Содержание к диссертации
2.2.2 Способ получения дробных определяющих соотношений
вязко упругости, основанный на анализе частотной
зависимости механических свойств 54
2.2.3 Метод Ачемента дробного исчисления 58
2.2.4 Метод получения определяющих соотношений содержащих дробные
производные Г.Л.Слонимского 64
2.2.5 Фрактальные реологические модели 66
2.3 Обзор некоторых недавних работ о применении дробного исчисления в вязко упругости 67
3 Некоторые применения дробной функции Грина. Общие определяющие
соотношения вязко упругости, содержащие дробные производные 77
3.1 Дробная функция Грина 77
3.1.1 Обобщенное тело Максвелла 80
3.1.2 Обобщенное тело Кельвина-Фойгта 87
3.1.3 Обобщенное тело Зенера 91
3.2 Общие определяющие соотношения вязко упругости содержащие дробные
производные 98
4 Уравнения движения вязко упругости в случае определяющих соотношении содержащих дробные производные 106
4.1 Уравнение движения для всей оси в случае дробного исчисления 107
4.1.1 Случай, когда внешняя нагрузка не зависит от времени 107
4.1.2 Случай, когда внешняя нагрузка зависит от времени периодически 114
4.2 Гиперболичность уравнения движения 115
4.2.1 Случай обобщенного тела Максвелла 115
4.2.2 Случай обобщенного тела Зенера 130
4.2.3 Случай общих одномерных определяющих соотношений вязко упругости, содержащих дробные производные 133
4.3 Уравнения движения для трехмерной дробной модели вязко упругости 138
4.4 О не гиперболичности уравнений движения для некоторых обобщенных тел 147
4.5 Вязкоупругий стержень конечной длины 151
4.5.1 Смешанная задача для вязкоупругого стержня конечной длины 151
4.5.2 Задача Герасимова о движении жидкости между двумя параллельными плоскостями 156
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 159
Введение к работе
Общее развитие и широкое применение линейной теории вязкоупругости наблюдается сравнительно недавно. Действительно, активность в этой области связана в первую очередь с современным широким распространением и использованием полимерных материалов. Многие из этих новых материалов обладают механическими свойствами, которые нельзя описать с помощью упругой или вязкой моделей механического поведения; в силу этого становится очевидной необходимость построения более общей теории.
Теория упругости может применяться к материалам, которые обладают способностью накапливать механическую энергию, не рассеивая ее. С другой стороны, Ньютоновская вязкая жидкость при гидростатическом напряженном состоянии проявляет способность рассеивать энергию, но не способна ее накапливать. Но тогда эти две теории не могут описать поведения тех материалов, которые способны частично (но не полностью) вернуть работу, затраченную на их деформирование. Такие материалы обладают способностью как к накоплению механической энергии, так и к рассеиванию ее.
Другой способ характеристики таких материалов состоит в описании их механического поведения при внезапно приложенных к поверхности образца равномерно распределенных усилиях. Термины "внезапно приложенная нагрузка или "внезапно приложенное" напряженное состояние в данном случае не следует понимать так, что нагружение вызывает скорости, приводящие к деформированию образца в динамических условиях. Упругий материал, будучи подвергнуть такому "внезапно приложенному нагружению, в дальнейшем остающегося постоянным, мгновенно претерпевает деформации, которые потом остаются неизменными. При внезапном приложении однородного касательного напряжения к ньютоновской вязкой жидкости возникает стационарное течение.
Существуют однако материалы, у которых внезапно приложенное и поддерживаемое неизменным напряженное состояние вызывает мгновенную деформацию, вслед за чем следует процесс течения, которое с ростом времени может быть ограниченным или неограниченным. О материале, который ведет себя подобным образом, говорят, что он проявляет одновременно свойство упругости и ползучести. Такое поведение, очевидно, не описывается ни упругой, ни вязкой моделями, а сочетает в себе черты обеих.
Полезно рассматривать случай, который представляет собой обобщение поведения материала при однократном внезапном изменении приложенных поверхностных сил. Допустим, что материал, обладающий описанными выше свойствами мгновенной упругости и ползучести, подвергается двум не одновременно происходящим изменениям однородного напряженного состояния, которые накладываются одно на другое. После первого приложения напряжения, но перед тем, как наступило второе, поведение материала будет зависеть от времени, а также от величины приложенного вначале напряжения. Рассмотрим теперь ситуацию, которая возникает через сколь угодно малый промежуток времени і после внезапного приложения второго напряженного состояния. Поведение материала будет зависеть не только от второго изменения внешних усилий, но и от продолжающегося (зависящего от времени) влияния первого приложенного уровня напряжения.
Заметим, что поведение упругого материала в любой момент времени зависит только от суммарного уровня напряжений. Таким образом, рассматриваемый материал более общего типа обладает свойством, которое можно назвать эффектом памяти. При этом поведение материала определяется не только текущим напряженным состоянием, но и всеми прошлыми напряженными состояниями, так что, вообще говоря, материал "запоминает" эти прошлые состояния. Подобная же ситуация возникает, если обратиться к деформациям; в этом случае текущее напряжение зависит от всей истории деформации. По этой причине некоторые авторы вязкоупругость называют наследственной теорией (см.[88]).
Традиционный ход рассуждений приводит к построению определяющих уравнений, содержащих производные от напряжения и деформаций; описание физических процессов с помощью дифференциальных уравнений привычно и общепринято. С другой стороны, в классической механике сплошной среды издавна существуют такие простейшие модели, как модель упругого тела Гука и модель вязкой жидкости Ньютона. Объединяя эти модели, мы естественным образом приходим, например, к следующему гипотетическому определяющему соотношениюа = Ее + т)ё. (0.0.1)
Здесь а - напряжение, а е - деформация. При Е — 0 - это вязкая жидкость, при т/ = 0 -упругое тело Гука, в общем случае среду, описываемую этим соотношением можно назвать вязкоупругой.
Соотношении (0.0.1) можно поставить в соответствие материальную модель, которую часто называют моделью Фойгта или Кельвина - Фойгта, а тело поведение которого описывается соотношением (0.0.1) телом Фойгта. Напомним, что [29, 88] тело Фойгта состоит из пружины и амортизатора, которые соединены параллельно. Сила а уравновешивается силой упругости пружины Ее и силой вязкого сопротивления движению поршня, которое сопровождается протеканием вязкой жидкости через зазор между поршнем и стенками цилиндра.
Математическая модель, включающая в себя как предельные случай модели упругого тела и вязкой жидкости, может быть сконструирована не единственным образом.
Кроме модели Фойгта простейшими моделями вязкоупругих тел являются тело Максвелла и стандартное линейное тело. Описание этих и других вязкоупругих тел а также подробное изложение классической теории линейной и нелинейной вязко упругости можно найти в монографиях [12, 29, 46, 81, 88], и в работе [80].
Следует подчеркнуть, что система определяющих соотношении в теории вязко упругости, как и в других феноменологических теориях, характеризирующих физическую систему, описывает только некую абстрактную математическую модель, которая может быть использована для качественной и количественной оценки реальных физических систем с той или иной степенью точности. Вопрос о выборе математической модели для проведения прочностного расчета реального материала решается только из сравнения результатов теоретического исследования с экспериментом.
Следует отметить тот факт, что хотя большинство достижений в теории вязкоупругости относится к последнему времени, теория, сформулированная для линейного изотермического случая, существует уже давно.
Теоретическую идею вязкоупругой модели впервые предложил Максвелл п 1867 году (см.[29],[207]).Его определяющий реологический закон, связывающий напряжение и деформацию, имеет форму
do dy ,п п .
a+r„- = 4J (0.0.2)
где о - напряжение, j - деформация, ц - коэффициент вязкости; TQ = T]/G0, здесь G0 -модуль упругости.
Больцман в 1874 г. впервые дал уравнения трехмерной теории изотропной вязкоупру-гости. В 1909 г. Вольтерра получил аналогичные зависимости для анизотропных тел.
Диссертационная работа посвящена к некоторым аспектам применения дробного исчисления в вязко упругости.
Область математического анализа, называемая дробным исчислением и посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, имеет давнюю историю и богатое содержание, обусловленное проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др.
Мысль об обобщении понятия дифференцирования на не целые значения р возникала с самого зарождения дифференциального исчисления. Первая зафиксированная историей попытка обсуждения такой идей содержится в переписке Г.Лейбница (см.[95],[207], [208Ц218]).
В одном из писем Г.Лопиталю он ставил вопрос: какой математический смысл можно придать выражению ,когда п не целое.
Лопиталь ответил вопросом на вопрос: чему равняется т-772, когда f(x) = я?
В письме от 30 сентября 1695 года Г.Лейбниц писал: получается, что dl 2x равняется x\/dx : х", это равенство он называл парадоксом и отмечал , что из него можно получить много чего полезного. Заметим, что 1819 году Лакру а получил точное равенство их 2 .
Над проблемой определения понятия дробных интегралов и дробных производных в разное время работали такие ученые как Л.Эйлер(1730), П.Лаплас(1812), Ж.Фурье(1822), Н.Абель(1823-182б), Ж.Лиувиль(1832-1873), Б.Риман(1847), Ж.Лоран(1884), Ж.Ада-мар(1892), О.Хевисайд(1892-1912), Г.Харди и Д.Литтлвуд(1917-1928), Г.Вейль(1917), П.ле-ви(1923), А.Зигмунд(1935-1945), М.Рисс(1949).
Несмотря на вышесказанное дробное исчисление можно рассматривать как "новую"об-ласть науки, так как только за последние 27 лет оно стало предметом специализированных международных конференций. Первая международная конференция по дробному исчислению была проведена в 1974 году в Нью-Хавене. Организатором этой конференций и составителем сборника докладов конференции был Б.Росс. Вторая конференция была проведена в 1984 году в Глазго (Англия). Организаторами и составителями сборника докладов второй конференций были А.Макбраид(А.С.МсВгісІе) и С. Pay4(C.F.Roach).
Первой монографией подробному исчислению была изданная в 1974 году книга К.Олд-хема и Дж.Спаниера [208]. На сегодняшний день издано много книг по дробному исчислению, однако из них своей монументальностью выделяется монография С.Г.Самко, А.А.Маричева и О.И.Маричева [95].
Теория дробного исчисления , а также историческое развитие этой теории подробно изложены в монографиях [95] [155],[159], [162], [207] ,[208],[215] и в работах [209],[218].
Дробное исчисление давно применяется в различных областях науки и техники для моделирования и изучения наследственных и запоминающих свойств различных материалов и процессов.
В 1978 году К.Олдхем и Дж.Спаниер опубликовали работу [209], в которой перечислены (с указанием соответствующих источников) шестнадцать областей, где к тому времени успешно применялось дробное исчисление.
Подробное описание применения дробного исчисления к различным областям науки и техники на современном этапе дано в монографии И.Подлубного [215] главы 9 и 10.
В вязкоупругости дробное исчисление успешно применяется вот уже 80 лет.
Основателем применения дробного исчисления в вязкоупругости, как отмечают Р.Л. Бэгли и П.Дж.Торвик (см.[126]), был П.Дж.Наттинг(Р.G.Nutting), который в 1921 году наблюдал, что соотношение между напряжением и деформацией, для многих сложных материалов описывается так называемым уравнением П.Дж.Наттинга(Р.СМииіі ).
Дж.У.Скот-Блзр(С\У.8соЦ-ВІаіг) применив производные дробного порядка по времени объединил наблюдения П.Дж.Наттинга(Р.С.Nutting) и А.Джеманта (A.Gemant) в одной модели (см.[126]). Тридцать лет тому назад М.Капуто высказал идею применения производных дробного порядка в модели вязкоупругого поведения геологических пластов (см.[126]).М.Капуто и Ф.Маинарди пошли дальше, показав, что определяющее соотношения использующие дробные производные описывают механические свойства некоторых металлов и стекловидных тел.
Обзор некоторых других работ по применению дробного исчисления в вязкоупругости можно найти в работах [12G],[127],[179], [220].
