Содержание к диссертации
Введение
1 Влияние масштабного фактора на модули упругости нанокристалла, обладающего простой кристаллической решеткой 11
1.1 Введение 11
1.2 Кристаллическая решетка 12
1.3 Исследование масштабной зависимости модулей упругости для кристалла в направлении
1.4 Исследование масштабной зависимости модулей упругости для кристалла в направлении
1.5 Задача о нелинейном деформировании двумерного кристалла . 35
1.6 Заключение 40
2 Сравнение статического и динамического подходов к определению упругих характеристик наноструктур 43
2.1 Введение 43
2.2 Исследование колебаний двумерной нанокристаллической полосы, имеющей кубическую решетку 44
2.3 Исследование колебаний двумерной нанокристаллической полосы, имеющей гексагональную решетку. 47
2.4 Сравнение дискретной и континуальной модели колебаний двумерной нанокристаллической полосы 49
2.5 Заключение 54
3 Зависимость модулей упругости от масштабного фактора для нанокристаллов, обладающих сложной кристаллической решеткой 56
3.1 Введение 56
3.2 Обозначения векторных и тензорных величин 58
3.3 Описание сложных кристаллических решеток 58
3.4 Зависимость модулей упругости от масштабного фактора для двумерного кристалла, обладающего решеткой графита 65
3.5 Определение модулей упругости трехмерного нанокристалла, обладающего решеткой алмаза 71
3.6 Зависимость модулей упругости от масштабного фактора для трехмерного нанокристалла, обладающего решеткой алмаза 84
Заключение 91
Литература
- Исследование масштабной зависимости модулей упругости для кристалла в направлении
- Задача о нелинейном деформировании двумерного кристалла
- Сравнение дискретной и континуальной модели колебаний двумерной нанокристаллической полосы
- Зависимость модулей упругости от масштабного фактора для двумерного кристалла, обладающего решеткой графита
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Интенсивное развитие нанотехнологий привело к необходимости построения адекватных аналитических моделей, позволяющих описать физико-механические свойства объектов наноразмерного масштабного уровня. Во многих существующих моделях подобного рода принимается, что основные механические характеристики нанообъектов совпадают со своими значениями, полученными из макроскопических экспериментов. Однако, когда речь идет о структурах, содержащих всего несколько слоев атомов, не может не сказываться противоречие между очевидной дискретностью рассматриваемого объекта и континуальностью его описания. Несоответствие между значениями модулей упругости, полученных из микро- и макроэкспериментов отмечалось многими исследователями. Дискретность наноструктур приводит к отклонению в значении модулей упругости от их макроскопических значений. К тому же, в определении размера нанообъек-та существует принципиальный произвол, приводящий к неоднозначности макроскопических характеристик, таких как напряжение, модуль Юнга.
Немаловажным свойством наноструктур является также то, что форма и размеры нанокристалла вносят дополнительную анизотропию в его упругие свойства. Все перечисленное делает необходимым построение моделей, которые с единых позиций описывают объекты на микро- и макро- уровнях.
Методы исследования
В данной работе для построения и исследования механических моделей кристаллов и нанокристаллических структур используются методы трехмерной теории упругости и теории стержней. Также используется метод частиц, который состоит в представлении вещества совокупностью взаимодействующих материальных точек или твердых тел, описываемых классическими уравнениями движения.
Достоверность
Достоверность результатов достигается использованием строгих математических методов, сравнением результатов, полученных различными путями, стремлением зависимостей к известным предельным случаям.
Цель работы
Цель данной диссертационной работы состоит в исследовании зависимости упругих характеристик нанокристаллических структур от их размеров и
формы; установлении связи между макроскопическими тензорами жесткости и параметрами микроструктуры.
Научную новизну
работы составляют следующие результаты работы, выносимые на защиту.
Исследована задача об упругом деформировании конечных кристаллов, обладающих как плотноупакованными (гранецентрированная кубическая), так и неплотноупакованными (решетка алмаза) кристаллическими решетками. Построены зависимости упругих характеристик от размеров и формы кристаллов. Полученные результаты позволяют описывать аномалии механических характеристик наноразмерных объектов, а также позволяют оценить погрешность дискретизации при использовании метода частиц.
Решена задача о нелинейном деформировании двумерного кристалла. Показано, что масштабные эффекты проявляются при нелинейном деформировании данной модели аналогично модели с линейным законом взаимодействия.
Решена задача о собственных колебаниях двумерной кристаллической полосы, имеющей кубическую и гексагональную решетку, на основе которой определены зависимости упругих характеристик от количества слоев атомов. Проведено сравнение с характеристиками тех же моде-
лей наноструктур, полученными с помощью статического подхода, а также с макроскопическими значениями.
4. Для кристаллов, имеющих структуру алмаза (углерод, кремний, германий), получены выражения для макроскопических тензоров жесткости, зависящие от тензоров жесткости межатомных связей и векторов, определяющих геометрию решетки. Определены характеристики межатомных связей (продольная и поперечная жесткость). Показано, что поперечная жесткость сравнима с продольной и учет ее необходим для расчета ковалентных кристаллов.
Практическая ценность
С развитием нанотехнологий на практике широко используются тонкие нанокристаллические покрытия и нанокристаллические стержни и трубки из различных материалов. Полученные в данной работе результаты позволяют предсказывать и описывать аномалии механических характеристик на-норазмерных объектов, а также позволяют оценить погрешность дискретизации при использовании метода частиц. Результаты данной работы планируется использовать также в учебном процессе для факультативной работы студентов, изучающих теоретическую механику, механику сплошной среды и физику твердого тела, а также аспирантов, научных работников и инженеров.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на семинарах Института проблем машиноведения РАН, а также на российских и международных конференциях II Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А. Ф. Сидорова (2004, Абрау-Дюрсо), Summer School "Advanced Problem in Mechanics" (2004, 2005, 2006, St. Petersburg, Russia), XXI Международная конференция "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов" (Санкт-Петербург), 16th European Conference of Fracture (ECF16) (Alexandroupolis, Greece, 2006), IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (2006, Нижний Новгород).
Публикации
По теме диссертации опубликованы 6 научных работ. Список публикаций приведен в диссертации.
Обзор литературы
Основопологающими работами в области исследования кристаллических решеток считаются работы Борна [4] и другие. В них, в частности, получены линейные соотношения упругости для идеального кристалла. Впоследствии исследования кристаллических решеток проводилось многоими авторами.
Приведем здесь такие монографии, как "Кристаллография" Д. М. Васильева [6], "Foundation of nanomechanics" A. Cliland [50], "Кристаллография" М. П. Шаскольской [43], Хантингтон Г. [42] "Упругие постоянные кристаллов".
С развитием нанотехнологий появилась возможность проводить эксперименты на микро- и нано- уровнях. В работах Байдаровцева Ю. П, Савенкова Г. Н., Быкова Д. Л. и других [3], [5] отмечалось несоответствие между значениями модулей упругости, полученных из микро- и макроэкспериментов. Отметим здесь также работы группы ученых из Новосибирска Головнева И. Ф., Головневой Е. И., Фомина В. М. и других по компьтер-ному моделированию методом молекулярной динамики. В работах [7], [58] исследовалось распространение волн в кристаллах и также получено несоответствие с макроскопическими параметрами. Работы по компьютерному моделированию кристаллических структур проводились Н. Гао и другими [57], [56].
В работах Кривцова А. М., Ивановой Е. А., Морозова Н. Ф., Семенова Б. Н., Индейцева Д.А. предложен аналитичесикй подход к исследованию механических параметров наноразмерных объектов [19], [20], [24], [25], [26], [29], [30], [31].
Для описания структур, характерных для ковалентных кристаллов, традиционно использовались многочастичные потенциалы взаимодействия [79, 46]. Подобные потенциалы зависят от углов между связями, что позволяет
сделать устойчивыми структуры с низкой плотностью заполнения. Однако, форма подобных потенциалов оказывается весьма сложной, а физический смысл входящих в них констант — туманным. Альтернативный подход состоит во введении в рассмотрение вращательных степеней свободы и учете моментного вклада в межатомное взаимодействие [21, 23]. В работах [21, 23] на примере простых кристаллических решеток показано, что учет парного моментного взаимодействия (дополнительно к парному силовому) может обеспечить устойчивость кристаллических структур с низкой плотностью упаковки. Подход, отличный от подхода работ [21,23], но также связанный с учетом вращательных степеней свободы, развивался в работах [2,11]. Идеи работ [21, 23] распространяются на сложные кристаллические решетки.
Исследования упругих свойств кристаллов, обладающих структурой алмаза (углерод, кремний, германий) проводились многими учеными.
В работах Городцова В. А., Лисовенко Д. С. [8], Гольдштейна Р. В., Чен-цов А. В. [9] исследовались упругие свойства графитовых стержней и углеродных нанотрубок. В справочнике под редакцией Новикова Н. В. [39] систематизированы данные о механических, электрофизических, магнитных, теплофизических и оптических свойствах природных и синтетических алмазов. Свойства алмазов исследуются в работах [45], [46], [48], [49], [55], [60], [62], [75] и других. В публикациях [78], [48], [52], [67] и др. приведены экспериментальные данные для упругих постоянных кремния, германия и углерода.
В настоящей работе используется язык прямого тензорного исчисления [10, 17, 27]. В сжатой форме, но достаточно полно, основы прямого тензорного исчисления изложены в книгах А. И. Лурье [36, 37]. Методика использования прямого тензорного исчисления при решении задач механики деформируемого твердого тела отражена в монографии В. А. Пальмова [40]. Особенности тензорного аппарата, необходимые при описании механики сплошной среды и динамики твердого тела, излагаются в работах П. А. Жилина [13, 17,16].
Исследование масштабной зависимости модулей упругости для кристалла в направлении
Кристаллической решеткой называется множество точек (узлов) в трехмерном пространстве, для которого существует такая тройка некомпланарных векторов, что смещение этого множества на любой из них есть тожде ственное преобразование. Очевидно, что подобное множество должно быть неограниченным в пространстве. Если указанная тройка векторов существует, то она может быть выбрана не единственным образом. В качестве основной тройки выбирается такая, чтобы параллелепипед, построенный на ее векторах, имел минимальный объем. Эти векторы называются основными, а параллелепипед — элементарной ячейкой. Основные векторы также определены неоднозначно, однако всегда можно выделить какую-нибудь одну тройку из возможных. Введенное понятие решетки очевидным образом может быть распространено на пространство произвольной размерности, в том числе на одно- и двухмерные пространства.
Совокупность узлов, которая может быть получена из некоторого одного узла композициями перемещений на основные векторы, называется решеткой Браве данной кристаллической решетки. Решетка, совпадающая со своей решеткой Браве, называется простой, не совпадающая — сложной. Сложная решетка состоит из нескольких вставленных друг в друга одинаковых решеток Браве. Иными словами, простой называется решетка, для которой перемещение на вектор, соединяющий любые 2 узла, есть тождественное преобразование. Элементарная ячейка простой решетки содержит один узел, сложной — несколько. В случае узлов, находящихся на границе ячейки, требуется следующее уточнение: элементарной ячейкой называется объединение внутренней области соответствующего параллелепипеда с такой частью его границы, чтобы перемещая ее на основные векторы можно было заполнить все пространство без перекрытий. Отметим, что только при недеформированном состоянии кристалла частицы находятся в узлах решетки, при деформации они получают некоторые смещения и с узлами уже не совпадают.
Рассмотрим трехмерный монокристалл. Будем считать, что он имеет бесконечную длину в направлении х, содержит Ny слоев в направлении у и Nz слоев в направлении z, т. е. получаем вытянутый вдоль оси х брус. В качестве кристаллической решетки, как было сказано выше, выбрана гране-центрированная кубическая решетка и рассматривается направление вдоль главной диагонали куба. На Рис. 1.1 изображено сечение кристалла плоскостью ху. Атомы, находящиеся в одной плоскости, обозначены светлыми кружками. Штрихованными и темными кружками обозначены атомы, находящиеся в верхнем и нижнем слоях по отношению к изображенному на рисунке. К атомам на торцах кристалла приложены постоянные растягивающие силы Q.
Ограничимся случаем, когда каждый атом взаимодействует только с ближайшими соседями. Расстояние между ближайшими атомами в недеформированном кристалле обозначим CLQ.
Сечение кристалла с гранецентрированной кубической решёткой плоскостью ху. стояния между ближайшими соседями, очевидно, изменятся; обозначим их, соответственно, а, Ъ, с и d — (см. Рис. 1.2, где показан фрагмент решетки с указанием расстояний между соседними атомами).
Символами а и Ь обозначены длины связей между атомами, принадлежащими одной плоскости ху (сплошные линии), end — длины связей между атомами из различных плоскостей (штриховые линии). В недеформирован-ном состоянии решетка симметрична и справедливо следующее равенство:
Обозначим толщину кристалла Ly (протяженность кристалла в направлении у). Толщина Ly не может быть определена однозначно [29, 30]. Например, если положить, что толщина кристалла равна расстоянию между слоями атомов, лежащими на противоположных торцах, то тогда Ly — (Ny — l)h (Рис. 1.1). Но, с другой стороны, можно определить толщину кристалла как произведение числа слоев на толщину одного слоя, что приводит к формуле Ly = Nyh. Поэтому обозначим Ly = N;h, Ny-l Пусть F(r) — сила взаимодействия между двумя атомами, разделенными расстоянием г, причем положительным будет считаться притяжение. Разрежем теперь мысленно кристалл плоскостью, перпендикулярной направлению х (плоскость ABC на Рис. 1.1). Суммарная нормальная сила, действующая со стороны одной части кристалла на другую, равна Sun = NyNzF(a) + Nz(Ny - l)F{b)/2 + (Ny - p)(N2 - l)F(c)/2 (1.4) где (її — нормальное напряжение на торцах кристалла (нормальное напряжение в направлении х); р — коэффициент, который принимает значение 1 при Ny кратном 3 и значение 0 при iVj, не кратном 3; 5i — площадь сечения, на которое приходится нормальное напряжение. Для направления у нормальное напряжение можно получить, поделив сумму сил, действующих на внешней грани кристалла и обеспечивающих его однородное деформирование, на площадь этой грани. В кристалле существует три различных слоя в плоскостях ху. Присвоим нижнему слою, изображенному на Рис. 1.2 темными кружками, номер 1; среднему слою, состоящему из светлых кружков, номер 2; и верхнему слою из штрихованных кружков — номер 3. Слои идут строго друг за другом, периодически повторяясь. Для тонких нанобрусов имеет значение не только количество слоев атомов, но и с какого слоя начинается и на каком заканчивается кристалл. Таким образом, суммарную нормальную силу, действующую на внешней грани xz, можно записать в виде Отметим, что полученные соотношения упругости для нанопластины (1.25) симметричны относительно перестановки индексов 1 и 3, т. е. для направлений, в которых кристалл бесконечен. Следовательно всего имеется 5 различных коэффициентов жесткости. Однако, при N = Ny получаем дополнительно С\2 — С\% = С32 = Сгз, при N — Ny — 1 аналогично Си = Сіз = С21 = Сзі, т.е. в обоих случаях имеется 4 различных коэффициента (в макроскопическом пределе ГЦК кристалл с парным взаимодействием атомов имеет всего два различных коэффициента жесткости). Зависимости коэффициентов Пуассона симметричного нанобруса (Ny — Nz = N) от числа атомарных слоев N представлены на Рис. 1.7 (макроскопический предел для значения коэффициента Пуассона v = 1/3). На графике цифрами обозначено: 1) z/i/Vf0, 2) 2/ 2 Зависимость i i(N) (в направлении, по которому кристалл неограничен) возрастает с уменьшением числа слоев, зависимости V2(N) = v$(N) — убывают. Максимальное отклонение от значений для бесконечного кристалла для ь \ при N = 10 составляет 7 процентов. На Рис. 1.8 приведены аналогичные зависимости модулей Юнга для симметричного нанобруса. На графике обозначено: 1) Е?ах/Е = Ef /E00 = Ef /E00, 2) Efn/E = Ef /E00, 3) Efm/E. Наблюдается та же тенденция, что и для направления 111: максимальные значения, реализующиеся при N = N — 1, возрастают с уменьшением числа слоев; а минимальные, реализующиеся при N = N, убывают. Максимальные значения совпадают между собой и дают отклонение 7 процентов при N = 10 от макроскопического значения, а минимальные отклоняются от 14 процентов Efш до 3 процентов Efm — Efm. Значения упругих модулей для разных N сведены в табл. 1.3. Остальные Сравним полученные значения модулей Юнга с результатами работы [58], в которой модуль Юнга определялся методом молекулярной динамики в результате компьютерных экспериментов по распространению волн в симметричном нанобрусе, аналогичном рассматриваемому в данной работе. В [58] расчеты проводились для трех симметричных нанокристаллов со значениями Ny = Nz = N равными 7, 13 и 17; в направлении х кристал лы имели 41 слой. Способ определения модуля Юнга в [58] соответствует N = N, следовательно полученные там модули следует рассматривать как Е3 . Сравним зависимость модуля Юнга от числа кристаллических слоев в [58] и в данной работе. Согласно [58], отклонение Еі(7) от i?i(13) составляет 12.5%, а табл. 1.3 дает для этого отклонения значение 9.6%. Таким образом масштабная зависимость модулей Юнга имеет сходный качественный характер. Однако, следует отметить, что в [58] использовался не парный, а многочастичный закон взаимодействия (потенциал Джонсона), что может объяснить некоторое количественное расхождение. Кроме того, расхождение мождет быть связано с тем, что в [58] модули Юнга определялись из волны деформации, ограниченной в направлении х, что могло внести дополнительный масштабный эффект. Отклонение Е\{1Ъ) от Еі(17), согласно таблице 1.3 составляет 2.6%, в то время как в [58] отклоне ниє равно —0.49%, при этом оно имеет противоположный знак. Однако, как отмечалось в [58], полученная там разница между значениями модуля Юнга при N = 13 vi N = 17 лежит в спределах точности численных расчетов. Отметим также, что согласно табл. 1.3 отклонение E\{Y1) от Е составляет 7.8%, что свидетельствует о том, что свойства подобного нанокристалла заметно отличаются от макроскопических. На рисунке Рис. 1.12 показана область возможных напряжения, возникающих при растяжении и сжатии. Видно, что на сжатие материал выдерживает напряжения в десятки раз большие, чем на растяжение. Можно предположить, что при сжатии материал переходит в другое состояние, но этот вопрос требует дополнительного исследования. Полученные результаты согласуются с [80], где был найден общий критерий устойчивости материала, микроструктурой которого является бесконечная кристаллическая решетка в поле парного центрального потенциала взаимодействия. В работе [80] найденный критерий был применен для построения области устойчивости плоской кристаллической решетки в поле деформаций. Если положить в (2.10) N — Ny, то получим для модуля Юнга Е\ = E , что показано прямой 1 на Рис. 2.7. Кривая 2 представляет зависимость модуля Юнга от числа атомарных слоев, полученную с помощью динамического подхода в параграфе 2.3 (Nx - число атомных слоев вдоль оси х). Макроскопическое уравнение продольных колебаний стержня выглядит следующим образом и «" = 0, (2.12) Р где и — перемещение, Е — модуль Юнга, р — плотность. Граничные условия задаются следующим образом: и(0) = 0, и(1) = 0, (2.13) где I длина стержня. Тогда собственные частоты продольных колебаний стержня определяются формулой: Подставляя в (2.14) первую собственную частоту, найденную с помощью дискретного подхода, получаем условие, из которого определяется модуль Юнга. На Рис. 2.7 приведено сравнение упругих характеристик наноструктур (модуля Юнга), полученных с помощью и динамического подходов. Прямая 1 на Рис. 2.7 показывает макроскопическое значение модуля Юнга (константа относительно количества слоев). При статическом рассмотрении двуслойной полосы бесконечной длины при N = Ny получено значение модуля Юнга, полностью совпадающее с макроскопическим (тоже прямая 1). Кривая 2 соответствует динамическому подходу. В этом случае рассматривалась двуслойная полоса конечной длины, что объясняет расхождение с прямой 1 для короткой полосы (менее 12 слоев атомов). При увеличении длины полосы значение модуля Юнга и при динамическом подходе стремится к макроскопическому. Рассмотрим изгибные колебания нанокристаллической полосы. Макроскопическая формула для изгибной жесткости имеет вид (2.15), где Д» это изгибная жесткость стержня, Н толщина стержня. ЕпН3 (2.15) Dn = Подставляя (2.9) и (2.11) (в случае N = Ny = 2) в (2.15) получаем кривую 1 на Рис. 2.7. В работе [20] решена задача об изгибе монокристаллической полосы и получено выражение для изгибной жесткости дискретной модели (2.16). Если положить N = Ny = 2 в уравнении (2.16) то получим кривую 2 на Рис. 2.8. Кривая 3 на Рис. 2.8 показывает зависимость изгибной жесткости от числа атомарных слоев, полученную с помощью динамического подхода (Nx число атомных слоев вдоль оси х). Макроскопическое уравнение изгибных колебаний стержня выглядит следующим образом й-— uIV = 0, (2.17) Ро где и поперечный прогиб, D изгибная жесткость, ро погонная плотность. Граничные условия для стержня, лежащего на двух опорах: и{0) = 0, u"(0) = 0, и(1) = 0, и" {1) = 0 (2.18) где I длина стержня. Запишем выражение для собственных частот, соответствующих данной задаче: Подставляя в (2.19) первую собственную частоту, найденную с помощью дискретного подхода, получаем условие, из которого определяется изгибная жесткость Di. На Рис. 2.8 приведено сравнение упругих характеристик наноструктур (изгибной жесткости), полученных с помощью статического и динамического подходов для двуслойной полосы. Прямая 1 на Рис. 2.8 показывает макроскопическое значение изгибной жесткости для ширины полосы в два слоя. Прямая 2 обозначает значение изгибной жескости, полученное из статического рассмотрения двуслойной полосы бесконечной длины. Как видно из рисунка, макроскопическое значение на 25 процентов больше. Результат исследования двуслойной полосы конечной длины с помощью динамического подхода представлен кривой 3. С увеличением длины полосы значение изгибной жесткости стремится к прямой 2 (статический подход). Парные потенциалы взаимодействия, такие, как потенциал Леннарда-Джонса, Ми или Морзе, широко применяются при решении задач механики сплошной среды методами молекулярной динамики. Эти потенциалы имеют ясный физический смысл и позволяют на качественном уровне описать термомеханические свойства многих материалов. Однако, хорошо известно, что парные потенциалы, как правило, могут обеспечить устойчивость только плотноупакованных кристаллических решеток. Решетки с более низкой плотностью упаковки оказываются неустойчивыми для большинства пар ных потенциалов. Неустойчивыми оказываются, например, структуры, характерные для ковалентных кристаллов — шестиугольная решетка на плоскости (структура графита) и структура алмаза в пространстве. Традиционное решение этой проблемы состоит в применении многочастичных потенциалов взаимодействия [79, 46]. Подобные потенциалы зависят от углов между связями, что позволяет сделать устойчивыми структуры с низкой плотностью заполнения. Однако, форма подобных потенциалов оказывается весьма сложной, а физический смысл входящих в них констант — туманным. Альтернативный подход состоит во введении в рассмотрение вращательных степеней свободы и учете моментного вклада в межатомное взаимодействие [21, 23]. В работах [21, 23] на примере простых кристаллических решеток показано, что учет парного моментного взаимодействия (дополнительно к парному силовому) может обеспечить устойчивость кристаллических структур с низкой плотностью упаковки. Подход, отличный от подхода работ [21, 23], но также связанный с учетом вращательных степеней свободы, развивался в работах [2, И]. Идеи работ [21, 23] распространяются на сложные кристаллические решетки. Используется метод описания кристаллической упаковки частиц сложной решетки, развиваемый в работах [4], [32, 66, 38], [12, 1, 14, 15]. 3.2 Обозначения векторных и тензорных величин В настоящей работе векторные величины обозначаются однократным подчеркиванием: а, Ь, с; тензорные — двукратным подчеркиванием: А, В, С. Используются следующие обозначения для произведений векторных и тензорных величин. Произведения векторов: скалярное а Ь, векторное а х 6, тензорное (диадное) gb. Скалярное произведение тензоров: А -В. Единичный тензор обозначается Е. Операция транспонирования, примененная к тензору А, обозначается Ат, в частности (ab)T = Ьа. Если Ат = А, то тензор А называется симметричным, а если Ат = —А, то антисимметричным. Тензор, обратный А, обозначается А-1. Пусть тензор представлен в виде суммы 3-х диад: A = Yjk=\Qkbk (эт0 возможно для любого тензора). Тогда следом тензора А называется скаляр tr A = Ylk=i Qk h- Ранг тензора обозначается верхним индексом, расположенным слева от тензора, например: 3С — тензор третьего ранга. Для тензоров второго ранга этот индекс, как правило, опускается. Приводимое в этом параграфе описание сложных кристаллических решеток опирается на [22]. Для моделирования атомов кристаллической решетки будем использовать частицы, представляющие собой тела-точки. Под телом-точкой понимается [16] материальный объект, занимающий нулевой объем в пространстве, положение которого считается определенным, если заданы вектор положения R(t) и тензор поворота P(t). Взаимодействие между телами-точками характеризуется вектором силы и вектором момента. Решетку формируют частицы, взаимодействующие посредством сил и моментов. Предполагается, что каждая частица взаимодействует с ограниченным числом соседей. Выделим в кристалле решетку Браве, которая разбивает пространство на элементарные ячейки. Рассмотрим некоторую элементарную ячейку, которую для удобства будем называть исходной. Пронумеруем все ячейки, в которых есть атомы, взаимодействующие с атомами исходной ячейки. Исходной ячейке присвоим номер а = О, остальным: а±1, ±2, ...±N. При этом нумерация производится таким образом, чтобы ячейки, расположенные симметрично относительно исходной, имели индексы, противоположные по знаку. Частицы, входящие в каждую ячейку, пронумеруем индексами от 1 до М, где М — число частиц в элементарной ячейке. Обозначим дРа1 — радиус-вектор, определяющий положение частицы j ячейки а относительно частицы (3 исходной ячейки в отсчетной конфигурацииЗадача о нелинейном деформировании двумерного кристалла
Сравнение дискретной и континуальной модели колебаний двумерной нанокристаллической полосы
Зависимость модулей упругости от масштабного фактора для двумерного кристалла, обладающего решеткой графита
Похожие диссертации на Влияние масштабного фактора на упругие характеристики кристаллических структур
