические задачи механики твердых деформируемых тел рассматриваются в достаточно общей постановке на основе теории
векторных и тензорных случайных полей.
Среди этих работ видное место занимают работы В. А. Ломакина (его статьи, докторская диссертация, книга "Статистические задачи механики твердых деформируемых тел).
В ряде работ В. А. Ломакиным рассматривались задачи для деформируемых сред со случайными неоднородностями, в частности, для представляющих большой теоретический и практический интерес так называемых квазиоднородных сред, обладающих микронеоднородной структурой (поликристаллы, стеклопластики и т;п.). Им развит в применении к эллиптическим системам дифференциальных уравнений теории упругости метод быстро осциллирующих функций, предложенный М..И. Вишиком и Л. А. Люстерником [12].
В. А. Ломакиным решены задачи о растяжении полуплоскости и полосы, упругие характеристики которых являются случайными функциями координат. Аналогичные задачи для полупространства и слоя были рассмотрены его учеником Г. В. Тихеньким [47] . Для обоих случаев были исследованы статистические характеристики (дисперсии) компонент тензора напряжений.
Автору было предложено его научным руководителем (В. А. Ломакиным) рассмотреть новую пространственную задачу - задачу о деформировании случайно-неоднородного цилиндра и сравнить статисти-стические характеристики с аналогичными для решения задач о полуплоскости и полупространстве.
Задачи о неоднородном цилиндре рассматривались С. Г. Лехниц-ким [19] (при Е =E(r), V = censt ), Scklle R,b.,Si^rakow-&fcL Rf-L [68] (осесимметричная деформация при Е= (г), V*V(r))f СЬЛе*ЖЩ1\ (упругий погранслой около торца цилиндра), М. М. Плотниковым [_34J (анизотропный цилиндр при осе-симметричном нагружении и частном виде функции ЕО")). Все эти работы относятся к случаю, когда неоднородность задается детер-
минированными функциями координат. Насколько известно автору, кроме как в двух работах Ю. В. Соколкина L4I, 42], посвященных вязкоупругим материалам, задачи о случайно неоднородных цилиндрах в литературе не обсуждались.
В диссертации рассматривается решение задачи о растяжении случайно-неоднородного сплошного цилиндра вдоль оси цилиндра силами, приложенными на бесконечности. Кроме того, в работе рассматривается описание разброса функций, характеризующих напряженно-деформированное состояние,относительно средних по области, занимаемой телом, значений. Необходимость изучения и описания разброса, связанного со структурной неоднородностью материала, вызвана тем, что этот разброс проявляется и в дисперсии механических характеристик, определяемых на идентичных образцах в макроскопическом эксперименте, и в локальных превышениях напряжениями среднего по материалу уровня. Второе особенно важно при учете возможности концентрации напряжения, создающей очаги пластической деформации и разрушения в конструкциях.
Материал диссертации распределяется по главам следующим, образом. В первой главе рассматриваются постановки задач по определению статистических характеристик напряженного и деформированного состояний упругого тела в зависимости от статистических характеристик, нагрузки, границы или модулей упругости материала. Здесь же обсуждаются особенности статистических методов решения задач механики твердого деформированного тела, их отличия от детерминированных. В заключение приводится постановка пространственной задачи теории упругости для случайно неоднородного тела.
В главе второй приводится общая постановка пространственной задачи для квазиоднородного тела с быстро осциллирующими упругими свойствами. Решается задача о полупространстве методом быстро
осциллирущих функций. Далее этим методом получается решение задачи о растяжении неоднородного цилиндра.
В третьей главе в предположении, что коэффициенты Ламе являются случайными функциями координат Г и 1 , для полученного во второй главе решения задачи о цилиндре строятся зависимости дисперсии компонент тензоров деформаций и напряжений от безразмерной координаты, характеризующей расстояние от боковой поверхности цилиндра. Найденные зависимости сравниваются с зависимостями, полученными для решения задач о полуплоскости СВ. А. Ломакин [25]), полупространстве (Г. В. Тихенький [4?]).
Определение статистических характеристик полей механических величин
Пусть в некоторой области пространства V , заполненной сплошной средой, существует случайное поле некоторого симметричного тензора, например, тензора напряжений 2-го ранга и\? ). (Здесь и всюду далее индексы, обозначаемые малыми латинскими буквами, принимают значения 1,2,3, если специально не указано другое множество их возможных значений). Такой тензор имеет шесть независимых компонент. Случайное поле тензора 41 будет описано полностью в области у , если для любого числа /V точек /Y/6 Vj,..v MyCfy принадлежащих рассматриваемой области и как угодно расположенных в ней, будет известен 6N -мерный закон распределения значений компонент тензора.; например, если будет известна Q Н -мерная плотность распределения вероятностей Mfr..jM Llf пг"; SJJ" J " /2 -vW-Mfy/ (2.1) для системы случайных величин 7л (iij bZj S \ k-fj...,bl) , причем, функции T iTu ) удовлетворяют определенным условиям согласованности [32] . Однако, построение совокупности многоточечных распределений (2.1) в задачах механики твердых деформируемых тел представляет собой весьма сложную, чаще вообще неразрешимую проблему. Л/ -точечным моментом tTl -го порядка поля Тц (%) называет ся ВеЛИЧИНа О f L Р / !. jf.—: здесь /71-IV1 ...-f m и } fftK- число множителей С скобок) в правой части (2.2), относящихся к точке М , а Тп/ - статистическое среднее величины 7л , определеяемое с помощью соответствующей плотности (2.1) аналогично (2.2). Основным моментом А/ -го порядка называется А/ -точечный момент, у которого в формуле (2.2) множитель, относящийся к каждой точке, берется в первой степени. Б дальнейшем среднее значение тензора напряжений обозначается Qij , а отклонение от среднего значения - f$.- : Основной момент /V -го порядка представляется тогда в виде ,,--,4 -7 Вф&)" %№»Ь 12.4) Имеющий наиболее важное значение основной момент второго по называется моментом связи поля в двух точках.
Построение всевозможных многоточечных моментов случайного тензорного поля тоже является, конечно, громоздкой задачей. Поэтому наибольшее распространение получило приближение, основывающееся на понятии статистически однородного в широком смысле случайного поля. Просто статистически однородным случайным полем называется такое поле, у которого распределение вероятностей (2.1) инвариантно относительно преобразований сдвига 7 - +г Все моменты (2.2) при этом также зависят только от конфигурации группы точек М Хт),..., Мц(Х-ы) » но не от того, где расположена эта группа (куда она перенесена преобразованием сдвига). Б частности, момент связи (2.5) зависит только от одного вектора $= Xz- Ху и называется в этом случае корреляционным тензором. Он обладает свойством PijU($ )=fijlu(rh) (2.6) При инвариантности распределений (2.1) и моментов (2,2) не только относительно сдвигов, но и относительно поворотов и зеркальных отражений,случайное поле не только статистически однородно, но и статистически изотропно. В статистически изотропном поле корреляционный тензор является функцией только расстояния р между М,(%), Мг(). ( f "= !" , ).
Понятие статистически однородного в широком смысле поля является аналогом введенного А.Я, Хинчиным понятия стационарного в широком смысле случайного процесса Lr J В этом случае требуется только, чтобы средние значения компонент тензора \5u-\ti/ были постоянны, а корреляционный тензор гї)ЬЄ- зависел только от вектора jf- Xz У І ; на зависимости от координат других моментов ограничений не накладывается.
Для приложений важно то обстоятельство, что статистически однородные в широком смысле поля реализуются в конечных объемах v , в то время как статистически однородное поле в общем случае реализуется только в неограниченном пространстве.
Можно ввести еще понятие статистически изотропного в широком смысле тензорного случайного поля, являщегося статистичес-ки однородна в «роком сшсле, средние значения Щ. и корреля-ционный тензор liikJL которого являются изотропными тензорами. В этом случае поле определяется одной константой Єц и корре ляционным тензором, выражающимся всего лишь пятью независимыми функциями одной переменной р , в отличие от случая только статистически однородного в широком смысле поля, описывающегося шестью константами Єї/ и двадцатью одной функцией П/ЬС трех переменных jf .
Описание структуры, имеющего важное значение в механике твердого деформируемого тела, случайного статистически изотропного в широком смысле поля тензора четвертого ранга модулей упругости СцкС и представление соответствующего ему кор-реляционного тензора 8-го ранга L k Д8123 в Работе Б.А. Ломакина. [25]. Задание всех многоточечных моментов (2.2) случайного поля эквивалентно заданию распределения (2.1), так как закон распределения можно восстановить, если известны все его моменты. Моменты могут быть получены либо в результате обработки статистических данных эксперимента, либо косвенным путем - в результате решения задачи моменты интересующего нас случайного поля могут быть выражены через известные моменты другого поля. ? =- , Ъ/«Г& При равновесии деформируемого тела, находящегося под действием массовых сил F; , тензор напряжения 2/, удовлетворяет уравнениям и граничным условиям ЪТц Щ. " V с (2.7) где Тс - объемные силы, a fyc - поверхностные. Здесь и далее применяется обычное правило суммирования тензорных величин по повторяющимся индексам. Можно предполагать, что объемные и поверхностные силы, действующие на тело, случайнн. Тогда в результате решения задачи теории упругости по заданным статистическим характеристикам действующих на тело сил можно определить статистические характерне 18 тики полей перемещений, деформации и напряжений. Причем, как показано в монографии [2.& ], к задачам о действии на тело случайных внешних нагрузок сводятся и другие статистические задачи механики твердого деформируемого тела, такие как задача о деформировании тел со случайными неоднородностями и задача о деформировании упругого тела со случайными неровностями на поверхности (при решении их методом возмущений). 3. Постановка задачи об определении статистических характеристик полей перемещений, деформации и напряжений для случайно неоднородного тела Пусть на случайно неоднородное упругое тело, ограниченное поверхностью ,3 , в котором напряжения Т(у и деформации Ви связаны обобщенным законом Рука 7}/ CljU Ей (3.1) действуют объемные силы с плотностью I X J-SL поверхностные с плотностью #,-СХЛ Внешние силы предполагаются детерминированными, а тензор модулей упругости определяет в области, занятой телом, случайное тензорное поле. При этом тензор модулей упругости можно представить в виде Cijia at)={с и) ч-с иСЮ 13.2) где \CuU/ средние значения компонент тензора модулей упругости, Сй и "пульсации", случайные отклонения от этих средних значений, малые по сравнению с ними; причем, (С у и/ О . Статистическими характеристиками тензора С цій. будем считать его среднее значение \С{,кЛ/ж момент связи поля в двух точках фгхх т-см) (3.3)
Постановка задачи об определении статистических характеристик полей перемещений, деформаций и напряжений для случайно неоднородного тела
Итак, решается краевая задача теории упругости, заданная уравнениями и граничными условиями (4.1). Решение будем искать в виде (4.3). Пусть функции X 00 » М О?) из (4«2) имеют т.е. являются почти периодическими функциями координат Xs . Здесь 6J - большой параметр, имеющий размерность, обратную длине, а оС - безразмерные величины, нижняя грань которых является величиной порядка единицы. От А , JU вида (5.1) перейдем к комплексным функциям e oo r lk% : .,i»v (5.2) гда j\ =yiV fi\M»eL Очевидно, что У=Кд.ХtJ\J?=RjLfii ( /І/-действительная часть / ).
Краевая задача (5.II), (5.12) для функций ЬУ-С К t = f,2,3) при большом параметре OJ является задачей с быстро осциллирующими граничными условиями. Такие задачи для одного эллиптического уравнения рассматривались в работе \_№-1 . В отличие от рассмотренных в ней случаев, здесь - система эллиптических уравнений. Однако и здесь задача имеет решение типа пограничного слоя, быстро затухающее по мере удаления от поверхности /S . Наличие решения типа пограничного слоя в данном случае согласуется с выводами, вытекающими из принципа Сен-Венана.
Рассмотрим построение решения типа пограничного слоя краевой задачи (5.II), (5.12) для упругого микронеоднородного полупространства 0С3 О . Отыскиваем решение этой задачи в виде wS JrWi k(x,xt t,а) е ш2к (5Л5) где сделана замена , Подставив (5.15) в (5.ІІ), (5.12), для \\/І получим тогда систему дифференциальных уравнений + зо ч = 0 (5.16) ±П/з + + Л+ (4 fa + [ мШ% и граничные условия Ш + и № + +it =- 2jtf Ъ; - К V l/,fc )-/«. (v, v;), (5.17) Здесь введены обозначения Если решение задачи (5.16), (5.17) также искать в виде разло ЗІ і жения по степеням малого параметра - то для функций W-L получим систему обыкновенных по t однородных дифференциальных уравнений и условия при t-0 м±ы у az (5.20) ГЛ-Є I V Qt—JjQki,- i ШЇ+ Х}. (5-2I) (Значения формул (5.21) вычисляются при 0Сг О). Для следующих членов разложений (5.18) - функций Wc ( /1 =/,...) - получаются неоднородные системы уравнений (5.19) и условия (5.20) при "= ) , правые части которых зависят от решений предыдущих задач. Для системы уравнений (5.19) характеристическое уравнение имеет вид О Kb.22) где АЛ , А (Ы С Характеристическое уравнение (5.22) приводится к виду (S fP-O Б этом случае оно имеет трехкратный отрицательный корень --/ , и потому для любого приближения существует решение типа пограничного слоя. Если в качестве примера рассмотреть задачу о деформации полупространства 2!3 0 в предположении, что величины являются постоянными, т.е. деформированное состояние макроскопически является однородным, то в разложении I оо можно ограничиться двумя членами; при этом величины г; ч ЯВЛЯг ются средними деформациями. При таком предположении правые части уравнений С5.10) - также константы, и потому не зависят от Hoopla динат величины /t- и правые части граничных условий (5,17) для функций WL . Итак, для функций Vc уравнения (5.10) превращаются в уравнения: 1 (5.23) (Здесь срыирование ведется только по повторяющимся дважды нижним индексам). Правые части уравнения (5.23) имеют вид Из (5.23) имеем С другой стороны, если положить в (5.23) S t , то f/« Подставив последние выражения в (5.24), получим для функций Vs окончательно k к. \1 к-= —1—ІМ _ h +flo 46 U 1 (5.25) Решения же типа пограничного слоя системы дифференциальных уравнений (5.19) ищем в виде где многочлены степени не большей, чем $- і (здесь -кратность корня — Д ). Практический прием для нахождения решения состоит в том, что составляется для каждой функции W; ( С 1,1,3) выражение (5.26) с неопределенными коэффициентами Qi t І С-. Подставляя эти выражения в систему (5.19), получим для неопределенных коэффициентов систему линейных алгебраических уравнений. Число неиз 34 вестных, оставшихся произвольными при решении этой системы, равно кратности корня. Итак, подставляя выражения (5.26) в систему дифференциальных уравнений, получаем для определения коэффициентов CL[ t &f С ( С-1,2.,3 ) систему из 9 уравнений, матрица коэффициентов которой приведена в таблице I (стр.35 ). Решая эти алгебраические уравнения методом Жордановых исключений, после шести шагов получаем, что Сс- = 0 ( t=1f2l3)f (см. таблицу 2, стр.36 ). Далее, в качестве произвольных можем оставить любые три из шести коэффициентов: &1 , ю с ( I = 1, 2, 3 ). Оставим в качестве произвольных коэффициенты а1 » й , d $ . В соотношении (5.30) первый член дает перемещение в однородной среде, вторая группа членов - перемещения в неограниченной среде, определяемые ее микронеоднородностью, третья группа членов - дополнительные перемещения в пограничном сдое, вызванные влиянием границы и быстро затухающие по мере удаления в глубь тела.
Полученные выражения для компонент вектора перемещений еще содержат некоторую неопределенность, так как чтобы получить окончательно решение частной задачи неоднородной упругости, необходимо подставить в выражение :(5.30) величины Ch - решение соответствующей задачи для однородного тела (а также использовать эти величины для вычисления Ус » Я ).
Метод быстро осциллирующих функций
Рассматривается задача о деформировании изотропного микронеоднородного сплошного кругового цилиндра, растягиваемого вдоль оси 2 нагрузкой а р, приложенной на бесконечности. Микронеоднородность материала задается представлением коэффициентов Ламе X и JU в виде быстро осциллирущих функций координат. В главе 3-ей будет положено, что амплитуды осцилляции этих функций являются случайными величинами, и будет проведен статистический анализ полученного здесь решения.
Для однородного тела в цилиндрической системе координат Ґ , - , 2 при очевидных обозначениях имеем уравнения равновесия (без учета объемных сил) ЪЬ Ґ " Ґ 1 & Ь7Ь и (6.1) закон Гука (6.2) б -А.в . 2=/ , С» - Л+5// г ; =// где су = SV+ij. ЕЛИ г -&-fflverX К - г , (6#3) (6,=//, е-- /» , V ZCK+}X)). Формулы Коши № Ъ гЛ &Г J" ГІЇ Ґ и граничные условия в напряжениях биА + +Т Пг- , С6#5) Будем решать задачу не в напряжениях, а в перемещениях. Подставим в уравнения (6.1) соотношения (6.2) и, используя (6.4), получим уравнения 7Ч/»+ heiiQ+їж -Ш о (6 6) v ц ju г IF г%ъъ г - . где G- Е МЦ .Ш а оператор Лапласа в цилиндрических координатах г. Предположим теперь, что модули упругости являются функциями координат, тогда после подстановки выражений для напряжений (6.2) в уравнения (6.1) надо дифференцировать не только "&V- , lib- , 11 но и К и и . В общем случае при А - k(r,Q , 1 , р и (г, Ьtz) будем иметь такие уравнения равновесия в перемеще-ниях iis c M № y сел
Мы же будем рассматривать случай, когда от угла #- ничего не зависит ( =0), (в том числе и Л= A,(V(zJ, M-=ju(r;2:J ); цилиндр - прямой круговой с осью вращения, совпадающей с осью 2 ( ftp— 0 ),и деформация не сопровождается кручением ( 11 — 0 ). Тогда имеем осесимметричную задачу для неоднородного цилиндра: уравнения равновесия в перемещениях -+ (6.8) и граничные условия (6.9) (Здесь & ъг Т + ъъ , v - 2г ггг+ъ ). Представим далее функции A- = /\(V, г) » jU =-jU Cr/" ) в виде Цн )=Аь+ (г,) , / 2Jr=j +Mr (6Л0) где Хо и /We» - постоянные, a ft,f и Wf м 1 1 п0 сравнению с ними. Вводя также параметр - соотношениями и разыскивая решение задачи (6.8), (6.9) в виде оо u,=Z.y , У,=Т.И } (6Л2) (здесь С у параметра - показатель степени, а в скобках у rpl Jar тем ... -Г а следующие краевые задачи Ur U2 - просто индекс соответствующего члена в (6.12) при L -ой степени параметра К. ), для 11Ґ , V-g. получ. №?+b+tLpg -futg-0, fioVu?+(W&"-0 ; (6ЛЗ) (6.15) Ш М Ч ік-ІцШ (6-І6) (в (6.13)- (еде) Q"lf" f ш+ Ы«, І=І,І,... ). Решение задачи (6.8), (6.9) содержится в (6.12) при - f (действительно, тогда представление (6.II) превращается в исходное - (6.10)). Зададим функции Хл , jui в виде ею . , /И / Здесь /2, - радиус цилиндра, х? - большой параметр, имеющий размерность обратную длине, otf: , ot y - безразмерные величины, нижняя грань которых является величиной порядка единицы, так что А , U І являются почти периодическими функциями, функциями координат Ґ и 2 . Можно ввести вместо Ґ безразмерную "быструю" координату t » характеризующую расстояние от боковой поверхности цилиндра От Л , yUf перейдем к функциям комплексного паременного: к = Z А " е + /= J V 0 (6Л8) здесь Л -іГе ». М{"}=МЫ1 .
Заметим, что при этом RQX - Kt » /k/Г -// Краевые задачи (6.15), (6.16) для Vr , /z при значениях A, , Id t определяемых соотношениями (6.17) или (6.18), являются задачами с быстро осциллирующими граничными условиями L1&J; они имеют решения типа пограничного слоя, быстро затухающие по мере удаления в глубь тела. Функции 1Лґ , ЦЬ являются решением краевой задачи (6.13), (6.14) теории упругости однородного тела при заданных силах qh , Будем считать это решение известным. Вместо краевых задач (6.15), (6.16) для функций И , IIі ( 6 f,2,...) рас-смотрим задачи для функций комплексного переменного г/ґ , Uz , которые получаются, если в (6.15), (6.16) Л, , jUf заменяются на к и JU соответственно. При этом имеем t/ es=/2е U 9 1A2 - КлЬъ Используя (6.18);для tft , Vz , например, получим задачу ($" )+1ш? (/[мв мпЩе т-г) ] (6Л9) Решение задачи (6.19), (6.20) представим в виде Ъ»- Z С ыГ1), {-l(v?+i ) ,6 21) Поскольку задача (6.19), (6.20) линейная, то она может быть разбита на две грушш задач. Решение одной из них - 7гґ , tr } удовлетворяет уравнениям (6.19), в правых частях которых сохранен лишь \У1 -ый член суммы, но не учитывает граничных условий. Разыскивая далее эти функции в виде (6.22) получим дня уь , у уравнения "І МШУЧЬ (6.23) +1 Здесь ,0} ... Off/M 1,1) ъи&
Для функций же lAJh , Ш& уравнения получим непосредственно из (6,19), отбросив их правые части; граничные условия получим, подставив представление (6.21) в (6.20) и перенеся в правую часть члены с 1Гґ 9 tyz" . Таким образом, сумма решений однородных уравнений 1/Т? } » ЪУ с решением неоднородных irS , Яг снова является решением исходных неоднородных уравнений (6.19), но решение ЪУ? , ЪТЪ учитывает исходные граничные условия (6.20) и исправляет тот произвол в удовлетворении этих условий, который внесло решение 7Г " 9 1г" уравнений (6.23).
Поэтому для \/ґ , Vz возьмем лишь нулевое приближение, т.е. только по одному слагаемому в суммах (6.26), а членами со степенями малого параметра единица и выше пренебрежем. Иначе говоря, формулы ч6.30)для yh , [/ из уравнений (6.27) будем считать формулами для \/h } , V "0 , но при этом уравнения (6.23) для yt , V } будут удовлетворяться с невязкой порядка . Решение краевой задачи (6.24), (6.25) будем разыскивать в виде: . м (где t = Cju(fc-r) , /2 - радиус цилиндра). Будем рассматривать построение решения задачи (6.24), (6.25) в области /" R, вблизи боковой поверхности цилиндра Г= Я . Используя (6.33), для функций IVh , IVZ получим уравнения: V і. J to и граничные условия (на боковой поверхности I-" — R. ): +-«.(f:f ib -j Или, учитывая соотношения (6.32) и что (согласно сделанному вы ше предположению) , , гг 9ъ ЪГ ЬЪ получим (6.35) в более простом виде Решение задачи (6.34), (6.35 ) также будем искать методом возмущений, представляя функции /т/, , (44 в виДе CXS wr(Mb r% t»H"l. Для функций И і Wz получим тогда систему обыкно венных по L дифференциальных уравнений (6.37) и условия при t 0 (при этом Г R, ) ( 2 -u4«wr= к, urwr- f "W = . (6,38) где К і , лг - правые части уравнений (6.38) - имеют вид Для приближений Wt » yVz \ft=1,z ... ) из (6.34) получаются неоднородные системы уравнений в частных производных, а из (6.35) - граничные условия с правыми частями, зависящими от предыдущих приближений.
Сравнение статистических характеристик решения рассмотренной задачи с аналогичными для полуплоскости и полупространства
Для сравнения с решениями задач о полуплоскости l«26j и полупространства [_№] были построены графики дисперсий компонент тензора напряжений xVh , и$ъ , Э , Эт г Сравнение поведения кривых для случая однородности по радиусу со случаем однородности по у (у В.А. Ломакина [2О ) и случаем однородности по Хг. , Х3 (растяжение полупространства в направлении Xi у Г.В. Тихенького l4?l), (см. рисунок 6 и графики на рисунках 3,4,5) подтверждает достоверность результата. Компоненте (Г& в нашем случае соответствует Т и 2.2. в \_Нт] # Характер поведения дисперсий для этих компонент примерно одинаков. При этом совпадение для пространственных задач лучше (ср. ї 6 на Рис» 3 с Рцг. на рис. 5). Еще лучше совпадение поведения дисперсий для Тґг , Т х и iz .
Рассматривалось изменение дисперсий УЭ с увеличением ради-са цилиндра FL (так сказать, приближение цилиндра к полупространству). Но поскольку в выражениях для компонент напряжений (6.2) радиус входит лишь через компоненту деформации , а она, как отмечалось выше, очень близка к нулю, то изменение /0б#. с ростом К незначительно (см. рис. 7). Полного совпадения результатов быть не может, потому что в случае пилиндра мы совершенно не можем управлять неоднородностью по . 9- - отсутствует параметр оС , т.к. случайная неоднородность предполагается осесимметричной: Л=ЛСО} , JU JX(r,E)
Анализируя зависимости для дисперсий и сравнивая их величины для статистически однородного поля (вне пограничного слоя), можно отметить еще некоторые интересные факты. Во-первых, зависимости чувствительны к значениям параметров oLy. , oCz » задающих степень неоднородности. Действительно, если на рисунке I, при oi г - оС г = / , кривая для 2? расположена ниже кривой для Э , то при оіґ=[) , c z=/ - наоборот; и более того, стремится к нулю вдали от боковой поверхности (и это естественно, т.к. при oCt = 0 цилиндр однороден в направлении радиуса, т.е. как бы склеен из однородных дисков).
Во-вторых, величина дисперсии характеризует разброс некоторой случайной величины; случайность значений компонент деформации не должна быть безразлична к внешним нагрузкам, а значит и соотношения между величинами дисперсий для различных компонент тензора деформаций должны зависеть от вида нагрузки.
Чтобы исключить мешающее влияние анизотропии упругих свойств и рассматривать отклик дисперсии лишь на деформационную анизотропию, вызванную внешней нагрузкой, будем сравнивать величины дисперсий нормальных компонент тензоров в статистически изотропном случае ( оС -Ы. -1 и otx=otj — 1 , т.е. когда неоднородность в обоих направлениях одинакова). В случае растяжения случайно неоднородного цилиндра вдоль оси 2 дисперсия меньше у (Sg. , чем у Єґ .И это действительно так (см. рис. I). Как уже говорилось выше, кривые на рисунке I нормированы на общий максимум. Такая же нормировка и у кривых в работе растяжении полуплоскости, см. рисунок 8 (правда, там этот общий максимум просто равен единице) и там они сливаются в одну линию. Но если кривые нормировать каждую на свой максимум, то кривые на рис. I разойдутся еще больше; разойдутся они и в задаче о полуплоскости. При этом будет см. рисунок 9, где приведены вместе biz и Sg . , Utx И Гу Отсюда видно влияние внешней нагрузки на соотношение между величинами дисперсий.
1. Решена задача о растяжении изотропного кругового сплошного неоднородного цилиндра бесконечной длины. Модули упругости считаются случайными функциями радиуса и осевой координаты. Метод быстро осциллирующих функций позволил описать явление пограничного слоя у боковой поверхности.
2. Проведен статистический анализ полученного решения. Построены графики зависимости дисперсий компонент тензоров деформаций и напряжений от радиальной координаты, показывающие статистиче- . скую неоднородность полей тензоров деформаций и напряжений вблизи боковой поверхности цилиндра.
3. Проведено сравнение найденных статистических характеристик с аналогичными характеристиками, полученными в решавшихся други ми авторами задачах о случайно неоднородных телах и показано их согласие. Отмечен факт зависимости соотношения между величинами дисперсий компонент тензоров деформаций и напряжений от внешней нагрузки. Основные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуждались: - на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости под руководством члена-корреспондента АН СССР А.А.Ильюшина (1981г.); - на семинаре по механике композиционных материалов под руководством профессора Б.Е.Победри (Д984 г.); - на аспирантском семинаре кафедры теории упругости под руководством члена-корреспондента АН СССР А.А. Ильюшина, профессора B.C. Ленского и др. (1984 г.); - на конференции молодых ученых МГУ" (1967 г.); и опубликованы в работах [58, 59).
Похожие диссертации на Задача о растяжении случайно неоднородного упругого цилиндра
