Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Солитоны и нелинейные периодические волны в стержнях, пластинах и оболочках 9
1.1. Продольные волны в стержнях 10
1.2. Изгибные волны в стержнях 20
1.3. Крутильные волны в стержнях 25
1.4. Волны в пластинах 26
1.5. Волны в оболочках 29
Глава 2. Нелинейные квазигармонические изгибные волны 32
2.1. Сравнительный анализ основных математических моделей изгибных колебаний стержней. 32
2.2. Вариационный принцип построения нелинейных моделей стержней 40
2.3. Уравнения динамики балки Тимошенко с учетом геометрической и физической нелинейностей 44
2.4. Исследование модуляционной неустойчивости квазигармонических изгибных волн 52
2.5. Осциллятор с нелинейностью в отрицательной степени. Аналитические решения и качественный анализ 58
2.6. Стационарные волны огибающих 79
Глава 3. Несинусоидальные стационарные волны . 85
3.1. Сведение уравнения динамики балки Тимошенко к уравнению Дуффинга 85
3.2. Анализ ограниченных решений уравнения Дуффинга 88
3.3. Анализ различных случаев поведения стационарных волн 101
3.4. Нелинейные дисперсионные соотношения 109
3.5. Вычисление констант упругости четвертого порядка по параметрам нелинейной стационарной волны 114
Заключение 117
Список литературы.
- Изгибные волны в стержнях
- Вариационный принцип построения нелинейных моделей стержней
- Осциллятор с нелинейностью в отрицательной степени. Аналитические решения и качественный анализ
- Анализ ограниченных решений уравнения Дуффинга
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию распространения нелинейных изгибных волн в балке Тимошенко.
Актуальность темы.
В задачах динамики упругих конструкций традиционно уделяется большое внимание распространению изгибных волн в стержнях и стержневых системах. В качестве базовой модели для проведения анализа часто выбирается математическая модель балки, предложенная С.П.Тимошенко. Эта модель, уточняющая техническую теорию изгиба стержней, предполагает, что поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформируемой срединной линии стержня; нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, равны нулю; учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом поперечных сечений.
Модель балки Тимошенко занимает особое место в механике: позволяя хорошо описывать многие статические и динамические процессы, происходящие в реальных конструкциях, она остается достаточно простой, доступной для аналитических исследований.
Непрерывное увеличение быстродействия и удельной мощности машин и механизмов, ч забота- о снижении веса конструкции при сохранении ее надежности в работе, а также широкое внедрение в современную технику новых композиционных материалов требуют более полного исследования реального напряженно-деформированного состояния. Для этого часто оказывается недостаточно классических линейных теорий и необходимо рассматривать теории более высоких приближений, учитывающих, в частности, геометрическую и физическую нелинейности.
Нелинейные искажения, возникающие при распространении интенсивных изгибных волн, могут накапливаться с течением времени и при определенных условиях приведут к сильному укручению волновых фронтов и существенному изменению всего волнового процесса. Это, в свою очередь, может вызвать появление больших упругих напряжений, необратимых деформаций в материале и привести к локальной потере устойчивости. Интерес к изучению нелинейных волновых процессов связан с возможностью возникновения даже в простых элементах упругих конструкций специфических нелинейных режимов. С одной стороны, эффекты формирования нелинейных волн с большими градиентами напряжений и деформаций оказываются нежелательными, поскольку могут приводить к разрушению или пластическому течению материала, но, с другой стороны, - они могут быть полезными и найти применение в технологиях обработки материалов, в дефектоскопии и технической диагностике.
# Теоретические расчеты параметров нелинейных волн необходимы для изучения свойств новых конструкционных материалов, в частности, измерения нелинейных модулей упругости.
Цели работы:
- вывод уравнения балки Тимошенко, учитывающего геометрическую и физическую упругие нелинейности;
- аналитические решения ряда задач о распространении квазигармонических и существенно несинусоидальных изгибных волн в балке Тимошенко.
Научная новизна:
Научная новизна работы заключается в следующем:
получена система уравнений балки Тимошенко с учетом геометрической и физической нелинейностей;
система нелинейных уравнений балки Тимошенко в предположении малости углов поворота поперечных сечений сведена к одному уравнению относительно поперечного перемещения;
в рамках полученной модели исследована модуляционная неустойчивость изгибных волн, а также получены аналитические решения стационарных волн огибающих;
получены аналитические решения, описывающие существенно нелинейные стационарные волны деформации, как периодические, так и солитоны.
проведен анализ качественно различных случаев поведения нелинейных волн, распространяющихся в металлических балках и балках из композиционных материалов.
предложен и теоретически обоснован новый метод • определения констант упругости четвертого порядка
Практическая значимость
Основные результаты диссертационной работы были получены в ходе выполнения научно-исследовательских программ Нф ИМАШ РАН по теме «Динамика волновых движений механических систем»; при выполнении работ по Федеральной целевой программе » «Интеграция» 1997-2003 г.г. - проект № 0542 : Региональный учебно-научный центр «Механика материалов и конструкций» (рук.академик Митенков Ф.М., проф. Баженов В.Г.); по грантам РФФИ ( № 96-02-19792; № 00-02-17337 2 03-02-16924, рук. д.ф.-м.н. Ерофеев В.И.).
Некоторые результаты диссертации были использованы в учебном процессе • на кафедре теоретической механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И.Лобачевского и нашли отражение в учебном пособии Ерофеева В.И. «Введение в теорию упругих волн». Н.Новгород, 2001.
Основные положения, выносимые на защиту :
1. Сведение системы нелинейных уравнений балки Тимошенко к одному нелинейному уравнению относительно поперечного перемещения
2. Изучение эффектов самомодуляции квазигармонических изгибных волн:
- модуляционная неустойчивость;
- определение области неустойчивости в зависимости от коэффициента Пуассона;
- нелинейные стационарные волны огибающих.
3. Анализ качественно различных случаев поведения солитонов и периодических стационарных изгибных волн.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на Европейском научном коллоквиуме Евромех-295 «Волновые процессы в машинах и конструкциях» ( Нижний Новгород, 1992 ), Международной научно-технической конференции «Инженерно-физические проблемы авиационной и космической технике» (Егорьевск Моск.обл., 1995 ), IV Международной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1996), на научных семинарах Нф ИМАШ РАН, ННГУ, НИЛИМ (1997-2003г.)
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 14 научных работ [28],[29],[31],[134-141],[151,152], а также материалы диссертации вошли в монографию В.И.Ерофеев, В.В.Кажаев, Н.П.Семерикова "Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность." [142]
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения. Диссертация содержит 128 стр. текста, 53 рисунка. Список литературы включает 152 наименования.
Содержание работы.
Во введении сформулированы основные поставленные цели, отмечена их актуальность, кратко изложено содержание работы.
В первой главе дан обзор наиболее существенных результатов теоретических и экспериментальных исследований солитонов и нелинейных периодических волн в стержнях, пластинах и оболочках, содержащихся в работах, выполненных в 1970-2001 г.г.
Вторая глава посвящена изучению особенностей распространения квазигармонических изгибных волн в балке Тимошенко.
В п.2.1 проводится сравнительный анализ основных математических моделей изгибных колебаний стержня. Рассмотрен вывод линейных уравнений изгибных колебаний в технической теории Бернулли-Эйлера, а так же в уточненных теориях Рэлея и Тимошенко. Приведены и проанализированы дисперсионные зависимости и зависимости фазовых скоростей изгибных волн по различным теориям.
В п.2.2 приводится вариационный принцип построения нелинейных моделей стержней.
В п.2.3. рассматривается вывод системы уравнений динамики балки Тимошенко, содержащей геометрическую и физическую нелинейности. Система состоит из двух уравнений, первое из которых записано относительно поперечного перемещения частиц срединной линии балки, а второе - относительно угла поворота поперечного сечения. В предположении малости углов поворота при изгибе система уравнений сведена к одному нелинейному уравнению относительно поперечного перемещения. В полученное уравнение входят два параметра - дисперсионный и нелинейный, по которым можно судить о порядке малости дисперсионных и нелинейных слагаемых.
В п.2.4. проанализированы дисперсионные зависимости линеаризованной модели. Изгибные волны обладают сильной дисперсией, их фазовая скорость не является постоянной величиной, а существенно зависит от частоты и различные гармоники распространяются с разными скоростями. Показано, что при наличии слабой нелинейности, решение уравнения балки Тимошенко можно искать в виде гармонической волны с медленно меняющимися в пространстве и времени амплитудой и фазой (квазигармоническая волна).
С помощью метода усреднения осуществляется переход от исходного уравнения балки к укороченному уравнения огибающей квазигармонической волны. Эволюция огибающей описывается нелинейным уравнением Шредингера, часто встречающимся при изучении волновых процессов в оптике, физике плазмы, акустике и электродинамике. Анализ параметров уравнения Шредингера показал, что квазигармонические изгибные волны могут быть неустойчивыми по отношению к разбиению на отдельные волновые пакеты (модуляционная неустойчивость). Проанализирована зависимость области модуляционной неустойчивости волны от упругих свойств материала стержня. Показано, что область неустойчивости увеличивается с ростом коэффициента Пуассона.
В п.2.5. и п.2.6. изучаются формы и скорости распространения волновых пакетов, на которые разбивается квазигармоническая волна в результате модуляционной неустойчивости. Для этого достаточно проанализировать стационарные волны огибающих. Амплитуда стационарной волны огибающей описывается уравнением ангармонического осциллятора с нелинейностью в отрицательной степени, аналитические решения которого и качественный анализ приведены в п.2.5.
В третьей главе рассматривается случай, когда нельзя ограничиться изучением квазигармонических процессов, а необходимо учитывать широкополостность нелинейных изгибных волн, распространяющихся в балке Тимошенко. В этом случае волны, обладающие большой интенсивностью, находятся в области слабой дисперсии, т.е. в том диапазоне частот, в котором фазовые скорости различных гармоник близки между собой.
На распространение изгибных волн в балке влияют два фактора : дисперсия и нелинейность. Нелинейность приводит к зарождению в спектре волны новых гармоник, что способствует появлению в движущемся профиле волны резких перепадов. Дисперсия же, наоборот, сглаживает перепады из-за различия в фазовых скоростях гармонических составляющих. Совместное действие этих факторов может привести к формированию стационарных волн, которые распространяются с постоянной скоростью без изменения формы (п.3.1.).
В п.3.2. и пЗЗ. найдены и проанализированы решения уравнений нелинейно-упругой балки Тимошенко в виде стационарных волн деформации : периодических волн и солитонов. Стационарные волны деформации описываются уравнением Дуффинга, качественные решения которого рассмотрены в п.3.2. Получены зависимости между основными параметрами таких волн b (амплитудой волны, длиной волны, скоростью ее распространения и коэффициентом нелинейных искажений формы волны). Указано на качественно различное поведение нелинейных волн, распространяющихся в металлических балках и балках из полимерных материалов (например, оргстекла).
В п.3.4 приведены нелинейные дисперсионные соотношения для периодических стационарных волн. Показано, что по дисперсионным свойствам волны в металлических стержнях идентичны линейным волнам. В стержнях из оргстекла могут распространяться сильнонелинейные волны в таком диапазоне скоростей, где линейных волн не существует.
В п.3.5 рассматриваются известные способы измерения констант упругости четвертого порядка и предлагается еще один метод их измерения, основанный на исследовании параметров уединной стационарной волны (солитона).
Изгибные волны в стержнях
В отличие от продольных, изгибные волны в стержне обладают сильной дисперсией. Согласно модели Бернулли-Эйлера (техническая теория) частота гармонической волны пропорциональна квадрату волнового числа, следовательно дисперсия имеет аномальный характер. Групповая скорость при любой частоте будет в два раза превышать фазовую. В работе Ерофеева В.И. [23] изучаются нелинейные изгибные колебания стержня, точки срединной линии которого совершают движения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Исследованы спиральные волны в бесконечном стержне (в частности, солитоны огибающих спиральных волн) и циркулярно-поляризованные колебания стержня конечной длины. В книге Каудерера Г. [50] предложена модель изгибных колебаний физически-нелинейного стержня «+ схх =- 2Л\рт (02+2( 02"W (1.15) где w(x,t) - прогиб точки х оси стержня в момент времени t, а а и X -некоторые постоянные, содержащие геометрические и упругие характеристики стержня. В работе Березовского А.А., Жернового Ю.В. [8] исследованы стационарные волновые решения этого уравнения. В работе Абрамяна А.К., Индейцева Д.А. и Вакуленко С.А. [105] рассмотрено распространение солитона в нелинейном стержне, находящемся в контакте с идеальной сжимаемой жидкостью. Солитон, распространяющийся по стержню, контактирующему с жидкостью, интерпретируется как "движущееся включение". Найдены аналитические выражения для уединенных волн. Рассматриваются два случая: когда скорость солитона больше, чем скорость акустических волн в жидкости и когда скорость солитона меньше скорости звука в жидкости. В первом случае жидкость не может быть вовлечена в движение солитона, возникают большие силы сопротивления, при этом солитон быстро теряет скорость. Во втором случае солитон при своем движении по балке приводит в движение жидкость, на движении солитона влияние жидкости сказывается незначительно.
В работах Ерофеева В.И., Кажаева В.В., Семериковой Н.П., [27,28,1084 изучаются особенности распространения нелинейных изгибных волн в стержне Тимошенко. Уравнения динамики такого стержня, учитывающие геометрическую и физическую нелинейности, были получены в работе [24]: pFwtt -K/iF(Wxx -(px) = [2a2J2wx p2x +4a3Fvi + 2a,F(p2wx + +a5J2(pw2x +3a6F(pw2x +a6Fq 3\ (1.16) fj2(ptt -/2fl)„ + «;iF(9 -wj=[4а,У, +2a2J2 px((p2 + w x) + 2a5J2cp(pxwx]x-2ct2J2(p(pl -2a4F pwl -2a3F(p3 -asJ2ws p2x — -abFw\ -3a6F(p2wx где w(x,t) - поперечное смещение; q (x,t) - угол поворота поперечного сечения; р- объемная плотность материала; J, = \\zAdF, J2= \\z2dF- осевые моменты инерции; К F F коэффициент Тимошенко; а7(у = 1,6)- коэффициенты, характеризующие геометрическую и физическую нелинейности среды. В предположении малости углов поворота поперечных сечений для длинноволновых процессов система (16) сводится к одному уравнению, которое для стационарных волн принимает вид уравнения Дуффинга. В работе [27] были проанализированы условия возникновения модуляционной неустойчивости квазигармонических волн, приводящей к их самомодуляции и формированию стационарных волн огибающих. В сравнении с моделью изгибных колебаний Бернулли-Эйлера, в которой изгибные волны всегда устойчивы, в модели Тимошенко нет такой однозначности. Квазигармонические изгибные волны могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми в зависимости от частоты и принадлежности к той или иной дисперсионной ветви, упругих свойств материала. Приведена диаграмма, показывающая области устойчивости и неустойчивости на дисперсионных кривых. В отличие от [27] в работе [28] основное внимание уделено случаю, когда изгибные волны обладают большой интенсивностью и находятся в области слабой дисперсии. Показано, что в зависимости от величины скорости имеются качественно различные волновые картины. Найдены соотношения, связывающие основные параметры стационарных волн (периодических и солитонов): амплитудой волны, длиной волны, скоростью ее распространения и коэффициентом нелинейных искажений формы волны. Показано, что в некоторых диапазонах скоростей может наблюдаться аномальное поведение солитонов. В работах Кажаева В.В., Потапова А.И. и Семериковой Н.П. [45, 46] изучаются локализованные изгибные стационарные волны в тонком растянутом стержне. wtt-cf(\+cmJw -ry(l-v)(wtt-4wJxx=0 (1.17) где с, =2є0(Х + ц)/р - скорость поперечных волн в стержне; с2 \ + єо СН + 2ц) - (5Х, + fi)v] [ /(1 - v) - некоторая величина, имеющая размерность скорости; А,, ц - константы Ламе, Е0 -начальная деформация; а = ЗЕ 1 - коэффициент нелинейности. Были проведены аналитические и численные исследования этого уравнения. Для численного моделирования использовалась неявная трехслойная разностная схема с порядком аппроксимации 0{\: ,А ). Заметим, что при С = — 1 уравнение обладает аномальной (положительной) дисперсией, что приводит к появлению новых нелинейных эффектов. При С. 1 на плоскости параметров "амплитуда-скорость" для стационарных волн существуют две области ограниченных решений с качественно различным поведением. Исследуются решения из области сильно нелинейных волн, несуществующих при амплитудах меньше некоторого критического значения. Такие волны описываются выражением Щх,і) - ±AAarctrsH , wx = U(x,і) и, как следует из результатов численного исследования, во многих случаях ведут себя подобно солитонам, но обладают рядом свойств, которые отличают их от классических солитонов. Так при встречных столкновениях волн, если их амплитуды превышают некоторое пороговое значение, они расщепляются, порождая вторичные частицеподобные волны и волновой пакет. Экспериментальное наблюдение расщепления разнополярных импульсов (солитонов) при встречных столкновениях содержится в работе Потапова А.И. и Весницкого А.и. [119]. Учет геометрической нелинейности приводит не только к самовоздействию изгибных волн, но и к взаимодействию изгибных волн с продольными. Резонансные взаимодействия квазигармонических продольных и изгибных волн в прямолинейных стержнях и кольцевых резонаторах, приводящие к формированию нелинейных волн огибающих, изучались в работах [26,32,54,112]. В работе Березовского А.А. и Жернового Ю.В. [9] изучаются продольно-изгибные волны в упругом неограниченном стержне. В явном виде через эллиптические функции Якоби найдены периодические кноидальные волновые решения для прогиба w(x,t)= w(kx-(Ot) и продольного перемещения. Получены соответствующие дисперсионные соотношения, связывающие волновое число к, частоту со и амплитудный параметр А. Заслуживают внимания, стоящие несколько особняком, задачи о "вынужденных нелинейных стационарных волнах", т.е. — о возбуждении волн нагрузками, движущимися по нелинейно-упругим направляющим. Некоторые из таких задач рассматривались в диссертации Быченкова В.А. [13] и статье Метрикина А.В. [63].
Вариационный принцип построения нелинейных моделей стержней
Наиболее общая идея приведения трехмерных уравнений теории упругости к одномерным уравнениям теории стержней заключается в выражении напряженно-деформированного состояния в произвольной точке тела через новые величины, заданные вдоль оси стержня. Получаемые уравнения для этих новых переменных и будут являться динамическими уравнениями стержней [144,145]. Так как в стержнях поперечные размеры стержня обычно малы по сравнению с характерной длиной волны, то процессы деформации в поперечных сечениях можно считать квазистатическими. Это позволяет, в частности, искать распределение смещений , деформаций и напряжений по сечению стержня на основе решения соответствующей статической задачи.
Для применения вариационных принципов к выводу уравнений движения стержней наиболее удобен переход от бесконечного числа степеней свободы в направлении нормали к конечному числу степеней свободы. При этом вводится вектор смещения, компоненты которого определяются разностью текущих координат материальных точек среды с их координатами до деформации (лагранжевы координаты). Эти смещения аппроксимируются конечными многочленами где - известные функции, определяющие распределение смещений в поперечном сечении стержня, Цг№ 0-новые искомые функции (обобщенные координаты), заданные вдоль оси стержня, w = l,2,...,M, М- целое число, определяющее количество степеней свободы в направлении нормали к оси стержня. В зависимости от значения числа М аппроксимации (2.21) называют одномодовыми (М = 1) , двумодовыми (М = 2) и т.д. В качестве аппроксимирующих функций G (y,z) используются степенные функции, функции Лежандра и др. Функции 0-А)в общем случае характеризуют нелинейность связи между смещениями частиц среды Ц(рс,у92,і) и обобщенными координатами При малых смещениях fc) являются линейными функциями своих аргументов.
На выборе аппроксимации (2.21) заканчивается первый и основной этап формирования приближенной модели стержня. Далее вступают в действие математические аппараты нелинейной теории упругости и вариационного исчисления.
В случае прямоугольных координат плотность функции Лагранжа может быть записана следующим образом A=f»S-flW- (2.23) где р0 - плотность среды в начальный момент времени, p0U -объемная плотность внутренней энергии, являющаяся функцией алгебраических инвариантов тензора конечных деформаций Использование вариационного принципа предполагает, что объемная плотность внутренней энергии нам известна. Вид этой функции можно установить на основе термодинамики деформирования [103,148]. При адиабатических процессах изменение внутренней энергии, вызванное деформациями тела, чаще всего задается в виде разложения в ряд Тейлора по инвариантам тензора конечных деформаций относительно начального состояния . Так, в девятиконстантной теории упругости используется следующее разложение ЯД=2 +Л + I3i +V2V2 +3 уз7з +//1 +/27 +/3 +//2 (2.25) Где 1\ - и Лг =Бікєкі Із =ikskjij - алгебраические инварианты тензора конечных деформаций, Я, Ц - адиабатические константы упругости второго порядка, vi,2,3- константы упругости третьего порядка, 23,4 - константы упругости четвертого порядка. Все эти модули упругости называются константами Ламэ соответствующего порядка. Такое представление внутренней энергии позволяет учесть нелинейные упругие свойства твердых тел, которые определяются двумя факторами. Прежде всего, это нелинейная связь между компонентами тензора деформаций и производными от вектора смещения по координатам. Такая нелинейность не зависит от физических свойств среды и определяется геометрией деформирования, поэтому ее называют геометрической нелинейностью. Кроме геометрической нелинейности существует физическая нелинейность, связанная с тем, что внутренняя энергия деформированного тела зависит также от производных вектора смещения по координатам в третьей ( 1?,1Х12,13) и четвертой ( l$Jl,I\h) степени. Физическая нелинейность определяется модулями упругости третьего и четвертого порядков. Существование как геометрической, так и физической нелинейностей приводит к тому, что связь между тензорами напряжений и деформаций также становится нелинейной.
Материальная точка стержня с лагранжевыми координатами M0(X,Z)B результате деформации перемещается в новое положение М(%, ц). Ее начальное и текущее положения определяются радиус-векторами r0=(x,z) и г = (,т/), а перемещение - вектором У=г-г0= х{х,г )Щ(х )}. Рассмотрим также точку N, принадлежащую оси стержня. Ее перемещение определяется вектором U = R0 = {o,o,W(x,t)}. Перемещение произвольной точки стержня, лежащей до деформации на нормали N0M0 , однозначно определяется по вертикальному перемещению W(x,t) точки N и углу поворота p(x,t) сечения NM относительно вертикальной оси. Тогда распределение смещений в произвольный момент времени t в обобщенных координатах W(x,t)n p(x,t) имеет вид Vx(x, z, t)=-z sin(p(x, t) F2(x,z,0=0 (2.28) V2(x,z,t)=W(x,t)-z(l-cos(p(x,t)) Это первая (кинематическая) часть гипотезы, являющаяся обобщением геометрических соотношений Тимошенко на случай конечных прогибов [3,144]. Если углы поворота сечений являются малыми, то приближенно можно считать sm p(x,7)« p(x,/), Соар(л:,ґ)«1. В этом случае распределение смещений (2.28) принимает вид: Vx(x,z,t)v-z(p{x,t) V2(x,z,y) = 0 (2.29) [V3{x,z,y) = W(xtt) Система перемещений, в которой учитывались следующие члены разложения в ряд Тейлора тригонометрических функций з ф1 sin (р(х, і) «ср -—, cosф(х,t) «1 - — была рассмотрена в работе [151]. Качественных изменений в итоговую систему уравнений динамики такие нелинейности не приносят. Вторая (динамическая) часть гипотезы плоских сечений предполагает, что напряжения, нормальные к площадкам, расположенным параллельно срединной оси стержня пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями, действующими на площадку, перпендикулярную этой оси.
Осциллятор с нелинейностью в отрицательной степени. Аналитические решения и качественный анализ
Рассмотрение стационарных волн огибающих в нелинейных средах с дисперсией приводит к необходимости анализа следующего уравнения ангармонического осциллятора: —г + aw+bw3+dw 3 = О dt2 (2.59) где а, Ъ, d - размерные постоянные коэффициенты. Анализ этого уравнения усложняется наличием в (2.59) слагаемого, пропорционального w 3. Однако, при d = 0 (2.59) совпадает с хорошо изученным уравнением Дуффинга [56] и это служит проверкой правильности полученных результатов при их вырождении. Поведение системы (2.59) зависит от трех размерных параметров, однако располагая двумя независимыми масштабами now и t, уравнение (2.59) можно привести к однопараметрическому . Замена : T=J\a\t, u=J\d/a\w (2.60) приводит к уравнению вида - + Sau + Sbu3 + Du 3 = 0 (2.61) dx2 Здесь введены следующие обозначения: Sa = sign{a), Sb — sign(b) , D=db3/ja . Таким образом, поведение системы (2.59), а также координаты и типы состояний равновесия определяются знаками л л коэффициентов a, b \л величиной параметра D . Для нахождения решении уравнения (2.61) умножим его на -4— и dx запишем первый интеграл в виде: f(f)2+n(u) = (2.62, 2Vdx су a n где П(и) = — u u4 u 2 , E - константа интегрирования. л 4r л Уравнение (2.62) представляет собой закон сохранения энергии для ангармонического осциллятора, в котором первое слагаемое определяет кинетическую энергию, полином П(и) - потенциальную энергию, а константа Е - начальную энергию в системе. Полученное уравнение допускает разделение переменных: 72dT = du (2.63) SE 2 U 4U +2U и с помощью замены: U= и2 (2.64) приводится к более простому виду: J2dx = dU І ГЕ І (2.65) Для уравнений типа (2.65) известно [13] , что ограниченные периодические движения СТ(т) существуют в области между любыми двумя вещественными корнями кубического полинома , где P(lf) = EU— -fU2 — U3 + 0 . Введенная замена (2.64) накладывает дополнительное условие на корни: оба корня, между которыми P(U) 0 , должны быть положительными.
П (и) для положительной ветви потенциальной функции меняет знак с "минуса" на "плюс". Функция потенциальной энергии Н(и) достигает своего минимума i min =П(±іітіп) в точках, координаты которых зависят от величины параметра D и определяются выражениями: а) при 2_ Z? 0: iW = 2cos(f-f)-l где ф = arccos[ D+1) б) при где ф = arccos I——D- в) при Рис.2. (-? -0 где ф = згсЛ На рис.2.11 показан вид потенциальной функции, а на рис.2.12 приведен фазовый портрет системы (2.62). На фазовой плоскости \ui Z) точкам с координатами (±wmin,0) соответствуют устойчивые положения равновесия типа "центр" Рис.2.12 Величина минимума потенциальной энергии i?min также зависит от параметра D и связана с ним следующим соотношением: min 2 27 з тіп 27 + тіп 1 " + "Є (2.70) График Emin(3) приведен на рис.2.13 Заметим, что і7тіП = 0 при D— 0 , что совпадает с соответствующим уравнением Дуффинга. Рис.2.13 Ограниченные решения уравнения (2.62) существуют, если константа интегрирования Е изменяется в диапазоне: Е +оо. Для отыскания этих движений рассмотрим уравнение (2.66), решения которого зависят от вида полинома Р{0). В данном случае P(l3) принимает положительные значения между своими большими корнями С7ІИ U2 д.е. P(tf) 0 при U2 U иг (рис.2.14).Тогда с помощью замены Рис.2.14 переменных Ui-U У = (o y2 l) иг-и2 уравнение (2.66) сводится к эллиптическому интегралу первого рода: (2.71) dy J i- 3)(xo) = -J oJ(l-y)(l-,V) (2.72) обращая который при условии То = О при у— О, получим решение в виде: UM = -( - U2)sn2 yf(Z7i-Z73)T, (2.73) 2 Ui-U-2.
Модуль эллиптической функции в выражении (2.73) по-прежнему имеет вид (2.76).Анализ (2.76) показывает, что при Е- Ет±п s2 -» 0 , а при Е— Дпах S2 —»1. Таким образом, коэффициент нелинейных искажений формы колебаний (2.73) изменяется в пределах 0 S 1. При s - 0в системе (2.62) существуют квазигармонические колебания малой амплитуды вблизи положения равновесия вида (2.77). Другой предельный случай выражения (2.73) - это сепаратрисные движения при s = 1: т) = U2+(Ui-U2Vch2 ]киг - U2)т (2.86).
Модуль эллиптической функции, описываемый выражением (2.76) , і изменяется от нуля при 17—» Ет±п до - при Е — +оо. В системе (2.62) при S — 0 существуют квазигармонические колебания вида (2.77), а при S2 — - форма движений U(j) существенно не синусоидальна. Периодические решения системы (2.62), соответствующие обеим ветвям потенциальной функции, описываются выражением (2.87). Их качественный вид приведен на рис.2.15, где величины U\, 2 определяются из (2.74) и (2.75). 3. Пусть а 0 , Ъ 0 Выражение для функции потенциальной энергии имеет вид П(и) — ти2 —ти — и 2 , а нули ее производной Q. П (и) = -u6 + u +D -U3 + U2+D (2.90) являются корнями кубического уравнения -иъ + U2 + D= О (2.91) Полином Q(jJ) = — U3 + U2 +D при различных значениях параметра D приведен на рис.2.24а,б. Рис.2.24а Рис.2.246 3.1. При D 0 кубическое уравнение (2.91) имеет один действительный положительный корень, при переходе через который производная П (и) для положительной ветви потенциальной функции меняет знак с "плюса " на "минус" .
Анализ ограниченных решений уравнения Дуффинга
Уравнение Дуффинга описывает достаточно широкий круг динамических процессов, в частности, оно описывает нелинейные колебания дискретных систем и широко обсуждается в литературе по нелинейной механике [70]. К уравнению Дуффинга также приводят задачи , связанные с изучением стационарных волн в нелинейных средах с кубической нелинейностью и дисперсией. Уравнение (3.5) имеет первый интеграл: (3.6) который можно интерпретировать как закон сохранения энергии для ангармонического осциллятора. Здесь Е - константа интегрирования, имеющая смысл начальной энергии системы, а функция f(u) = f u + 7" имеет смысл потенциальной энергии. Уравнение (3.6) допускает разделение переменных: Я = -7 == (3.7) J Е- f(u) и имеет ограниченные решения в области между любыми действительными корнями полинома Е— f(u) , где Е— f(u) 0. Вид решения зависит от коэффициентов а и Ь в уравнении Дуффинга (3.5) и начальной энергии Е. 1. Пусть а 0 / Ъ О. В этом случае функция потенциальной энергии :f(u) = fu +-u4 имеет локальный минимум fmin = О при и=0 (рис.3.2а). На фазовой плоскости I и, - ) точка с координатами (0, 0) является устойчивым положением равновесия типа "центр" (рис.3.2б). -а Рис.3.2.а,б Рис.3.3. Ограниченные решения уравнения (3.7) существуют при 0 Е +оо. Полином Е— f(u) в этом случае имеет два действительных корня Ui,2 =±СС и два мнимых корня ііз,4=ііР где , -a+Ja2 +4bE nJ a+Va2+4bS а z Р = z ъ ъ (3.8) и принимает положительные значения при —а и а (рис.3.2а).Тогда уравнение (3.7) перепишем в виде: «Ujf du ]ЙЙЭ (3.9) и с помощью замены a vx (3.10) сведем к эллиптическому интегралу первого рода: где s Z м dz if Й-So) = Va2+P2J(l-z2)(l-s2z2) 2=a2/(cc2+p2). (3.11) Обращая эллиптический интеграл, стоящий в правой части (3.11) при z— 0,,о = 0 , получаем решение , описывающее нелинейные периодические колебания в виде: u(Q = acn[ (a2+? 2)zsls (3.12) В выражении (3.12) введем следующие обозначения 4ЬЕ /Ь А = a = J( -а + Va2 + 4ЬЕ J СО (3.13) s2= -а+л/а2+4ЬЕ a2+P2 2 а2+4ЬЕ где А - амплитуда колебаний, СО - аналог частоты, S- модуль эллиптической функции, имеющий смысл коэффициента нелинейных искажений формы колебания u( ).
Исключая Е из выражений (3.23), получим связи между параметрами А, 03, S в решении (3.22): 2= Ч, »= а±ьаі. т= 4K(S) (324) 2а + ЬА2 К 2 U + bA2/2 В другой форме записи эти соотношения имеет вид: А=±«йг- Ч ш = F T ( 2 О (3-25) V b l + s2 Vl + s2 ч у С учетом введенных обозначений решение (3.22), описывающее нелинейные периодические колебания по замкнутым фазовым траекториям вблизи сепаратрисы, можно представить в виде: u(5) = Asn( o, s) (3.26) При s , близких к единице, форма колебаний приведена на рис.3.5а. При Е— 0 (S2 « 0 и А«0) выражение (3.22) описывает квазигармонические колебания вблизи положения равновесия вида: u() = Asin(co) (3.27) При E=Emax = -a2/4b, s2 = l сепаратрисное решение: (3.22) описывает u = А\ thg/A) (3.28) где A1c = ±J-a/b, А=1/ш= j2/a (3.29) А\ - амплитуда колебания , А- его длительность. Сепаратрисное решение имеет форму перепада ,его качественный вид приведен на рис.3.56. 3. Пусть а 0 , Ь 0. В этом случае функция потенциальной энергии локальный минимум fmin =— а2/4Ь в точках u = ±V— з/Ь (рис.З.ба). f(u) = f и2 +TU4 имеет локальный максимум fmax — 0 при и = О и а 4K(s) 8K(s) -2a/b JS 4/A Рис.3.6 (a,6) Рис 3.7(а,б,в) На фазовой плоскости (и, --м точки ( ±v— з/Ь , 0J являются устойчивыми положениями равновесия типа "центр" , а точка (0, 0) является "седлом" (рис.3.66.).
Амплитуда изгибной стационарной волны растет прямопропорционально росту скорости, а угол наклона прямой A{V, s) зависит от величины модуля эллиптической функции и увеличивается при увеличении s. Качественная зависимость амплитуды волны от ее скорости при различных значениях коэффициента нелинейных искажений приведена на рис.3.9 (кривые 1,2,3, соответствующие Si ,S2 S3). Амплитуды всех волн, скорости которых лежат в интервале 0 Т/ С , изменяются от нуля ДО А=С EL2 2s2 aP l-2s2 Изгибные стационарные волны, распространяющиеся со скоростями V 1 , начинаются с амплитуды EL2 Is2 А = al l-2s2 . В диапазоне скоростей С V 1 для стержней с а/Е 0 нелинейных стационарных волн не существует. s t A(V,S) U i V Рис.3.9 Рис.3.10 102 Для скоростей 0 V С и выше зависимости А= I (кривая2, рис.3.10) для волн со скоростями V 1 . При увеличении скорости нарастание амплитуды с ростом s происходит быстрее . На фазовой плоскости ( W, тт) решениям (3.50) соответствуют замкнутые фазовые траектории, концентрирующиеся вокруг особой точки типа "центр", расположенной в начале координат.
Нелинейные стационарные волны, которые изучались в п.3.3, возникают вследствие «уравновешивания» эффектов дисперсии и нелинейности. Они описываются эллиптическими фукциями, а их параметры - амплитуда А, скорость V, волновое число к и коэффициент нелинейных искажений s связаны между собой. Из этих зависимостей можно получить соотношения, связывающие скорость нелинейной волны с волновым числом. Их, по аналогии с линейным случаем, называют нелинейными дисперсионными соотношениями.
