Введение к работе
з
Актуальность темы. Коэффициентные обратные задачи для обыкновенных дифференциальных операторов и операторов в частных производных второго и четвертого порядка имеют многочисленные приложения в различных областях знания. Это вопросы идентификации неоднородных покрытий, проблемы акустического контроля при создании функционально-градиентных материалов, задачи эластографии в медицинской диагностике мягких тканей, контроль скорости восстановления костной ткани в месте перелома, задачи идентификации новых композиционных материалов сложной структуры, неразрушающего контроля элементов неоднородных конструкций. Главная проблема при исследовании подобных задач — это формулировка операторной связи между искомыми коэффициентами дифференциальных операторов и граничными полями перемещений. Это проблема обусловлена переменностью коэффициентов дифференциальных операторов и невозможностью построения в явном виде общих представлений решений, как это имеет место для операторов с постоянными коэффициентами.
Цель работы состоит в разработке методов определения законов изменения модулей Юнга и сдвига, плотности в стержне как функций координат, а также методов идентификации полостей малого размера по данным их частотного зондирования.
Методика исследований прямых задач о колебаниях неоднородных стержней основана на сведении исходных краевых задач для обыкновенных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, решение которых сведено к решению СЛАУ при помощи метода коллокаций. Для решения обратных задач был построен итерационный процесс, на каждом шаге которого для определения поправок решалось интегральное уравнение Фредгольма первого рода с гладким ядром, причем при построении численных решений был использован алгоритм А. Н. Тихонова. Начальное приближение для итерационного процесса было
найдено при помощи метода квазирешений из условия минимума функционала невязки на компактном множестве. В работе для построения операторных уравнений для задачи об идентификации полости малого размера в стержне использовался также асимптотический подход, который позволил по информации о резонансных частотах стержня получить простые уравнения для нахождения параметров полости.
Достоверность выносимых на защиту результатов работы основана на корректном сведении краевых задач для неоднородного стержня к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода, на строгом аппарате интегральных уравнений, теории некорректных задач, на серии вычислительных экспериментов для различных типов неоднородностей. Операторные уравнения для исследования обратных коэффициентных задач выведены двумя способами. Первый способ основан на использовании обобщенного соотношения взаимности, второй способ основан на применении метода линеаризации и использовании условия ортогональности. Полученные численные результаты тестировались путем сравнения с точным решением для частных случаев, когда задача имеет аналитическое решение.
Научная новизна. Впервые с единых позиций разработана методика определения непрерывных законов неоднородностей (упругие модули, плотность) на основе строгого исследования обратных коэффициентных задач для дифференциальных операторов второго и четвертого порядка.
Практическая ценность результатов исследования состоит в развитии методов решения задач идентификации упругих модулей, плотности как функций координат по амплитудно-частотным характеристикам в стержне при анализе продольных, изгибных и крутильных колебаний и исследовании возможностей процедуры идентификации в зависимости от частотного диапазона и вида восстанавливаемой функции.
Апробация работы. Результаты диссертации представлены на X, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной
среды» (г. Ростов-на-Дону, 2006г., 2007г.), на III, IV, V школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, г. Краснодар 2004-2006 гг.), на V международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (г. Донецк 2008 г.), на международной научной школе-конференции «Тараповские чтения» (г. Харьков 2008г.), на IX Всероссийской конференции по биомеханике (г. Нижний Новгород 2008 г.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах. Из них три статьи [3],[11],[14] опубликованы в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 119 наименований, общим объемом 114 страниц машинописного текста.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, код проекта 05-01-00734 и в рамках целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009-2010 годы) по проекту № 2.1.2/1527.
