Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задач 10
2 Метод последовательных приближений 16
2.1. Общая схема метода 16
2.2. Задача о течении в фиксированной квадратной области. инструмент - упругое полупространство .16
2.3. Задача о течении в фиксированной квадратной области. инструмент - упругий слой на жестком основании 25
2.4. Задача о течении в фиксированной прямоугольной " области. инструмент - упругое полупространство 29
2.5. Задача о течении в фиксированной прямоугольной области. инструмент - упругий слой на жестком основании 41
2.6. Выводы 43
3. Вывод интегрального уравнения для квадратной области 4 4
3.1. Применение интегрального уравнения к расчетам процесса течения в квадратной области. Инструмент - упругое полупространство 48
3.2. Применение интегрального уравнения к расчетам процесса течения в квадратной области. Инструмент -упругий слой на жестком основании 63
3.3. Выводы 72
4. Вывод интегального уравнения для прямоугольной области 74
4.1. Применение интегрального уравнения к расчетам процесса течения в прямоугольной области. Инструмент упругое полупространство 77
4.2. Применение интегрального уравнения к расчетам процесса течения в прямоугольной области. Инструмент -упругий слой на жестком основании 87
4.3. Обобщеине методики на случай любой полигональной области 90
4.4. Выводы 91
Заключение 96
Список использованных источников 97
Приложения 107
- Задача о течении в фиксированной квадратной области. инструмент - упругий слой на жестком основании
- Задача о течении в фиксированной прямоугольной области. инструмент - упругий слой на жестком основании
- Применение интегрального уравнения к расчетам процесса течения в квадратной области. Инструмент -упругий слой на жестком основании
- Применение интегрального уравнения к расчетам процесса течения в прямоугольной области. Инструмент -упругий слой на жестком основании
Введение к работе
Постоянное возрастание требований к точности изготовления деталей, в особенности тонкостенных, приводит к разработке новых производственных технологий обработки материалов давлением, которые, в свою очередь, должны иметь четкое математическое обоснование.
В настоящее время актуальны задачи пластических течений материалов с учетом различных сопряженных факторов, таких как анизотропия сил трения на контакте, объемная сжимаемость, течение материала в условиях интенсивного теплообмена, состояние сверхпластичности, деформируемость поверхности инструмента.
Диссертация посвящена исследованию одного; класса нестационарных пространственных задач течения тонкого пластического слоя между двумя сближающимися поверхностями твердых внешних тел, разработке новых подходов и методов их решения. К таким задачам приводят большинство технологических процессов обработки материалов давлением: штамповка и прессование тонкостенных элементов конструкций, дрессировка, тонколистовая прокатка и т.д. Это сложные физические процессы с разнообразием определяющих параметров, протекающие при комбинированных температурных и силовых воздействиях. Важную роль в них чаще играет деформационное и скоростное упрочнение материала. Для процессов пластического течения в тонком слое характерны высокие давления, на порядок превышающие величины сдвиговых напряжений. А значит, неоправданным может оказаться неучет упругих деформаций самих воздействующих тел, что сказывается на точности изготовления конечной
5 детали. Математическое моделирование процессов с развитыми пластическими формоизменениями, и в частности, течений в тонких слоях усложняется тем, что в них, как правило, неизвестными оказываются как границы областей течения, так не определены и сами граничные условия. И хотя на сегодняшний день существуют геометрически нелинейные теории пластичности, в том числе и вариант теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина при конечных деформациях, однако, в силу их чрезвычайной математической сложности, они не нашли еще широкого практического применения. Наиболее распространенной и обоснованной для описания процессов пластического течения металлов в широком диапазоне изменения температур и скорости деформации по праву считается теория пластичности для траекторий малой кривизны [7,21,27,61,73,74,90] .
Выше мы отметили лишь некоторые характерные особенности, присущие процессам пластического течения в тонком слое. Это оказывается вполне достаточным подтверждением актуальности исследований, проводимых в отмеченной области механики.
Истоки данной тематики исследований уходят к классической задаче Л. Прандтля [72] о сжатии полосы из идеальнопластического материала между двумя сближающимися жесткими плоскостями. Л. Прандтль нашел поле напряжений, а Надай [64] построил кинематическую картину этого течения, подчиняющегося условию пластичности Мизеса.
Эксперименты по данной проблеме проводились Е.П. Унксовым [88,89], А.Д. Томленовым [82], И.Я. Тарновским [79,80], В.М. Сегалом [75] и другими учеными.
На основе анализа решения Прандтля - Надай А.А. Ильюшин выдвинул гипотезы кинематического характера, а также относительно сил трения на контакте, с помощью которых построил эффективную теорию течения в тонком пластическом слое [22-26]. В работе А.А. Ильюшина [24] решена задача о растекании тонкого кольцевого пластического слоя постоянной толщины. В работах А. А. Ильюшина [25], И.А. Кийко [39] исследована нестационарная плоская задача течения в полосе с неоднородностью свойств по толщине, вызванной интенсивным теплообменом с внешними телами.
Существенный вклад в развитие теории течения в тонком пластическом слое внес И.А. Кийко [32-38] . Им сформулирована задача течения в тонком пластическом слое в пространстве между двумя сближающимися поверхностями упруго-деформируемых тел, предложен вариационный метод решения задач [32]. В работах П.М. Огибалова, И.А. Кийко и Л.К. Кийко [бб-68] рассчитаны с помощью метода песчаной аналогии контактные давления, общие усилия прессования ребристых пластин, а также проведена экспериментальная проверка теоретических результатов. Следует отметить работы И.В Костарева [45,46], который на основе теории течения тонких пластических слоев разработал методы расчета процессов штамповки ребристых поковок сложной формы. В работе Ю.С. Арутюнова [5] для решения задач течения пластических слоев использован метод преобразования Лежандра, с помощью которого исследованы плоские и осесимметричные задачи, построены эпюры истинных контактных давлений. Можно выделить работы С. С. Григоряна [14], А.Н. Мохель и Р. Л. Салганик [62], В. А.
7 Кадымова [47-58] и многих других авторов [1-4,6,11-13,16,17,19,20,28-31,40-43,60,63,65].
Задача Л. Прандтля о сжатии пластической полосы, усложненная учетом разных дополнительных факторов, продолжает привлекать внимание многих исследователей.
Из обзора можно сделать следующий вывод: общая теория течения тонких слоев металла по деформируемым поверхностям разработана, однако конкретные приложения ограничены осесимметричными и плоскими задачами. Потребности технологии обработки давлением такими приложениями, естественно, далеко не ограничены. Этими соображениями обусловлена цель диссертации.
Цель исследований состоит в разработке эффективных аналитических и численных методов исследования нового класса задач о течении тонкого слоя пластического материала по поверхностям тел инструмента с учетом их деформируемости.
Научная новизна.
Разработан новый эффективный метод решения класса задач пластического формоизменения, основанный на теории течения в тонком пластическом слое по деформируемым поверхностям. Метод основан на сведении исходной нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений к одному нелинейному интегральному уравнению обобщенного гаммерштейновского типа, которое решается методом приближений. Скорость сходимости метода в зависимости от значений параметров задачи устанавливается численно. Рассмотрены конкретные примеры, проведен их подробный параметрический анализ.
Практическая ценность.
Результаты диссертации представляют интерес для теории и практики расчета технологических процессов обработки давлением. Они могут эффективно использоваться специалистами промышленных предприятий и НИИ, занимающимися проектированием и конструированием инструмента. Разработанные в диссертации подходы и методы решения нестационарных задач течения пластических слоев могут быть включены в спецкурсы для студентов механико-математических и машиностроительных факультетов, а также могут быть использованы в системе переподготовки кадров высшей квалификации, при подготовке магистров и аспирантов.
Публикации.
Исследованиям пластических течений в тонких слоях посвящено 13 работ автора. Основное содержание диссертации отражено в цитированных публикациях автора [8-10,91].
Апробация.
Работа велась в соответствии с заданием министерства образования и науки Российской Федерации на проведение научных исследований по разработке физико-математических основ технологий пластического формоизменения с целью повышения пластичности металла и улучшения эксплуатационных характеристик штампуемых изделий (гос. per. 01.2.00311033, гос. per. № 01.200.210.855) при поддержке гранта министерства образования и науки РФ № А
03-2.10-757. Результаты работы обсуждались на: XXXIX Международной научно-технической конференции ААИ «Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров» (Москва, МГТУ-«МАМИ», 25-26 сентября 2002); московской конференции молодых ученых «Научно-технические проблемы развития московского мегаполиса» (Москва, ИМАШ РАН им. А. А. Благонравова, 19-21 ноября 2002); всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 20-22 ноября 2002 года); международной молодежной научной конференции «XXIX Гагаринские чтения» (Москва, «МАТИ»-РГТУ им. К.Э. Циолковского ,8-11 апреля 2003); научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им. Ломоносова, 17-27 апреля 2003 года, 21-28 апреля 2004 года); международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» поев. 80-летию со дня рождения проф. Л.А. Толоконникова (Тула, ТулГУ, 18-21 ноября 2003); международной научно-технической конференции «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штамповочного производства» (Москва, МГТУ-«МАМИ»,1-3 декабря 2003); юбилейной XV международной Интернет конференции молодых ученых, аспирантов и студентов по современным проблемам машиноведения (Москва, 3-5 декабря, 2003) .
Считаю своим долгом выразить глубокую признательность моему учителю, заслуженному профессору МГУ им. Ломоносова Игорю Анатольевичу Кийко за постоянное внимание и помощь при выполнении работы.
Задача о течении в фиксированной квадратной области. инструмент - упругий слой на жестком основании
Будем считать, что одна рабочая поверхность ограничивает абсолютно жесткое тело, а другая является границей упругого слоя толщины Н, лежащего на жестком основании. Функция Грина в этом случае имеет вид [39]: Первые два слагаемых были найдены в предыдущей части данной главы, остановимся подробно лишь на вычислении двух оставшихся. Обращаем внимание на появление «штрихов» у множителей S0 и 8Х; это обусловлено тем, что ядро интегралов 1Ъ и /4 содержит параметр Я, который также необходимо привести к безразмерному виду. Поскольку множители 5п—=- и S, -г- являются постоянными величинами, остается вычислить интегралы вида jjdx dy и jjz(x\y )dx dyr 5 s для каждой из четырех областей, обозначенных на рис. 2. Окончательно получим Для проведения численного анализа были взяты следующие значения параметров: Для всех трех соотношений у было найдено значение константы С (таблица 1) и построены поверхности, описывающие w ( , ) (см. Приложение 1). Для оценки полученного результата представим осевые и граничные сечения для всех w ух,у) в одном масштабе (рис. б).
Четыре верхние кривые показывают осевое сечение, четыре нижние соответственно граничное сечение поверхностей. Кривые, изображенные сплошной линией, соответствуют случаю, когда инструмент моделируется как полупространство. Анализируя полученный результат, можно сделать следующий вывод: чем толще упругий слой (чем меньше отношение у ), тем больше упругие перемещения рабочих поверхностей. Представим теперь, что область течения ограничена прямоугольником, причем соотношение сторон можно взять произвольным. Рассмотрим два случая: отношения длин сторон равны 1:2 и 1:3. (см. рис. 7 и рис. 8). Используя алгоритм, описанный в предыдущих частях данной главы, найдем первое приближение w (# .у) Выражение (2.2) не изменит своего вида, отличными будут лишь границы четырех областей интегрирования. Для области с соотношением сторон 1:2 будем иметь: Сумма интегралов (2.15) в итоге представляет функцию прогиба для прямоугольной (1:2) области от действия единичной (в безразмерных координатах) силы (Рис. 9). dx Сложив вычисленные интегралы, получим в итоге выражение для функции прогибов в первом приближении W (х,у) для прямоугольной области с соотношением сторон 1:2 (Рис. 10). Аналогично получено выражение для функции прогиба в первом приближении w (х,у) для области, ограниченной прямоугольником с соотношением сторон 1:3: (2.17) 3-х f\2 +0--У) V( - )2 + Cv - У)2 -з Лі j(x-x dy = J(получим Для проведения численного анализа были взяты следующие значения параметров: Для всех трех соотношений у было найдено значение константы С (таблица 1) и построены поверхности, описывающие w ( , ) (см. Приложение 1). Для оценки полученного результата представим осевые и граничные сечения для всех w ух,у) в одном масштабе (рис. б). Четыре верхние кривые показывают осевое сечение, четыре нижние соответственно граничное сечение поверхностей. Кривые, изображенные сплошной линией, соответствуют случаю, когда инструмент моделируется как полупространство. Анализируя полученный результат, можно сделать следующий вывод: чем толще упругий слой (чем меньше отношение у ), тем больше упругие перемещения рабочих поверхностей. Представим теперь, что область течения ограничена прямоугольником, причем соотношение сторон можно взять произвольным. Рассмотрим два случая: отношения длин сторон равны 1:2 и 1:3. (см. рис. 7 и рис. 8). Используя алгоритм, описанный в предыдущих частях данной главы, найдем первое приближение w (# .у) Выражение (2.2) не изменит своего вида, отличными будут лишь границы четырех областей интегрирования.
Для области с соотношением сторон 1:2 будем иметь: Сумма интегралов (2.15) в итоге представляет функцию прогиба для прямоугольной (1:2) области от действия единичной (в безразмерных координатах) силы (Рис. 9). dx Сложив вычисленные интегралы, получим в итоге выражение для функции прогибов в первом приближении W (х,у) для прямоугольной области с соотношением сторон 1:2 (Рис. 10). Аналогично получено выражение для функции 3 + x )ln y + x + 2-yj(x-x ) +(y + x ) + 4 + 4(j; + ;c ) -у + х, + 2 + л](х-х )2 + (y - x f + 4 - 4(y - x ) fl 54 rS4 1+У ,.,,., г,.Л i+/ =dx yj(x-x )2 +(y-y = )(l + /)ln \2 ; -1 /-2 V(X- ; У+(у-У) x + y -2-,j(x + y f+(y-y f+4-4(x + y ) Л -1 J У -x + /-2 + J(x-y )2+(y-y f+4 + 4(x-y ) Сложив все вычисленные выше интегралы, получим выражение для W \Х,у), в случае, когда область
Задача о течении в фиксированной прямоугольной области. инструмент - упругий слой на жестком основании
В данном случае можно воспользоваться выражением (2.11), поскольку геометрия рассматриваемой области не повлияет на его вид: w=sA\ , # + s yj(x-x ) +(у-У) s n +S;jjz(x\y ) dx dy = lls +/25 +/35 +/45 . H Первые два слагаемых были найдены в предыдущей части данной главы, остановимся подробно лишь на вычислении двух оставшихся: dfc fi?)/ и Zfx j Jufc flf}/. В зависимости s s от соотношения сторон величина этих интегралов будет меняться. Так, например, для прямоугольника с соотношением сторон 1:2 будем иметь: jjdx dy = 8, jjz{x\ y )dx dy = —. s s - Аналогично для другой области: jjdx dy = 12, jjz(x ,y )dx dy = — s s - Согласно части 2.3 данной главы, составим таблицы, аналогичные таблице 1, при этом используются такие же параметры, как и в части 2.3. В таблицах 2 и 3 содержатся значения найденных констант С для различных толщин упругого слоя. Таблица 2. Зависимость константы С от толщины упругого слоя (область течения - прямоугольник с соотношением сторон 1:2) Ун У У Хо с -0.07728 -0.046352 -0.023176 Таблица 3. Зависимость константы С от толщины упругого слоя (область течения - прямоугольник с соотношением сторон 1:3) 1/-/н У 1/ /5 Хо с -0.12292 -0.073728 -0.036864 Используя известные функции прогибов в первом приближении для обоих случаев, можно построить поверхности, описывающие упругие перемещения инструментов, моделируемых как упругий слой на жестком основании (с различной толщиной упругого слоя). 2.6 ВЫВОДЫ. 1. Из системы (1.5)-(1.7) следует, что W — Wmax, поэтому найденные в этой главе эпюры перемещений w yx,y) могут служить оценками наибольших погрешностей в готовом изделии. 2. Показано, что результаты расчетов по двум моделям упругого основания - толстый слой и полупространство различаются непринципиально, поэтому для оценок можно использовать модель упругого полупространства. В этом разделе исходную интегро-дифференциальную систему (1.5)-(1.7) приведем (для случая течения в квадратной области) к одному нелинейному интегральному уравнению гаммерштейновского типа. Вначале сделаем некоторые оценки. Общее решение уравнения (1.5) имеет вид [32]: fh{x,y) I h(x,y) I здесь у - линия тока, выходящая из точки \Х0Уу0) контура; ее явное уравнение У — /\х) находится из уравнения п (л л\(dh dh = 0. ті dh К dh 1%
Поскольку n = i + w, имеем: , , поэтому дх І ду I кривизна линии тока порядка V» . В первой области (рис. 2) будет: — = F(x,y;y )+ \Fx dx; — = JFy dx . х0 Т.к. F \, Fr Fv ——, получаем оценку: у I (аг/%/а,-Ь 45 Следовательно, в первой области с точностью построения всей теории течения в тонких слоях можно считать: dZ „ 1 о дх 1 + ( :, ) ду Для w(x,y) запишем: w = xQ\\Hdx dy + Xl\\H -Zdx dy = lf +IS2 (3.1) s s В последних двух формулах переменная у считается параметром. Первый интеграл в (3.1) - известная функция, найденная в предыдущей главе; обозначим ее W0(x,y). Второй интеграл І2 в (3.1) запишем как сумму по областям I-IV: II =/f +/f +/f +/f = ]Г/? (3.2) і у і Isl=jJHZdx dy = \dx Z(x ,y) JH(x,y;x\y )dyf= (x H y dx 51 0 -x 0 x = \ = {Z{3 ,y)Ht{xtyJ)) -fijix x dx = -11 -,0) (0,0) + x = 0 і , + [н1(х,у;х )- ——-dx (3.3) і J\ + w(x ,y) где if(x, ; , ) - функция жесткости инструмента, x Hj(x,y;x )= JH(x,y;x ,y )dy -x H,(x,y;x )= JH x.yix dx 46 В (3.2) - Z(0,0) - константа, подлежащая дальнейшему определению. Для области III аналогично получим: 8Z 1 дх l + w(x,y) о -у о IS3 = jJHZdx dy = jdx Z(x ,y) $H(x,y;x ,y )dyf = jZ(x ,y)HI(x,y;x )dx = -і JC = = (z(x ,y)H!(x,y;x )) - JE yix —dx = 11,( -,0).Z(0,0)-x = -l - - 1 [Й, (х,у;-х )- ТГ (3.4) Для двух других областей (II и IV) вычисление интегралов 12 и /2 в (3.2) аналогично (3.3) и (3.4): Для области II, соответственно будем иметь: 8Z 1 і у і IS2 = jJHZdx dy = jdy Z(x,y ) \н{хіГ,х\у УЬ = Jz(x,y) (x ;y) = / = 1 , = (z(x,y )H,(x,y,y)) dy JftT7 (jc, y) - = -jy7 (х.дг.0) - Z(0,0) + y=o + (3.5) ЇН х у )- jrdy І l + W[X,v) Для области IV: dZ _ 1 dy l + w(x,y) IS4 = jJHZdx dy = jdy Z(x,y ) )н{х,у;х\у уЫ= (x H y dy = S4 -1 у -1 -1 ( /) / = - ( 0) (0,0) J (3.6) У=-i -1 -)й1{х у )— г—ау Таким образом, сложив (3.3), (3.4), (3.5) и (З.б), получим окончательно: Si м (х,у) = м 0(х,у) + 1. /=1 (3.7) +Zi JGl 3(x,y;x ) +Zi \G2A(x,y;y ) (3.8) где: 0=1(Я;) , Gu = (tf, (x,y;x ))si + (#7 ( ,y; )),3, =( ( ;У))52+(Я;( ;У))54. После определения w(x,j ) можно выписать Z[x,y) в любой области, причем Z будет зависеть от константы Z(0,0), которая определяется с помощью уравнения: о , Z(0,0)= Г dx (3.9) Таким образом, задача сведена к нелинейному интегральному уравнению (3.8) обобщенного гаммерштейновского типа [85]. Для его решения будет применен метод последовательных приближений. Замечание. Строго говоря, границы между областями (а, следовательно, и пределы интегрирования во всех выписанных интегралах) от приближения к приближению изменяются, поскольку они находятся из условий равенства давлений: Zx = Z2, Z1=Z7), .... Новые границы будут линиями 1/ с кривизной порядка у, ; неучет этого факта приведет к hn 7 ошибке порядка Л сравнительно с единицей, и мы численного и параметрического анализа процессов течения материала в тонких слоях с учетом деформируемости инструмента. Для решения интегрального уравнения примем метод последовательных приближений. Полагая в первом приближении 1 ( :, ) = 0 для слагаемых І2 в (3.2) получим:
Применение интегрального уравнения к расчетам процесса течения в квадратной области. Инструмент -упругий слой на жестком основании
Как и во второй главе, воспользуемся функцией Грина, которая имеет вид: Я= . -- = + - = -+ (3.14) J(x-x f+(y-y f 8Я Ш S X + AaAl- M-US + S ) Обозначим — —— - = @, тогда (3.14) примет вид: Н= , + , (3.15) J(X-X f+(y-y )2 Н Чтобы избежать неверного толкования, обозначим (3.15) как некоторую новую функцию F[x,y\x\y j, тогда уравнение (3.1) запишется в виде: w = ZojJFdx dy + x JF-Zcbc dy1 = 1? +/ (3.16) s s Первый интеграл в (3.16) является известной функцией, а второй вычисляется также как и в рассмотренной выше задаче: і у і /я = \JFZdx dy = jdx Z(x ,y) JF(x,y;x\yyy = \z(x ,y)FI(x,y,x )dx,= 51 0 -x О X = l , (x F x x )) - JF, (x,y;x ) dxf = -Ft (x,y,0) Z(0,0) + x = 0 dx + JFI(xyy;x )-—rr-f J0 l + w(x,y) і У і IS2 = j$FZdx dy = ]dy Z(x,y ) \F(x,y,x\y )dx = \г(х,у ) (х,у;у = -у = (2(х,У)/)( ;У)) dy dy - ( 5/)- = - ( :, 0).2(0,0) + y=o 0J 71 + ф;,У) о -у о Is3 = jJFZdx dy = jdxfZ(x ,y) JF(x,y;x ,y )dy = \г(х ,у) (х,у;х )сІх = -і -і x = 0 л = (2( )/ , )) -1 ( , ) = ( , 0).2(0,0) х = -\ -1 & JF7 ( , ; )- т-р -, j yl + v(x» /,4= j\FZdx dy = jdy Z{x,y ) )F{x,y-ix\y,)dx = \г(х,у ) (х,у;уУу = -і У = 0 0 у=-і = (2( ,У) (х, ;У)) / ( 0 = - ( 0).2(0,0) -І l + w(x,y) Таким образом, задача сводится к интегральному уравнению вида (3.8), и, следовательно, вид ядра интегрального уравнения не влияет на предлагаемую методику исследования. При проведении расчетов были взяты следующие значения параметров: т5=2 10 кг/см2, // = 0.3, /Я 3 5 Более подробно рассмотрим случай, когда отношение толщины упругого слоя к линейному размеру области течения равно 1/3. При этом ядро F в безразмерных переменных выглядит следующим образом: F= 2l 2 -0.156. Положив в первом приближении w(x,y) = 0, получим выражение для функции прогибов в первом приближении. Графически доказано (рис. 21), что результаты вычислений в первом приближении тождественно равны. Для нахождения второго приближения необходимо построить интерполяционный полином по схеме, примененной в начале главы. Приведем таблицу значений функции прогибов в узлах сетки (расположение узлов остается неизменным): Рисунок 22 представляет результат интерполяции графически. Далее находим третье приближение для функции прогибов: по известному второму приближению строим новый полином, данные для которого представлены в таблице 5. Рис. 21. Осевое и граничное сечения функции, полученной различными методами (# 0.4 0.3 0.2 0.1 -0.8 -0.4 0 0.20.40.60.8 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2-0.4-0.6-0.8 -1 u Рис. 22. Функция прогибов в первом приближении, построенная с помощью полинома.
Таблица 5 Значения функции Мг (х,у) в узлах сетки. N XУ N. -1 -0.5 0 0.5 1 -1 0.04 0.1489 0.2 0.1489 0.04 -0.5 0.1489 0.259 0.3033 0.259 0.1489 0 0.2 0.3033 0.379 0.3033 0.2 0.5 0.1489 0.259 0.3033 0.259 0.1489 1 0.04 0.1489 0.2 0.1489 0.04 Результатом интерполяции является полином S: 5 = 0.379 + 0.1-10 -0.3440666/-0.1-10 /+0.1650666/ + +0.1-10-9д: + 0.1-10-18;су-0.5-10-9ху2-0.1-10-18лу3+0.1-10-9ху4--0.3440666л:2 - 0.499999 10"9х2 ; + 0.8077999 2/ + +0.5499999.10-9JCV-0.6829333XV-0.1-10-9X2-0.1-10-18XV + +0.1-10-18xV + 0.1650666x4 +0.3999999-10"V -0.6829333 У --0.4399999 - 10"9х У + 0.5770666 У Графически полученный полином представлен на рисунке 23. Окончательным результатом считается выражение W{x,y) (Рис. 24) . -0.8 -0.4 0 0.2 0.6 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2-0.4-0.6-0.8 -1 v u Рис. 23. Функция прогибов во втором приближении, построенная с помощью полинома. -0.5 0 0.5 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 Рис. 24. Функция прогибов в третьем приближении. Для подведения итога расчетов процесса течения с указанными числовыми параметрами построены осевые и граничные сечения функций прогибов всех трех приближений (Рис. 25). Как отмечалось выше, аналогичные расчеты были // ! проведены для другого значения параметра /v = — г что / Н 5 можно представить утолщением упругого слоя. Полученные при этом результаты представлены в приложении 3. 3.3 ВЫВОДЫ 1. Предложен новый эффективный метод решения задачи о течении слоя в квадратной области по деформируемым поверхностям. Метод основан на сведении исходной нелинейной интегро-дифференциальной системы к интегральному уравнению, решение которого находится методом приближений. 2. Для различных значений параметров найдено решение в третьем приближении и установлена достаточно быстрая сходимость метода. Например, для весьма тонкого слоя у/1 /30j третье приближение отличается от второго всего на 10%. 3. Функция жесткости, моделирующая инструмент как упругий слой на жестком основании, может быть с определенной точностью заменена на более простую, описывающую инструмент как полупространство. ,wl(x,y) 0.4 w3(x,y) ""С. -. / / У / / У 0,3 w2{xry) N ч X \ r\ V V ЧА . «- «. I """» "" iiii y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Рис. 25 Сравнительный график осевых и граничных СечеНИЙ ФУНКЦИЙ ограниченной произвольным прямоугольником (Рис. 2 6).Система основных уравнений вместе с граничными условиями, как и в случае с квадратной областью, не меняется. Тогда, согласно особенности геометрии эпюры давления и принятым ранее допущениям, интегральное уравнение для определения упругих перемещений не изменит своего вида:
Применение интегрального уравнения к расчетам процесса течения в прямоугольной области. Инструмент -упругий слой на жестком основании
Используя функцию Грина (3.14), проведем численный анализ процесса течения материала в области, ограниченной прямоугольником. Очевидно, что все математические выкладки, полученные в третьей главе, останутся справедливыми и для данного случая. Ядро в интегральном уравнении (4.8) будет отлично от ядра, использованного в разделе 4.1., на некоторую константу, значение которой получено ранее для различных случаев. Воспользовавшись значениями параметров, указанных ниже, найдем функции прогибов в первом, втором и третьем приближениях для области, ограниченной прямоугольником с соотношением сторон 1:2 (Рис. 28). Описывать алгоритм нахождения W \х,у] не будем, т.к. он не отличается от приведенного в предыдущих разделах способа. Остановимся лишь на полученных результатах (Рис. 33, 34). Как видно из графиков, величина упругого перемещения тела инструмента зависит от толщины упругого слоя. Установив разницу между двумя различными видами функций жесткости, можно с большой точностью использовать более простое ядро в интегральном уравнении, что приводит к упрощению задачи. Предположим, что область течения ограничена выпуклым многоугольником произвольной формы (Рис. 35). У Рассмотрим теперь область S2 в системе координат Х\ ,У\, ось хх которой лежит на стороне СЕ. Ясно, что в выбранной системе координат выражение ( рл) будет иметь вид, аналогичный wsi(x y) Таким же образом мы получаем соотношения зг{хг\у1 ) и 54( 3 3) На последнем шаге необходимо сделать обратное преобразование координат. Сумма интегралов по всем областям в исходной системе координат алгебраически будет выглядеть более сложно, однако, на процедуры вычисления в предлагаемой методике это не повлияет. 4.4 ВЫВОДЫ В качестве основного вывода по четвертой главе можно выделить тот факт, что предложенная методика решения данного класса задач течения показывает сходство со случаем течения материала в квадратной области.
Скорость сходимости метода приближений в большей степени зависит от толщины слоя, нежели от величины соотношения сторон прямоугольной области. 1.Разработан новый эффективный метод решения задач о течении тонкого пластического слоя в областях, ограниченных выпуклым многоугольником, с учетом конечной жесткости (упругой деформируемости) поверхностей инструмента. Метод основан на сведении нелинейной интегро-дифференциальной системы к интегральному уравнению, которое решается последовательными приближениями (с использованием численных методов). 2.Проведены конкретные расчеты для квадратной и прямоугольной областей. Параметрическим анализом решений установлена достаточно быстрая сходимость метода - во всех случаях третье приближение доставляло необходимую точность. 3.Показано, что первое приближение по разработанной схеме и предложенной в [32], совпадают и дают оценки максимальных деформаций инструмента. 1. Акуленко Л.Д., Георгиевский Д.В., Климов Д.М., Кумакшев С. А., Нестеров СВ. Выдавливание вязкопластического материала с малым пределом текучести из плоского конфузора // Изв. РАН, Мех. тв. тела, 2003, № 4, с. 183-197. 2. Александров С.Е., О разрывных полях скоростей при произвольной деформации идеального жесткопластического тела // Докл. РАН. - 1992, 324, № 4, с. 769-772. 3. Александров С.Е., Мишурис СЕ. Осесимметричное пластическое течение двухслойного материала через конический канал // Докл. РАН. 2003. 390, № 2, с. 196-199. 4. Аргатов И.И. Давление на упругое полупространство штампа с поверхностью, близкой к эллиптическому параболоиду //Пробл. машиностр. и надежности машин, 2000, № 1. - с. 101-105. 5. Арутюнов Ю.С, Гонор А. Л. Осаживание тонких поковок произвольной формы в плане // Изв. АН ССР. Мех. и мат-е. - 1963, № 1. - с. 166-171. 6. Безухов В.Н. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане // Дис... канд. физ.-мат.н. - М, 1955. - 78с. 7. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности // М., Гостехизд. -1953. - 420с. 8. Бодунов Д.М. Осесимметричная задача об осадке пластического слоя // Сб. избр. тр. XXXIX Межд. НТК ААИ «Приоритеты развития отеч. автотракторостроения и
Похожие диссертации на Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по деформируемым поверхностям
