Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Несущая способность круглых пластинок из композитного материала II
1.1 Постановка задачи о несущей способности эле ментов конструкций II
1.2 Несущая способность круглых свободно опертых по контуру пластинок 14
1.3 Несущая способность круглых защемленных по контуру пластинок .23
ГЛАВА II Несущая способность статически определимых кольцевых пластинок 35
2.1 Кольцевая пластинка свободная по внутреннему и свободно опертая по внешнему контурам 35
2.2 Кольцевая пластинка свободная по внутреннему и защемленная по внешнему контурам 37
2.3 Кольцевая пластинка свободно опертая по внут реннему и свободная по внешнему контурам 42
2.4 Кольцевая пластинка защемленная по внутреннему и свободная по внешнему контурам 44
ГЛАВА III Несущая способность статически неопредели мых кольцевых пластинок 46
3.1 Кольцевые пластинки, свободно опертые по внутреннему и внешнему контурам 46
3.2 Кольцевые пластинки, свободно опертые по внутреннему и защемленные по внешнему контурам 52
3.3 Кольцевые пластинки, свободно опертые по внешнему и защемленные по внутреннему контурам 56
3.4 Кольцевые пластинки, защемленные по обеим кон турам 59
Заключение 66
Литература
- Несущая способность круглых свободно опертых по контуру пластинок
- Кольцевая пластинка свободная по внутреннему и защемленная по внешнему контурам
- Кольцевая пластинка защемленная по внутреннему и свободная по внешнему контурам
- Кольцевые пластинки, свободно опертые по внутреннему и защемленные по внешнему контурам
Введение к работе
В машиностроении, судостроении, инженерных сооружениях, строительстве, а также в различных других областях современной техники в качестве рациональных конструктивных элементов широкое применение находят оболочки и пластинки.
Характерной особенностью практики проектирования последних десятилетий является стремление вскрыть и использовать все возможности материала конструкции с целью обеспечения ее максимальной несущей способности, минимального веса, устойчивости, надежности и других. В связи с этим широко используются новые материалы типа полимеров, различные композитные материалы. Особую важность в настоящее время приобретают элементы конструкций, изготовленные из композитных материалов, составляющие которых обладают пластическими свойствами. Поэтому, наряду с такими вопросами как прочность, устойчивость, оптимальное проектирование и другие, исследования, связанные с определением несущей способности конструкций из таких материалов, являются весьма актуальными.
Несущую способность конструкции можно определить либо путем исследования полного процесса упруго-идеально-пластического деформирования вплоть до состояния пластического течения, либо с помощью применения таких методов, которые относятся исключительно к состоянию пластического течения. В последнем случае отправной точкой анализа служит жестко-идеально-пластическая модель деформирования. Тогда несущая способность связывается с началом пластического течения, которое, впоследствии, продолжается при постоянной нагрузке. Таким образом, при решении задачи о несущей способности конструкций важную роль играет теория предельного равновесия.
Основоположником теории предельного равновесия является А.А. Гвоздев. Им впервые [7] было четко определено понятие "предельное равновесие" и, что самое основное, сформулированы основные теоремы.
В теории предельного равновесия необходимо, прежде всего, установить условие текучести и построить поверхность текучести в пространстве обобщенных усилий, что составляет одну из важнейших и сложных задач теории предельного равновесия. Конечные предельные соотношения между результирующими напряжениями для оболочек и пластинок, определяющие в пространстве обобщенных усилий гиперповерхность текучести, впервые были получены А.А. Ильюшиным [25] с использованием соотношений теории малых упруго-пластических деформаций для изотропного материала, подчиняющегося условию текучести Р.Мизеса.
В. Прагером [53] были исследованы зависимости между напряжением и скоростью деформации применительно к жесткому идеально-пластическому материалу, а также приведены методы определения несущей способности различных элементов конструкций, в том числе, в качестве примера, исследована несущая способность круглых пластинок, находящихся под действием осесимметричной поперечной нагрузки.
Знания поверхности текучести, однако, еще недостаточно для полного определения пластического состояния. Необходимо еще знание ассоциированного закона течения, то есть соотношений, описывающих связь между обобщенными усилиями и соответствующими им обобщенными скоростями перемещений. Такие соотношения приводятся во многих монографиях и учебниках, в частности, в работах Д.Д.Йвлева [23] , А.А.Ильюшина [25] , В.Д.Клюшнико-ва [31] , В.Прагера Ш , В.Прагера и Ф.Ходжа W , В.В. Соколовского [65] и других.
Задача о несущей способности круглых и кольцевых пластинок, изготовленных из однородных материалов с использованием условия текучести Мизеса впервые была исследована А.А.Ильюшиным [2h-Qb]. Результаты для несущей способности круглых симметрично нагруженных пластинок с использованием условия текучести Треска получены Гопкинсом и Прагером [S] , а также В.В.Соколовским [bk] для различных видов нагрузок /сосредоточенная сила, приложенная в центре пластинки; равномерно распределенная по всей площади пластинки нагрузка; нагрузка, распределенная по некоторому центральному кругу/ . При этом решена задача как для свободно опертой, так и для защемленной по контуру пластинки.
Ю.П.Листровой [38] рассмотрено предельное равновесие двуслойных конструкций, выполненных из материала, условие текучести которого зависит от среднего напряжения. В качестве примера рассмотрено предельное равновесие свободно опертой круглой пластинки.
З.Мрузом и Ф.Г.Шамиевым [8h] получены приближенные и точные условия текучести для пластинок и оболочек, армированных волокнами. В том числе ими получено, так называемое, упрощенное условие текучести, которое дает возможность поставить и решить ряд конкретных прикладных задач. Для иллюстрации приводятся примеры определения несущей способности круглых свободно опертых и защемленных по контуру пластинок, армированных тонкими волокнами симметрично относительно срединной плоскости и находящихся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки.
Исследованию несущей способности неоднородных круглых пластинок при средних прогибах и симметричном нагружении посвящена работа Ж.В.Качалова, Ю.П.Листровой и В.Н.Потапова [ЗР] , Материал пластинок полагается жестко-пластическим, имеющим различные пределы текучести при растяжении и сжатии. В качестве критерия текучести используется условие пластичности Прагера, представляемое в плоскости главных напряжений шестиугольником текучести.
Представляет также интерес, работа Н.П.Жук и О.Н.Шаблия [2 і] , где решена задача о предельном равновесии круглых пластинок, изготовленных из материалов с анизотропными свойствами в различных направлениях и особенно в направлении поперечного сдвига. Исследовано влияние анизотропии поперечного /межслой-ного/ сдвига, различия пределов текучести при растяжении и сжатии на несущую способность пластинок.
В работах А.С.Григорьева [9-11] изложены решения задач об определении несущей способности круглых и кольцевых пластинок, представляющие практический интерес. При этом в качестве условия пластичности было принято, ради упрощения окончательных результатов, условие постоянства касательных напряжений. Автором отмечено, что независимо от возможностей сближения результатов, получаемых при использовании условий пластичности іубе-ра-Мизеса и Сен-Венана, разница в этих результатах практически лежит в пределах той точности, с которой вообще оценивается несущая способность плит по методу предельного равновесия.
Интересные результаты получены З.Мрузом и А.Савчуком [Щ Ими исследована несущая способность кольцевых пластинок, находящихся под действием осесимметричной нагрузки, при всевозможных граничных условиях. Материал пластинок предполагается жест - 8 ко-пластическим без упрочнения, подчиняющимся условию текучести Треска. Авторами проведен большой численный расчет, результаты которого приведены в виде графиков зависимости предельной нагрузки от отношения внутреннего и внешнего радиусов пластинки. Решение задачи о несущей способности кольцевых пластинок при условии текучести максимального приведенного напряжения получено Г.А.Мурлиной и В.Н.Потаповым [43] . Авторы получили полные решения для кольцевой пластинки шарнирно опертой по одной и защемленной по другой кромке и, наконец, защемленной по обеим кромкам. Нагрузка предполагалась поперечной, равномерно распределенной по всей площади пластинки. Аналогичная задача исследована Сокул-Супел и А.Савчуком [88] . Ими рассмотрены кольцевые пластинки при различных осесимметричных краевых условиях для различных видов приложения осесимметричных поперечных нагрузок. Задача исследовалась в предположении, что материал пластинки подчиняется условию текучести Губера-Мизеса. Авторами получены численные решения задачи.
Дальнейшее развитие и теоретическую завершенность, наряду с решением ряда конкретных задач, теория предельного равновесия получила в работах таких ученых как А.А.Гвоздев [7] , А.С.Григорьев [8 41] , М.И.Ерхов [9-20] , Д.Д.Ивлев [23] , А.А.Ильюшин [24-25] , В.Д.Кшошников [31] , Ю.Р.Лепик [34-36J , Ю.П. Листрова [37-38] , Ю.В.Немировский [45-46] , В.Н.Потапов [43] , А.Р.Ржаницын [59-61] f В.В.Соколовский [64-65] , О.Н.Шаблий _[74] » Ф.Г.Шамиев [7б,в ] , Г.С.Шапиро [80-81] и другие, а также в работах зарубежных авторов Д.Друккера [/7] , З.Мруза [42] , А.Надаи [44] , Б.Нила [47] , В.Ольшака [50] , Е. Оната Ш , В.Прагера [53- 5 k] , А.Савчука [87] f р.Хилла [72] , Ф.Г.Ходжа [54,73] , Р.ПЬизда [18] и других.
Исследования, а также обзоры работ по теории предельного равновесия конструкций, включая конструкции, изготовленные из композитных материалов, приведены в монографиях и учебниках А. А.Гвоздева [7] , В.Д.Клюшникова [31] , И.А.Кийко [2%] , Ю. Р.Лепика [36] , В.А.Ломакина [hO] , А.К.Малмейстера, В.П.Та-мужа и Г.А.Тетерса W] , З.Мруза, В.Ольшака и П.Пежина V 9] , П.М.Огибалова и М.А.Колтунова [51] , П.М.Огибалова и Ю.В.Суворовой pf8] , Б.Е.Победри [Щ , В.Прагера 5V/ , И.Н.Преображенского [S5] , А.М.Проценко [5?] , В.С.Саркисяна [63] и других.
Настоящая диссертация посвящена решению ряда новых задач по определению несущей способности круглых и кольцевых осесимметричных пластинок, изготовленных из структурно-неоднородных материалов, составляющие которых обладают пластическими свойствами.
Диссертация состоит из введения и трех глав.
В первой главе диссертации приведена постановка задачи о несущей способности элементов конструкций, решена задача о несущей способности круглых свободно опертых и защемленных пластинок, находящихся под действием различного вида осесимметричных нагрузок. Показывается, что здесь решение зависит от соотношения предельных изгибающих моментов в радиальном и окружном направлениях. Получены формулы, определяющие несущую способность /предельную нагрузку/ как функцию степени армировки. Для свободно опертых пластинок проводится численный расчет, результаты которого приводятся в виде графиков. Показывается, что из полученных решений в частных случаях следуют известные из литературы решения.
Во второй главе рассмотрена задача определения несущей способности статически определимых в отношении опорных реакций кольцевых пластинок, находящихся под действием поперечной осесимметричной нагрузки, при различных краевых условиях. Определены возможные пластические состояния, получены формулы для определения предельной нагрузки и неизвестных границ пластических состояний.
В третьей главе диссертации исследована задача о несущей способности статически неопределимых в отношении опорных реакций кольцевых пластинок, находящихся под действием поперечной осесимметричной нагрузки, распределенной по всей площади пластинки, при различных краевых условиях. Определены возможные пластические состояния, получены соотношения для определения неизвестной предельной нагрузки, опорной реакции на внутреннем контуре, неизвестных границ пластических состояний. Из общего решения получено решение для симметрично армированных пластинок. Для этого же решения /для всех граничных условий/ получен цифровой расчет, для чего был разработан алгоритм счета на ЭВМ БЭСМ - б.
Результаты всех расчетов приведены в виде таблиц и графиков.
Несущая способность круглых свободно опертых по контуру пластинок
Теперь рассмотрим задачу определения несущей способности круглой свободно опертой пластинки радиуса 1\ , находящейся под действием поперечной осесимметричной нагрузки Q(t) .В цилиндрической системе координат tyz ось z направлена вниз и ее направление совпадает с направлением Если обозначить через г?7, и гп2 главные изгибающие моменты в радиальном и окружном направлениях, то уравнение равновесия /I.I.6/ будет иметь вид: (т,) -тг=-4 / "/ () Ы 7 /1.2.6/ где Скорости кривизн в радиальном и окружном направлениях X и Л выражаются через скорость прогиба W следующим образом: і /" W Se=-W , Л = -— /1.2.8/ где штрих означает производную по (
Отметим, что пластическое поведение пластинки будет зависеть от соотношения предельных значений главных изгибающих моментов. Отдельно рассмотрим различные случаи.
Сначала предположим, что радиальный предельный момент больше окружного, то есть ГПог & т+2 . Нетрудно показать, что плас -тическое поведение пластинки будет характеризоваться стороной /ли на шестиугольнике текучести /рлс.2а I . Центр пластинки, где из условия симметрии т, = тг , будет соответствовать точке /If , а контур пластинки, где /77,= 0 , будет характеризоваться пластическим режимом и-, Таким образом, учитывая /I.2.I/ из уравнения равновесия /1.2.6/ находим с. V - коэффициент предельной нагрузки. Из условия, что в центре пластинки радиальный и тангенциальный изгибающие моменты равны и они имеют конечное значение следует, что С, = 0 . Из условия тп(р) = 0 находим формулу для нахождения предельной нагрузки
В частности, если по некоторому центральному кругу действует равномерная нагрузка, то есть р = const о 0 s 6 р, /I.2.I2/ Р(Ю p, t p то для определения коэффициента предельной нагрузки имеем їПо2 / - , р, /I.2.I3/
При р - р получаем известное решение для пластинки, находящейся под действием поперечной нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности, то есть, для случая р(Ю= =0 = const при О р . При р - 0 , полагая в /1.2.13/ fJTp2D = г , получаем решение для пластинки, находящейся под действием нагрузки, сосредоточенной в центре пластинки Л Жт0] W /I.2.I4/ Если /77 = гп0 = т0 , то получаем решение, приведенное в [8 У для пластинок, армированных в радиальном и окружном направлениях одинаковыми волокнами в одних и тех же слоях симметричных относительно срединной плоскости. Если же считать, что армирование отсутствует и материал имеет одинаковые пределы текучести при растяжении и сжатии, то имеем известное решение для пластинок, подчинявшихся условию текучести Треска [53,3 ] . Если Р(&Р. Р,у /ІЛЛЬ/ гДе Р, " равномерно распределенная по всей пластинке нагрузка, то для коэффициента предельной нагрузки имеем Х- Л1, л /1.2.W Здесь принимается, что р2 & 0 . Если р2 = 0 9 то долж но удовлетворяться условие р+р 0
Теперь рассмотрим случай, когда радиальный предельный момент меньше окружного, то есть гПр, ГПо2 /рис. 25 / . Очевидно, что вследствие осевой симметрии, центр пластинки будет характеризоваться некоторой точкой Аг на f А » где mn=m2=rn01 „ Контур пластинки будет соответствовать точке о, , где т 0 . Следовательно, пластинка разбивается на центральную круговую зону 0 g« Ї с неизвестной границей Г и кольцевую зону « /? , которые характеризуются соответственно пластическими состояниями 2 и пО, . Таким образом, из уравнения равновесия /1.2.6/ ," учитывая /1.2.1/ находим
Если т =т 2 = т0 , то из /1.2.24/ следует, что Х-0 , и полагая р —-О 9 р —-р получим известное решение для определения коэффициента нагрузки в случае пластинки, свободно опертой по контуру и находящейся под действием равномерно распределенной по всей площади нагрузки [53,65]
Если на пластинку действует нагрузка типа /1.2.15/ , то для определения Г и Ji из /1.2.23/ имеем Щ(р3-хУ+3РХр-х1}--Цкр-( - )г]р2
В случае, если Рг= 0 , то имеем /1.2.24/ . Если предположить, что /770 /Т70 АГ]0 , то из /1.2.25/ и /1.2.26/ получаем соответственно /1.2.13/ и /1.2.16/ , где нужно принять
Отметим, что если предположить, что т = ГП = /Т70 , то есть симметричное армирование, то получим /1.2.18/ и /1.2.19/, где нужно положить ml2 = /?70 . Если здесь положить р = 0 , Р—"Р t то получим решение, приведенное в [84] . Если же считать, что армирование отсутствует и материал матрицы имеет одинаковые пределы текучести при растяжении и сжатии и полагать р — р и О - 0 ,то имеем известное решение для пластинок, подчинякщихся условию текучести Треска 153]
Для распределения поля скоростей прогибов, как и ранее, из ассоциированного закона течения /1,1.9/ и из /1.2.7/ , с учетом граничных условий и условий непрерывности находим /1.2.27/
Отметим, что если ГЛоі то2 = то і то согласно /1.2.24/ Г= 0 и формулы /1,2.20/ и /1.2.27/ совпадают. Пластическая картина /1.2.20/ подобна картине для пластинок, подчиняющихся условию текучести Треска [53] .
Несущая способность ісруглнх защемленных по контуру пластинок. Для пластинок, защемленных по контуру, в некоторой центральной области пластическое поведение будет таким же, как и для свободно опертых пластинок, а в кольцевой области, примыкающей к контуру, радиальный изгибающий момент будет иметь отрицательное значение и на контуре будет равняться предельному. Как мы отметили в предыдущем параграфе, пластическое поведение пластинки зависит от соотношения предельных значений главных изгибающих моментов, поэтому, рассмотрим отдельно случаи W т г и о+7 то2 Рассмотрим их отдельно.
Кольцевая пластинка свободная по внутреннему и защемленная по внешнему контурам
Анализ показывает, что состояние пластинки в этом случае характеризуется режимом Цй на шестиугольнике текучести. Контурам пластинки, где /11,= С/ будет соответствовать точка Ui . Таким образом, аналогично уже рассмотренным случаям, из уравнения равновесия, которое принимает вид
В этом случае, в пластинке реализуется пластическое состояние и и І /рис. б г / . Причем для контуров пластинки имеем следующие граничные условия ,(0)=-ті, /соответствует точке D I , mil)- О /точка иА на шестиугольнике текучести/ Таким образом, из уравнения равновесия /2.3.1/ находим распределение изгибающих моментов по всей пластинке
Рассмотрим круглую кольцевую пластинку, изготовленную из рассмотренного ранее композитного материала. Пусть пластинка свободно оперта по внутреннему и внешнему контурам и находится под действием осесимметричной поперечной нагрузки 0.( ) f направление которой совпадает с направлением оси 2 в цилиндрической системе координат Ъу 2 /ось 1 направлена вниз/ . Обозначим через А „ В радиусы внутреннего и внешнего контуров пластинки /рис. 7 / .
Аналогичным образом /3.1.8/ преобразуется к следующей системе уравнений для определения предельной нагрузки, опорной реакции на внутреннем контуре и неизвестных радиусов рл , р , О , разделяющих области с различными пластическими состоя 3 ниями: I- а[Я (1-fn f)- а]- (2р -а)т.- w;Rtnf = --Р$Ш-2аЦН(№рМ из условия [т1(рі)] = 0 6[т:р1-гп0а-Таа(р1-а)]=р(Зар1 р13-2а) из условия [m\(f))\ 0 2(1-а-т;У-р(Р;-а!) из условия [mi(P2)]= О ОТ ы \ /ЗДЛ2/ из условия [т 7 (g)] = О из условия тл{Ь)-0
Для решения этой системы был разработан алгоритм, который был реализован на ЭВМ БЭСМ - б. Результаты счета приведены в виде таблицы I, а также некоторых графиков /рис. 8 / .
Отметим, что в случае отсутствия армировки, если материал матрицы имеет одинаковые пределы текучести при растяжении и сжатии, наши результаты сводятся к известному решению, полученному З.Мрузом и А.Савчуком [42] для кольцевых пластинок, подчиняющихся условию текучести Треска.
Картина распределения скоростей прогибов W по всей пластинке /3.1.10/ также после некоторых преобразований примет следующий вид: Кольцевые пластинки, свободно опертые по внутреннему и защемленные по внешнему контурам. Нетрудно показать, что в этом случае, пластинка разбивается на области а р ,/? /Э ,Рг Ъ Р3 , / « Д и ук 1- б , в которых реализуются соответственно пластические состояния E E , EF , FA ,АВ.Я ВС .
В этом случае, в области а « р будут справедливы формулы /3.1.7/ , где вместо 0 нужно положить р . А для области р «f 0 из уравнения равновесия /3.1.4/ и условия текучести /1.2.3/ , с учетом граничного условия на кон - 53 -туре Пі (о) = - ітіоі и условий непрерывности изгибающего момента и его производной находим nvf +K,-nU)+ fca -- -(tf- Зар, Здесь введены обозначения: f" /3.2.2/
Для определения неизвестных: предельной нагрузки, четырех радиусов неизвестных границ р , р Р Р и опорной реакции на внутреннем контуре - имеем четыре первых уравнения /3.1.8/ и дополнительно следующие два уравнения, полученные из условия на контуре и условия непрерывности /77, : и, таким образом, распределение изгибающего радиального момен-1-тО2цт02-т01) ГПЇі Pz % Ps и уравнения для определения искомых неизвестных радиусов р , р2 , Р3 , опорной реакции на внутреннем контуре и предельной нагрузки. Отметим, что в этом случае сохраняются два последние уравнения, приведенные в /3.1.8/ . Остальные уравнения получим в виде:
Теперь обратимся к решению для симметрично армированных кольцевых пластинок. Как и в предыдущих случаях, после некоторых преобразований, для распределения радиального изгибающего момента по всей пластинке из /3.3.2/ получаем: /3.3.5/ ІтЛ-а-( За2ї + 2Р:) Ръ&{
Что касается уравнений для определения предельной нагрузки, опорной реакции на внутреннем контуре и неизвестных радиусов Д Р2 Рз отметим» что в этом случае будут Отметим,еще раз, что достоверность всех полученных результатов подтверждается тем, что во всех рассмотренных в этой главе задачах, полученные результаты совпадают с результатами, полученными в [kQl для пластинок, изготовленных из материала, подчиняющегося условию текучести Треска - Сен-Венана. Для этого в полученных нами соотношениях надо положить, что армировка отсутствует, то есть So 0 и положить К = 1 f то есть считать, что материал матрицы имеет одинаковые пределы текучести -на растяжение и сжатие.
Результаты численного расчета на ЭВМ БЭСМ - 6 приведены в виде таблицы 4 и графиков /рис. /5-/6 / #
В диссертации получено решение ряда новых задач о несущей способности круглых и кольцевых пластинок, изготовленных из определенного класса волокнистого композитного материала, составляющие которого обладают пластическими свойствами. Задачи исследованы при действии различного вида приложения осееиммет-ричных нагрузок и при различных осесимметричных граничных условиях. Выявлены возможные пластические поведения пластинок в зависимости от соотношения предельных моментов в радиальном и окружном направлениях и определены соответствующие статически допустимое поле изгибающих моментов и кинематически возможное поле скоростей прогиба.
Показано, что в зависимости от соотношения предельных моментов в радиальном и окружном направлениях, свободно опертая по контуру пластинка в пластическом состоянии изгибается либо как конус, либо как усеченный конус с неизвестным радиусом излома, который определяется в ходе решения.
В случае защемленной по контуру пластинки появляется еще одно пластическое состояние /в области, примыкающей к контуру/ с другой формой изгиба.
Получены соотношения, определяющие предельную нагрузку, неизвестные радиусы границ областей с различными пластическими состояниями, а также распределение изгибающих моментов по всей пластинке, как функции механических характеристик составляющих композита.
Кольцевая пластинка защемленная по внутреннему и свободная по внешнему контурам
В машиностроении, судостроении, инженерных сооружениях, строительстве, а также в различных других областях современной техники в качестве рациональных конструктивных элементов широкое применение находят оболочки и пластинки.
Характерной особенностью практики проектирования последних десятилетий является стремление вскрыть и использовать все возможности материала конструкции с целью обеспечения ее максимальной несущей способности, минимального веса, устойчивости, надежности и других. В связи с этим широко используются новые материалы типа полимеров, различные композитные материалы. Особую важность в настоящее время приобретают элементы конструкций, изготовленные из композитных материалов, составляющие которых обладают пластическими свойствами. Поэтому, наряду с такими вопросами как прочность, устойчивость, оптимальное проектирование и другие, исследования, связанные с определением несущей способности конструкций из таких материалов, являются весьма актуальными.
Несущую способность конструкции можно определить либо путем исследования полного процесса упруго-идеально-пластического деформирования вплоть до состояния пластического течения, либо с помощью применения таких методов, которые относятся исключительно к состоянию пластического течения. В последнем случае отправной точкой анализа служит жестко-идеально-пластическая модель деформирования. Тогда несущая способность связывается с началом пластического течения, которое, впоследствии, продолжается при постоянной нагрузке. Таким образом, при решении задачи о несущей - 5 -способности конструкций важную роль играет теория предельного равновесия.
Основоположником теории предельного равновесия является А.А.Гвоздев. Им впервые [7] было четко определено понятие "предельное равновесие" и, что самое основное, сформулированы основные теоремы.
В теории предельного равновесия необходимо, прежде всего, установить условие текучести и построить поверхность текучести в пространстве обобщенных усилий, что составляет одну из важнейших и сложных задач теории предельного равновесия. Конечные предельные соотношения между результирующими напряжениями для оболочек и пластинок, определяющие в пространстве обобщенных усилий гиперповерхность текучести, впервые были получены А.А. Ильюшиным [25] с использованием соотношений теории малых упруго-пластических деформаций для изотропного материала, подчиняющегося условию текучести Р.Мизеса.
В.Прагером [53] были исследованы зависимости между напряжением и скоростью деформации применительно к жесткому идеально-пластическому материалу, а также приведены методы определения несущей способности различных элементов конструкций, в том числе, в качестве примера, исследована несущая способность круглых пластинок, находящихся под действием осесимметричной поперечной нагрузки.
Знания поверхности текучести, однако, еще недостаточно для полного определения пластического состояния. Необходимо еще знание ассоциированного закона течения, то есть соотношений, описывающих связь между обобщенными усилиями и соответствующими им обобщенными скоростями перемещений. Такие соотношения приводятся во многих монографиях и учебниках, в частности, - б в работах Д.Д.Йвлева [23] , А.А.Ильюшина [25] , В.Д.Клюшнико-ва [31] , В.Прагера Ш , В.Прагера и Ф.Ходжа W , В.В. Соколовского [65] и других.
Кольцевые пластинки, свободно опертые по внутреннему и защемленные по внешнему контурам
Для поля скоростей прогибов, как мы уже отметили ранее, будем иметь те же соотношения, что и для случая пластинки с защемленным внешним и свободно опертым внутренним контуром, а именно: jD«f« Отметим,еще раз, что достоверность всех полученных результатов подтверждается тем, что во всех рассмотренных в этой главе задачах, полученные результаты совпадают с результатами, полученными в [kQl для пластинок, изготовленных из материала, подчиняющегося условию текучести Треска - Сен-Венана. Для этого в полученных нами соотношениях надо положить, что армировка отсутствует, то есть So 0 и положить К = 1 f то есть считать, что материал матрицы имеет одинаковые пределы текучести
Результаты численного расчета на ЭВМ БЭСМ - 6 приведены в виде таблицы 4 и графиков /рис. /5-/6 / В диссертации получено решение ряда новых задач о несущей способности круглых и кольцевых пластинок, изготовленных из определенного класса волокнистого композитного материала, составляющие которого обладают пластическими свойствами. Задачи исследованы при действии различного вида приложения осееиммет-ричных нагрузок и при различных осесимметричных граничных условиях. Выявлены возможные пластические поведения пластинок в зависимости от соотношения предельных моментов в радиальном и окружном направлениях и определены соответствующие статически допустимое поле изгибающих моментов и кинематически возможное поле скоростей прогиба.
Показано, что в зависимости от соотношения предельных моментов в радиальном и окружном направлениях, свободно опертая по контуру пластинка в пластическом состоянии изгибается либо как конус, либо как усеченный конус с неизвестным радиусом излома, который определяется в ходе решения.
В случае защемленной по контуру пластинки появляется еще одно пластическое состояние /в области, примыкающей к контуру/ с другой формой изгиба.
Получены соотношения, определяющие предельную нагрузку, неизвестные радиусы границ областей с различными пластическими состояниями, а также распределение изгибающих моментов по всей пластинке, как функции механических характеристик составляющих композита.
Определена несущая способность статически определимых в отношении опорной реакции кольцевых пластинок, находящихся -под действием различного вида приложения осесимметричных поперечных нагрузок.
Получены соотношения для определения предельной нагрузки, неизвестных границ областей с различными пластическими состояниями, а также распределение изгибающих моментов по всей пластинке.
Исследована несущая способность статически неопределимых в отношении опорных реакций кольцевых пластинок. Задача исследована при различных краевых условиях.
Получены соотношения, определяющие распределение изгибающих моментов по всей пластинке, поле скоростей прогибов, неизвестные границы областей с различными пластическими состояниями, число которых при заданной нагрузке зависит от краевых условий, опорную реакцию на внутреннем контуре и предельную нагрузку.
Из общего решения путем некоторых преобразований получены известные решения для частных случаев.
Для получения числовых данных, для случая симметрично армированных кольцевых пластинок, разработан алгоритм счета на ЭВМ БЭСМ - б. Результаты вычислений на ЭВМ представлены в виде графиков и таблиц.
