Содержание к диссертации
Введение
1. Уравнения колебаний упругих управляемых конструкций 24
1.1. Объект управления 25
1.2. Обобщенные аэродинамические силы 29
1.3. Измерительные и исполнительные устройства 33
1.4. Преобразование общих уравнений аэроавтоупругих колебаний 36
1.5. Уравнения в комплексных нормальных координатах 39
1.6. Передаточные функции 41
1.7. Устойчивость и вынужденные колебания управляемой системы 43
1.8. Активные элементы с управляемыми деформациями 46
1.9. Уравнения электроупругих колебаний пьезокерамических тел 51
1.10. Тонкая пьезокерамическая пластина с поперечной поляризацией 55
1.11. Композиты со слоями из электроупругих материалов 57
1.12. Электроупругие колебания композитной оболочки 61
2. Управление нестационарными колебаниями и деформированной формой упругих конструкций .. 64
2.1. Численное определение управляющих сил при неполном управлении системы 65
2.2. Решение уравнений в комплексных нормальных координатах 68
2.3. Определение управляющих сил для консервативной системы с малым демпфированием 72
2.4. Определение командных сигналов для активного гашения нестационарных колебаний части упругой системы 74
2.5. Управление деформированной формой упругих конструкций 76
2.5.1. Закрепленная конструкция 76
2.5.2. Свободная конструкция 78
2.5.3. Система с кинематическими условиями управления 80
2.6. Учет местных податливостей конструкции 81
2.7. Гашение колебаний неконсервативной системы при гармоническом возбуждении 83
2.8. Об обратных задачах динамики упругих систем 85
2.9. Примеры расчета 88
2.9.1. Гашение вращательных колебаний груза на конце ферменной конструкции 88
2.9.2. Гашение колебаний подвески на упругом крыле в потоке при порывах ветра 93
2.9.3. Управление деформированной формой фермы 100
3. Нелинейная динамика упругих космических систем 103
3.1. Формулировка задачи. Основные соотношения 104
3.2. Нелинейные уравнения движения 110
3.3. Упругие и гравитационные силы 116
3.4. Линеаризованные уравнения движения 117
3.5. Нелинейные колебания вращающихся гибких стержней 121
3.5.1. Колебания в плоскости вращения 121
3.5.2. Колебания в плоскости, перпендикулярной плоскости вращения 124
3.6. Динамика космического аппарата с выпускаемой тросовой системой 126
3.6.1. Растяжимый трос 126
3.6.2. Нерастяжимый трос 132
3.7. Примеры вычислительной динамики тросовых систем 136
3.7.1. Падение закрепленного троса 136
3.7.2. Плоское движение космического аппарата с выпускаемой тросовой системой на орбите 139
3.8. Нелинейная динамика гибких стержней 143
3.8.1. Нелинейный конечный элемент гибкого стержня 143
3.8.2. Нелинейные уравнения движения стержневой системы при больших перемещениях 145
3.9. Расчет раскрытия стержневой системы 148
3.10. Космическая ферма с регулируемыми стержнями 149
3.10.1. Электроупругие деформации трубчатого стержня 152
3.10.2. Нелинейные уравнения динамики управляемой стержневой системы 153
3.10.3. Линеаризованные уравнения колебаний 156
4. Динамика управляемого движения упругих систем при конечных перемещениях и поворотах 158
4.1. Конечные перемещения и повороты линейной упругой системы 159
4.2. Устранение колебаний упругих систем после быстрых передвижений
161
4.3. Произвольные импульсы для передвижения упругих систем 165
4.4. Поворот упругого стержня с массивным твердым телом на конце ... 166
4.5. Нелинейная задача поворота гибкого стержня 169
4.6. Передвижение маятника на подвижном подвесе 177
4.7. Активное гашение колебаний КА с упругими панелями солнечных батарей 179
4.7.1. Уравнения колебаний 181
4.7.2. Определение реактивного момента маховика для гашения упругих колебаний КА 182
5. Устранение динамической неустойчивости конструкций с помощью нелинейных упругих связей 187
5.1. Нелинейные упругие элементы с односторонними связями 187
5.2. Флаттер цельноповоротного стабилизатора с односторонней связью 192
5.2.1. Уравнения аэроупругих колебаний стабилизатора 192
5.2.2. Влияние односторонней связи на флаттер 195
5.3. Аэроупругие колебания стреловидного крыла с двигателями на пилонах, удерживаемых односторонними связями 199
5.3.1. Математическая модель для изгибно-крутильных колебаний крыла большого удлинения с учетом поперечных сдвигов и конусности 201
5.3.2. Применение метода конечных элементов 204
5.4. Дифференциальные уравнения изгибно-крутильных колебаний крыла с учетом конусности и поперечного сдвига 217
5.4.1. Вывод уравнений 217
5.4.2. Пример расчета 221
5.5. Расчеты аэроупругих колебаний крыла с двигателем и с односторонними связями 224
5.6. Оценка собственных значений неконсервативной системы с нелинейной связью 231
6. Анализ чувствительности и оптимизация динамических характеристик упругих неконсервативных систем 235
6.1. Система с малыми неконсервативными силами 236
6.2. Неконсервативная система 240
6.3. Аэроупругие колебания стабилизатора 242
6.4. Коэффициенты чувствительности собственных значений неконсервативных систем 245
6.5. Оптимизация динамических характеристик неконсервативных систем 250
6.6. Повышение запаса устойчивости по флаттеру цельноповоротного стабилизатора 253
7. Термоупругий изгиб и динамическая неустойчивость тонкостенного трубчатого стержня при солнечном нагреве 260
7.1. Определение теплового потока 260
7.2. Распределение температуры по поверхности оболочки 263
7.3. Термоупругий изгиб стержня 264
7.4. Численные решения связанной нелинейной задачи термоупругого изгиба и теплопроводности стержня 265
7.5. Динамическая неустойчивость стержня при солнечном нагреве по изгибным формам 269
7.6. Динамическая неустойчивость стержня при солнечном нагреве по изгибно-крутильным формам 272
7.7. Границы динамической неустойчивости двухстепенной модели 276
7.8. Примеры расчета динамической неустойчивости 279
7.8.1. Динамическая неустойчивость по изгибным формам 279
7.8.2. Динамическая неустойчивость при изгибно-крутильных формах281
Заключение 283
Литература 286
- Устойчивость и вынужденные колебания управляемой системы
- Определение командных сигналов для активного гашения нестационарных колебаний части упругой системы
- Нелинейные уравнения движения стержневой системы при больших перемещениях
- Поворот упругого стержня с массивным твердым телом на конце
Введение к работе
Современные летательные и космические аппараты (ЛА и КА) являются управляемыми системами. В возмущенном движении наряду с перемещениями и поворотами как твердого тела они совершают колебания. Упругие колебания конструкции вместе с перемещениями и поворотами тела измеряются в определенных местах датчиками и по их сигналам система управления формирует корректирующие управляющие воздействия. Таким образом происходит взаимодействие упругой конструкции с системой управления. Раздел механики, в котором изучается такое взаимодействие и решаются связанные с ним задачи, называется автоупругостью.
ЛА и КА в возмущенном движении подвергаются различным нагрузкам, зависящим от параметров движения таким как инерционные и упругие силы, аэродинамическое давление, «следящие» реактивные силы истекающих газов, реакции различных частей и элементов, совершающих относительное движение (вращающиеся роторы, движущаяся по каналам жидкость), силы внутреннего сопротивления (демпфирования), управляющие силы с обратными связями. Некоторые из этих нагрузок являются неконсервативными, и поэтому ЛА и КА, как объекты управления, являются упругим неконсервативными системами [8, 19, 23, 24, 28, 70, 76, 90, 91, 101-103, ПО, 111, 115, 147, 159, 165, 179, 190]. Такие системы при определенных условиях могут быть динамически неустойчивыми. Например, при обтекании упругой несущей поверхности при скорости, превышающей критическую, имеет место флаттер.
Собственные значения и векторы линейной неконсервативной системы, в отличие от консервативной системы, являются комплексными. Это усложняет решение задач динамики и устойчивости неконсервативных систем. Если, как это обычно делается, решение ищется в виде разложений по собственным формам колебаний упругой конструкции, то уравнения колебаний
неконсервативной системы (т.е. упругой конструкции с учетом неконсервативных сил) в действительных нормальных координатах получаются связанными; в случае консервативной системы эти уравнения несвязаны и решаются аналитически точно.
Управление колебаниями упругих систем можно разделить на два типа - пассивное управление и активное управление. Пассивное управление осуществляется путем выбора параметров системы, чтобы получить требуемые динамические характеристики: демпфирование колебаний; расположение собственных частот в заданном диапазоне; качество переходного процесса; амплитудно-частотные характеристики. Для этих целей также можно подбирать подходящие временные характеристики и пространственное распределение внешних воздействий (нагрузок), если они допускают такие изменения.
Для замкнутых систем (конструкция плюс система управления) кроме всего еще могут выбираться места расположения измерительных датчиков и приводов (их можно отнести к параметрам системы). Для рационального выбора параметров пассивно управляемой системы можно использовать анализ чувствительности и методы оптимизации определенных характеристик системы. По существу пассивное управление колебаниями упругих конструкций является предметом их рационального проектирования.
При активном управлении упругая конструкция с действующими на нее нагрузками, как объект управления (ОУ) объединяется обратными связями с системой автоматического регулирования (автоматом стабилизации (АС)), включающей в свою структуру измерительные, вычислительные, усилительные, корректирующие и исполнительные устройства. В результате управляющие воздействия на ОУ зависят от параметров его движения в точках расположения измерительных датчиков. При этом замкнутая система становится неконсервативной, даже если ОУ является консервативной системой.
К числу обобщенных координат, описывающих движение ОУ, добавляются переменные параметры АС. В результате размерность замкнутой системы повышается, иногда значительно, если, например, система управления является многоканальной со многими входами и выходами также значительно увеличивается круг различных задач динамики активно управляемых упругих конструкций и различных методов их решения. При этом по-прежнему актуальными остаются задачи рационального проектирования таких систем с использованием анализа чувствительности и методов оптимизации.
Динамика упругих систем с активным управлением (автоупругость) начала интенсивно развиваться только в последние три десятилетия благодаря потребностям авиационной и ракетно-космической техники, а также созданию быстродействующих управляемых манипуляционных роботов с упругими звеньями.
В последнее десятилетие такие исследования распространились на гражданские сооружения для активного управления напряженно-деформированным состоянием, колебаниями и устойчивостью конструкций [1,2,87,88].
Разработки по автоупругости основываются на многочисленных теоретических и экспериментальных исследованиях по строительной механике и динамике конструкций, по композиционным материалам и материалам со специальными свойствами, по аэроупругости и по системам управления [4, 5, 9, 13, 18-20, 22-29, 64-66, 70, 72, 81-85, 90, 94, 100, 101, 103, 104, 107, 123, 137, 138, 143, 160, 175, 178, 192, 193,205].
Для современных самолетов весьма важное место занимают задачи взаимодействия упругих колебаний конструкции с аэродинамическим нагрузками и системой управления, представляющие аэроавтоупругость [19]. С помощью системы активного управления можно обеспечить необходимое распределение аэродинамических нагрузок по размаху упругого крыла и получить оптимальные значения аэродинамических коэффициентов, умень-
шить аэродинамические нагрузки на самолет при маневрах и порывах ветра, подавить флаттер, снизить уровень вибраций.
Задачам аэроавтоупругсти самолетов посвящены работы [19, 66, 95, 117, 120, 124-126, 128, 145, 148, 152, 161, 169, 174, 176, 177, 188, 196, 198, 203,204, 206,210,215] и др.
Активное гашение аэроупругих колебаний вращающихся лопастей несущих винтов вертолетов рассматривалось в работах [127, 153, 191, 214], а активное подавление вибраций фюзеляжа вертолета, вызванных колебаниями вращающегося несущего винта, - в работе [163].
Баллистические ракеты-носители оснащены весьма точными и высокочувствительными системами управления с обратными связями по линейным ускорениям, замеряемым акселерометрами, и по угловым скоростям и углам поворота, замеряемым скоростными и позиционными гироскопами в отдельных точках корпуса. При этом жидкостные ракеты большого удлинения обычно имеют достаточно низкие собственные частоты колебаний жидкости в баках и упругих колебаний корпуса. Поэтому в математических моделях динамики возмущенного движения баллистических ракет они рассматриваются как упругие (или гидроупругие) системы, взаимодействующие с системой автоматического управления.
Основополагающие результаты по динамике возмущенного движения и динамической устойчивости упругих жидкостных ракет, как объектов автоматического управления, были получены К.С. Колесниковым. Им были опубликованы первые в данной области научные монографии и учебники, а также получены технические решения, реализованные в реальных изделиях [68-71]. Важные результаты по продольным и поперечным колебаниям управляемых жидкостных ракет получены также во многих работах других авторов [4, 10-12, 77, 89, 90, 92].
Проблемы взаимодействия упругих конструкций с системами автоматического управления являются особенно актуальными для космической
техники. Развертываемые и собираемые в условиях невесомости космические конструкции являются очень гибкими. Во многих случаях они должны иметь весьма высокую точность наведения и ориентации и сохранять прецизионную (порядка микрона) точность формы, например, для нормального функционирования специальных оптических и навигационных приборов. Это может быть достигнуто только с помощью активного управления динамическими операциями, колебаниями и деформированной формой космических конструкций. При этом система управления с дискретно или непрерывно распределенными по конструкции сенсорами (чувствительными элементами) и актуаторами (приводами) со многими входами и выходами должна быть сама по себе достаточно точной и должна реагировать на различные, в том числе неопределенные и случайные, силовые, кинематические и температурные возмущения в широком диапазоне частот. Поэтому космическим конструкциям посвящено большое число публикаций по автоупругости: [79, 86, 97, 98, 106, 119, 129, 133, 134, 146, 182, 211] и др.
Большой вклад в разработку теории и методов расчета динамики и динамической устойчивости упругих управляемых конструкций внесли Н.П. Абовский, Ю.Г. Балакирев, Н.В. Баничук, Л.В. Докучаев, К.С. Колесников, А.А. Красовский, Б.И. Рабинович, Ф.Л., Черноусько, E.F. Crawley, P.P. Friedmann, R.T. Haftka, L. Meirovitch, B.K. Wada и др.
Большим техническим достижением в аэроавтоупругости явилось создание в начале 70-х годов прошлого столетия самолета-бомбардировщика В-52Е с активной многоканальной системой управления [151]. С помощью специальных автоматически отклоняемых закрылков и флаперонов на этом самолете подавлялся флаттер, регулировались маневренные нагрузки, парировались нагрузки при порывах ветра, снижался общий уровень вибраций и улучшалась комфортность полета. За этим последовали аналогичные технические разработки для самолетов следующих поколений, таких как YF-16, YF-17, F/A-18, Х-29А, Ил-96, Су-33 и др.
В связи с созданием управляемых конструкций в автоупругости возникла концепция адаптивных конструкций [183, 212]. Адаптивными называются такие управляемые конструкции, которые в ответ на внешние воздействия могут автоматически изменять свою форму и упругодинамические характеристики, чтобы выполнялись заданные функциональные требования.
Проектирование адаптивных конструкций представляет собой так называемую в англоязычной литературе многодисциплинарную деятельность, включающую исследования по композиционным и специальным материалам, актуаторам, сенсорам, системам автоматического управления, строительной механике, динамике и оптимизации.
Начиная с 80-х годов прошлого столетия, в США, а затем и в некоторых других странах для исследований по созданию адаптивных конструкций были созданы специальные научные центры, лаборатории и подразделения. Было опубликовано большое число научных статей, посвященных не только космическим конструкциям, но и авиационным - крыльям самолетов и лопастям несущих винтов вертолетов. Работы [211, 213] содержат обзоры исследований по адаптивным конструкциям на период до 1990 года.
Большое внимание в концепции адаптивных конструкций уделяется применению так называемых «умных» или «интеллектуальных» материалов, характеристики упругости или вязкости которых могут изменяться под воздействием различных полей: температурного поля (термоупругие материалы и сплавы с памятью формы); электрического поля (электроупругие материалы и электрореологические жидкости); магнитного поля (магнитореологиче-ские жидкости). С помощью встроенных в конструкцию активных элементов из таких материалов можно регулировать в определенных пределах деформации и демпфирование этих элементов и, следовательно, конструкции в целом.
Наибольшее число публикаций в этой области посвящено исследованию колебаний упругих управляемых конструкций с активными элементами
из электроупругой пьезокерамики, [5, 29, 84, 85, 114, 124-127, 137, 138, 141, 142, 148, 150, 153, 174, 175, 187, 188, 191, 195, 196, 202, 206, 207, 214, 215, 217,222].
Большим удобством пьезокерамики является то, что она обладает практически мгновенной реакцией, а также то, что ее физические свойства можно описать линейными алгебраическими соотношениями с симметричной матрицей коэффициентов (типа обобщенного закона Гука). В силу прямого и обратного пьезоэффектов (возникновение электрических напряжений при деформировании и деформаций под воздействием электрических напряжений, соответственно) пьезокерамика одновременно может выполнять функции сенсора и актуатора. Кроме того, она привлекательна для создания адаптивных конструкций вследствие сравнительной простоты математического описания ее поведения.
Пьезокерамика типа PZT или ЦТС (с добавками свинца, цинка и титана) имеет модуль упругости, близкий (-90%) к модулю упругости дюраля, а плотность — близкую к плотности стали. Недостатками такой пьезокерамики является: повышенная хрупкость; весьма малые предельные упругие деформации; малые предельные растягивающие напряжения (~15% от предельных напряжений для дюраля); наличие ползучести ( влияние на АЧХ особенно на низких частотах до 6%) и гистерезиса (до 16% на частотах порядка 1 Гц); существенная нестабильность (до 15%) пьезоконстант; подверженность старению, приводящему к деградации пьезоэлектрических свойств.
Поскольку на электродированных участках поверхности подводимые электрические напряжения постоянны, то активные пьезокерамические накладки и слои композитов приходится выполнять в виде отдельных несвязанных между собой элементов. При включении таких элементов за счет клеевых соединений в работу конструкции теряется их эффективность и, кроме того, вблизи краев элементов возникают зоны концентрации напряжений как в пьезокерамике так и в основном материале.
Указанные недостатки пьезокерамических материалов затрудняют их использование в качестве активных силовых элементов с регулируемыми деформациями в реальных конструкциях самолетов и вертолетов для длительных сроков эксплуатации.
Практически все публикации по подавлению флаттера крыльев, лопастей несущих винтов и панелей обшивки с помощью активных пьезокерамических накладок отражают результаты поисковых и оценочных научных исследований на модельных примерах. В частности, опубликованные теоретические результаты по активному подавлению панельного флаттера [141, 142, 150, 187, 202, 207, 222] по существу являются обобщением на аэроавтоупру-гость одной из простейших классических задач аэроупругой устойчивости, которой уже посвящены сотни публикаций.
Более целесообразно использовать активные элементы из пьезокерамических материалов для управления деформированной формой и колебаниями весьма гибких (особенно, статически определимых) космических конструкций, а также небольших экспериментальных аэроупругих моделей, поскольку для этого требуются сравнительно небольшие управляющие усилия и достаточно малые деформации.
В настоящее время для управления ферменными космическими конструкциями появились в промышленном исполнении специальные активные элементы в виде силового пьезоцилиндра с подвижным штоком (типа гидроцилиндра), [119, 146, 217]. Внутри цилиндрической оболочки такого элемента располагается набор тонких поперечных пьезокерамических пластинок с поперечной поляризацией и электродами на их плоских поверхностях. При подаче электрического напряжения предварительно сжатый пакет пластинок (пьезокерамика плохо работает на растяжение) деформируется в осевом направлении за счет обратного пьезоэффекта и передвигает шток, в котором при сопротивлении перемещению возникает осевое усилие (реакция). Ниже
приведены основные характеристики двух моделей пьезоцилиндров фирмы Phisik Instrumente [217].
В адаптивных конструкциях также могут быть использованы другие различные принципы создания управляющих сил, включая традиционные.
Для управления колебаниями упругих конструкций могут быть использованы инерционные силы относительного движения масс, таких как маховики [93] и магнитные сердечники в индукционных катушках [182].
Управление квазистатической деформированной формой конструкций может быть осуществлено путем регулируемого изменения температуры ее термоупругих элементов, например, теплоизолированных стержней [144, 156].
В работе [78] предложен новый эффективный способ устранения флаттера крыла путем создания управляемых срывов потока за счет отклонения или выдвижения достаточно малых щитков (пластинок). Этот способ может быть также использован для подавления аэроупругих колебаний при ветре различных строительных конструкций и сооружений, например, подвесных мостов, дымовых труб, высотных башен, шпилей и пр. Управление потоком также может осуществляться путем адаптивного управления формой профиля крыла [132].
Для активного демпфирования колебаний конструкций используются электрореологические или магнитореологические жидкости в специальных управляемых демпферах или полостях (порах) композиционного материала [205].
Нелинейности характеристик конструкции, аэродинамического нагру-жения и системы управления могут быть использованы для активного подавления динамической неустойчивости путем выведения колебаний на режим предельного цикла с достаточно малыми и приемлемыми амплитудами [161].
Для управления деформациями натурных конструкций самолетов (например, крыльев) требуются встроенные силовозбудители, способные создавать достаточно большие усилия без ограничений на требуемую величину хода (удлинения), согласующегося с упругими перемещениями. Такими си-ловозбудителями могут быть гидроцилиндры, винтовые пары, стержни с поворачивающимися эксцентриками (осями типа коленвала), стальные ленты и тросы регулируемой длины и пр. Они вместе с приводами (элекродвигателя-ми, редукторами и другими механизмами) могут размещаться внутри тонкостенных оболочечных конструкций. Их потребные характеристики (управляющее усилие, ход, быстродействие), а также число и места расположения определяются по результатам решения задач управляемого движения (состояния) системы при действии некоторых заданных возмущений.
В аэроупругих конструкциях (крыльях, лопастях несущих винтов) для управления колебаниями, деформированной формой и, следовательно распределением аэродинамических нагрузок могут использоваться аэродинамические механически отклоняемые или выдвигаемые органы управления, такие как предкрылки, закрылки, элероны, щитки, интерцепторы, флапероны, законцовки.
Упругая конструкция с встроенными силовозбудителями и органами управления с учетом действующих аэродинамических нагрузок объединяется с системой управления, имеющей в своей структуре измерительные, вычис-
лительные, усилительные и корректирующие устройства, и в результате получается замкнутая аэроавтоупругая система.
Уравнения колебаний упругой управляемой системы обычно получают путем синтеза уравнений объекта управления (конструкции, находящейся под действием внешних в общем случае неконсервативных сил) и уравнений системы управления. Необходимо чтобы математические модели каждой из этих систем могли быть проверены (идентифицированы) по отдельности на достоверность и точность в заданном диапазоне частот.
Обычно уравнения колебаний ОУ как неконсервативной системы в обобщенных координатах получают методом Ритца или методом конечных элементов. Затем эти уравнения для уменьшения порядка системы и с целью идентификации модели удобно преобразовать к нормальным координатам некоторой базовой консервативной системы с постоянными коэффициентами [28]. После этого ОУ объединяется с АС.
Для анализа динамической устойчивости замкнутой системы ОУ плюс АС могут быть использованы частотные методы [4, 69-72, 77, 89-92, 106] с передаточными функциями ОУ и АС или корневые методы, основанные на решении задачи о собственных значениях замкнутой системы [19, 26].
Последний подход является более удобным для сложных систем управления со многими входами и выходами с учетом того, в настоящее время в математическом обеспечении всех известных программных комплексов для компьютеров имеются стандартные программы для решения проблемы комплексных собственных значений матриц высокого порядка. Для этого уравнения колебаний замкнутой системы записываются в пространстве состояний в виде канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [19, 26, 96, 105, 129, 170, 181].
Полученные собственные значения и векторы этой системы, а также -сопряженной ей системы, могут быть далее использованы для преобразования уравнений колебаний замкнутой системы и приведения их к несвязан-
ным уравнениям в комплексных нормальных координатах [96, 111, 115, 147, 165, 179, 190]. Эти уравнения решаются аналитически точно при произвольных воздействиях и поэтому особенно удобны для решения задач о вынужденных колебаниях неконсервативных систем, в том числе - упругих управляемых систем.
Для упругих управляемых систем большой научный и практический интерес представляют не только задачи гашения колебаний и подавления динамической неустойчивости, но и задачи управляемого движения с конечными перемещениями и поворотами системы в целом или ее отдельных частей. Такие задачи возникают при маневрировании и ориентации ЛА и КА, при отделении блоков и частей ракет, при трансформировании конструкций, при технологических операциях их развертывания и сборки, а также при передвижениях упругих элементов манипуляционных роботов.
Особенностью этих задач является то, что для их решения требуется использовать нелинейные уравнения движения, по крайней мере такие, которые могут описывать конечные перемещения и повороты системы как твердого тела. Что касается упругих колебаний, которые сопровождают такие передвижения системы, то они, в зависимости от жесткости системы и действующих на нее внешних сил и инерционных сил переносного движения, в некоторых случаях могут быть малыми.
Нелинейные задачи динамики различных упругих систем при конечных перемещениях и поворотах рассматривались в разных постановках в ряде работ, из которых отметим следующие: [13, 65, 113, 121, 155, 162, 167] -для КА и больших космических конструкций; [18, 139] - для космических тросовых систем; [28] -для самолетов; [63, 108, 131, 140, 184, 185] -для манипуляционных роботов и кранов.
Весьма важное место при проектировании упругих управляемых систем занимают анализ влияния различных параметров на динамические характеристики и на динамическую устойчивость, а также оптимизация. Этим
проблемам проектирования неконсервативных систем (в частности - аэроупругих и автоупругих) посвящено большое число исследований.
Анализ чувствительности различных характеристик неконсервативных упругих систем по отношению к изменению проектных параметров путем вычисления производных или применения метода возмущений рассматривался в работах [7, 104, 111, 118, 122, 130, 149, 157-159, 164-166, 169, 171, 172, 186, 189, 194, 197, 199-201, 209, 216, 220, 221].
Оптимизации неконсервативных и управляемых упругих систем посвящено очень большое количество публикаций. Здесь приведем ссылки только на некоторые работы, близкие по тематике к рассматриваемой проблеме: [14-17, 21, 22, 128, 143, 177, 172, 177, 188, 210] - по оптимизации характеристик; [133, 135, 156, 163, 173] - по оптимизации мест расположения измерительных и исполнительных органов системы управления; [4, 6, 26, 64, 67, 72, 98, 99, 107, 108, 121, 162] - по оптимизации динамики и траекторий движения упругих управляемых систем.
Работы по теме диссертации выполнялись при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов: 93-013-16490, 96-01-00352, 00-01-00567, 03-01-00688); федеральной целевой программы «Интеграция науки и высшего образования России» (код проекта: Б0053); научно-технической программы министерства образования Российской Федерации «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (код проекта 201.01.01.118).
По теме диссертации автором опубликовано 37 работ. Из них некоторые работы опубликованы в соавторстве с научным консультантом Ф.Н. Шклярчуком.
В работах [30, 35, 37, 44, 58, 111, 112, 115] рассмотрены математические линейные и нелинейные модели, методы и задачи динамики неконсервативных (аэроупругих и автоупругих) систем, включая большие космиче-
ские конструкции и упругие управляемые конструкции с встроенными активными элементами.
Некоторые конкретные задачи динамической устойчивости таких систем рассмотрены в [37, 38, 41, 43,49, 54].
Активное гашение нестационарных колебаний упругих управляемых конструкций по части обобщенных координат (некоторых частей конструкций), а также управление их деформированной формой рассмотрено в работах [46, 47, 50-52, 55, 60, 61].
В работах [45, 53, 56, 57, 62, 139] в линейной и нелинейной постановках рассмотрены задачи быстрых конечных перемещений и поворотов (передвижений) упругих тел, стержневых и тросовых систем из одного положения покоя в другое с устранением колебаний после остановки.
Влияние параметров линейных неконсервативных (в том числе управляемых) систем на их динамические характеристики и устойчивость с использованием метода возмущений в первом и втором приближениях рассмотрены в работах [31, 32, 34, 111], а в работах [33, 36, 39] эти результаты применены для оптимизации динамических характеристик и запасов устойчивости таких систем.
В работах [40, 42, 48, 50] решены неконсервативные связанные задачи термоупругости и теплопроводности для сильного изгиба (в нелинейной постановке) и динамической неустойчивости (в линеаризованной постановке) по изгибным и изгибно-крутильным формам колебаний длинного тонкостенного стержня при солнечном нагреве в условиях космоса.
Указанные выше опубликованные работы составили основу диссертации.
Содержание диссертации изложено в семи главах.
В первой главе рассмотрена общая структура линейных уравнений аэ-роавтоупругой системы, представляющей упругую конструкцию в обобщенных координатах с действующими на нее аэродинамическим нагрузками и с
измерительными и исполнительными устройствами системы управления с обратными связями. Представлены преобразования этих уравнений сначала к фазовым координатам в пространстве состояний рассматриваемой неконсервативной системы и затем к несвязанным уравнениям в комплексных нормальных координатах. Последние уравнения используются для исследования динамической устойчивости замкнутой системы по ее комплексно-сопряженным собственным значениям, для построения передаточных функций и для расчета вынужденных колебаний.
Приведены физические соотношения, уравнения и вариационная формулировка задачи электроупругости для пьезокерамического тела и, в частности, для тонкой пьезокерамической пластины с поперечной поляризацией, которая может быть встроена в конструкцию в качестве активного элемента с управляемыми деформациями. Также рассмотрены композиты со слоями из пьезокерамики и получены уравнения электроупругих колебаний пологой композитной оболочки.
Во второй главе рассмотрено управление нестационарными колебаниями и деформированной формой упругих конструкций. Приведены алгоритмы численного решения нестационарной задачи и задачи статики для определения управляющих сил при неполном управлении системы (ее части или по части обобщенных координат).
Для активного гашения нестационарных колебаний части упругой управляемой конструкции на основе точного аналитического решения уравнений в комплексных нормальных координатах, разработан новый эффективный метод сведения задачи к интегральным уравнениям относительно управляющих сил и командных сигналов системы управления с численным алгоритмом их пошагового решения.
Для случая, когда управляющие силы (реакции приводов и органов управления) являются сосредоточенными, представлен метод определения
дополнительных к учитываемым формам колебаний местных податливостей конструкции в точках приложения сосредоточенных сил.
Обсуждены особенности решения обратных задач динамики упругих тел.
В качестве примеров расчета рассмотрены задачи гашения колебаний груза на конце ферменной конструкции и подвески на упругом крыле при порывах ветра, а также управление деформированной формой фермы.
Третья глава посвящена нелинейной динамике упругих космических систем. Получены геометрически нелинейные и линеаризованные уравнения движения упругого тела в центральном гравитационном поле в скоростях подвижной системы координат и в обобщенных координатах, представляющих его упругие колебания с конечными деформациями. Также получены по методу Ритца нелинейные уравнения колебаний вращающихся гибких стержней.
Рассмотрена динамика вращающегося космического аппарата с выпускаемой тросовой системой в центральном гравитационном поле для случая растяжимого и нерастяжимого троса с примерами расчета.
Для решения задач развертывания и раскрытия гибких стержневых систем получены по методу конечных элементов нелинейные уравнения движения при больших перемещениях и углах поворота элементов. Приведен пример расчета раскрытия с поворотом двухзвенной стержневой системы.
Получены нелинейные и линеаризованные уравнения динамики космической фермы с регулируемыми длинами стержней при конечных перемещениях, поворотах и деформациях.
В четвертой главе рассмотрена динамика управляемого движения упругих систем при конечных перемещениях и поворотах из одного состояния покоя в другое. Показано, что с помощью импульсов определенной формы, например - в виде волны синусоиды, линейную упругую систему (тело) можно передвинуть из одного состояния покоя в другое с устранением упру-
гих колебаний в момент остановки после такого передвижения. Для этого требуется, чтобы время действия импульса находилось в определенных соотношениях с периодами устраняемых собственных форм колебаний.
Приведены примеры расчета. Показано, что в случае геометрически нелинейной системы после ее передвижения имеются остаточные сравнительно малые колебания.
В пятой главе на примерах расчета аэроупругих колебаний цельнопо-воротного стабилизатора и стреловидного крыла с двигателями на упругих пилонах показано, что можно устранить динамическую неустойчивость (флаттер) с помощью подключения простых нелинейных элементов с односторонними связями (типа стальных лент, тросов или упоров).
Шестая глава посвящена анализу чувствительности и оптимизации динамических характеристик упругих неконсервативных (в том числе управляемых) систем. Получены формулы для коэффициентов чувствительности собственных значений неконсервативных систем по методу возмущений во втором приближении, которые используются для оптимизации системы с целью повышения запаса ее динамической устойчивости. В качестве примера рассмотрены аэроупругие колебания и флаттер цельноповоротного стабилизатора в сверхзвуковом потоке.
В седьмой главе рассмотрена связанная задача сильного термоупругого изгиба и теплопроводности тонкостенного круглого стержня при солнечном нагреве в условиях космоса с учетом влияния деформаций стержня на углы падения лучей и с учетом внешнего и внутреннего теплоизлучения. Получено численное решение этой задачи.
В линеаризованной постановке неконсервативной связанной задачи термоупругости и теплопроводности исследована термоупругая динамическая неустойчивость изогнутого стержня по изгибным и изгибно-крутильным формам. Приведены примеры расчета.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Устойчивость и вынужденные колебания управляемой системы
Управляемые конструкции - это прежде всего летательные и космические аппараты (ЛА и КА) и большие космические конструкции (БКК). Их особенность заключается в том, что они перемещаются и поворачиваются как свободное твердое тело и, кроме того, за счет подвижности отдельных частей (компонентов) и упругости конструкции совершают колебания. К их движениям и к форме предъявляются весьма высокие требования по точности. Назначение системы управления такими конструкциями состоит в том, чтобы, во-первых, обеспечить заданное программное движение, во-вторых, устранить рассогласование между программным и возмущенным движениями и, в-третьих, обеспечить устойчивость движения и устранить колебания.
Для проектирования управляемых конструкций необходимо разработать их адекватные математические модели динамики конструкции и системы управления в такой форме, чтобы можно было проверить их достоверность и точность. Для сложных конструкций базовые уравнения упругих колебаний в настоящее время часто составляются по методу конечных элементов с использованием известных программных комплексов. Такие уравнения имеют весьма высокий порядок и практически не приемлемы в исходном виде для проектировочных расчетов. Поэтому большое внимание уделяется методам понижения размерности (редукции) больших систем [105], асимптотическим методам разделения движений на «медленные» и «быстрые» [80], методам сведения уравнений к нормальным координатам базовой консервативной системы [101] или комплексным нормальным координатам неконсервативной системы [111].
В данной главе рассматриваются аэроавоупругие колебания линейной системы и преобразование их уравнений с редукцией сначала к нормальным координатам, удобным для идентификации модели и проверки ее достоверности и точности, и затем - к комплексным нормальным координатам. По следние уравнения несвязанны между собой, решаются точно, и на их основе в наиболее простом виде записываются передаточные функции системы. Получены также уравнения авоупругих колебаний системы с встроенными активными элементами из пьезокерамики, деформации которых управляются электрическим напряжениями. Результаты опубликованы в [30, 35, 44,58,111, 112,115]. В качестве объекта управления (ОУ) будем рассматривать упругую конструкцию ЛА или КА с отклоняемыми абсолютно жесткими органами управления (рулями, поворотными двигателями и пр.), совершающую в возмущенном движении малые колебания. Приводы с проводкой управления будем считать отсоединенными, их действие на конструкцию будем заменять неизвестными управляющими силами. Уравнения малых колебаний системы, включая ее перемещения и малые повороты как твердого тела и отклонения недеформируемых органов управления, будем составлять как уравнения Ла-гранжа в обобщенных координатах qx{t), q2(t), ... q (t), используя метод Ритца или метод конечных элементов (МКЭ). Обозначим: qx{t), q2{t), 7 (0 -обобщенные координаты конструкции; qk+l(t), qk+2(t), ... qN(t) - обобщенные координаты органов управления. При этом будем считать, что обобщенные координаты органов управления характеризуют их относительные перемещения и повороты. Тогда Як+\ -Чк+2 = —= 7JV =0 при неподвижных соединениях органов управления и конструкции. Кинетическая энергия, потенциальная энергия и вариация работы внешних сил с использованием определенных моделей деформирования элементов конструкции записываются в виде (1.3) Обобщенные силы будем вычислять в виде суммы обобщенных сил, соответственно, заданных внешних нагрузок Q„, управляющих сил в виде реакций приводов Q и приращений аэродинамических нагрузок в возмущенном движении Q : Для расчета и анализа колебаний сложных систем, какими являются ЛА и КА, в качестве обобщенных координат конструкции удобно использовать нормальные координаты, представляющие движения по собственным формам колебаний свободной конструкции с закрепленными органами управления. В этом случае вектор перемещений и любой точки рассматриваемой системы с закрепленными рулями и=1 где рп - вектор, представляющий л-ую собственную форму колебаний. Тогда в силу условий ортогональности собственных форм колебаний.
Определение командных сигналов для активного гашения нестационарных колебаний части упругой системы
В качестве механически активных элементов можно рассматривать: стержни с винтовыми парами и с приводами вращения; тросовые элементы с регулируемой длиной; гидроцилиндры с подвижными штоками при подаче жидкости в полости; некоторые трансформируемые системы.
Например, в случае активного стержня регулируется приращение его длины 4) или соответствующее управляющее усилие Р0 = EFAQ/І , где F, I -площадь постоянного поперечного сечения и длина стержня; SQ = AQ/1.
Термоупругие элементы. Эффект температурной деформации материалов может быть использован для элементов типа отдельно стоящих теплоизолированных стержней или встроенных в конструкцию активных элементов. Например, в одномерном термоупругом элементе є0=аТ, где а коэффициент линейного расширения материала; Т - превышение температуры. Здесь величину Т или соответствующую температурную деформацию аТ можно рассматривать как входное воздействие для регулирования напряженно-деформированного состояния конструкции.
Элементы из сплавов с памятью формы (СПФ). Для создания активных элементов, способных создавать большие деформации в свободном состоянии или большие усилия в стесненном состоянии, могут быть использованы сплавы с памятью формы типа никелида титана. Эти сплавы обладают уникальными механическими свойствами.
При охлаждении СПФ в определенном диапазоне температур происходит фазовое превращение из аустенитного состояния в мартенситное (прямое превращение) и, наоборот, при нагревании в другом более высоком диапазоне температур - из мартенситного состояния в аустенитное (обратное превращение). В аустенитном состоянии кристаллическая решетка становится более симметричной, а СПФ - более жестким и более прочным, чем в мар-тенситном состоянии.
Общая деформация СПФ складывается из упругой, температурной и фазовой деформаций. Если прямое превращение проводится в материале, находящемся в напряженном состоянии, то действующее напряжение ориентирует образующиеся кристаллы единым образом, в результате чего при полном переходе в мартенситное состояние фазовая деформация может достичь весьма большой величины (более 10%). Эта величина примерно пропорциональна действующему напряжению.
Если продеформированный таким образом образец, находящийся в полностью мартенситном состоянии, нагревать, то после достижения температуры начала обратного превращения начинается обратный переход мартенсита в аустенит. При этом ранее достигнутая фазовая деформация будет сниматься (материал «вспоминает» свою форму) независимо от величины действующих напряжений. Если при этом препятствовать возвращению образца в исходное состояние, то в нем возникают «реактивные» напряжения весьма большой величины (до 800 МПа у никелида титана). На этом основано большинство приложений СПФ в качестве разъемных соединений, зажимов и пр.
Определяющие соотношения (уравнения состояния) СПФ, представляющие зависимости деформаций от напряжений, температуры и доли фазового состава, являются существенно нелинейными и неоднозначными. Это вызывает большие математические трудности при расчете силовых характеристик (зависимостей «сила - перемещение») активных элементов из СПФ.
У активных элементов из термоупругих материалов и из СПФ управляющим воздействием может быть только температурное поле. Получить необходимое температурное поле в теле элемента и необходимый закон изменения его по времени весьма трудно (особенно при охлаждении, когда приходится использовать специальные устройства для отвода тепла). При этом наряду с задачей деформирования возникает необходимость решать задачу теплопроводности. У СПФ обе эти задачи являются нелинейными и связанными.
Следует отметить, что фазовые превращения и, следовательно, фазовые деформации СПФ весьма чувствительны к изменениям температуры, в силу чего требуется высокая точность ее обеспечения. По этой же причине на фазовые превращения оказывают большое влияние окружающие температурные условия.
Активные элементы, для управления деформациями которых используется изменение температуры, пригодны только для весьма медленных (квазистатических) движений управляемых конструкций. Это обусловлено тем, что процессы нагрева и охлаждения тела физически невозможно сделать быстрыми, особенно, если требуется, чтобы температурное поле в теле было близко к однородному.
Пьезокерамические элементы. Керамики типа титаната бария (ВаТЮ3) имеют кристаллическую структуру и содержат в каждом кристалле элементарные диполи. Если образец такого материала поместить в сильное внешнее электрическое поле при температуре несколько выше 100С, то диполи выстроятся вдоль силовых линий этого поля, т.е. произойдет поляризация. Если снять электрическое поле и охладить образец, то поляризация сохранится. Предварительно поляризованная керамика называется пьезокера-микой. В ней проявляется пьезоэлектрический эффект: при механическом напряжении в пьезокерамике появляется электрическое поле и, наоборот, при воздействии электрического поля в ней появляются деформации.
Нелинейные уравнения движения стержневой системы при больших перемещениях
В последние годы заметный интерес проявляется к адаптивным упругим конструкциям, таким как космические антенны, радиотелескопы, интерферометры и космические станции, имеющие высокоточное оптическое и навигационное оборудование [192, 212, 213]. К таким конструкциям предъявляются требования сохранения с высокой точностью заданной формы и отсутствия колебаний в определенных частях, например, в местах расположения оптических приборов, при любых, часто неопределенных или случайных возмущениях. В таких случаях обеспечить заданную форму упругих конструкций и гашение их нестационарных колебаний можно с помощью системы управления. В качестве приводов в таких конструкциях могут быть использованы встроенные активные стержни с управляемыми деформациями [115, 119, 146]. Изменения длин активных стержней могут регулироваться системой управления за счет эффектов термоупругости, электроупругости или механически (гидроцилиндрами, винтовыми парами). Изменения длин таких стержней или соответствующих им сил могут рассматриваться в качестве управляющих воздействий. Кроме космических конструкций проблема гашения нестационарных колебаний представляет интерес для авиационных конструкций [152], и, в частности, для подкрыльевых подвесок [19], а также для амортизации кабин операторов, подвергающихся интенсивным вибрационным и ударным воздействиям.
В этой главе построена математическая модель и получены решения, позволяющие определять необходимые управляющие воздействия (силы и командные сигналы), для того чтобы часть упругой конструкции при произвольных нестационарных возмущениях сохраняла заданное движение или оставалась в покое. В качестве частного случая получено решение квазиста- тической задачи управления деформированной формой конструкции. Результаты опубликованы в [46, 47, 50-52, 55, 60, 61].
Рассмотрим линейную упругую управляемую систему (конструкцию), которая описывается вектором N обобщенных координат, находящуюся под воздействием внешних нагрузок и М управляющих воздействий (M N). Задача состоит в следующем. Требуется, чтобы определенная часть конструкции, движение которой можно описать М обобщенными координатами, при колебаниях системы в целом совершала заданное движение или находилась в покое. Управление по части степеней свободы системы, число которых равно числу управляющих воздействий, будем называть неполным. Для реализации такого управления необходимо выбрать элементы конструкции, на которые должны действовать управляющие силы, чтобы она была управляемой по заданным степеням свободы (обобщенным координатам). Затем необходимо определить требуемые для управления силы (законы их изменения по времени) при действии некоторых заданных возмущений. Далее по этим управляющим силам необходимо подобрать приводы, способные создавать такие силы и скорости их изменения. После этого может быть спроектирована система управления с обратными связями и определены законы управления. В целом система должна быть адаптивной, чтобы кинематические условия управления выполнялись при произвольных квазистатических и нестационарных возмущениях, возможно, заранее неопределенных. Уравнения колебаний упругой в общем случае неконсервативной системы получаются по методу конечных элементов с учетом управляющих сил и записываются в матричном виде, аналогично (1.19) при ц = 0, /)о=0, Qe=0,Qy=GZ: Здесь q(t), Q(t), Z{t) - векторы обобщенных координат, известных обобщенных сил и неизвестных управляющих сил, соответственно; М, К -симметричные матрицы инерции и жесткости упругой конструкции; D, В, G — постоянные действительные матрицы коэффициентов, представляющих неконсервативные и управляющие силы. Кинематическое условие управления примем в виде где L постоянная прямоугольная матрица; /(/) — вектор, представляющий заданное движение (дрейф) части системы. Если необходимо, чтобы рассматриваемая часть системы при ее колебаниях находилась в покое, то следует положить 1 = 0. Для удобства численного решения системы (2.1) с учетом кинематического условия (2.2) ее следует преобразовать к новым обобщенным координатам, так чтобы выделить М уравнений для М обобщенных координат, соответствующих управляющим силам. Обозначим вектор этих координат порядка М через z{i). Обобщенные координаты вектора z выбираются так, чтобы скалярное произведение SzT Z представляло элементарную работу управляющих сил. Тогда (2.1) можно записать в виде системы двух матричных уравнений Здесь векторы z, Z, Qz имеют порядок М, а векторы х и Qx - порядок N—M; матрицы М2, Kzi D2, Bz имеют порядок MxN, а матрицы Мх, Кх, Dx, Вх- порядок (N-M)xN. Если для управления системы используются стержни с регулируемыми длинами (деформациями), то обобщенные координаты zp (/) будут представлять удлинения этих стержней, a Z it) - соответствующие растягивающие управляющие силы (/? = 1, 2,..., М). Объединим уравнения (2.3) и (2.2) Из этой системы можно найти вектор q{t) и затем из уравнения (2.4) -вектор Z{i). Для решения динамической задачи управления нестационарными колебаниями системы, описываемой связанными дифференциальными и алгебраическими уравнениями (2.5) можно использовать два различных подхода. 1). Выбираем какие-либо М обобщенных координат, входящих в вектор q, и, используя (2.2), выражаем их через остальные N-M обобщенных координат. Затем выбранные М обобщенных координат можно исключить из числа неизвестных в уравнении (2.3). В результате будем иметь систему N-M дифференциальных уравнений. После их интегрирования при заданных начальных условиях из уравнения (2.4) можно определить вектор управляющих сил Z{t).
Поворот упругого стержня с массивным твердым телом на конце
Рассмотрим упругую систему совместно с системой управления. Пусть в данном случае вектор q размерности N+ = N + s включает в себя N обобщенных координат конструкции и s обобщенных координат (переменных параметров) системы управления. Уравнения движения замкнутой системы в пространстве состояний записываются также как уравнения неконсервативной системы (2.8): где G - некоторая постоянная матрица размерности N+ хМ при М N+, характеризующая распределение командных сигналов (вектор и(/)) по обобщенным координатам; вектор Q+(t) порядка N+ представляет действующие на конструкцию внешние силы и возмущения (помехи) в системе управления. Задача заключается в следующем. Необходимо определить командные сигналы системы управления (вектор и), чтобы под воздействием произвольных внешних сил и возмущений (вектор Q+(t)) определенная часть конструкции, описываемая М обобщенными координатами, совершала заданное движение дрейфа или находилась в покое. Кинематическое условие неполного управления (по М обобщенным координатам) задается в виде (2.2). Эта задача для уравнения (2.32) с условием (2.2) идентична рассмотренной в разделе 2.2 задаче для упругой конструкции с неизвестными управляющими силами (вектор Z), описываемой уравнением (2.8) с условием (2.2). Различие только в размерности и обозначениях. Решение задачи (2.32), (2.2) строится также как задачи (2.8), (2.2) в комплексных нормальных координатах. В данном случае матрицы А0, С0 заменяются на А, С, а вектор управляющих сил Zна вектор командных сигналов и. В данном случае на каждом шаге при t = tk получается система алгебраических уравнений вида (2.21) для определения неизвестных командных сигналов ur{tk) (г = 1,2,..., М). Рассмотренный алгоритм управления нестационарными колебаниями требует, чтобы в контуре системы автоматического управления находился цифровой вычислитель, способный производить расчеты в масштабе реального времени, т.е. чтобы за один шаг по полученным формулам, используя имеющуюся информацию на предыдущем шаге, можно было вычислить необходимые управляющие воздействия на следующем шаге. В этом смысле разработанный алгоритм является весьма эффективным: требует минимальных затрат времени на вычисления; для больших систем позволяет ограничиться небольшим числом нормальных координат; может отфильтровать высокочастотные колебания. При действии постоянных или медленно меняющихся со временем возмущений (например, из-за погрешностей размеров составляющих элементов или вследствие нагрева и охлаждения) возникают квазистационарные деформации и изменения формы конструкции, которые можно компенсировать управляющими воздействиями. Управляющие воздействия (механические, тепловые или электрические) создают управляемые деформации активных элементов, а они, в свою очередь - корректирующие деформации конструкции. С помощью активного управления деформированной формой крыльев можно управлять в определенных пределах распределением аэродинамических нагрузок по несущей поверхности ЛА и его аэродинамическими характеристиками. Поэтому для общности будем учитывать статические аэродинамические нагрузки, обусловленные деформациями несущей поверхности, согласно (1.18). Рассмотрим сначала конструкцию, которая прикреплена к достаточно жесткому и массивному несущему телу и поэтому может считаться неподвижно закрепленной. Пусть деформации конструкции с упруго присоединенными рулями на основании метода Ритца или метода конечных элементов описываются вектором обобщенных координат q порядка N. Уравнения равновесия конструкции в обобщенных координатах с учетом постоянно действующих возмущений и управляющих воздействий записываются в виде (2.1) при q = q = 0: где К, В — матрицы жесткости конструкции и аэродинамических сил, порядка N; Q0 - вектор обобщенных сил порядка N, представляющих постоянно действующие нагрузки и возмущения (например, начальные технологические и температурные деформации є0, входящие в закон Гука а = С(є - є0)); Z — вектор управляющих воздействий порядка M N; G - матрица порядка NxM, представляющая вектор обобщенных управляющих сил как Qy=GZ. Из уравнения (2.33) получаем q=(K + BylQ; N = (K + ByxG, где q - вектор обобщенных координат, представляющий начальное искажение формы конструкции и ее деформацию от действия нагрузки.
