Введение к работе
Диссертационная работа посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию нелинейных колебаний протяженных напряженных систем. Под последними имеются в виду механические колебательные системы с распределенными параметрами, находящиеся под предварительным напряжением (струна, мембрана). Суть разработанного подхода заключается в линеаризации нелинейных уравнений в частных производных, описывающих динамику нелинейных колебательных систем, уравнениями с переменными коэффициентами (параметрическими уравнениями). Разработанная теория применяется к моделированию колебаний струны, представляющей собой самый простой пример распределенной системы.
Актуальность исследования. При расчете и проектировании акустических приборов и систем применяется подход, суть которого заключается в том, что сложную механическую колебательную систему разделяют на простые подсистемы (звенья). При этом считается, что характеристики системы определяются совокупностью характеристик входящих в нее звеньев. Отсюда следует требование к линейности подсистем. Если какой-либо элемент акустической системы представляет собой распределенную механическую колебательную систему (например, диафрагма микрофона, диффузор громкоговорителя, представляющие собой оболочки вращения, излучающие элементы конструкций, представляющие собой стержни, пластины или оболочки), то часто она описывается нелинейными уравнениями в частных производных. Это приводит к проблеме определения таких динамических характеристик конструкций, при которых нелинейные явления пренебрежимо малы. Таким образом, актуальна задача линеаризации нелинейных колебательных систем с распределенными параметрами.
Кроме того, за последние годы возросло внимание к вопросам компьютерного синтеза звучаний музыкальных инструментов. Решение такого рода задач требует адекватных математических моделей колебательных процессов, происходящих в музыкальных инструментах.
Наконец, наличие теории, адекватно отражающей физические процессы, имеющие место в технических системах, способствует принятию более обоснованных инженерных решений. Поэтому исследования в области теории колебаний остаются актуальной задачей.
Объект исследования: колебания систем с распределенными параметрами.
Основная цель исследования заключается в разработке метода аппроксимации нелинейных волновых уравнений линейными уравнениями с переменными коэффициентами.
В соответствии с основной целью и предметом исследования определены следующие задачи исследования:
обосновать возможность описания нелинейных распределенных колебательных систем параметрическими уравнениями;
применить разработанный метод к описанию колебаний струны;
обосновать экспериментально выводы, сделанные на основе параметрической теории.
Методологическую и теоретическую основы исследования составили работы отечественных и зарубежных авторов в области нелинейных и параметрических колебаний, работы, посвященные исследованию колебаний струн.
Методы исследования. Во время проведения исследования применялись методы теоретического анализа (математического, логического, системного, моделирования, обобщения опыта), спектрального анализа (экспериментального), численного моделирования (при решении дифференциальных уравнений — метод Рунге-Кутта восьмого порядка, при вычислении спектров — алгоритм быстрого преобразования Фурье).
Информационная база исследования. В качестве информационных источников проведенного исследования использованы:
— научные источники в виде: журнальных статей, научных докладов и от
четов, материалов научных конференций, монографий отечественных и за
рубежных авторов;
— результаты собственных расчетов и проведенных экспериментов.
Научная новизна исследования.
Разработан метод аппроксимации нелинейных волновых уравнений линейными параметрическими волновыми уравнениями.
Указаны границы применимости данной аппроксимации.
Экспериментально установлены неизвестные ранее закономерности, заключающиеся в самопроизвольном параметрическом возбуждении собственных колебаний струны: при свободных колебаниях возбуждаются те моды, узлы которых совпадают с точкой возбуждения струны; при вынужденных колебаниях струны собственные колебания возбуждаются на субгармонических частотах внешней вынуждающей силы.
Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается:
согласованностью теоретических выводов с результатами экспериментальной проверки;
использованием традиционных средств математического анализа и численного моделирования;
использованием традиционных методов измерений;
соответствием полученных результатов логически аргументированным ожиданиям.
Научная ценность результатов исследования:
предложен метод линеаризации нелинейных волновых уравнений параметрическими уравнениями, который может быть применен к описанию колебательных процессов в мембранах, пластинах, оболочках и других более сложных распределенных системах;
полученные в диссертации результаты могут служить научным фундаментом для практического их использования, например, при моделировании колебательных процессов в акустических приборах и системах, при исследовании нелинейных искажений в микрофонах и громкоговорителях, при синтезе звучаний музыкальных инструментов.
Практическая значимость и реализация результатов работы. Материалы диссертационной работы используются:
в научно-исследовательских работах, выполняемых ФГУП «ЦНИИ им. акад. А.И. Крылова»;
в научно-исследовательских работах, выполняемых ООО «Неватон» при разработке новых микрофонов;
в учебном процессе Санкт-Петербургского государственного университета кино и телевидения: в учебно-исследовательских и научно-исследовательских работах студентов, при подготовке выпускных квалификационных работ бакалавров и специалистов.
Внедрение результатов диссертационной работы подтверждено соответствующими актами.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях СПб-ГУКиТ в 2007 - 2010 гг.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 работы. Все работы выполнены в соавторстве, доля автора 90%. В изданиях, определяемых Перечнем ВАК РФ, опубликована одна статья.
Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, основной текст из четырех глав, заключение, библиографический список использованной литературы и приложение. Объем основного текста с введением и заключением составляет 102 страницы, включая 31 рисунок на 22-х страницах. Список литературы содержит 107 наименований.
