Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные соотношения математической модели больших упругопластических деформаций . 16
1.1. Кинематика больших упругопластических деформаций . 17
1.2. Определяющие законы 21
1.3. Конкретизация определяющих законов 25
Глава 2. Прямолинейное течение в упруговязкопластическом цилиндрическом слое в условиях возможного проскальзывания материала 34
2.1. Прямолинейное течение в упруговязкопластическом ци линдрическом слое в случае проскальзывания материала в ок рестности внутренней поверхности 35
2.1.1. Постановка задачи, обратимое деформирование 35
2.1.2. Вязкопластическое течение 39
2.1.3.Торможение вязкопластического течения и разгрузка среды 46
2.1.4. Деформирование среды при движении внешнего жесткого цилиндра 52
2.2. Прямолинейное течение в упруговязкопластическом цилиндрическом слое в случае проскальзывания материала в окрестности внешней поверхности 61
2.2.1. Обратимое деформирование и вязкопластическое течение 61
2.2.2. Торможение вязкопластического течения и разгрузка среды 65
2.2.3. Деформирование среды при движении внешнего цилиндра 70
2.3. Прямолинейное течение в упруговязкопластическом цилиндрическом слое при возможном двустороннем проскальзывании материала 76
2.3.1. Обратимое деформирование и вязкопластическое течение 76
2.3.2. Торможение вязкопластического течения и разгрузка среды 81
2.3.3. Деформирование среды при движении внешнего жесткого цилиндра 87
Глава 3. Неизотермическое деформирование упруговязкопластиче-ского плоского тяжелого слоя 95
3.1. Обратимое деформирование 96
3.2. Вязкопластическое течение 100
Глава 4. Неизотермическое деформирование упруговязкопластиче-ского плоского горизонтального слоя 106
4.1. Постановка задачи. Упругое деформирование 106
4.2. Развивающееся вязкопластическое течение 113
4.3. Течение при постоянном напряжении 120
4.4. Течение при уменьшающемся напряжении и разгрузка среды 128
4.5. Охлаждение 145
Заключение 148
Список литературы 151
- Конкретизация определяющих законов
- Прямолинейное течение в упруговязкопластическом цилиндрическом слое в случае проскальзывания материала в окрестности внешней поверхности
- Деформирование среды при движении внешнего жесткого цилиндра
- Течение при постоянном напряжении
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Используемые технологические приемы обработки материалов термомеханическим воздействием (прокатка, скоростная штамповка, волочение и др.) могут осуществляться в условиях пристеночного скольжения. При достаточно больших скоростях скольжения невозможно пренебречь разогревом поверхности за счет трения, более того, в пристеночных областях развивающееся вязкопластическое течение также не является изотермическим. Следовательно, приходим к необходимости использования для моделирования подобных технологий связанной математической модели термоупругопластических деформаций. При этом в таких пристеночных областях течения хотя бы необратимые деформации нельзя считать малыми. Следовательно, адекватной моделью для подобных технологических процессов становится математическая модель больших деформаций. Развитие фундаментальной механики деформирования привело к возможности постановок задач данного класса. В настоящей работе изучаются особенности постановок некоторых таких модельных задач и приводятся их решения. Таким образом, актуальность в рассмотрении таких задач диктуется не только нуждами в развитии фундаментальной теории больших деформаций материалов, но и ответом на вызов технологической практики, связанный с потребностью в моделировании соответствующих технологий.
Цель работы. Изучить особенности постановок и получить решения простейших связанных термомеханических задач теории больших деформаций, учитывая упругие, пластические и вязкие свойства деформируемых материалов при их прямолинейных течениях.
К основным научным результатам диссертации относятся:
решения краевых задач теории больших упруговязкопластических деформаций о прямолинейных течениях материала в зазоре между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями в случаях, когда одна из поверхностей (внутренняя или внешняя) движется, причем на одной из поверхностей выполняется условие проскальзывания материала, а на другой -условие жесткой спайки, а также, когда на обеих поверхностях возможно проскальзывание материала;
постановка и решение краевой задачи термоупругопластичности о сползании тяжелого слоя с наклонной плоскости при его нагреве за счет вязкопластического течения, обусловленного зависимостью предела текучести материала слоя от температуры;
постановка и решение последовательности связанных задач термоупруговязкопластичности о развитии течения в слое материала, находящегося в условиях нарастающего чистого сдвига, когда неоднородность напряженного состояния слоя вызывается тепловыделением за счет трения о его граничную поверхность; о течении материала слоя при постоянной нагрузке, о торможении течения и его остановке при уменьшающейся нагрузке вплоть до полной разгрузки и охлаждении материала слоя до комнатной температуры;
Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем:
- получено решение новой задачи теории больших упруговязкопластических
деформаций о прямолинейном движении среды в зазоре между жесткими
коаксиальными цилиндрическими поверхностями, связанное с возможностью
проскальзывания с сухим и вязким трением на внешней или внутренней
поверхности или на обеих сразу. Рассмотрены все постановочные возможности (6
случаев), и указаны в каждом случае момент зарождения течения и закономерности
продвижения упругопластических границ при развитии течения и его торможении до полной остановки;
решением связанной задачи термоупруговязкопластичности установлены параметры явления сползания тяжелого слоя с теплоизолированной наклонной плоскости, вызванного развитием вязкопластического течения за счет зависимости предела текучести материала от температуры при ее повышении на свободной поверхности слоя;
последовательностью новых связанных задач термоупруговязкопластичности о чистом сдвиге изучен процесс развития течения за счет разогрева слоя при трении его поверхности о шероховатую подложку; установлены закономерности продвижения упруговязкопластических границ, как при развитии течения, так и при его замедлении до полной остановки.
Достоверность полученных результатов базируется на использовании классических подходов неравновесной термодинамики и механики сплошных сред. Используемая математическая модель больших упруговязкопластических деформаций может считаться достаточно апробированной. Из нее в частном случае при переходе к малым деформациям следуют соотношения классической модели типа Прандтля - Рейса. При решении конкретных краевых задач дополнительные гипотезы не использовались, большинство полученных зависимостей являются точными в рамках используемой модели, а применяемые численно-аналитические процедуры являются общепризнанными.
Применение и практическая ценность работы. Увеличение температуры и скорости протекания технологических приемов формования профилей приводит к заметному повышению поверхностной температуры металла, вплоть до оплавления. Предварительный натяг оснастки может вызвать неконтролируемый процесс приповерхностного течения формуемого материала, выводящий технологию на недопустимые режимы. Подобные технологические приемы для своего модельного описания с необходимостью требуют учета в математических моделях связанности процессов деформирования и тепловыделения. При этом часто отсутствует возможность положить деформации малыми. В диссертации предпринята попытка поставить и решить ряд модельных задач для данных целей.
Важным этапом формования моделей, изготовляемых из парафина с разными полимерными добавками, является разогрев их поверхностей за счет трения до температуры плавления. Это необходимо для того, чтобы могли заполниться парафином вогнутости пресс-формы, и упрочнилась поверхность модели. Решением модельных задач предпринималась попытка совершенствования технологии прессования моделей. Эти задачи могут оказаться полезными также в технологиях порошковой металлургии.
Полученные решения также могут оказаться полезными для тестирования алгоритмов и программ численных расчетов. Расчетная сложность интенсивного формоизменения с учетом вязкопластических течений в неизотермических условиях продиктована не только существенной нелинейностью математической модели процесса, но и, главное, присутствием движущихся границ, разделяющих область деформирования на части, в которых деформирование и течение подчинено разным системам уравнений в частных производных. В таких случаях требуются специальные алгоритмические приемы. Полученные численно-аналитические решения с успехом могут послужить такой цели.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
- X Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний
Новгород, 2011);
XVI Зимняя школа по механике сплошных сред «Механика сплошных сред как основа современных технологий» (Пермь, 2009);
Региональная научно-практическая конференция «Молодежь и научно-технический прогресс» (Владивосток, 2010);
Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2010);
XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2010);
Конференция-семинар «Актуальные направления в механике сплошных сред» (Санкт - Петербург, 2012);
XI Международный Форум студентов, аспирантов и молодых ученых стран Азиатско-Тихоокеанского региона (Владивосток, 2012);
Восемнадцатая Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2013).
Диссертация в целом докладывалась на семинарах отдела механики деформируемого твердого тела Института автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН под руководством чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н., профессора А.А. Буренина.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (200 наименований). Общий объем работы - 170 страниц, в том числе 78 рисунков, включенных в текст.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Конкретизация определяющих законов
Соотношением (1.18) вводится определение объективной производной по времени, связывающей необратимые деформации со скоростью их изменения. Заметим, что (1.18) явилось не предметом «выбора», как в большинстве теорий [65], а прямым следствием законов термодинамики.
При построении модели упругопластической среды предполагается, что материал деформируется обратимо, если напряженное состояние соответствует в пространстве напряжений неравенству Р( УІ}-,є?,%І,Т) 0.
Поверхность нагружения Р(ст ,є?,%t,T) = 0, где х, – параметры истории, в условиях принципа максимума Мизеса \ т1у - т щ 0, где а - статически допустимое напряжение, оказывается пластическим потенциалом. Ассоциированный закон пластического течения при этом записывается в форме
Математическая модель будет замкнутой, если постулировать кинетические уравнения для параметров истории: %t = Д . В простейшем случае можно принять уравнение поверхности нагружения в виде Г((Ту) = где к - предел текучести материала. В качестве F(ar) можно использовать классические зависимости максимального касательного напряжения (призма Треска), максимального приведенного напряжения (призма Ивлева) или максимального октаэдрического напряжения (цилиндр Мизеса). В качестве обобщения модели можно принять, что тепловое расширение имеет необратимую составляющую. В этом случае в качестве поверхности нагружения следует в простейшем случае использовать соответствующее обобщение конуса Мизеса - Шлейхера или пирамиды Кулона - Мора.
В областях, где пластические деформации отсутствуют, тензор полных деформаций Альманси имеет компоненты
Закон связи напряжений с деформациями для таких областей согласно (1.17) принимает вид В случае независимости свободной энергии от пластических деформаций в областях, где пластические деформации отсутствуют, можно принять, что где W - упругий потенциал, р0 - плотность материала в недеформирован-ном состоянии (dy=0, Т = const). Зависимость (1.20) для вычисления напряжений в упругой области в этом случае перепишется в виде p dW
Для изотропной среды данная функция зависит только от инвариантов тензора dtj и температуры Т: W = W(J1,J2,J3,T). Выберем ее в виде разложения в ряд Тейлора относительно свободного состояния, ограничиваясь слагаемыми до третьего порядка по компонентам dr и Т: 2 (1.21) являются термоупругими постоянными среды. Воспользовавшись уравнением неразрывности
Прямолинейное течение в упруговязкопластическом цилиндрическом слое в случае проскальзывания материала в окрестности внешней поверхности
На рисунке 2.15 изображены перемещения в моменты времени т = т (штрихпунктирная линия) и т = т0 (сплошная линия), на рисунке 2.18 - в моменты времени т = т[ (штрихпунктирная линия), т = тх (штриховая линия) и т = т2 (сплошная линия), а на рисунке 2.21 - в моменты времени т = т 3 (штрихпунктирная линия), т = т"ъ (штриховая линия) и т = т4 (сплошная линия). Распределения пластической деформации Prz показаны на рисунке 2.16 в моменты времени т = т[ (пунктирная линия), т = тх (штриховая линия) и т = т2 (сплошная линия), а на рисунке 2.19 в моменты времени т = т 3 (пунктирная линия), т = т 1 (штриховая линия) и т = тъ (сплошная линия). Рисунок 2.17 иллюстрирует распределения напряжения оrz в моменты времени т = т 0 (штрихпунктирная линия), т = т (штриховая линия) и т = т0 (сплошная линия), а рисунок 2.20 - в моменты времени т = т[ (штриховая линия), т = тх (сплошная линия) иг = г3" (штрихпунктирная линия). 2.2 Прямолинейное течение в упруговязкопластическом цилиндрическом слое в случае проскальзывания материала в окрестности внешней поверхности
Будем полагать, что внешний цилиндр закреплен, а внутренний равноускоренно движется
Положим , тогда вязкопластическое течение материала в момент времени t = t0 на внутренней границе начнется одновременно с проскальзыванием материала в окрестности внешнего цилиндра. До момента времени t = t0 на границе г = R выполняется условие
Решение упругой задачи, соответствующей промежутку 0 t t0 имеет вид (2.4).
Изменение области вязкопластического течения со временем В момент времени t = t0 на внутренней границе г = г0 выполнится условие пластичности т I = -к, а на внешней - неравенство (2.48) обратится в равенство. В таком движении условие (2.48) заменим следующим
Развивающаяся с момента времени t = t0 область вязкопластического течения r0 r rx(t) ограничена поверхностями г = г0 и r = r1(t). В области rx(t) r R материал по-прежнему деформируется обратимо, то есть rx(t) является движущейся границей области вязкопластического течения.
В области обратимого деформирования rx(t) r R с использованием условия (2.49) найдем скорость точек среды
Скорость пластических деформаций в области вязкопластического течения определяется из соотношения (2.10). Зависимости (2.12) и условие прилипания материала к внутренней поверхности позволяют найти скорости точек в области вязкопластического течения:
Положение упругопластической границы r = rx(t) в каждый момент времени задается обыкновенным дифференциальным уравнением
Учитывая (2.5), (2.17), (2.52) и условие прилипания границе г = г0, для компоненты перемещений в области вязкопластического течения находим
Тогда, учитывая непрерывность перемещений на упругопластической границе г = rx(t), в области обратимого деформирования получим
Пусть, начиная с момента времени t = t1 t0, скорость движения внутренней цилиндрической поверхности становится постоянной: v = axtx. Изменение в режиме нагружения приводит к появлению новой границы г = r2(t). Теперь область вязкопластического течения r0 r r2(t) ограничена поверхностями г = г0 и r = r2(t). В области r2(t) r R материал по-прежнему де формируется обратимо.
В области обратимого деформирования r2(t) r R для скорости выполняется зависимость (2.50), а в области вязко пластического течения получим
Положение упругопластической границы r = r2(t) в каждый момент времени задается обыкновенным дифференциальным уравнением
Для компоненты р тензора пластических деформаций выполняется соотношение (2.21), в котором функция gx(r) в интервале r0 r r t ) совпадает с функцией g{r), а в интервале r t r r2(t) определяется из системы дифференциальных уравнений
Перемещения в области обратимого деформирования имеют вид в области вязкопластического течения
На рисунках 2.22 и 2.23 представлено изменение границ VR и % в зависимости от времени г соответственно. 2.2.2. Торможение вязкопластического течения и разгрузка среды
Положим теперь, что с некоторого момента времени t = t2 t1 внутренний цилиндр начинает двигаться равнозамедленно со скоростью v = a1t1 -a2(t2). Такое изменение в режиме нагружения приводит к возникновению новой упругопластической границы r = r3(t), которая движется к центру от стационарной поверхности r = r2(t2). Деформируемая область r0 r R разбивается теперь на три зоны: вязкопластическое течение продолжается в области r0 r r3(t), в области r3(t) r r2(t2) компонента prz перестает изменяться, а в области r2(t2) r R материал продолжает деформироваться обратимо.
Деформирование среды при движении внешнего жесткого цилиндра
Пусть теперь внешний цилиндр движется равноускоренно, а внутренний жестко закреплен
Полагаем также, что до некоторого момента времени t = t на границах г = г0 и r = i? выполняется условие (2.63). Интегрируя уравнения равновесия (2.3), получим соотношения (2.33). В момент времени t = t на границе г = г0 неравенство (2.63) обратится в равенство, и материал начнет проскальзывать в окрестности внутренней жесткой стенки. Условие (2.63) заменим зависимостью (2.34), которая приведет к изменению функции c(t) в (2.33). Функция
c(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.35) и имеет вид (2.36). В момент времени t = t0 на внутренней границе г = г0 выполнится условие пластичности о I = к.
При дальнейшем движении внешней поверхности область вязкопла-стического течения ограничена поверхностями г = г0 и r = r1(t). В области r1(t) r R материал деформируется обратимо. В области обратимого деформирования интегрированием уравнений равновесия (2.3) в условиях прилипания на поверхности r = R установим, что выполняются соотношения (2.33). Для области вязкопластического течения в этом случае следуют соотношения (2.37) и (2.38). Положение упругопластической границы r = r1(t) в каждый момент времени задается обыкновенным дифференциальным уравнением (2.14). Функция g(r) находится из решения системы уравнений (2.39) и (2.40). В момент времени t = ts, который определяется из уравнения c(ts) = fcr0R теперь уже на границе r = R неравенство (2.63) обратится в равенство, т.е. материал начнет проскальзывать и в окрестности внешнего цилиндра. В таком движении потребуем выполнения условия (2.58).
Область вязко пластического течения r0 r r2 (t) ограничена поверхностями г = г0 и r = r2{t). В области r2(t) r R материал по-прежнему деформируется обратимо.
В области обратимого деформирования перемещение и скорость принимают форму
В области вязкопластического течения для скорости выполняется третья зависимость (2.37). Из условия равенства скоростей на упругопластиче-ской границе r = r2(t) получим для нее дифференциальное уравнение (2.66). Для компоненты prz тензора пластических деформаций выполняется второе соотношение (2.37), в котором функция gx(r) в интервале r0 r rx(ts) совпадает с функцией g(r), а в интервале rr(ts) r r2(t) для ее определения служит система дифференциальных уравнений
Из (2.5), (2.17), второй зависимости (2.37) и условия непрерывности компоненты вектора перемещений на упруго пластической границе r = r2(t) найдем в области течения
Пусть, начиная с момента времени t = t1 t0, скорость движения внеш at . Те ней цилиндрической поверхности становится постоянной: перь область вязкопластического течения ограничена поверхностями г = г0 и г = r3(t). В области r3(t) r R материал по-прежнему деформируется обратимо.
Распределение пластической деформации в разные моменты времени В области обратимого деформирования r3(t) r R перемещение и скорость имеют вид
В области вязкопластического течения для скорости точек среды выполняется третье соотношение из (2.37). Положение упругопластической границы r = r3(t) в каждый момент времени задается дифференциальным уравнением (2.67). Для компоненты prz тензора пластических деформаций имеем
Здесь функция g2(r) в интервале r0 r r2(tj совпадает с функцией gl(r), а в интервале г2 (7Х) г гъ if) для ее определения получим систему дифференциальных уравнений
Перемещение в области вязкопластического течения определяется по формуле
С некоторого момента времени t = t2 tl внешний цилиндр начинает двигаться равнозамедленно со скоростью v+ =altl-a2(t2). Деформируемая область r0 r R разбивается теперь на три подобласти: вязкопла-стическое течение продолжается в области r0 r r4(t), в области r4(t) г rft2) компонента prz перестает изменяться, а в области rft2) r R происходит обратимое деформирование.
Для области обратимого деформирования rft2) r R получим
В области с неизменяющейся компонентой prz для скорости справедливо второе соотношение (2.76). В области вязкопластического течения для скоростей точек среды выполняется третья зависимость из (2.37). Движущаяся упруго пластическая граница г = r4 (t) определяется из обыкновенного дифференциального уравнения (2.69).
Для определения функции х(г) получим дифференциальное уравнение (2.71). В области с неизменяющейся компонентой Prz перемещение определяется по формуле а в области вязкопластического течения по соотношению
В момент времени t = ta, для которого выполняется равенство c(ta) = fcr0R, на внешней границе г = R вновь выполнится условие прилипания (o"rz-/o"rrj _ =0. С этого момента времени условие (2.58) вновь следует заменить неравенством (2.63).
Деформируемая область r0 r R состоит из трех частей: вязкопласти-ческое течение продолжается в области г0 г r5(t), в области r5(t) r r3(t2) компонента prz не изменяется, а в области r3(t2) r R материал деформируется обратимо.
Для области обратимого деформирования r3(t2) r R в этом случае получим
В области r5(t) r r3(t2) скорость вычисляется по второй зависимости (2.78). В области вязко пластического течения для скоростей точек среды вы полняется третье соотношение (2.37). Значение движущейся упругопластиче-ской границы г = r5(t) в каждый момент времени находим из обыкновенного дифференциального уравнения (2.73).
Для компоненты prz тензора пластических деформаций в области вязко пластического течения остается верным соотношение (2.75). В области r5(t) r r3(t2) компонента prz имеет вид (2.77). В интервале r4(ta) r r3(t2) функция х(г) определяется из дифференциального уравнения (2.71), а в интервале r5(t) r r4(ta) - из уравнения (2.26) с начальным условием т(г4) = ta.
Течение при постоянном напряжении
Пусть, начиная с момента времени t = t2, напряжение JU далее не изменяется, т.е.
Изменение в режиме на-xi Рис. 4.10 гружения приводит к возникно вению новой упругопластической границы х2 = rx(t), которая с момента времени t = t2 и до некоторого момента t = t3 движется вниз от стационарной границы х2 = r(t2) (рисунок 4.10), т.е. происходит разгрузка среды.
Начиная с момента времени t = t2, деформируемая область 0 х2 h разбивается на три части: вязко пластическое течение продолжается в области 0 х2 rx(t) (область I на рисунке 4.10), в области rx(t) х2 r(t2) компонента р12 тензора пластических деформаций перестает изменяться (область III на рисунке 4.10), а в области r(t2) x2 h по-прежнему происходит обратимое деформирование (область II на рисунке 4.10).
Интегрируя уравнения равновесия (4.6) в области обратимого деформирования r(t2) х2 h , получим
Уравнение теплопроводности в этой области примет вид
В области вязкопластического течения 0 x2 r1(t) и в области с неизменяющейся компонентой р12 r1(t) x2 r(t2) напряжения определяются из зависимости (1.43) с учетом двух последних зависимостей (4.20) и имеют вид (4.24). Если же проинтегрировать уравнения равновесия, приняв во внимание условие непрерывности компонент напряжений на границах х2 = r(t2) и х2 = r1(t), получим, что в этих областях для напряжений справедливы соотношения (4.43).
Пусть, начиная с момента времени t = t4 t2, напряжение на внешней границе слоя меняется по закону Изменение в режиме нагружения приводит к возникновению новой уп ругопластической границы х2 = r2 (t). С момента времени t = t4 она движется к нижней границе слоя х2 = 0 (рисунок 4.15), и область деформирования снова разбивается на три части: вязко пластическое течение продолжается в области 0 х2 r2(t) (область I на рисунке 4.15), в области r2(t) х2 rx(t4) компонента р12 не изменяется (область III на рисунке 4.15), в области rx{t4) x2 h материал деформируется обратимо (область II на рисунке 4.15). Проинтегрировав уравнения равновесия (4.6) в области обратимого де формирования, получим Уравнение теплопроводности в упругой области r1(t4) x2 h и в области r2(t) х2 r1(t4) с неизменяющейся компонентой р12 примет вид В области вязкопластического течения 0 x2 r2(t) и в области r2(t) x2 r1(t4) напряжения определяются из зависимости (1.43) с учетом двух последних соотношений (4.20) и имеют вид (4.24). Если же проинтегрировать уравнения равновесия, приняв во внимание условие непрерывности компонент напряжений на границах х2 = г1(4) и х2 = r2(t), получим, что в этих областях для напряжений справедливы зависимости (4.63). После решения системы (4.72)-(4.77) в пакете Mathematica, получаем распределение температуры 01/, 02/ и 03/, и значение упругопластической границы r2J на каждом j -м шаге по времени. Компонента пластических деформаций Рп в области 0 х2 r2{t) вычисляется из соотношения (4.40) и условия ее непрерывности в момент времени t = t4. Компонента остаточных пластических деформаций р12 в какой-либо точке области r2{t) х2 rx{t4) равна значению пластических деформаций, вычисляемых по уравнению (4.40) до того момента времени, когда этой точки достигнет граница х2 = r2{t), далее компонента р12 в этой точке не изменяется. Из (4.24) и (4.63) для областей 0 х2 r2(t) и r2(t) х2 rx(t4) получим компоненту обратимых деформаций Учитывая условие (4.68), перемещение в области вязко пластического течения можно вычислить из уравнения (4.41). В области с неизменяющейся компонентой р12 перемещения также определятся из уравнения (4.41), а в области обратимого деформирования - из уравнения (4.42). При нахождении перемещений также использовалось условие их не "1 На рисунке 4.17 показано распределение пластических деформаций р12, а на рисунке 4.19 распределение перемещений: штриховой линией в момент времени т = т4 (т2 т4 т4) и сплошной линией в момент х = х4. Рисунок 4.18 иллюстрирует распределение температуры в моменты времени т = т 4 (штриховая линия) и т = т4 (сплошная линия). На рисунке 4.20 изо бражена зависимость упругопластической границы Согласно рисунку 4.19 уменьшение области течения 0 х2 r2(t) происходит до некоторого момента времени t = t5. Начиная же с момента времени t = t5, граница r2(t) движется в сторону границы r1(t4) (рис. 4.20), в некоторый момент времени t = t" Рис. 4. 21 эти границы совпадают, и область течения 0 х2 r2{t) продолжает развиваться. Деформируемая область 0 х2 h снова разбивается на две подобласти: пластическая область 0 х2 r2 (t) (область I на рисунке 4.21) и область обратимого деформирования r2(t) x2 h (область II на рисунке 4.21). Соотношения (4.63)-(4.68) в этом случае также будут выполняться. Для решения этих уравнений использовалась следующая конечно-разностная сетка.
