Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Адиабатическое приближение для нелинейной упругой среды. Ударные волны . 17
1.1 Модель нелинейного упругого тела 17
1.2 Ударные волны в несжимаемой упругой среде 22
Глава 2 Построение приближенных решений краевых задач динамики несжимаемой упругой среды , 28
2.1 Ударное нагружение плоского массива 28
2.2 Антиплоское движение несжимаемой упругой среды 37
Глава 3 Использование прифронтовых лучевых разложений в численных расчетах ударного деформирования . 50
3.1 Методика расчетов со включением прифронтового лучевого разложения в конечно-разностную схему 50
3.2 Модификация предлагаемой методики на случай двух ударных волн, движущихся с близкими скоростями 58
3.3 Особенности переноса методики на случай криволинейных и расходящихся лучей 66
Заключение 76
Литература
- Ударные волны в несжимаемой упругой среде
- Антиплоское движение несжимаемой упругой среды
- Модификация предлагаемой методики на случай двух ударных волн, движущихся с близкими скоростями
- Особенности переноса методики на случай криволинейных и расходящихся лучей
Введение к работе
Импульсное или ударное воздействие на материал используется для изготовления и упрочнения изделий из них (ковка, высокоскоростная штамповка, пробивание точных отверстий в поверхностных конструкционных элементах, сварка взрывом и др.). Скоротечность таких переходных процессов деформирования заставляет, чаще всего, судить о них лишь по эффектам, которые с их помощью достигаются. Математическое моделирование подобных процессов динамики деформирования также наталкивается на значительные трудности. Такие трудности являются не только преградами расчетного характера, связанными с количественным описанием особенностей процесса интенсивного деформирования, но, главным образом, проблемами постановочными. Главной из них оказывается сопутствующее таким процессам принципиально нелинейное явление возникновения и распространения поверхностей разрывов деформаций (ударных волн). В отличие от газовой динамики, где это явление наиболее изучено, в деформируемых твердых телах наряду с деформациями изменения объема (как в газе) присутствуют и деформации изменения формы. Особенности процесса распространения последних по деформируемой среде отличны от таковых для объемных деформаций. В общем случае процессы распространения деформаций изменения объема и формы взаимозависимы. В газовой динамике обозначена проблема выделения поверхностей
разрывов при численных расчетах гиперзвуковых течений газа, решению которой посвящаются специальные алгоритмические приемы, включаемые в программы расчетов. Взаимосвязанное^ одновременно распространяющихся деформаций формы и объема не позволяет перенести эти приемы в динамику деформирования, поэтому существующие методики расчетов нестационарных краевых задач динамики деформируемых твердых тел основываются, преимущественно, на схемах сквозного счета. При существенной нестационарности задачи (взаимодействие ударных волн между собой и с преградами) алгоритмическое размывание (искусственная вязкость) волновых фронтов может приводить к недопустимым количественным и даже качественным погрешностям. Простейшей моделью, в рамках которой имеется возможность изучить взаимовлияние таких двух процессов распространения деформаций, является модель нелинейной упругой среды.
Теория упругости, как и другие разделы механики сплошной среды, является нелинейной по своей сути. Началом этой теории послужили работы, выполненные Л. Эйлером, Г. Кирхгофом, О. Копій, Д. Грином и другими. Однако развивалась она главным образом как линейная теория (Навье, Пуассон, Бетти, Митчелл, Галеркин, Релей и др.). В начале прошлого века линейная теория приобрела классическую форму. В основном исследования были направлены на разработку математического аппарата для решения краевых задач. Весомый вклад в развитие этой области науки внесли отечественные ученые Г.В. Колосов, Н.И. Мусхелишвили, Г.Н. Савин, С.К. Соболев, М.А.
Лаврентьев.
Первой работой, полностью посвященной именно нелинейной теории упругости, является работа Ф.Д. Мурнагана [ill]. Детальное изучение основ нелинейной теории упругости принадлежит В.В. Новожилову [71], М.А. Био [103], Л.И. Седову [81, 82, 83], А.А. Ильюшину [48], Г. Каудереру [50], В, Прагеру [73], И.И. Гольденблату [33], А. Грину и Д. Адкинсу [34], Л.А. Толоконникову [85], Е.М. Черных [93, 94, 95], А.И. Лурье [65, 66], Д.Д. Ивлеву [46, 47], К. Трусделу [88], Л. Трелоару [87], Г.С. Тарасьеву [84]. Здесь не отмечены работы по теории нелинейно-упругих конструкционных элементов (стержни, пластины, оболочки). Часть таких результатов отмечена в работе В.В. Новожилова, Л.А. Толоконникова и К.Ф. Черных [72]. Отметим области теории упругости, где учет нелинейности лежит в основе. Это прежде всего теория устойчивости деформируемых тел и элементов конструкций [15, 37], нелинейная акустика [39, 78] и проблема изучения переходных процессов деформирования в нестационарных краевых задачах распространения граничных возмущений. В дальнейшем в обзоре уделим внимание последней проблеме.
К первым работам, направленным на исследование ударных волн, необходимо отнести работы Д. Бленда [100, 101, 102], Чжу Бо-Те [105, 106] и Е.М. Черных [93, 94, 95], Д. Бленд рассмотрел условия существования ударных волн в недеформированной упругой среде на примере плоских адиабатических и изоэнтропических волн при линеаризации определяющей системы уравнений. Рассмотрены продольные
ударные волны со сферической симметрией. Решена задача с ударной волной постоянной интенсивности. В дальнейшем эту задачу подробно рассмотрел Д. Б. Карп [49]. В [102] рассмотрены цилиндрические продольные волны в случае изоэнтропического приближения и при отсутствии, предварительных деформаций. Все полученные результаты опубликованы в монографии [10], в которой проведено изучение ударных волн в переменных Лагранжа. В случае плоских ударных волн показана невозможность существования чисто поперечных ударных волн в недеформированной упругой среде. Любое первое исследование всегда связано с допущениями так или иначе упрощающие задачу. Так и в этом случае были наложены ограничения на деформированное состояние перед ударной волной (среда в работах Д. Бленда недефор-мирована). Однако это ни в коем случае не умаляет заслуги Д. Бленда в развитии нелинейной теории упругости.
В отечественной науке также проводились подобные исследования. Первыми из них следует отметить работы Е.М, Черных [93, 94, 95]. Им рассмотрены условия существования ударных волн [93] и получено решение автомодельной задачи для материала, подчиняющегося закону Гука, но допускающий большие деформации. Геометрически нелинейная модель получалась путем замены в.законе Гука тензора малых деформаций на тензор деформаций Альманси, при этом учитывая нелинейность в кинематических соотношениях. Развитием дан-нога направления исследования послужили работы А.Д. Чернышова [96] и Г.Ф. Филатова [89, 90, 91]. В них получены условия существова-
ния ударных волн с учетом предварительных деформаций и скорости распространения возможных типов ударных волн. Все эти исследования относятся к шестидесятым годам прошлого века.
В семидесятые-восьмидесятые годы были получены новые важные результаты, причем их отличием от предыдущих заключается в отказе от ограничений, с помощью которых строились первые математические модели. В более общей форме выбираются основные соотношения, рассматриваются задачи с учетом предварительных деформаций, указываются условия существования продольных, квазипродольных и квазипоперечных ударных волн, вычисляются скорости их распространения, проводится термодинамический анализ необратимого процесса в ударной волне, рассматривается вопрос о поляризации волн. Решен ряд задач, допускающих автомодельный подход [35]. Важными следует признать работы А.А. Буренина и А.Д. Чернышева [26, 27], которые показали, что производство энтропии в квазипродольных ударных волнах не зависит от предварительных деформаций, для некоторых материалов получен аналог теоремы Цемплена для идеального газа, то есть показано, что и в упругой среде существуют только квазипродольные волны сжатия. Обнаружено, что в большинстве случаев на квазипродольных ударных волнах происходит уменьшение предварительных сдвиговых деформаций, а на квазипоперечных всегда присутствует уменьшение предварительного сжатия. Отметим работы [5, 29, 35, 36, 40, 66, 89, 90, 91, 101, 108, 110, 113, 115]. В них рассмотрены особенности распространения ударных волн в нелиней-
ной динамической теории упругости.
Чжу-Бо-Те [105, 106] рассмотрел распространение ударных волн в случае несжимаемой упругой среды, Им была впервые получена замкнутая система уравнений в разрывах, вычислены скорости распространения ударных волн, зависящие от предварительных деформаций, разрыва касательного напряжения и деформаций. На примере идеальной несжимаемой резины получено условие существования ударной волны нагрузки, как следствие термодинамических ограничений на возможные разрывы. Проблемам распространения ударных волн в несжимаемой упругой среде посвящены работы [17, 59, 60, 61, 63, 74, 75, 107].
Важный вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли А.Г. Куликовский и Е.И. Свешникова [55, 56, 57, 58]. Система уравнений в разрывах в их работах записывается в переменных Лагранжа. В результате авторы детально изучили плоские ударные волны, условия их существования и условия эволюционности разрывов, а также ряд других вопросов, которые ставит математическая физика по постановке краевых задач с плоскими ударными волнами. Аналогичный метод исследования применялся в [114]..
Э.В. Ленский изучал свойства комбинированных сильных разрывов для упругой среды, определяемой упругим потенциалом, зависящим от первых двух инвариантов тензора деформаций. В [109] рассматривались поверхности разрывов в материалах. В [97] рассматривались квазистационарные плоские разрывы в условиях плоской де-
формации. Поверхностные разрывы на плоских границах нелинейно-упругих тел изучались Г.И. Быковцевым и его учениками [8, 9]. В [80] изучаются свойства упругой среды, имеющей слабую анизотропию, в [92] рассматриваются материалы, по-разиому сопротивляющиеся растяжению и сжатию.
Решению краевых задач динамики упругой среды с ударными волнами посвящены работы [1, 2, 24,.25, 26, 28, 80, 38, 49, 57, 59, 60, 94, 18], в которых рассматривались автомодельные задачи. Для решения неавтомодельных используются, в основном, различные модификации метода возмущений и лучевой метод. Одним из вариантов метода возмущений является метод последовательного интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. На основе решения эволюционного уравнения квазипростых волн У.К. Нигул и Ю.К. Энгельбрехт исследовали [99, 67, 68, 70] возможность и время возникновения ударных одномерных волн при непрерывных воздействиях. Метод сращиваемых асимптотических разложений: на основе решения эволюционных уравнений, предложен А.А. Бурениным и обобщен В.Е. Рагозиной в [74]. В [75] продемонстрированы приемы численного сращивания прифронтовых асимптотик с конечно-разностной аппроксимацией уравнений в областях, удаленных от ударных:волн, на основе построения неявной конечно-разностной схемы.
Другой возможностью для построения приближенных решений является лучевой метод. Прифронтовые асимптотики можно построить, исходя из динамических, кинематических и геометрических усло-
вий совместности на движущихся поверхностях разрывов. Разработка теории таких поверхностей берет начало с работ Адамара. Дальнейший вклад внесли Т. Томас [86], Г.И. Быковцев [7] и Д.Д, Ивлев [47]. Метод построения асимптотических разложений решения краевых задач динамики называется авторами лучевым [7] по аналогии с методом коротковолновых асимптотик [6]. Способ построения лучевых разложений решения за фронтом волны разрывов основан на представлении его в виде степенного ряда по типу ряда Тейлора, коэффициентами которого являются неизвестные разрывы. Для последних, следуя условиям совместности, получают реккуреытную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями затухания. Такой подход был независимо и в различных формах предложен Г.И. Быковцевым и Д. Ахенбахом, Д. Редди в шестидесятых годах прошлого века. В дальнейшем Г.И. Быковцеву и его ученикам удалось таким способом решить целый ряд нестационарных динамических задач механики деформируемого твердого тела [7, 8, 9, 40, 64, 77, 98]. Обстоятельный обзор работ данного направления содержится в работе Ю.А. Россихина и М.В. Шитиковой [112]. Эту обзорную статью они посвятили светлой памяти своего учителя Г.И. Быковцева.
При численном решении нестационарных задач основные проблемы возникают тогда, когда необходимо рассчитывать разрывные решения. В настоящее время существует два основных подхода к расчету скачков решения: схемы с выделением разрыва и методы сквозного счета. Метод выделения разрыва, позволяющий рассчитывать раз-
рывные решения без размывания скачков, был предложен С.К. Годуновым и основан на использовании подвижных сеток. В расчетной области, с помощью известного соотношения на скачке, выделяется поверхность разрыва. Течение за фронтом является гладким и расчет его по явным или неявным схемам не вызывает больших: проблем. Метод широко и эффективно используется при расчете газодинамических течений, для которых характерно присутствие различных поверхностей разрыва, положение и конфигурация которых.неизвестны.
При выборе численной схемы сквозного счета для исследования распространения ударных волн и их взаимодействия нужно отдать предпочтение схемам повышенного порядка точности, позволяющим более точно описывать картину течения, экономить время решения задач на ЭВМ. Однако, линейные разностные схемы второго и выше порядка аппроксимации немонотонны: возникающие при расчете разрывных решений нефизичные осцилляции существенно искажают картину течения. Помехи, вызванные немонотонностью, для ряда задач принципиальны. Это приводит к необходимости разработки специальных способов борьбы с ними.
Одним из способов подавления нефизичных эффектов является процедура введения в дифференциальные уравнения дополнительных членов, называемых искусственной вязкостью. Другой основан на процедуре мопотонизации, представляющую собой подстройку численного алгоритма в зависимости от характера решения на предыдущем временном слое. В результате строится нелинейная разностная схема,
сохраняющая высокий порядок точности. К этому семейству методов можно отнести алгоритмы, предложенные И.О. Вогульским [11,12,13].
С.К. Годунов предложил метод для расчета одномерных и многомерных задач газовой динамики. На каждом слое решение рассматривается как кусочно-постоянное, а для вычисления некоторых вспомогательных величин на промежуточных этапах используются формулы распада произвольного разрыва. На основе метода Годунова и его модификаций получено решение ряда задач динамической теории упругости как в плоской геометрии, так и в криволинейных системах координат [76]. Существенная сложность определяющих уравнений твердого тела и специфика этих задач не позволяют непосредственно переносить результаты из области гидромеханики на задачи твердого тела. Подробный обзор и анализ различных подходов к решению динамической теории упругости и пластичности можно найти в работе Афанасьева СБ. и Баженова В.Г. [3]. Существующие методы решения задач динамики твердых тел можно представить в виде трех направлений: методы конечных элементов, характеристические и сеточно-характеристические методы, сеточные или конечно-разностные методы.
Под методами конечных элементов понимают подходы, основанные на дискретизации расчетной области и формировании конечных соотношений между искомыми величинами на основе механики в вариационной форме, минуя стадию формулировки краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Такой подход дает определенные
преимущества при описании процесса деформирования тел со сложной геометрией. Метод зарекомендовал себя для решения статических задач и интенсивно используется при исследовании нестационарных процессов в деформируемых твердых телах. Среди отечественных работ этого направления отметим работы Афанасьева СБ., Баженова В.Г., Кочеткова А.В. и др. [4], Вогульского И.О. [14], Бураго Н.Г. и Кукуджанова В.Н. [16], Коробейникова С.Н. [54].
Как сочетание и обобщение методов конечных элементов и вариационно-разностных можно упомянуть дискретно-вариационный метод, разработанный для исследования нестационарных процессов в слоистых и композиционных средах. Характеристические и сеточно-характеристические методы основаны на записи системы дифференциальных уравнений в характеристической форме с последующей их конечно-разностной аппроксимацией. Различают прямой и обратный; характеристический метод.. Среди, работ, посвященных: применению: сеточно-характеристических методов для решения динамических задач деформирования упругих и упругопластических тел, можно указать работы Кондаурова В.И. и Кукуджанова В.Н. [51], Кондаурова В.И:, Петрова И.Б., Холодова А.С. [52, 53].
Сеточные методы решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела основаны на аппроксимации гиперболической системы дифференциальных уравнений, описывающей движение среды, краевых и начальных условий для нее. В настоящее время это наиболее разработанный и часто используемый способ численно-
го интегрирования задачи. Алгоритм представляет собой пересчет известного решения с нижнего слоя по времени (начиная с известных начальных условий) на следующий верхний слой. Известны и многослойные методы, когда в вычисление решения на некотором шаге участвуют несколько предыдущих слоев.
В зависимости от того, дает ли такое вычисление непосредственно значения искомых величин на верхнем слое или же для их определения необходимо решать систему перевязанных между собой уравнений, различают явные или неявные схемы.
В пользу применения неявных схем при решении динамических задач говорит тот факт, что в большинстве своем неявные схемы абсолютно устойчивы, что позволяет вести' интегрирование с большим шагом по времени. Кроме того, им может быть отдано предпочтение при решении задач с сильной неоднородностью рассчитываемого течения, так как использование в этом случае явных схем связано с большим различием величины шага интегрирования в разных точках области, что приводит к необходимости использования малого шага по времени. Однако, при расчете волновых процессов с большими градиентами, на шаг по времени все равно возникают ограничения, вызванные соображениями точности, которые не позволяют выбирать его достаточно крупным. Сеточным методам посвящены работы Вогульского И.О., Волчкова Ю.М., Иванова Г.В., Кургузова В.Д. [30, 31, 32]. В [79] Садовский В.М. провел численное моделирование разрывных решений задач динамики упругопластических сред на основе теории вариаци-
онных неравенств. Преимуществом такого подхода является то, что единообразно формулируются в виде вариационных неравенств как ограничения, содержащиеся в определяющих соотношениях упруго-пластических сред, так и кинематические ограничения на контактных границах. В [79] предложен ряд численных алгоритмов решения задач, допускающих постановку в виде вариационных неравенств. Полный обзор работ, посвященный численному моделированию динамических задач, приводится в [45].
В настоящей работе предлагается использовать специально построенные прифронтовые лучевые разложения для расчета краевых задач динамики деформирования с целью выделения поверхностей разрывов. Она состоит из трех глав.
Первая глава носит вспомогательный характер. В ней обсуждаются особенности постановок краевых задач динамики несжимаемой упругой среды. Выписываются условия существования ударных волн, вычисляются скорости их распространения в зависимости от предварительных деформаций и характера производимого воздействия.
Во второй главе для решения краевых задач динамики деформирования предлагается лучевой метод. Таким образом было получено приближенное решение краевой задачи ударного деформирования плоского предварительно продеформированного массива. Наличие предварительных деформаций вызывает наряду с ударными волнами нагрузки существование ударных волн поворота, которые вносят специфику в построение лучевых разложений. Методика построения
приближенных решений краевых задач ударного деформирования лучевым методом обобщена на случай криволинейных и расходящихся лучей. В качестве примера применения данной обобщенной методики получено приближенное решение краевой задачи об антиплоском движении несжимаемой упругой среды, ударно нагружаемой по границе эллипсоидальной цилиндрической полости в ней.
В третьей главе указаны алгоритмические приемы использования построенных прифронтовых асимптотик для целей выделения поверхностей разрывов в численных расчетах ударного деформирования. Построены неявные конечно-разностные схемы расчетов ударного деформирования несжимаемого плоского упругого массива с предварительными деформациями и без них, которая за счет включения в них прифронтовых лучевых асимптотик позволяет отслеживать на каждом временном шаге положения как ударной волны нагрузки, так и ударной волны поворота. На примере антиплоского движения несжимаемой упругой среды предложена неявная конечно-разностная схема расчета неодномерных краевых задач динамики деформирования с криволинейными и расходящимися лучами.
В главах используется двойная нумерация формул, первый номер-номер главы. На протяжении всей главы нумерация сквозная, рисунки и графики помещены в тексте. При численных расчетах использовались стандартные процедуры, поэтому объяснение методов и программ отсутствует.
Ударные волны в несжимаемой упругой среде
Ударной волной называется движущаяся поверхность S, на которой функции, описывающие движение сплошной среды, могут претерпевать разрыв первого рода, т.е. менять свои значения скачкообразно. В этом случае законы сохранения, описанные в предыдущем параграфе, не выполняются (соотношения (1.14), (1.15), (1.16)). Однако, из них следуют ограничения, которые называются динамическими условиями совместности разрывов. Следствие закона сохранения массы записывается в виде: lp(v j-G)] = 0. (1.21) Из закона сохранения импульса следует соотношение: Ы Ч = Р+ (vfy - G) [щ). (1.22) Следствие закона сохранения энергии на поверхности разрывов записывается в виде: 4 N ч = Р+ Ыч - ) { Щ + \Е\} Ы Уу (1-23)
В формулах (1.21)-(1.23) введены следующие обозначения: знаком "+" обозначено значение функции, вычисляемое перед Е, "—"- после по верхности разрывов, квадратными скобками обозначен разрыв величины, т.е. [тп] = тп+ — m , Vj- компоненты единичной нормали к 2, направленной в сторону ее распространения, G— скорость движения поверхности разрывов (ударной волны), вычисляемая следующим образом. Пусть уравнение поверхности разрывов задается уравнением Т{х\, Х2, %з) — 0. Тогда скорость такой поверхности есть
На ударной волне, помимо динамических условий совместности, должны выполняться геометрические условия совместности разрывов [86], как следствие неразрывности геометрии движущейся поверхности разрывов: [m,j] = IIVJ + да/3 [m] ,а х$#. (1.25) Здесь введены следующие обозначения: да@— поверхностный метрический тензор, Xj$ — Б {Р = 1,2), где уР—криволинейные координаты на по-оур верхности разрывов. К соотношениям (1.21)-(1.25) добавим еще одно, называемое кинематическим условием совместности: dm] „ 6 [ml . nf%. it\= Gfi+6r- (1-26) Здесь— обозначена дельта-производная, определяемая следующим Ы образом si = %+i&,- (1 ) И, наконец, условие возрастания энтропии при переходе через поверхность разрывов приводит к термодинамическому условию совместности разрывов: -\Р+ {4ъ - G) Ы (] - т± Ы VJ - {v+Щ - G) [W] 0. (1.28) z но В заключении этого параграфа получим условия существования поверхностей сильных разрывов (ударных волн) и скорости их распространения. Итак, рассмотрим несжимаемую упругую среду. Ее свойства зададим упругим потенциалом; W = (а - д) h + al2 + blf - Xhh - t//f + k% + ... (1.29) Когда \i и а отличны от нуля, то получаем Эйлеров аналог потенциала Муни. Если к тому же о = 0, то данная зависимость переходит в упругий потенциал Трелоара. Свойства поверхностей разрывов в несжимаемой упругой среде рассматривались в [17]. Рассмотрим одномерный случай, когда щ — U2(xi,t), и$ — щ(хі,і),.а вследствие несжимаемости Ui = 0. В таком случае из формулы Мурнагана (1.20) следует, что к=\ со 0їі = Чі5!л т »- = 2,3 (1.30) m = Г/д + С/д, Коэффициенты #t,7fc вычисляются через а, , 6, х»1?) в (1-29). В частно-сти Pi = а + /І; 7о = м; 71 — а + Ь + к -Ь Х Предполагаемый одномерный характер движения требует, чтобы возникающие поверхности разрывов были и оставались плоскими. Условия совместности на них следует записать в виде:
Соотношение [o"nJ = 0 при получении (1.32) не использовалось. Оно служит для вычисления добавочного гидростатического давления р. Остальные два соотношения (1.32) необходимы для вычисления скоростей возможных ударных волн и для получения условий их существования. При известном деформированном состоянии перед плоскостью разрывов в них входят три неизвестные величины: это скорость движения G плоскости, разрывов и величины разрывов тг, тз отличных от нуля компонент г д и «з,і градиента перемещений. Условие разрешимости (1.32) принимает смысл условия существования возможных ударных волн. С целью получения такого условия умножим первое соотношение г = 2 из (1-32) на гз, второе (г = 3)—на Т2 и вычтем одно из другого.
Антиплоское движение несжимаемой упругой среды
В предыдущем параграфе была описана методика построения приближенных решений для случая, когда ударные волны были плоскими, а лучи- прямыми, перпендикулярными плоскости разрывов. Оказывается, что описанный выше метод позволяет решать задачи, когда движение сре ды не является плоским. В этом параграфе мы обратим внимание на особенности построения приближенных решений для случая криволинейных и расходящихся лучей. Для этого рассмотрим задачу об ударном нагружении боковой поверхности прямого цилиндрического отверстия с направляющей эллипсом. Так как отверстие имеет форму эллипса, то удобно данную задачу решать в эллиптической криволинейной системе координат.
Эллиптическая система координат. Рассмотрим х у + т = 1. — 1-ое координатное семейство а2 + т Ь2 +т Если считать а 6, что допустимо за счет выбора осей х, г/, то ограничение для г следующее: т —б2. При любом допустимом значении г у каждого эллипса этого семейства фокусы совпадают. Второе семейство выберем так, чтобы фокусы оставались теми же, а линии были бы гиперболами: х У2 = І а2 + 7 Ь2 — а Ограничения на а: а2 + сг 0; т -а2\ — т — Ь2 0; а -Ъ2. Общая система условий запишется в виде: — а2 а -Ь2 т +оо. Из курса аналитической геометрии можно показать, что данные семейства кривых образуют ортогональную сетку. Декартовые координаты х и у можно выразить через криволинейные т и а: х2 = (а2 + т)(а2 + а)_ (ь2 +%# + ) im У Ь2 а2 Формулы (3.12) получены при условии, что а Ь. В дальнейшем координаты х пу будем обозначать у\ и j/2 а криволинейные г и т-х1 и а;2 соответственно. Перейдем теперь непосредственно к постановке задачи. Рассмотрим несжимаемую упругую среду, в которой есть эллиптическое отверстие. Начиная с момента времени t — О, на боковой поверхности цилиндра произ 2 2 Ул Уо водится нагружение такое, что граница LQ : - + = 1 движется согласно а1 Ъл зависимостям: Ux = U, = 0; io 2.29) з = 9it+ 92t Предварительные деформации в среде отсутствуют, т.е. Ui = 0; і = 1,2,3. t o Согласно (2.28): Уі = ± У2 = ± (а2 + г) (а2 + сг) а2-б2 (б2 + т) (& + ?) б2-а2 (2.30)
Предположим, что задача симметрична относительно координатных четвертей. Это позволяет в (2.30) оставить "+", т.е. рассматривать решение в первой координатной четверти. Рассмотрим уравнение движения среды: д21Р (2.31) dt2 Здесь и далее индексы г, j принимают значения 1,2,3, т1} дважды кон-травариантный тензор напряжений, pQ—плотность среды. В (2.31) запятой обозначено ковариантное дифференцирование по соответствующей координате х3. В криволинейной системе координат данное уравнение принимает вид: дх3 3s 3s po Qfi Здесь Г -3—символы Кристофеля 2-го рода. Компоненты тензора а%3 вычисляются согласно о = ? с\. (2.33) Здесь а\—один раз контравариантный и один раз ковариантный тензор напряжений, gsj— дважды контравариантный пространственный метрический тензор. Из курса дифференциальной геометрии ?%. = & (2.34) $1 символ Кронеккера. ІІЛ.ІІ = 11 = I О Р22 0 . (2.35) Здесь (2.36) 4{а2 + х1){& + х1у %2 —Х\ 522 = 4{а + х2)(Ь2 + х2У Соотношения (2.36) получены, используя (2.30) и (2.35). Из (2.34) и (2.35) следует, что 9 =Тц 1 = Г (2.37) Компоненты тензора а\ из (2.33) можно посчитать, используя формулу Мурнагана, которая записывается в виде: І ri (dWdh dWdh\fsk 0 Лч ,n_ 5 - -« + [ЖЩ + ад Щ) W -2 (2-38) "Sir Здесь p—неизвестная функция давления, W—упругий потенциал, являющийся функцией инвариантов /1,/2 тензора деформаций Альманси а\. W = {a ii)h + al2 + blj - xhh V?i + - , (2.39) Компоненты тензора а - вычисляются согласно операции поднятия индекса: с& — glsaSj] aSj —тензор деформаций Альманси, вычисляемый так: Г -о»Г .,- Г ,-1 (d9ij I %fe И Таким образом, используя соотношения (2.33)-(2.40), уравнения движения среды (2.32) запишутся в виде:
В формуле (2.41) a = b + + a + ii;b= b+ ; jl = a + fi. Из этих уравнений для нахождения перемещений нам потребуется только последнее. Первые два используются для отыскания неизвестной функции давления р по уже найденным функциям перемещений.Динамические процессы ударного деформирования являются существенно нелинейными. Получить точное аналитическое решение в таких задачах фактически нельзя. В этом случае используются приближенные методы решения или численный счет. Предыдущая глава была полностью посвящена описанию особенностей построения приближенных решений на основе лучевого метода. Здесь обратим внимание на конструирование численных алгоритмов расчетов.
Как известно, вычислительные алгоритмы широко используются в газовой динамике. Основываются они на методе характеристик или методе Годунова (схема распада разрыва), которые позволяют отслеживать образование и движение ударных волн. Однако, в нелинейной динамике такие алгоритмы нереализуемы из-за того, что ударное деформирование представляет собой два (а не один, как в газовой динамике) взаимосвязанных процесса: процесс распространения деформаций объема и процесс распространения деформаций формы.
Модификация предлагаемой методики на случай двух ударных волн, движущихся с близкими скоростями
В динамике деформируемых тел распространены, в основном, раз личные численные схемы сквозного счета, связанные с размыванием фронта волны. Недостаток таких схем заключается в том, что при существенной нестационарности задачи подобный численный счет приводит не только к количественным, но и к качественным погрешностям.
В этой главе продемонстрируем методику построения неявных конечно-разностных схем расчетов. Эти схемы будут включать лучевые разложения решений за поверхностями разрывов деформаций. Такие решения справедливы в прифронтовой области и содержат в себе константы лучевого разложения, связанные с закономерностями послеударного граничного воздействия. Когда время не мало, эти постоянные определить из граничных условий нельзя, поэтому они неизвестны. Тогда разностные зависимости, аппроксимирующие систему нелинейных дифференциальных уравнений движения точек среды можно построить, отходя от неизвестной поверхности разрывов и предполагая справедливость в крайних узлах сетки лучевого разложения. Это позволяет на каждом временном шаге указывать положение поверхности разрывов. Обратим внимание на то, что численные конечно-разностные схемы, которые будут описаны в этой главе, являются неявными. Этот факт позволяет не уделять внимание проблеме устойчивости конечно-разностных схем расчетов.
Рассмотрим задачу об ударном нагружении упругого полупространства, не имеющего предварительных деформаций. В [19] получено аналитическое решение этой задачи, справедливое для малых времен. Метод построения такого решения описан во второй главе. Записывается оно в виде:
Разобьем область задачи регулярной сеткой с шагом Ат по переменной т (т = гпАт, где m = 0,1,2,...). По пространственной координате тоже выбирается шаг Ду. На рис. 2 DE и KL обозначены последний и предпоследний временной слой соответственно, в которых поле перемещений определяется посредством (3.1). В каждой точке слоя MN перемещения считаются неизвестными и подлежат определению.
Линию KL (временной слой с номером т) разбиваем равномерно с шагом Ау на п отрезков. В результате получаем (п+1)- узел. Таким образом иа временном слое DE (слой с номером т+1) узлов будет уже (п+2)(добавляется узел соответствующий точке D). На неизвестном слое узлов будет тоже (п+2). Дело в том, что положение точки N неизвестно, тем самым мы.не можем. выбирать узлы, лежащие выше линии DR. Перемещение в точке М известно и определяется в соответствии с граничными условиями. Таким образом на линии MN (временной слой с номером т+2) неизвестны перемещения в (п+1) узлах. Если к ним добавить две неизвестные константы прифронтового лучевого асимптотического разложения, то получится, что на каждом временном слое неизвестных величин: всего (п+3).
В результате на каждом временном шаге можно написать (п-1) уравнений вида (3.5), Для точек, близко прилегающих к фронту ударной волны (область PKDRQ), регулярность сетки нарушается. В этом случае частные производные по переменным у, т заменим па следующие конечно-разностные выражения:
Нетрудно видеть, что в уравнение движения (3.3) будут входить узлы, расположенные на шаблоне, изображенном на рис. 4
В результате на каждом временном шаге имеем (n+З) неизвестных и следующие уравнения: (п-1) уравнений вида (3.5) для узлов сетки, не прилегающих непосредственно к фронту ударной волны, одно уравнение вида. (3.7) для узлов сетки, прилегающих к фронту ударной волны и три уравнения вида (3.1). Таким образом получается замкнутая нелинейная система алгебраических уравнений. Решение этой системы проводилось стандартным итерационным методом, поэтому текст программы в работе не приводится.
Особенности переноса методики на случай криволинейных и расходящихся лучей
В этом параграфе покажем особенности построения неявной конечно-разностной схемы расчетов в задаче об ударном нагружении боковой поверхности прямого цилиндрического отверстия с направляющей эллипсом. В параграфе 2 главы 2 было получено приближенное аналитическое решение этой задачи, справедливое для достаточно малых времен. Формулы (2.69), (2.70) определяют поле перемещений в области за фронтом ударной волны. Положение этого фронта можно определить следующим образом: W fu ). (3.20) С, 7и определяются согласно (2.65), (2.36) соответственно. Из (3.20) видно, что положение фронта волны определяется только тогда, когда известна величина \ш, т.е. при малых временах.
Линия АВ (рис. 12) соответствует криволинейной координате я:1 = О (начальный момент времени). Будем считать, что для достаточно малых времен фронт волны будет сохранять эллиптическую геометрию. Это позволяет аппроксимировать функциональную зависимость для фронта вол ны эллипсом (х1 = const). На рис. 12 линия CD характеризует положение волны в момент времени ti, линия FT- в момент времени І2- Необходимо определить поле перемещений в момент времени з Рис. 12.
Область задачи разбиваем регулярной сеткой с шагом Дт по временной координате, Ах1 по лучевой координате, Дх2 по экональной координате. у На рис. 12 линиями FT, CD обозначены последний и предпоследний временной слой соответственно такие, что в области ABTFA поле перемещений определяется посредством (2.69). Для остальных времен перемещения считаются неизвестными и подлежат определению.
Разбиваем дугу АВ на п частей. Получаем (п-ЬІ)-узел или (п-Ы) лучей. Зафиксируем произвольный луч, например AF (его номер п=0). J D N R к. F /v Q о L е и Рис. 13.
Линии KL на рис. 13 соответствует линия АС на рис. 12 в момент времени ti. Аналогом ED является AF в момент времени t2. Линию KL (временной слой с номером к) разбиваем равномерно с шагом Дх1 на m отрезков. В результате получаем (m-j-1) узлов. На временном слое DE ( слой с номером (к+1)) узлов будет (пт+2).. Перемещения в точке М известно и определяется в соответствии с граничными условиями. Таким образом на линии MN (временной слой с номером (к+2)) неизвестны перемещения в (m+1) узлах. Если к ним добавить две неизвестные константы прифронтового лучевого асимптотического разложения, то получится, что на каждом луче неизвестных величин (т+3). Лучей всего (п+1). Следовательно, на каждом временном слое получается (п+1) (т+3) неизвестных величин.
Для нахождения перемещений точек среды рассмотрим третье уравнение из (2.41). Частные производные заменим на конечно-разностные аналоги следующим образом:
1. Разработана вычислительная методика, основанная на конструировании неявной конечно-разностной схемы расчетов, включающей в себя приближенное асимптотическое решение в качестве начального. Это позволяет не только находить поле перемещений в области, удаленной от фронта ударной волны, но и указывать положения фронтов ударных волы на каждом шаге вычислений.
2. С помощью описанного алгоритма были численно решены задачи об ударном нагружении упругого полупространства как имеющего, так и не имеющего предварительные деформации.
3. Вычислительная методика перенесена на случай криволинейных и расходящихся лучей. Численно решена задача об антиплоском движении несжимаемой упругой среды.
