Содержание к диссертации
Введение
2 Очаговый механизм пластичности . 26
2.1 Одномерные деформации 26
2.2 Очаги пластической деформации 35
2.3 Волновой континуум Орована 48
2.4 Активизация очагов пластической деформации 60
2.5 Одномерное моделирование структурных преобразований 73
3 Основные постулаты МДТТ и их следствия 79
3.1 Основные постулаты МДТТ и их следствия 79
3.2 Кинематика трехмерных движений 95
3.3 Уравнения транспорта. Принцип соответствия 108
3.4 Уравнение сохранения массы при разных формах описания движения 117
3.5 Динамические уравнения совместности. Вихревые решения уравнений совместности 121
3.6 Трехмерные очаги пластической деформации 133
4 Моделирование очагового механизма пластичности 145
4.1 Теория деформаций 145
4.2 Уравнения состояния 168
4.3 Основы термомеханики модели 209
5 Заключение. Литература. 232
5.1 Основные результаты и выводы 232
5.2 Библиография 234
Приложения. 261
6.1 Представление обобщенных функций рядами 261
6.2 Вычисление аддитивного тензора поворота 262
6.3 Одномерный случай. Пример решения экстремальной задачи 264
6.4 Градиентное приближение 265
6.5 Примеры кинетических уравнений 267
6.6 Пример уравнений состояния 268
6.7 Графики
- Очаги пластической деформации
- Кинематика трехмерных движений
- Уравнение сохранения массы при разных формах описания движения
- Основы термомеханики модели
Введение к работе
Описание механических свойств тел является важнейшей проблемой механики сплошных сред, от решения которой существенно зависит физическая достоверность математических моделей и, следовательно, пригодность для практических применений получаемых с их помощью результатов. Уравнения состояния отображают механические свойства тел и сред, они составляют центральное звено в постановках начально-краевых задач, которые служат моделями поведения реальных тел и конструкций при различных внешних воздействиях. Исследования последних лет, особенно касающиеся изучения экстремальных свойств деформируемости тел и сред таких как сверхплас-тнчность, память формы, электропластичность и др. и новые технологии, требуют создания новых и совершенствования классических теоретико-экспериментальных подходов к построению уравнений состояния сред, развития основ теории и методов математического моделирования процессов и явлений, физически адекватно описывающих поведение реальных тел в реальных физико-механических процессах.
Фундаментальные результаты Г.Галилея, И.Ньютона, Р.Гука вызвали настоятельную необходимость в описании механических свойств тел при их деформировании и к концу XIX и началу XX века в рамках созданных работами Я. и Д.Бернулли, Л.Эйлера, О.Коши основах механики деформируемой сплошной среды были получены классические уравнения теории упругости, гидро- и аэромеханики, построены первые модели пластичности, предложены методы и подходы к решению задач классических разделов механики деформируемых сред, заложены основы описания напряженно-деформированного состояния твердых тел при больших деформациях и т.п. ([101, 122, 146, 177]).
Практически сразу после построения основных классических моделей сред начались их обобщения. Одной из первых моделей упругой среды, которая не описывается в рамках классической модели, является среда Е. и Ф. Коссера ([240]). Эта удачная модель послужила отправной точкой для многочисленных обобщений в виде несимметричных, моментных, мультиполяриых, градиентных и т.п. теорий. Это было обусловлено целым рядом причин, среди которых в первую очередь были появившиеся в первые десятилетия прошлого века новые воззрения в физике и механике, а также резко возросшие потребности промышленности, машиностроения, техники. Среди них широкое внедрение конструкционных материалов и использование их в условиях экстремальных нагружений, интенсификация технологических процессов и т.д. Это привело к мощному развитию математики и ее приложений, а также к установлению все более тесных связей механики деформируемых тел и сред с физикой. Механика деформируемых тел отвечала на требования времени интенсивными теоретическими и экспериментальными исследованиями механических свойств и поведения тел в различных процессах при малых и больших деформациях, включая режимы обработки высоким давлением [11, 12, 53, 56, 101, 105, 106, 122, 146, 147, 151, 195, 205, 216, 218, 222, 224, 256, 259, 260, 279, 280, 282, 299].
Известные к 40-50 гг. прошлого века исследования по пластичности (см. [11, 12, 32, 75, 129, 146, 147, 178, 185, 195, 244, 259, 279], а также библиографию в [56, 59, 265] ) нашли последовательное обобщение и развитие в работах А.А.Ильюшина [56, 59] , основные идеи которых были опубликованы в [54, 55] и [57].
В этих работах впервые была выдвинута и практически реализована идея построения определяющих соотношений тел в виде локальной зависимости тензора напряжений от предыстории деформации данной физической частицы с учетом сложности процесса деформации в ней (выраженная в форме гипотезы макрофизической определимости и общего постулата изотропии [59] и развитая в дальнейшем как постулат макроскопической определимости [60, 61]), впервые было обращено внимание на необходимость учета сложности процесса деформации, предложены фундаментальные понятия образа процесса и свойств иятнмерной изотропии (постулат изотропии Ильюшина) и принцип запаздывания, на основе которых дана соответствующая классификация типов процессов деформации, указаны теорети-
ческие рамки и экспериментальные подходы к построению и идентификации определяющих соотношений. Экспериментальные и теоретические исследования [26, 60, 61, 66, 67, 69, 72, 78, 84, 86, 88, 108, ПО, 112, 1Ы, 123, 125, 143, 154, 155, 164, 169, 211, 227, 291, 292] показали, что постулат макроскопической определимости справедлив практически для всех реальных деформируемых сред в любых процессах, а постулат изотропии (свойство пятимерной изотропии) выполняется с достаточной степенью точности для подавляющего большинства начально изотропных сред, в том числе, упругопластичес-ких сред (металлов, сплавов) в процессах сложного нагружения в зоне развитых пластических деформаций. Таким образом, созданная А.Л.Ильюшиным в 40-50 гг. общая теория пластичности по существу легла в основу и заложила фундамент современных подходов к построению уравнений состояния сплошных сред при малых и больших деформациях (в лаграижевом описании).
В свою очередь, развитый к 50 гг. математический аппарат описания механических процессов при конечных деформациях средствами тензорной алгебры и анализа, исследование свойств инвариантности тензорных величин и их отображений [41, 119, 122, 151, 216, 218, 229, 241, 256, 260, 280, 282, 293, 299, 303] привели к появлению фундаментальной работы У.Нолла [286] , в которой дан общий теоретический подход к построению определяющих соотношений сред при произвольных деформациях в пространственном описании. Предложенный У.Ноллом принцип объективности и введенное им понятие простого тела легли в основу современных подходов к определяющим соотношениям сред.
Фундаментальными работами А.Л.Ильюшина и У.Нолла заложены основы нового раздела механики сплошной среды - теории определяющих соотношений деформируемых сред и методики калибровки (статической и динамической) уравнений состояния.
Подходы и точки зрения А.А.Ильюшина и У.Нолла выражают в разной форме одни и те же общие принципы теории, принятые в современной классической механике сплошной среды: принципы макроскопической определимости и причинности, локальности и независимости от системы отсчета [59, 60, 61, 219, 261, 262, 286, 288, 289, 304].
Естественно, в рамки теории определяющих соотношений вошли все известные классические и новые модели деформируемых тел и сред, представленные в сейчас общих курсах и исследованиях по ме-
ханике сплошной среды [1, 48, 60, 01, 128, 177, 190, 191, 192, 209, 219, 250, 251, 289, 1G5, 304], в монографиях, сборниках и учебных пособиях по ее отдельным разделам [2, 5, б, 9, 29, 34, 35, 45, 62, 67, 71, 74, 80, 82, 84, 86, 88, 120, 121, 127, 143, 144, 145, 150, 156, 157, 167, 169, 180, 194, 202, 203, 206, 211, 223, 227, 228, 229, 254, 258, 265, 277], в различных исследованиях по механике неоднородных тел (см., например, [3, 93, 116, 117, 118, 163, 172, 187, 252, 253, 287]), а также в многочисленных работах последних лет по теории упругости и пластичности при малых и конечных деформациях [34, 36, 89, 95, 97, 103, 104, 115, 126, 166, 170, 176, 199, 214, 215, 221, 225] и др.
Математическое моделирование сложных физических явлений и свойств реальных тел в условиях экстремальных нагружений, подобных свойствам сверхпластичности [10, 28], эффекту памяти формы [100] и др. (см., например, [4, 5, 20, 23, 37, 40, 51, 63, 67, 85, 90, 107, 113, 115, 133, 134, 135, 136, 137, 140, 148, 149, 152, 153, 159, 161, 166, 168, 174, 175, 185, 200, 210, 213, 226, 233, 236, 237, 238, 263, 272, 273, 275, 277, 281, 283, 298, 305]), вызывает новые подходы и методы, развиваемые в последние годы в механике неоднородных сред и композитных материалов [4, 25, 52, 117, 158, 160, 162, 163, 172, 181, 182, 183, 184, 187, 204] и во многих случаях выдвигает новые проблемы. В частности, выяснилось определяющее влияние на процессы сверхпластического деформирования материалов структурных параметров, лишь только одним из которых является характерный размер зерна. Это обращает внимание на исследования в области нелокальных теорий деформируемых сред и тел, например, [124, 232, 247, 248, 251, 301]. Характерной чертой нелокальных теорий является то, что уравнения состояния теорий содержат параметры, имеющие размерность длины. Часто эти параметры выделяют в класс параметров структуры. В большинстве случаев структурные параметры малы по сравнению с характерным размером тела. Если в рамках некоторой нелокальной теории допустимо рассмотрение процессов с характерным размером порядка параметров структуры, то теория является сильно нелокальной и ее определяющие уравнения содержат соответствующие этому свойству операторы: интегральные, интегро-дифференциальные, разностные и др. (по пространственным переменным). Соответственно, при малости структурных параметров возможно переходить от теорий с сильной нелокалыюстыо к моделям, имеющим слабую не-локалыюсть, в виде соотношений между величинами, содержащих
производные по пространственным переменным. Малые структурные параметры в этом случае, как правило, являются малыми праметра-мн при старших производных, что создает дополнительные вычислительные сложности при решении конкретных задач.
Перечислим кратко основные результаты в области описания механических свойств деформируемых тел при больших деформациях.
Для описания напряженно-деформированного состояния при конечных деформациях используются различные тензоры. Исследования по нелинейной упругости ввели в механику сплошной среды в лан-гранжевом описании тензор деформаций Коши, правый тензор растяжений, тензор деформаций Коши-Грина, тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа второго рода, тензор условных напряжений Ильюшина, в эйлеровом описании - тензоры Альманси и Фингера, левый тензор растяжений, тензор истинных напряжений Коши и др. [34, 48, GO, 61, 101, 120, 121, 128, 150, 151, 192, 199, 219, 250, 256, 262, 304]. Изучены также возможности использования при конечных деформациях тензоров, "взаимных" к указанным классическим [34] (Л.Грин, Дж.Лдкинс, 1965), [121] (Л.И.Лурье, 1980), [14, 15] (Г.Л.Бровко, 1986,1987), а также известных логарифмических тензоров деформаций Генки ([121, 176, 216, 220, 221, 258, 260, 261, 262, 276]). Набор энергетически сопряженных тензорных мер напряжений и конечных деформаций, важный с точки зрения термодинамики, предложен и рассмотрен в [153] (В.В.Новожилов, К.Ф.Черных, 1987), [225] (К.Ф.Черных, 1988) и др.
Из множества тензорных мер деформаций и напряжений выделяются голономные меры, определяющие напряженно-деформированное состояние в любой момент времени своими значениями в этот же момент времени, и неголономпые - определяющие напряженно-деформированное состояние всей своей историей изменения вплоть до текущего момента времени. Все классические и многие новые тензорные меры являются голономными.
Неголономпые меры появились в иследованиях иеупругости при конечных деформациях [177, 193, 233, 283]. Не все меры такого типа пригодны с физической точки зрения. Пример - "аномалия" колебаний напряжений при сдвиге в модели пластического течения с яу-манновской производной, обнаруженная в [273] (Th. Lehmaim, 1972), [243] (J.K.Dienes, 1979), [283] (J.C.Nagtegaal, J.E. de Jong, 1982), корректировки модели и замечания по использованию производной в ней - в [189] (Л.И.Седов, 1960), [242] (Y.F.Dafalias, 1983), [272] (E.H.Lee,
R.L.Mallett, T.B.Wert-heimer, 1983). Среди неголономных мер деформаций и напряжений отметим, в частности, рассмотренные в [13, 14, 15] (Г.Л.Бровко, 1984,1986,1987), [102,103] (В.И.Левитас, 1985,1987), [212] (Л.А.Толоконииков, А.А.Маркин, 198G).
Поскольку любые меры конечных деформаций и напряжений рав-нопригодны для описания процессов деформации и нагружения, предпринимались попытки построения классов мер, представляющих одни и те же уравнения состояния в терминах различных мер.
Первый шаг в этом направлении был сделан для голономных мер Р.Хиллом [262], другой подход - предложен Г.Л.Бровко [15, 1G, 19].
При формулировке уравнений состояния - тензорной связи между напряжениями и деформациями, важен выбор термодинамических параметров описания. Обычно в качестве таких параметров выбирают тензорные характеристики инвариантные при преобразованиях системы отсчета [286] (W.Noll, 1958), [219] (К.Трусделл, 1975), [121] (А.И.Лурье, 1980), [290] (R.W.Ogden, 1984), [132] (Ж.Можен, 1991). Инвариантными в эйлеровом описании являются, например, левый тензор растяжений, тензор деформаций Альманси, тензор скоростей деформаций, тензор истинных напряжений Коши. При лагран-жевом описании используются тензоры [59, 60, 61] (А.А.Ильюшин, 1963, 1978, 1990), [261, 262] (R.Hill, 1959, 1978), инвариантные в ла-гранжевом смысле [121] (А.И.Лурье, 1980), [103] (В.И.Левитас, 1987), [290] (R.W.Ogden, 1984). К их числу относятся правый тензор растяжений, тензор деформаций Коши-Грина, тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа второго рода, тензор напряжений Ильюшина и др.
В механике деформируемых сред используются также тензоры смешанных типов. Это, например, аффинор (градиент) деформации, тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа первого рода и др.
В [290] (R.W.Ogden,1984) тензоры всех типов рассмотрены с единых позиций инвариантности соответствующих полилинейных форм при замене системы отсчета, отмечены некоторые естественные связи между тензорами разных типов.
Другой стороной теоретического описания механических свойств тел является определение термодинамически возможных классов уравнений состояния.
В исследованиях изотропных и анизотропных упругих тел при малых и конечных деформациях изучены разнообразные формы линей-
ных и нелинейных алгебраических связей между тензорами второго ранга [5, G, 23, 24, 34, 37, 5G, 60, 61, 122, 150, 151, 172, 173, 185, 192, 19G, 197, 198, 199, 210, 219, 225, 250, 256, 2G1, 262, 263, 265, 300, 304]. Моделирование упругих и неуиругих свойств тел при конечных деформациях "в скоростях" (соотношения гппоупругости, пластического течения) привело к появлению соотношений, содержащих понятия скоростей изменения тензоров - различных производных тензоров по времени [34, 60, 61, 86, 105, 177, 189, 190, 241, 262, 293, 303], а также [13, 18, 102, 220, 242, 243, 272, 307]; исследованы свойства классических и новых производных [17, 60, 61, 177, 189, 190, 257, 262, 290, 307] и их применение в определяющих соотношениях [18, 103, 176, 177, 190, 212, 225, 243].
Различные интегральные и интегро-дифференциальные соотношения, функциональные связи между тензорами подробно изучены в [45, 56, 59, 64, 66, 67, 69, 70, 73, 80, 81, 84, 86, 123, 125, 134, 138, 139, 155, 156, 157, 158, 168, 171, 172, 219, 223, 229, 231, 234, 235, 244, 2G4, 265, 266, 295, 305, 306].
Все отмеченные тензорные связи удовлетворяют при материальном описании постулату макроскопической определимости Л.А.Ильюшина [59, 60, 61], в пространственном - принципу объективности У.Нолла [219, 286, 304].
Вопрос об эквивалентности этих двух подходов и определении связи между величинами и соотношениями в них исследовался в работах по нелинейной теории упругости, пластичности при конечных деформациях. Подробно изучены наиболее простые алгебраические связи (для изотропных нелинейно упругих тел [34, 121, 199, 219, 239]), а также некоторые дифференциальные связи (соотношения гппоупругости и пластических течений [103, 176, 177, 212, 219, 229, 233, 303]).
В механике деформируемых тел изучаются разнообразные механические свойства тел: сопротивление деформированию, прочности и др. В качестве моделей тел используются модели с разными характеристиками внутренних взаимодействий: классическая сплошная среда, моментные среды, структурно-неоднрродные среды и тела. Можно отметить в этой связи работы [1, 9, 20, 27, 35, 39, 42, 43, 46, 47, 49, 58, G5, 68, 82, 91, 94, 96, 98, 99, 109, 132, 136, 158, 165, 186, 230, 232, 240, 249, 251, 267, 268, 274, 278, 301].
Классические среды полностью характеризуются полем перемещений своих точек, внутренние взаимодействия в них - силовые и пол-
ностыо характеризуются массовыми и поверхностными силами. Механика классических сред базируется на постулатах А. А.Ильюшина и У.Нолла. Определяющие соотношения в классической механике сплошных сред выражаются зависимостью тензора напряжений от истории деформаций данной физической частицы вещества - тела-точки. Все известные и новые определяющие соотношения в классической МДТТ удовлетворяют классическим постулатам, используют различные меры деформаций и напряжений и формы соотношений между ними.
Развитие основ классической теории определяющих соотношений поставило задачу распространения общих гипотез на связанные термомеханические подходы и более общее описание механических свойств. Можно отметить работы в этом направлении [59, 60, 61, 62] (А.А.Ильюшин, 1963,1978,1990,1994), [64] (А.А.Илыошин, Г.А.Илыошнна,1983), [67] ( А.А.Илыошин, Б.Е.Победря 1970), [69, 70] (Г.А.Ильюшина 1978, 1996), [219] (К.Трусделл 1975), [239] (B.D.Coleman, W.Noll 1964), [263] (R.Hill, 1981), [289] (W.Noll,1973), [304] (C.Truesdell.W.Noll 1965).
Эффективное использование теории определяющих соотношений в в задачах механики деформируемого тела зависит от установления границ применимости соотношений и их классификации, т.е. специализации форм определяющих соотношений для выделенных классов тел и процессов, предусматривающей соответствующую калибровку в опытах. Осуществимость определяющих (макроскопических) экспериментов и их воспроизводимость установлены гипотезой макрофи-зической определимости в [59] (А.А.Ильюшин) и принципом материальной независимости от системы отсчета (принцип объективности), [286] (У.Нолл). Указание рамок физической достоверности теории составляет суть и особую значимость подхода А.А.Ильюшина [56, 59].
Так подход, основанный на идее теорий пластического течения Сен-Венана-Леви-Мизеса, полно изучен в работах [53, 55] (А.А.Илыошин). Здесь точность определения упругих деформаций не высока, но процесс пластических деформаций описывается довольно полно, что позволяет использовать теорию для задач обработки металлов давлением [32, 39, 65, 79, 80, 81, 87, 296, 297].
Эффекты резкого изменения режима нагружения тела, приводящего к разгрузкам и резкому изменению сопротивления деформированию тела, его несущей способности, изучены в подходе, основанном на введении математических понятий упругой и пластической компоненты деформации и поверхности нагружения и использующем их
для описания упругих и пластических свойств материала в сложных процессах [58, 59] (А.А.Ильюшин).
Можно выделить направления, использующие аддитивный [254, 255] (A.E.Green, P.M.Naghdi,19C5,1971), [284] (S.Nemat-Nasser 1979) и мультипликативный [270] (E.H.Lee 19G9), [269] (J.Kratochvil 1973) способы разделения полной деформации на упругую и пластическую части.
Между этими подходами есть противоречия [271] (E.H.Lee 1981), [285] (S.Nemat-Nasser 1982), вызванные разными понятиями производных по времени, неразработанностью теории определяющих экспериментов, принципиальными и практическими сложностями их осуществления [113, 114] (В.С.Леиский 1991, 1993).
Математический аппарат теории упругопластичсских процессов А.А.Ильюшина,[57, 59], построенной на основе понятий пятимерного образа процесса и постулата изотропии, и разработанная в этой теории классификация сред, использующие постулат изотропии, принцип запаздывания, гипотезу компланарности, гипотезу локальной определимости и другие законы пластического деформирования [57, 59] (А.А.Иль-юшин 1954,1963), [66] (А.А.Илыошин, В.С.Ленский 1975), [111, 113] (В.С.Ленский 1962, 1991), получившие экспериментальное подтверждение в опытах на сложное нагружение [26, 31, 108, 110, 164, 291, 292, 302], являются эффективным инструментом современного теоретико-эксперименталь-ного подхода к исследованию пластичности материалов при малых деформациях. Исследования показали справедливость постулата изотропии для начально изотропных сред в области малых деформаций [61].
Большой диапазон физической достоверности этой теории и важное преимущество перед многими другими, состоящее в использовании постулата изотропии для определения нужного числа калибровочных экспериментов, поставили задачу построения аналогичной теории для конечные деформации.
Первый вариант обобщения предложил А.А.Ильюшин в работе [60] (А.А.Ильюшин 1978), другие варианты появились в работах [220] (П.В.Трусов 1982), [102] (В.И.Левитас 1985),[212] (Л.А.Толоконников, А.А.Маркин (1986), [13] Г.Л.Бровко (1984).
Однако, широкое практическое применение методов математического моделирования в современных технологиях в условиях постоянно
накапливающейся массы разнообразного и разнородного экспериментального материала, нуждающегося в адекватном теоретическом описании, затруднено и требует постоянного и глубокого изучения не только математических, но и физических основ пластического деформирования. Создалась парадоксальная ситуация: теория больших деформаций и определяющих соотношений разработаны достаточно детально, а описание с их помощью реальных технологических процессов не всегда эффективно, неточно и, как следствие, технико-экономические показатели производства - достаточно низкие. Это оправдывает обращение к физической картине пластических деформаций (первый главный аспект проблемы), [115]. Дислокационная гипотеза базируется на предположении о наличии дефектов в кристаллической решетке вещества - дислокаций. Объяснение важнейшего свойства деформируемых твердых тел - пластичности - дефектами их структуры, а не свойствами самой системы и процесса ее нагру-жения (деформирования), вряд ли можно считать в достаточной мере физически обоснованным.
Имеется большое количество экспериментальных материалов о развитии пластических деформаций и, так называемых, аномалиях свойств [21, 33, 44, 74, 115, 179, 217, 207]. Поскольку большие деформации материалов всегда сопровождаются аномалиями, то возникает настоятельная необходимость возврата к основам математической теории механики деформирования твердых тел с целью нахождения термомеханических описаний явления пластичности, в которых изначально предусматриваются известные из экспериментов эффекты, сопровождающие процессы экстремальных проявлений пластичности (второй главный аспект проблемы).
К настоящему времени первый главный аспект проблемы имеет много решений в рамках "физических" [7, 8] и физико-механических [115, 76, 77, 50] воззрений. Второй же аспект - адекватное математическое описание физических свойств материалов с позиций общей теории механики деформируемого твердого тела - по-видимому, до сих пор является открытым в том смысле, что воззникающие новые теории создаются под решение конкретных задач и оставляют после себя немало вопросов физического характера.
В настоящее время можно говорить о следующих эффектах пластического деформирования при больших пластических деформациях:
1. Затухание волн пластичности при ударных нагружениях дефор-
мируемых тел [201];
Сверхпластичность - сильное повышение показателей пластичности (до 100 раз по сравнению с обычными показателями) в интервале 20-70"С выше 0.5 ТПл.- Сверхпластичность сопровождается значительным (на один-два порядка) снижением сопротивления деформированию [28, 33, 74, 179, 207).
Необычные изменения показателей прочности и сопротивления деформированию в завимости от температуры (провалы пластичности, вызванные прохождением фазовых превращений в материале) [21], тока (электропластический эффект) и поверхностно-активных веществ [197].
Эффект памяти формы [115, 130, 131].
Акустические эффекты, сопровождающие пластичность при больших деформациях [5, 7, 8, 22, 245, 246].
Локализацию пластических зон - сильную неоднородность полей пластических деформаций [179].
Процессы возникновения и локализации пластической деформации с экспериментальной точки зрения изучены хуже, чем природа происходящих в материале превращений. Практически ничего не известно об исходных причинах локального деформирования твердых тел, но тезис о случайности [294, 159, 161, 162], лежащий в основе развития реального процесса, а не идеализированного процесса пластического деформирования, по-видимому, является продуктивным.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Очаги пластической деформации
Эффект прерывистости диаграммы а є при конечных деформациях впервые описал Дюло [5] в 1813 году, наблюдавший нерегулярности при измерении напряжений в процессе испытаний образцов на растяжение и кручение на испытательных машинах с задаваемой деформацией и измеряемыми напряжениями. Так появился феномен ступенек, который впоследствии изучался многими экспериментаторами от Са-вара в 1837 г. и Массона в 1841 г., Розенхайна и Арчибута в 1912г. до современных экспериментаторов - Мак-Рейнольдса в 1949 г., Бэлла и других. Было выяснено, что эффект прерывистости наблюдается и на динамических машинах в широком диапазоне деформаций (от О до 25 процентов), скоростей деформаций и температур при испытаниях образцов из алюминия и его различных сплавов. Более того, появление ступенек на диаграмме обозначается внятными звуками, сопровождающими эффект [5, 7, 8, 22]. Поэтому естественно предположить, что реальный процесс пластической деформации материала имеет дискретный очаговый характер, состоит из одиночных актов, происходящих в некоторых точках материала в определенные моменты времени. Эта концепция является прямой формулировкой экспериментальных наблюдений [5, 7, 8, 22]. Согласно ней, пластическое деформирование материала сопровождается возникновением и движением отдельных сингулярностей - очагов пластической деформации, внезапно, толчком рождающихся в случайных центрах эмиссии в случайные моменты времени. Именно в очагах пластической деформации происходит диссипация механической энергии, а основная часть материала большую часть времени находится в упругом состоянии. Такая концепция не только не противоречит, но и согласуется с уравнениями МДТТ, учитывающей разрывные поля вращений и позволяет, например, считать очагом пластической деформации область пространства Галилея, где реализуется поворот некоторого зерна или группы зерен по отношению к окружающему материалу с разрушением и последующим восстановлением их связи. Однако, вопросы о микроскопической структуре очагов и физическом содержании процессов, происходящих в них, не рассматриваются, а изучаются следствия экспериментально установленного наличия очагов пластической деформации как физических,- а не только математических объектов. Экспериментально установлена эмиссия волн напряжений (ЭВН) при раскрытии ОПД. Ее изучают методом акустической эмиссии (ЛЭ), наблюдая отклик на детекторе акустических сигналов. При этом [22] измеряют амплитуды сигналов, их продолжительность, состав спектра. ЭВН характеризует физический источник испускания воли. Различные необратимые процессы в материале осуществляются в виде локальных актов деформирования и происходят на разных масштабных уровнях. Соответственно, их ЭВН различаются по ЛЭ. Так, если ЭВН соответствует процессу развития трещины, то продолжительность сигнала пропорциональна времени увеличения длины трещины, амплитуда - пропорциональна площади образовавшейся дополнительной поверхности; хрупкому росту трещин соответствует низкочастотная АЭ высокой интенсивности с малой продолжительностью сигналов. Наоборот, пластическая деформация характеризуется высокочастотной АЭ с невысокой интенсивностью и большей длительностью. Таким образом, имеет место существенное различие в форме, продолжительности, спектральном составе сигналов, характеризующих процессы пластической деформации (высокочастотная ЛЭ) и сопровождающих акты хрупкого разрушения (низкочастотная АЭ).
С математической точки зрения подтверждением очагового механизма пластичности можно считать наличие сингулярных или регулярных, но "как бы ступенчатых" решений в задачах для хорошо зарекомендовавших себя моделей материалов.
Неустойчивость континуума Орована. Одной из таких моделей является модель континуума Орована [294, 217], предложенная для описания поведения тугоплавких металлов при высоких температурах. Одномерный континуум описывается системой уравнений
Кинематика трехмерных движений
Полученное уравнение связывает угловую скорость вращения частицы тела Ш и дисторсийный момент то I. Если скорость вращения частицы является независимым кинематическим параметром, то уравнение моментов соответствует аналогичному уравнению несимметричной теории братьев Коссера [150]. Однако, уравнения не тождественны, так как в (3.1.4) входит неизвестный дисторсийный момент 7гЇ), определяющий внутренние взаимодействия частиц в теле. Континуум Коссера входит в (3.1.4) при шд = 0. В этом случае физическая частица континуума Коссера имеет шесть кинематических степеней свободы. Положение центров частиц характеризуется полем вектора перемещений, собственные вращения частиц Коссера - полем независимого от перемещений вектора поворотов.
Если скорость собственного вращения частиц не является независимым кинематическим параметром, то уравнение (3.1.4) определяет дисторсийный момент гад.
Уравнение для дисторсийного момента. Если не учитывать собственные вращения тел-точек, из (3.1.4) получим соотношение для определения дисторсийного момента: p(MD + mD) = {эк х зі)(ак1 - alk) + VjTTij3U I к, из которого при классическом характере внутреннего чисто силового взаимодействия физических частиц в теле и отсутствии распределенных внешних массовых моментов следует симметрия тензора напряжений Коши.
Будем далее считать, что собственные вращения и моменты инерции тел-точек известны. Тогда уравнение (3.1.4) определяет дистор-сийный момент.
Появление в теории дисторсийного момента и несимметрии тензора напряжений является отражением в модели сложной геометрической структуры материала и сложного характера взаимодействий его отдельных частей. Локальное следствие интегрального соотношения баланса моментов является уравнением, определяющим дисторсий-ный момент.
Рассмотрим подробнее понятие физических частиц, которые составляют деформируемое тело в очаговой модели пластичности. Здесь каждая частица имеет в общем случае шесть кинематических степеней свободы: три из них описываются полем вектора перемещений и три соответствуют полю собственных поворотов частиц. Физическая частица или тело-точка представляет собой некоторый малый объем (который нельзя стянуть в точку); физические частицы могут взаимодействовать друг с другом. Поскольку частицы среды связаны друг с другом некоторыми связями, то в ответ на неуравновешенную по моментам систему сил возникает некоторое совместное движение частиц и перераспределение сил их взаимодействия друг с другом. Результатом такого взаимодействия является поле дисторсийного момента Шр и параметр Л, характеризующий масштаб (характерный размер зоны взаимодействия) передачи влияния частиц материала друг на друга.
Заметим, что в [121] при рассмотрении приложенных к телу уравновешенных систем внешних сил, не являющихся уравновешенными по моментам, всем необходимым условиям равновесия удовлетворяют, сообщив телу конечный поворот и сохранив неизменными направления действия сил. В нашем случае на фоне основного движения в областях, где силы взаимодействия частиц не уравновешены по моментам, возникают дополнительные повороты частиц.
Сами эти повороты в большинстве случаев не изучаются (считаются пренебрежимо малыми или известными), но результат перераспределения нагрузок, вызванный этим движением, учитывается в виде распределенного в объеме тела поля дисторсийного момента. При такой трактовке дисторсийного момента каждая частица (имеет три степени свободы) характеризуется только вектором перемещения, который определяется по Чезаро совместным в классическом смысле полем тензора деформаций и неклассический характер взаимодействия между частицами оказывается строго локализованым окрестностями нерегулярностей, среди которых рассматриваются не только геометрические нерегулярности типа трещин и углов, но, в случае необратимости, также локализованные ОПД.
Поэтому в очаговой модели предполагается, что процесс образования закрытых ОПД и накопление в них энергии характеризуется движениями второго порядка с результатом в виде образования малых
Уравнение сохранения массы при разных формах описания движения
Зависимость "начального" состояния от времени приводит к возможности корректировки основных кинематических полей: скорости и ускорения и может иметь далекие последствия. Таким образом, кинематическая процедура Чезаро накапливает необратимые деформации, последовательно возникающие при развитии процесса: материал "забывает" свои силовые состояния, но "запоминает" деформационные.
Необратимые перемещения в этом разделе введены формально без объяснения возможных механизмов их появления. В разделе 4.3 изучается возможность математического моделирования средствами непрерывной математики процессов структурных преобразований в материале, вводятся понятия пластических (необратимых) перемещений и структурной энтропии для произвольных деформаций. Поэтому определяемая соотношениями (3.3.8)" .промежуточная конфигурация у может использоваться в качестве первого приближения к решению задачи перехода из системы отсчета наблюдателя в лагранжеву материальную систему отсчета по формулам (3.2.6) - (3.2.10).
Необратимость является следствием микроповреждений в материале и сложных процессов структурных преобразований в нем. Поэтому возможно считать, что именно совместность деформаций ответственна за обратимость и необратимость. Изучим уравнения совместности деформаций и причины, в том числе динамические, которые могут вызвать появление несовместности.
Статические уравнения совместности.
При выводе уравнений совместности как условий независимости интеграла от пути интегрирования в кинематической процедуре Чезаро не будем пользоваться коммутативностью операторов дифференцирования по пространственным переменным, имея в виду, что она может быть нарушена по причине недостаточной гладкости поля перемещений. Вычисления проводим в ортогональных декартовых координатах, используя для оператора дифференцирования по коор хр обозначение др. Тогда получим, что м UJ(M) = Uj{MQ) + {xi(M)-Xi(Mo)}diUj{Mo)+ J {xi(M)-Xi}dkdiUjdxk. Mo Независимость интеграла от пути интегрирования возможна при условии XidkdiUj = Vk j Для этого достаточно выполнение равенств: др{х{дкд{щ} = dk{xidpdiUj}, которые приводятся к уравнениям совместности. Вводим обозначения тензоров (часть из них нужна при динамическом анализе): Rkipj = dkdi3jp + дрдры dkdj3pi - д7Дэд. + (дрдк - дкдр)эц = = dkDijp — dpDijk, Eptcijs = (дрдк — dkdp)Dijs. Тогда уравнения совместности деформаций имеют вид: \Rkipj Н" OkOpji (JpCkji) Х{ = Ckjp — Cpjk, что эквивалентно (дкдр - dpdk)diUj xi = (дкдр - дрдк)щ и, как видно, представляют собой систему 9 уравнений. В отличие от классических уравнений совместности последняя система является неоднородной, источники несовместности в ней связаны с тензором Чсзаро С.
Система уравнений транспорта. В 3.2 получена формула (3.2.4): связывающая между собой поля первого и второго тензоров дистор-сий. Эта формула является необходимым условием интегрируемости пнфинитезимальных преобразований (3.2.6), (3.2.7). Поэтому возможно сформировать концепцию о переносе (на последующие временные состояния) деформаций и вращений в виде системы дифференциальных уравнений транспорта состояний. Эта система шести уравнений транспорта для шести неизвестных кинематических полей Mjt,vjti ifc 3ijfci 4? э?л включает в себя, кроме (3.2.4), также тождества Чезаро (3.3.3), (3.3.б), определение поля вектора скорости и полей тензоров деформаций и вращений (3.3.2), (3.3.5):
В ней содержатся уравнения переноса всех кинематических полей, характеризующих процесс деформаций в классической механике деформируемого твердого тела. При заданном поле тензора э или э . из системы уравнений (3.3.9) однозначно находятся поля тензоров вращений cjjjt и шк, а также векторные поля перемещений и скоростей. Система (3.3.9) названа системой уравнений транспорта пластических деформаций, так как она при определенной процедуре разделения деформаций на составные части описывает кинетику необратимых деформаций и поворотов, согласованных с обратимыми деформациями и поворотами (поскольку обратимые деформации и повороты определяют правые части системы уравнений для необратимых величин). Рассогласование кинематических полей приводит к структурным преобразованиям, накоплению повреждений, возраста рехода к классике [141], принцип соответствия в МДТТ сходно строится так, чтобы уточнять ситуацию по результатам перехода от конечных деформаций и вращений и неклассических уравнений состояния деформируемых сред (с внутренними степенями свободы и др.) к бесконечно малым деформациям и вращениям и классической МДТТ. Роль классической теории отводится хорошо изученным постановкам классической МДТТ с симметричным тензором напряжений Коши, а роль "квантовой теории" выполняет здесь очаговая модель, основные объекты и уравнения которой рассматривались в разделе 3.1, или любая другая теория.
Для формулировки принципа соответствия, вводим формальный параметр "малости" /І, который ассоциирован с малостью полей вращений о; и а;0, и представляем все изучаемые физические поля рядами по степеням этого параметра малости:
Основы термомеханики модели
Логарифмическая деформация.
Хорошо известна разница между компонентами тензора э,;- и реальными конечными деформациями, так что ближайшей целью является введение в качестве меры конечных деформаций логарифмической деформации. В механике деформируемого тела наибольшее распространение получили тензоры конечных деформаций Коши, построенные по набору компонент: определяющих меры деформации по изменению в результате деформаций метрики сопутствующей системы координат, при отнесении компонент к разным базисам. Такое введение меры безусловно предполагает существование такой системы координат, а следовательно запрещает рассмотрение негладких процессов деформирования, подобных происходящим в земной коре. Поскольку объектом нашего рассмотрения является неоднородная сплошная среда, имеющая сложную геометрическую и физическую структуру, то процессы совместного движения соседних окрестностей трудно представить себе простым на микроуровне [52]. Макроскопически это приводит с одной стороны к необходимости моделирования различными средствами эффектов сложных контактных взаимодействий отдельйых частей тела, например, введением нелокальности в уравнения состояния, с другой - к необходимости изучения на уровне кинематики возможности реа 145 лизаний таких сложных совместных движений. Одни и те же с точки зрения гладкости кинематические поля и и v могут приводить на микроуровне к различным видам движений соседних окрестностей: в одних случаях геометрия позволяет реализоваться непрерывному процессу деформирования, в других - в материале локально могут происходить процессы, сходные с процессами в земной коре (разломы, сбросы напряжений и т.п.). В этом случае процесс деформирования усложняется за счет локального нарушения динамической совместности различных кинематических полей. Именно по этой причине выбор меры деформации не может быть произведен произвольно. Мера деформаций, введенная a priori, не может быть одинаково удобной для рассмотрения всех без исключения задач. Поэтому мы будем подходить к выбору меры деформации осторожно, не увязывая его погодиш ндтщ риліп л т д бздуцой слщгтдтд кштй исдшдой ь злпшдцат
Второе слагаемое зависит от косой части тензора напряжений и второго тензора вращений. Для определения термодинамической координаты, парной для симметрии напряжений, выделяем полную производную по времени из тензора скоростей деформаций э.
Сначала проводим вычисления в приближении соответствия классике, игнорируя члены содержащие любые повороты и понимая соответствующим образом знак равенства.
В преобразованной второй группе слагаемых присутствуют как видно члены содержащие и не содержащие логарифмическую деформацию /. Члены содержащие логарифмическую деформацию вместе с полной производной по времени от логарифмической деформации образовали коротационную производную от логарифмической деформации, в которую входит в качестве тензора поворота тензор, линейно зависящий от тензора П. Существует связь между кососимметрич-ным тензором П и тензорами вращений. Эта связь устанавливается следующей формулой.
Логарифмическая дисторсия.
В предыдущем разделе параграфа из выражения дисторсии скорости была выделена голономная компонента - логарифмическая деформация. Вычисления, которые были сделаны, проводились в нулевом приближении по вращениям, а при вычислении тензора Q - в линейном приближении по вращениям. Логарифмическая деформация получилась из решения математической задачи о нахождении парной термодинамической координаты для классического симметричного тензора напряжений Коши. Поскольку требование пренебрежимой малости вращений не являлось необходимым, хотя и несколько упрощало ситуацию, для общности картины проведем те же вычисления для полного тензора дисторсии скорости, а не только для симметричной его части, как это было сделано выше.
При получении уравнений состояния деформируемых сплошных сред возникает проблема дифференцирования динамических и кинематических параметров, характеризующих состояние материала, по времени. При использовании обычных полных производных по времени, хорошо согласующихся с требованием инвариантности уравнений модели при галилеевых преобразованиях координат остается вопрос о физической корректности такого использования производных, ведь получающаяся скорость изменения валичины (векторной или тензорной) не характеризует изменение величины по отношению к самой деформируемой среде, а является "привязанной" к пространству наблюдателя. Именно по этой причине вводят другие производные по времени, например, производную Яуманна - производную относительно собственного вращения среды и другие [34, 61, 189, 86, 105, 177, 241, 262, 293, 303]. При этом возникает ряд проблем, связанных с определением и отсечением некоторого несущественного для наблюдаемой величины движения рассматриваемой окрестности тела. В разных случаях такими несущественными движениями могут быть различные движения окрестности рассматриваемой точки сплошной среды и существует возможность неправильного определения такого движения со всеми вытекающими отсюда последствиями. По-видимому, именно из-за этой неопределенности - неоднозначности и существует большое количество разных производных и нет возможности оказать явное предпочтение одной из них по отношению ко многим другим. С другой стороны, даже в одной задаче для разных величин, пусть даже имеющих одну тензорную размерность, использование одних правил дифференцирования по времени не представляется очевидным.
Рассмотрим один из хорошо известных, [61], способов появления производных по времени. Пусть имеется некоторый тензор, определяемый в лагранжевой системе координат компонентами Z{j(xo,t), а в системе координат наблюдателя компонентами Z{j(x(t),t) и инвариантная квадратичная форма
