Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача о механических свойствах поверхностных слоев твердых тел . 9
1.1. Актуальность теоретического изучения механических процессов, происходящих вблизи границы адгезионного контакта двух тел или свободной границы тела. 9
1.2. Общие представления о физическом состоянии приповерхностного слоя твердого тела 21.
1.3. Гипотезы о механическом поведении деформируемых твердых тел вблизи граничных поверхностей. 26
1.4. Возможности моделирования свойств приповерхностных слоев на основании известных теорий 36.
1.5. Выводы о возможности решения задачи о механических свойствах поверхностных слоев твердых тел 51.
Глава 2. Деформированное состояние материала . 53
2.1. Постановка задачи об описании деформированного состояния. 53
2.2. Геометрические свойства второго градиента перемещений. 55
2.3. Обоснование введения второго градиента перемещений. Однородность деформированного состояния бесконечно малой области . 59
2.4. Второй тензор деформации. Его инварианты. 63
2.5. Итоги анализа деформированного состояния. 67
Глава 3. Система внешних воздействий. Напряженное состояние Уравнение движения . . 68
3.1. Постановка задачи о напряженном состоянии. 68
3.2. Уравнения движения. 70
3.3. Первый и второй тензоры напряжений. 77
3.4. Механический и физический смысл понятия гиперсилы. 82
3.4.1. Механический смысл. 82
3.4.2. Физический смысл понятия гиперсилы. 84
3.5. Итоги анализа напряженного состояния . 87
Глава 4. Отсчетная конфигурация. Конституционные соотношения . 89
4.1. Отсчетная конфигурация и состояние материала в ней. 89
4.2. Конституционные соотношения. Уравнения движения в перемещениях. 91
4.3. Возможность использования теории для описания свойств приповерхностных слоев твердых тел. Физический смысл параметров 94
4.4. Возможность экспериментального определения и оценка величины постоянных 97
4.5. Переход от теории решетки к теории упругости. 109
4.6. Итоги анализа построения определяющих соотношений. 114
Глава 5. Адгезия пленки и подложки . 116
5.1. Постановка задачи об адгезии двух твердых деформируемых тел. 116
5.2. Адгезия двух бесконечных пластин. 119
5.3. Энергия адгезии двух бесконечных пластин. 125
5.4. Анализ полученных результатов, их сопоставление с данными экспериментов. 126
5.5. Адгезия твердых тел - третий тип контактного взаимодействия. 132
5.6. Возможности определения гипернапряжений в экспериментальных условиях. 136
5.7. Результаты описания процесса адгезии пленки и подложки. 144
Глава 6. Напряженно-деформированное состояние в окрестности концентратора напряжений . 146
6.1. Необходимость учета концентраторов напряжений при изучении механики приповерхностных слоев. 146
6.2. Действие сосредоточенной силы на вершину клина. 147
6.3. Задача о растяжении упругой плоскости, ослабленной вырезом. 155
6.4. Бесконечность напряжений и конечность компонент тензоров напряжений в окрестности вершины клина. 156
6.5. Анализ результатов решения задач. 163
Глава 7. Особенности распространения волн в упругой среде . 164
7.1. Актуальность учета особенностей механического поведения материала в приповерхностных слоях при изучении динамических процессов. 164
7.2. Учет начального напряженного состояния при решении задач динамики. 165
7.3. Вынужденные колебания в упругом полупространстве. 168
7.4. Классификация волн в бесконечно протяженной среде. 186
7.5. Поверхностные волны Рэлея. 192
7.6. Результаты анализа особенностей динамики упругих сред. 201
Заключение 205
Список использованных источников 207
Приложение 222
- Общие представления о физическом состоянии приповерхностного слоя твердого тела
- Обоснование введения второго градиента перемещений. Однородность деформированного состояния бесконечно малой области
- Итоги анализа напряженного состояния
- Возможность экспериментального определения и оценка величины постоянных
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время бурно развиваются отрасли техники, широко использующие высокочувствительные микроэлектронные полупроводниковые приборы и устройства, носители информации, способные воспринимать высокую плотность записи. Основной элемент этих изделий -конструкция "пленка - подложка", а принцип работы таков, что физические явления, лежащие в его основе, происходят в сверхтонких слоях материала, прилегающих к границе раздела пленки с подложкой, находящихся в состоянии адгезии. Механические процессы в этих областях определяют долговечность изделий, их прочность. Кроме того, они могут влиять на характер протекания других физических процессов (пьезорезисторный эффект, двулучепреломление и т. д.). Атомно-молекулярная структура пленки и подложки вблизи границы контакта отличается от их объемных структур. Это приводит к разнице в механическом поведении приповерхностных слоев и слоев в глубине материала. Таким образом, описание особенностей упругости поверхностных слоев твердых тел является актуальной технической задачей, решение которой может существенно повлиять на ускорение технического прогресса в микроэлектронике, производстве интегральных схем, носителей информации персональных компьютеров.
Цель работы - на основании известных представлений механики деформируемого твердого тела, имеющихся экспериментальных данных построить линейную теорию упругости изотропного тела, объясняющую его особое механическое поведение вблизи свободной границы или границы двух тел, находящихся в состоянии адгезии. Под особым механическим поведением понимается появление поверхностной энергии и поверхностного натяжения при образовании свободной поверхности тела, их преобразование в энергию адгезии при слипании двух тел.
Методы исследования - теоретические, основанные на представлении: в любом твердом теле напряжения, деформации механическая энергия распределяются гладко по всему объему. В процессе исследований используются известные вариационные принципы механики сплошных сред.
Новые научные положения и результаты, полученные лично соискателем:
• построена линейная теория упругости изотропного материала, позволяющая учесть не только относительные удлинения и сдвиги элементарных материальных волокон, но и изгибы, а также неравномерность распределения относительного удлинения вдоль их длины;
• обосновано существование напряженно-деформированного состояния вблизи свободной поверхности тела, обуславливающего наличие поверхностного натяжения и поверхностной энергии, построение методики их расчета;
• выяснен физический смысл, методы вычисления и экспериментального определения дополнительных констант упругости, введенных в предложенной модели упругого тела; конкретные значения этих постоянных для ряда материалов, полученные в соответствии с предложенными методами;
• показана возможность вычисления энергии адгезии двух твердых тел, используя константы, характеризующие механическое поведение каждого из них; решение задачи об адгезии двух бесконечных пластин конечной толщины;
• найдено решение задач о действии сосредоточенной силы на вершину клина и о растяжении бесконечной плоскости, ослабленной поперечным вырезом, края которого смыкаются под острым углом; свидетельствующее о конечности компонент тензоров напряжений и деформаций, развивающихся в окрестностях угловых точек.
Обоснованность и достоверность научных положений и выводов,
сформулированных в диссертации, следует из того, что при их получении использованы известные теоретические и экспериментальные данные, известные законы и принципы механики, точные решения соответствующих задач. Кроме того, полученные теоретические положения и выводы находятся в удовлетворительном качественном и количественном соответствии с известными общефизическими представлениями, данными экспериментов. Практическая ценность работы состоит в создании теории, на основании которой можно рассчитать напряженно-деформированные состояние вблизи свободной поверхности, вблизи адгезионного шва и энергию адгезии контактирующих тел, в частности, пленки и подложки. Кроме того, предложенная теория позволяет получить конечные значения компонент тензора напряжений вблизи их концентраторов, ограниченных не только гладкой поверхностью, но и поверхностями, смыкающимися под острым углом. Этот результат практически ценен при расчете и проектировании режущего инструмента, оценке прочности и долговечности конструкций и сооружений.
Использование результатов работы. Результаты работы могут быть рекомендованы к использованию в научно-исследовательских и проектно-конструкторских организациях при проведении работ по созданию микроэлектронных устройств, носителей информации персональных компьютеров, любых других изделий, использующих тонкопленочные покрытия, проектировании режущего инструмента, оценке долговечности, прочности и надежности элементов конструкций, испытывающих действие сосредоточенных сил, в которых могут появляться микротрещины.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на
• международная конференция "Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов". -С. -Петербург, 1998 г.;
• международная конференция "Пленки и покрытия 98". - С. - Петербург, 1998 г.;
• международная конференция "Итоги развития механики в Туле". - Тула, 1998г.;
• международной научно-технической конференции "Проблемы пластичности в технологии". - Орел: ОрелГТУ, 1995 г.;
• региональной конференции " Современные методы контроля качества и надежности изделий приборо- и машиностроения". - Орел: ОФМИП, 1992 г.;
• семинаре "механика деформируемого твердого тела". - Тула: ТулПИ, 1987г., 1993г. • семинаре кафедры "Теория упругости" МГУ. - М.: МГУ, 1999 г.
• семинаре кафедры "Теория упругости" и НИИ ПММ Нижегородского ГУ. - Нижний Новгород: Нижегородский ГУ, 1999 г.
Публикации. Основные научные положения, результаты и выводы диссертации опубликованы лично или в соавторстве в 19 работах.
Внедрение. Результаты диссертации использованы при изготовлении тонкопленочных покрытий в ОФ ИПИ РАН, АО "ОРЗЭП" - г. Орел, АО "Диск" -г. Ливны, Орловская область, АО "Цветные металлы и сплавы" - г. Мценск, Орловская область.
Структура и объем работы. Диссертационная работа объемом 225 страниц, в том числе 10 рисунков и 7 таблиц, включает введение, 7 глав, заключение и основные выводы, список литературы из 182 наименований, приложение из 2 актов о внедрении результатов научно-исследовательской работы и 2 справок о результатах внедрения научно-исследовательских работ.
Общие представления о физическом состоянии приповерхностного слоя твердого тела
Данная работа основывается на следующей гипотезе. Слои твердых тел, расположенные как вблизи свободных поверхностей, так и вблизи адгезионного шва, с точки зрения классической механики сплошных сред обладают механическими свойствами, отличными от тех, которые проявляет материал тех же тел вдали от указанных поверхностей. Задачей этой главы является обоснование выдвинутой гипотезы на основании известных экспериментальных и теоретических данных. Твердое тело считается деформированным, если под влиянием внешних воздействий расстояние между материальными точками, его составляющими, меняется [62], [64] - [68]. Описать процесс деформации всего тела или какой-либо его части, означает описать процесс изменения расстояний между точками в зависимости от начальной конфигурации и характера причин, вызвавших деформацию. Два тела или две части одного тела, имеющие одинаковые начальные конфигурации и подверженные одинаковому механическому воздействию окружающей среды, деформируются одинаково, если расстояния между любыми парами соответствующих точек сравниваемых тел изменяются одинаково. Если же эти изменения неодинаковы, то можно считать, что один из процессов является особенным по отношению к другому, а материал соответствующего тела по отношению к материалу другого тела обладает особыми механическими свойствами.
Различие в механических свойствах является следствием различия внутренних физических свойств. Значит, выделить в теле какую-то часть, обладающую особыми по сравнению с другими частями тела механическими свойствами, можно либо посредством прямых экспериментов по изучению связи внешних механических воздействий с характеристиками процесса деформирования, либо посредством изучения внутренних физических свойств ([59], [69]). Далее для доказательства особого механического поведения материала в приповерхностных избран второй путь, что подтверждается данными опытов с тонкими волокнами [70], [71]. Реальное твердое тело представляет собой конечное, хотя и очень большое число N взаимодействующих между собой атомов, образующих устойчивую структуру. Это взаимодействие, появление устойчивых структур, объясняется строением и свойствами атомов. Важнейшей величиной, характеризующей атомарную структуру тела, является потенциальная энергия Ф, которая является функцией только координат центра масс ядер [72]. Энергия Ф складывается из энергии кулоновского взаимодействия ядер и электронов [73]. Любое твердое тело можно рассматривать как конечное дискретное множество материальных точек, определенным образом взаимодействующих между собой. Это описывается потенциалом Ф, вид которого зависит от взаимного расположения точек и их физической природы. В твердом теле атомы совершают колебательные движения около своих положений равновесия с некоторым средним значением периода колебания Г0. Этот процесс тепловых колебаний является статистическим, то есть существует неравная нулю вероятность (согласно [74] для жидкости большая, чем для твердых тел) того, что какая-то из частиц может преодолеть потенциальные силы, удерживающие ее около определенного положения равновесия, и покинуть свое место. Каждый из атомов в структуре твердого тела или жидкости можно характеризовать средним значением Т\ времени "оседлой жизни". Для твердых тел эта величина по сравнению с величиной Т0 велика, что является причиной мнения о неизменности их структуры. Пусть теперь на жидкое и твердое тела действуют внешние воздействия, стремящиеся изменить его форму и остающиеся неизменными в течение какого-то времени Т2. Если Т2 велико по сравнению с Т\, то следствием действия будет текучесть тела. Поскольку для твердых тел величина 7\ велика, обнаружить ее текучесть в обычных условиях нельзя. Если Т2 сопоставима или менее Т\, то тело проявляет свойство упругости. В жидкости это свойство можно обнаружить, подвергая ее мгновенным воздействиям. Таким образом, качественных различий между жидкой и твердой фазами нет. Это подтверждается и тем [74], что при плавлении большинства веществ происходит лишь незначительное относительное изменение их объема - около 10 %, что соответствует увеличению средних расстояний между атомами всего лишь на 3,3 %. Опыт показывает также, что скрытая теплота плавления обычно очень мала по сравнению со скрытой теплотой испарения. Это свидетельствует о том, что силы сцепления между частицами испытывают сравнительно небольшие изменения. Теплоемкость тел почти не меняется при их плавлении, значит характер теплового движения атомов, молекул жидкости остается практически таким же, как и в твердом теле. Взаимодействие атомов, составляющих структуру, имеет достаточно сложный характер. Для упрощения рассуждений вводятся определенные гипотезы об этом взаимодействии. Одной из них является гипотеза о том, что силы взаимодействия между атомами являются центральными (атомы - материальные точки), а само взаимодействие является парным [72]. Последнее согласуется с представлением о химических связях, существующих между непосредственными соседями, образующими атомарную структуру.
В зависимости от физико-химической природы материала атомы (материальные точки), его составляющие, распределяются во внутренних областях объема, занимаемым изучаемым телом, в определенном порядке [75]. В результате тело приобретает определенный вид анизотропии или может оказаться изотропным по своим феноменологическим свойствам. Для реальных материалов существует масса факторов, которые не дают возможности строго классифицировать в упомянутом выше смысле структурные свойства исследуемого материала. Это могут быть точечные нарушения структуры (дефекты Шотки, Френкеля [76]), наличие дислокаций, микротрещин, зернистость структуры и т. д. [77]. В дальнейшем рассуждениях подобными нарушениями идеализированной атомарной структуры, описанной выше, пренебрегаем. Всякое реальная свободная поверхность [5], [25] является неоднородной. В первую очередь следует говорить о геометрической неоднородности, обусловленной выходом на поверхность различных граней кристаллов, составляющих рассматриваемое тело. За геометрическую неоднородность ответственны и неизменно присутствующие на поверхности макроскопические дефекты - ступеньки роста, щели, поры, выходы дислокаций. Известно также [5], [78], что точечные дефекты (вакансии - дефекты Шотки, атомы в междоузлиях -дефекты Френкеля), дислокации способны перемещаться по объему тела и в конце концов "закрепляться" на граничной поверхности. Особенности структуры свободной поверхности и прилегающего к ней слоя материала далее рассматриваются без учета этих факторов. На свободной поверхности твердого тела при ее образовании происходит обрыв структуры, образованной атомами, составляющими изучаемое тело. Этот [6] обрыв приводит к появлению локализованного электронного состояния, волновая функция которого экспоненциально затухает при удалении от поверхности (уровни И. Е. Тамма). Учитывая кулоновское потенциальное взаимодействие между электронами, электронами и ядрами естественно ожидать, что на поверхности твердого тела в приповерхностном слое структура кристалла меняется. В работе [79] приводится краткий анализ расчетов идеализированных моделей поверхности, на основании которого делается следующий вывод. Замыкание соседних разорванных при образовании участка свободной поверхности связей между атомами существенно меняет их характер, что сказывается на нарушении порядка в расположении атомов. Порядок на поверхности будет отличаться от порядка в объеме тела. Последний факт действительно имеет место. В [5] приведены соответствующие экспериментальные данные для германия и кремния, других материалов. В [78] представлены данные расчетов, из которых видно, что для кристаллов NaCl оказываются деструктированными ближайшие к поверхности пять атомных слоев. Далее рассматривается адгезия твердых тел. Адгезия (прилипание) -возникновение связи между двумя поверхностными слоями двух тел [13]. Адгезия - результат различного рода межмолекулярных взаимодействий. Предельный случай адгезии - химическое взаимодействие на поверхности раздела (хемосорбционная связь). Адгезия измеряется силой и работой отрыва одного тела от другого на единице площади контакта. Адгезия твердых тел, осуществляющаяся в различных условиях, сопровождается рядом явлений, отражающих специфику этих условий (взаимная диффузия контактирующих тел, образование слоев материала, структура которых резко отличается от их структуры в объемном состоянии и т.д. [80], [81]). Существует химическая
Обоснование введения второго градиента перемещений. Однородность деформированного состояния бесконечно малой области
Уравнения механики сплошных сред являются балансовыми для элементарных объемов AV реальных тел, линейный масштаб которых R0 должен быть много меньше внешнего масштаба L рассматриваемой задачи, но много больше характерного масштаба а микродвижения частиц, слагающих среду: L»R0»a. Балансовые уравнения для объема AV можно упрощать за счет предельного перехода RjL- 0 [165], являющегося условием дифференциальности элементарного объема: AV= dV. Это реализует переход от рассмотрения реальной представительной области AV к рассмотрению ее дифференциального образа в математической модели среды, использующей дифференцируемые функции, аргументом которых является радиус-вектор точки. Второе ограничение R0»a - есть условие представительности фактических размеров объема AV или его сечений. В качестве параметра а предлагается использовать среднее межатомное расстояние. Величину R0 предлагается принять равной: R0 = (10 - 20) а, имеющей , о порядок 10 см или 100 А. Именно на таком расстоянии еще обнаруживается действие одного атома на другой [73]. Путем суммирования влияния атомов, расположенных в пределах областей AV таких размеров, на соответствующие величины, рассчитанные на основании теории атомной решетки, вычисляются классические упругие постоянные. Например, в методе однородных деформаций для этой цели сравниваются плотность изменения энергии решетки при ее произвольной однородной деформации из состояния равновесия с выражением і для плотности изменения энергии упругого тела, полученной им при F-const [72].
Волны в классической теории упругости соответствуют в теории решетки волнам при малых значениях волнового числа (длинные волны). Упругие постоянные определяются сравнением секулярных уравнений теории упругости и теории решетки. При этом в разложении потенциала взаимодействие атомов в произвольный момент времени по волновому числу удерживаются лишь члены до второго порядка малости включительно, что соответствует только однородной деформации решетки и однородной деформации сплошного тела, моделирующего ее поведение в пределах объема AV [72]. Пусть и {М) - окрестность произвольной точки М упругого тела В, имеющая объем AV; AF - радиус-вектор произвольной точки NeU (M). В бесконечно малой окрестности точки N, как и в классическом случае, деформированное состояние однородно, описывается градиентом Z(Ar), изменение потенциальной энергии равно w{Af)dV = w изменение энергии: Z(Ar) dV. Суммарное Классическая теория считает, что поле деформаций внутри AV однородно. Допускается, что с высокой степенью точности поле перемещений в области ик{М) описывается зависимостью (2.13). Учитывая это, можно утверждать, что среднее по области и (м) значение плотности определяется равенством: зависит как от Z, так и от Z, определенных в центре области U iM). Эта величина принимается в качестве местной плотности изменения свободной энергии в бесконечно малой области UR{M), моделирующей представительную область и {м): Проделанные рассуждения говорят о следующем. Область конечных размеров URo(M) разбита на множество бесконечно малых областей, в каждой из которых материал обладает классическими свойствами. Размер i?o таков, что зависимость и(Дг) внутри и {м) описывается с помощью первого и второго градиентов перемещений.
Учет неоднородности деформаций в этой области реализован путем введения в рассмотрение средней по ней величины плотности w, которая оказалась зависимой не от одного, а двух градиентов перемещений. Эта величина аксиоматически принята в качестве плотности w в теории упругости, учитывающей возможность неоднородного деформирования материала в представительной области. Такой подход согласуется со взглядами А.А.Ильюшина на взаимоотношение классической и моментной теорий упругости, изложенными в работе [1]. Классическая теория деформации считает, что любая, в том числе и бесконечно малая, область заполнена сплошным образом материальными точками. Описание процесса деформации при этом заключается в описании их относительных смещений с помощью исследования зависимости R(f). Результаты данной работы можно получить, если предположить, что любая область тела заполнена способными растягиваться, поворачиваться вокруг своего центра масс и двигаться поступательно вместе с ним бесконечно малыми упругими стержнями. Поскольку растяжение и поворот такого стержня і характеризуется посредством тензора F, то наряду с зависимостью R(r) процесс і деформирования оказывается необходимым характеризовать полем F{r). В этом случае, зная пространственную ориентацию и положение f центра масс частицы і dr в начальный момент времени, зная градиент F(f) в точке г в текущий момент времени можно найти ориентацию и растяжение частицы в этот момент посредством операции: Положение центра масс этой частицы определяется через известное поле перемещений с помощью операции: В результате оказывается, что материальная частица имеет не три, а шесть степеней свободы. К трем классическим поступательным добавляются две вращательных (вращение вокруг продольной оси исключается) и возможность деформироваться в продольном направлении.
Одновременное использование поля перемещений и независимого от него поля вращений характерно для моментных теорий упругости, моделей вязких жидкостей [98] - [102]. Каждая точка континуума в этих теориях имеет шесть степеней свободы (как у абсолютно твердого трехмерного тела) - три поступательных и три вращательных. В случае, когда элементарная частица "вморожена" в окружающую среду, ее поворот совпадает с поворотом элементарного объема этой среды, выражаемым обычным способом через вектор перемещения. На таком предположении основана моментная теория упругости со стесненным вращением [104]. Ввиду того, что поле F{r) связано с полем перемещений, предлагаемую в данной работе теорию можно сопоставить с последней. Пусть UR{M) - окрестность произвольной точки М с радиусом R, соизмеримым или равным радиусу представительной окрестности той же точки. Тогда поля вектора перемещения и его градиента в этой области определяются равенствами: В этих равенствах величины щ, F, F, Z, Z определены в центре окрестности; Е - единичный тензор. Пусть R-+0. Тогда Дг также стремиться к нулю. В этом
Итоги анализа напряженного состояния
Исходное допущение при построении предлагаемой в данной работе модели: его деформированное состояние описывается не одним, а двумя первыми градиентами перемещений. При этом упругие напряжения имеют потенциал, зависящий от этих градиентов. В такой ситуации введены тензоры напряжений как производные потенциала по соответствующим градиентам перемещений. Полагая компоненты введенных тензоров напряжений обобщенными силами, совершающими работу на соответствующих обобщенных перемещениях -компонентах первого и второго градиентов перемещений, удалось построить систему уравнений движения изучаемой среды в дифференциальной и интегральной формах. В число внешних воздействий введены силы, распределенные по линиями пересечения (стыковки) гладких участков граничной поверхности. Эти участки таковы, что плоскости, касательные к ним в точках линии стыковки, обязательно пересекаются (не совпадают) между собой.
Введены также поверхностно распределенные силы (названные гиперсилами), совершающие работу не на градиентах перемещений точек поверхности изучаемого тела, а на градиентах этих перемещений в направлении внешней нормали к границе. Наряду с этими неклассическими видами сил рассматривались известные объемные и поверхностные силы, совершающие работу на перемещениях материальных точек. Опираясь на утверждение А. А. Ильюшина о том, что всякий непрерывно дифференцируемый вектор в области движения среды может быть представлен в виде дивергенции тензора второго ранга, первый и второй тензоры напряжений введены независимо от понятия потенциала внутренних сил. Воздействие на тело посредством гиперсил предложено считать следствием адгезии, дальнодействующего влияния атомов одного из контактирующих тел на атомы другого. Допускается, что любое тело ограниченное замкнутой или незамкнутой поверхностью S, получается путем мгновенного выделения из однородной, изотропной упругой среды, неподверженной никаким внешним воздействиям, занимающей бесконечно протяженное евклидово пространство. Конфигурация В в этой среде до его выделения принимается в дальнейшем как отсчетная, где отсутствуют любые виды деформации. Материал находится в напряженном состоянии, которое описывается вторым тензором напряжений Р . Основанием для такого предположения служат рассуждения, опирающиеся на физические представления об электростатическом дальнодействующем потенциальном взаимодействии атомов, составляющих тело, друг на друга. Процесс выделения В из Q можно разделить на три этапа. На первом этапе в пространстве, занимаемом Q, мысленно обозначается граница S тела В. Никаких деформаций, изменений напряженного состояния в В не происходит. С точки зрения физики нет изменения воздействия частиц, составляющих дополнение {Q\ В) тела В в Q, на частицы, составляющие В. Второй этап - мгновенное выделение В из Q, отделение В от (Q\ В) вдоль поверхности Тело (Q\B) мгновенно перестает действовать на В. При этом в В еще не происходит никаких деформаций. Реализация этого этапа аналогична мгновенному исчезновению внешних воздействий на предварительно нагруженное тело, находящееся в статическом состоянии. Во время третьего этапа происходит деформирование В под действием внутренних напряжений, возникших в процессе реализации второго этапа.
Силы, действующие на частицы В со стороны (Q\B) (на первом этапе выделения), имеют электростатическую природу. Это означает, что частицы В помещены в поле, созданное в области, занимаемой В, совокупностью частиц, слагающих (Q\ В). Такое поле характеризуется множеством эквипотенциальных поверхностей, одна из которых - граница S, а также множеством силовых линий, нормальных к этим поверхностям. Пусть М - точка, принадлежащая области V, занимаемой телом В в составе Q, L - силовая линия, проходящая через М, ё - единичный вектор, касательный к L, направленный вдоль вектора напряженности рассматриваемого электростатического поля, dS - элемент площади эквипотенциальной поверхности, пересекающей L в точке М, с центром в этой точке, dL - высота цилиндра с площадью основания dS . Очевидно, что со стороны поля, создаваемого телом (Q\ В) внутри dV = dS dL , на частицы dB, заключенные в dV , действуют силы, параллельные ё. Эти силы уравновешиваются силами, воздействующими на те же частицы со стороны частиц, составляющих В. Их равнодействующая напрявлена в сторону, противоположную ё. При мгновенном выделении В из Q, деформирование тела В происходит под действием последних. Направленная цилиндрическая симметрия поля внутри dV относится к классу оот [36]. В соответствии со взглядами, изложенными в данной работе, объемное действие (Q\ В) на dB заменяется поверхностным посредством гиперсил, определенных на границе dB: т = (пп)--Р. В соответствии со сказанным, на боковой поверхности цилиндра dV должно быть т = 0, а на основании, проходящем через М: ih-ё, т = \т\. Пусть ё = ъ, а гх, 72 - два других единичных взаимоортогональных вектора, перпендикулярных гъ, направленных, например, вдоль линий главных кривизн эквипотенциальной поверхности, проходящей через М. С учетом этого тензор Р можно определить равенством [36]: еп і = 1, 2, 3 - произвольный ортонормированный базис; а, /3 - константы, характеризующие свойства среды. При мысленном выделении различных тел В, содержащих точку М, через нее могут проходить силовые линии различных семейств. При этом вектор их ориентации ё, определяемый в М, может принять произвольное направление. Во всех случаях величина гипернапряжения одна и таже, а направление совпадает сё. В этом заключается изотропия
Возможность экспериментального определения и оценка величины постоянных
Существование поверхностной энергии, поверхностного натяжения, способность материала оказывать сопротивление растяжению или сжатию, сдвигу являются свойствами твердых тел, обнаруживаемыми экспериментально в статических условиях. Рассматривается возможность использования известных опытных данных для определения значений постоянных А\, А2, Ь, я0. Достоинством классической теории упругости является существование возможности экспериментальной проверки в макроусловиях свойств материала, которыми он наделяется гипотетически для микроусловий. Предлагается анализ существования такой возможности для модели среды, предложенной в данной работе. Соотношения (4.20) и (4.21) при условии, что значения величин т, Wp, А\, А2 известны, позволяют вычислить параметры Ь, ж0. Величина Wp является физической постоянной, определяемой для твердых тел экспериментально [13]. Величина а связана с Wp равенством: Таким образом, для оценки Ь\л л0 необходимо знать А\, А2. В классической линейной теории упругости изотропных сред зависимость w от g отсутствует, начальные напряжения равны нулю (В = 0; жй = 0), равны нулю и линейные силы, а также гиперсилы. Начальная конфигурация, принятая в данной работе, совпадает с конфигурацией тела после его выделения из бесконечной среды (в соответствии с изложенным представлением об образовании тел). Конституционное соотношение проверяется экспериментально, путем сопоставления независимо друг от друга измеренных напряжений и деформаций исследуемого образца при реализации следующих условий. Прямоугольная пластина, занимающая после ее выделения из бесконечной среды область: находится в равновесии под действием приложенных нормально к ее сторонам распределенных равномерно растягивающих или сжимающих сил F\ и F2, а также распределенных вдоль этих сторон касательных сил с постоянной интенсивностью . Неклассические виды воздействия отсутствуют.
Уравнения равновесия пластины (4.29) в отсутствии объемных сил, краевые и конституционные соотношения получаются из уравнений (4.11), (3.20), (4.5), (4.6) при условии, что b = 0; ж0 = 0; т = о; г =5; F -о; w3 = 0; djдхъ = 0; dj dt = 0. Они имеют вид: Зависимости (4.31) свидетельствуют о том, что с точки зрения классической теории напряженно-деформированное состояние пластины однородно во всей занимаемой ей области. Это дает возможность, вычислив значения напряжений и компонент градиента перемещений по измеренным значениям сил F\ и F2, интенсивности 0, перемещений щ и и2 точек граничной поверхности, на основании (4.31) определить упругие постоянные А\ и А% проверить в экспериментах с образцами конечных размеров гипотезы о связи напряжений и деформаций в бесконечно малых окрестностях материальных точек. Образец Q материала, с которым проводится эксперименты, ограничен поверхностью S. С точки зрения построенной теории тело Q получено мгновенным выделением из бесконечной среды. После этого, оставаясь ненагруженным внешними воздействиями, оно находится в равновесном, неоднородном напряженно-деформированном состоянии, описываемом полями перемещений 1 2 й(г) и напряжений Р(г), Р(г). Под действием поверхностно распределенных сил a{r), г eS, точки образца Q получают дополнительные перемещения й (г). Если однородное напряженно-деформированное состояние в данном случае реализуемо, то это осуществляется относительно конфигурации Q, полученной им после выделения до приложения сил a(r). Тогда существует такой постоянный для Q аффинор A = Aijeiej, что суммарное поле перемещений й(г) = й(г) + й (г) описывается соотношениями: Они записаны в предположении о том, что внутри Q имеется неподвижная точка, совпадающая с началом отсчета координат Xj - точкой О. Непосредственной подстановкой (4.32) в систему уравнений равновесия (4.11) и краевых условий (3.19) - (3.22), записанных с учетом конституционных соотношений (4.5) и (4.6), при условии: d/dt = 0; F = іп= т =0 можно убедиться в справедливости следующего утверждения. При любой форме границы S, любом постоянном для Q аффиноре А нельзя подобрать такой распределение о(г), г єS, при котором перемещение (4.32) окажутся решением соответствующей краевой задачи.
Исключение составляет случай, когда Q - бесконечно протяженное во всех направлениях тело (и( = 0). Утверждение означает, что с точки зрения построенной в данной работе теории в общем случае нельзя в опытных условиях реализовать однородное напряженно-деформированное состояние материала в области конечных размеров, имеющей свободные границы S, являющиеся причиной появления поля и(г). Это, в свою очередь, говорит о том, что с точки зрения предложенной теории нельзя поставить прямых экспериментов по проверке конституционного соотношения (4.5) и определению значений ПОСТОЯННЫХ Л] \лА2. Физика жидкого и твердого состояний вещества, его атомно-молекулярной структуры, решение "контрольной" задачи дают основание считать, что возмущение напряженно-деформированного состояния, вызываемое появлением каждого нового участка свободной граничной поверхности, распространяется в глубину любого тела Q на очень незначительное расстояние S. (Решение "контрольной" задачи свидетельствует об экспоненциальном убывании возмущений со "скоростью", характеризуемой параметром Ь.) Следовательно,
