Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задач о колебаниях упругих ортотропных тел с трещиной 13
1. Общая постановка задачи о колебаниях упругого тела с трещиной на границе раздела двух сред 13
2. Постановка задач о колебаниях ортотропного упругого слоя с трещиной 17
2.1. Задача об антиплоских колебаниях однородного ортотропного упругого слоя с внутренней трещиной. (Задача 1) 17
2.2. Задача об антиплоских колебаниях однородного ортотропного упругого слоя с трещиной, выходящей на его поверхность. (Задача2) 19
2.3. Задача об антиплоских колебаниях кусочно-однородного ортотропного упругого слоя с трещиной на границе раздела. (Задача 3) 20
2.4. Задача о колебаниях однородного ортотропного упругого слоя с трещиной в условиях плоской деформации. (Задача 4) 21
3. Постановка задачи идентификации трещины 23
Глава 2. Сведение прямых задач к интегральным уравнениям 26
1. Метод граничных интегральных уравнений в прямых задачах динамической теории упругости 26
2. Формулировка ГИУ для задачи об антиплоских колебаниях однородного упругого слоя с поперечной внутренней трещиной. (Задача 1). Исследование структуры ядра . 29
3. Формулировка ГИУ для задачи об антиплоских колебаниях однородного ортотропного упругого слоя с трещиной, выходящей на его поверхность. (Задача 2) 34
4. Формулировка ГИУ для задачи об антиплоских колебаниях неоднородного ортотроішого упругого слоя с трещиной на границе раздела. (Задача 3) 37
5. Формулировка системы ГИУ для однородного слоя в условиях плоской деформации. (Задача 4) 43
Глава 3. Численное исследование прямых задач 57
1. Численное решение гиперсингулярных интегральных уравнений на основе метода коллокаций 57
2. Дискретизация ГИУ и численное решение задачи 1 60
3. Дискретизация ГИУ и численное решение задачи 2 66
4. Дискретизация ГИУ и численное решение задачи 3 68
5. Дискретизация ГИУ и численная реализация решения задачи 4 71
Глава 4. Исследование обратных задач о реконструкции трещины в слое 77
1. Формулировка системы операторных уравнений 78
2. Численная реализация 81
3. Обратная задача для однородного слоя с внутренней трещиной в условиях антиплоской деформации 82
4. Обратная задачи для однородного слоя с трещиной, выходящей на поверхность, в условиях антиплоской деформации 84
5. Обратная задача для кусочно-однородного слоя с внутренней трещиной в 9 условиях антиплоской деформации 85
6. Обратная задача для однородного слоя с внутренней трещиной в условиях плоской деформации 87
Заключение 89
Литература 90
Приложение 99
- Постановка задач о колебаниях ортотропного упругого слоя с трещиной
- Формулировка ГИУ для задачи об антиплоских колебаниях однородного упругого слоя с поперечной внутренней трещиной. (Задача 1). Исследование структуры ядра
- Формулировка системы ГИУ для однородного слоя в условиях плоской деформации. (Задача 4)
- Дискретизация ГИУ и численное решение задачи
Введение к работе
Интерес к задачам о колебаниях анизотропных упругих тел основан на
их практическом применении в различных областях науки и техники.
Математические модели динамической теории упругости находят широкое
применение в геофизике, дефектоскопии, дефектометрии,
акустоэлектронике, в современных инженерных и технических приложениях при исследовании колебаний конструкций и их элементов. Практически все реальные материалы содержат различные нарушения сплошности: дефекты, включения, нарушения кристаллической структуры. В процессе технологического контроля при изготовлении и эксплуатации конструкций и агрегатов ответственного назначения (турбины электростанций, трубопроводы, оболочки реакторов) используют различные методы контроля с целью обнаружения в них дефектов и усталостных трещин, являющихся концентраторами напряжений и снижающих надежность конструкции в целом [71]. В том случае, когда демонтаж агрегата сопряжен со значительными трудностями или же вообще невозможен, либо же доступ к элементам конструкции затруднен, экономически оправданными, а зачастую и единственно возможными являются методы неразрушающего контроля [38,18], основывающиеся на моделях математической теории упругости. К наиболее эффективным экспериментальным методам неразрушающего контроля в упругих телах относятся методы, основанные на дифракции упругих волн на дефектах [81,72,41,91,42,48]. В этом случае для правильного описания дифрагированного поля формулируются системы интегральных уравнений относительно скачков смещений на трещине [49]. Динамическим задачам теории трещин посвящены многочисленные публикации [30,44,97,59,52,67,96,88]. В последние годы для исследования дифракции упругих волн на внутренних и поверхностных трещинах были разработаны
различные аналитические и численные методы исследования этих уравнений [70,1]. Краевые задачи динамической теории упругости для областей с трещинами могут быть разделены с точки зрения причинно - следственной связи на два больших класса - прямые задачи (ПЗ), в которых требуется по известным граничным условиям (причинам) определить волновые поля в области, и обратные задачи (ОЗ), в которых по волновым полям, известным на части границы тела (следствиям), подлежат определению те или иные характеристики упругой среды (коэффициентные ОЗ) или геометрия и местоположение неизвестной поверхности дефекта (геометрические ОЗ). С точки зрения гфактических приложений наибольший интерес представляют именно обратные задачи. По типу возбуждаемых в среде волновых полей динамические задачи можно разделить на нестационарные и стационарные (установившиеся во времени). Нестационарные постановки задач позволяют получить оценки местоположения дефекта по времени прихода отраженного сигнала, однако они значительно сложнее с точки зрения анализа математической модели по сравнению со стационарными постановками. Все методы решения прямой задачи о расчете дифрагированного поля в среде с одиночным дефектом могут быть разделены на два больших класса по типу исследуемых граничных интегральных уравнений (ГИУ): гиперсингулярные, которым посвящена обширная литература (см., например [69,82,85,89,58]), так и несингулярные [92] и использующие двойственные формулировки [3,41]. Кроме того, методы исследования построенных ГИУ можно также разделить на два класса - высокочастотные и низкочастотные. Достоинство высокочастотного метода состоит в том, что длина зондирующего импульса имеет тот же или меньший порядок, что и длина трещины. Это приводит к регистрации интерференционных явлений, которые легко обнаружить и использовать для идентификации. Достоинства низкочастотных колебаний состоят в возможности использования статических результатов теории трещин для решения динамических задач, а
6 также в возможности определения коэффициентов интенсивности напряжений при анализе отраженных полей, которые позволяют сделать заключение о росте трещины или разрушении образца В целом следует отметить, что к настоящему времени методы расчета дифрагированных полей в изотропных телах, ослабленных трещинами, разработаны достаточно подробно, и опираются либо на идеологию метода граничных элементов [62], либо на асимптотические методы [76]. Кроме того, для решения прямых задач имеются эффективные численные методы расчета волновых полей, такие как метод конечного элемента [43].
Во многих случаях при изучении волновых полей в телах, ослабленных трещиной, вполне достаточно модели изотропной среды. В работах В.А.Бабешко, Бужан В.В, Смирновой А.В., Натальченко А.В. и др. [3,6,10,5,11,12,6,7,8] разработаны методы, позволяющие изучать колебания тел с одиночной трещиной в слое, с системой трещин, расположенных в параллельных плоскостях и получать решение интегральных уравнений в полу аналитической форме, что не требует больших вычислительных затрат. Для решения прямых задач в случае областей канонической формы имеются разнообразные эффективные методы решения (В.З.Партон, В.Г.Борисковский [69], ABostrem [80], Гринченко В.Т., Мелешко В.В. [47,66]). При произвольной форме области, занимаемой трещиной, решение ГИУ требует значигельных вычислительных затрат. В этом случае используются подходы, предполагающие дискретизацию на основе сеточной аппроксимации области, занимаемой трещиной [82,41] и вычисление многократных интегралов с гиперсингулярными ядрами при формировании матрицы системы (Дж.Ахенбах, Д.Будрек [82] и др.). Однако, в связи с использованием в производстве ряда новых композиционных материалов обладающих выраженной анизотропией, сталей аустенитного класса, сплавов, приобретающих анизотропные свойства вследствие і схнологической обработки, а также в связи с уточнением моделей слоистых
сред в геофизике учет анизотропии чрезвычайно важен. В этом случае для адекватного описания требуется использование соответствующих анизотропных моделей. Поэтому изучение волновых процессов в телах с анизотропией даже простейшего вида при наличии дефектов типа трещин весьма актуапьно.
Интегральные представления волновых полей перемещений для анизотропной среды через граничные значения векторов перемещений и напряжений в теории упругости даются формулами Сомильяны [3]. Наиболее эффективным методом решения краевых задач теории упругости в случае установившихся колебаний является метод сведения задачи к граничным интегральным уравнениям (ГИУ). Основное преимущество этого метода состоит в том, что он позволяет понизить размерность исследуемой задачи на единицу, а в случае неограниченной области свести к задаче для ограниченной области. Для построения граничных интегральных уравнений из формул Сомильяны обычным в теории трещин способом необходимо устремить точку на границу области, и удовлетворить граничным условиям. При осуществлении предельного перехода интегралы перестают существовать в обычном римановском смысле, становятся расходящимися, их ядра содержат гаперсингулярную особенность, и требуют введения понятая значения особого интеграла. Интегралы в этом случае понимаются в смысле конечного значения по Адамару и используются при исследовании гиперсингулярных интегральных уравнений, возникающих в теории трещин [58,84]. Вопросы построения и обоснования дискретных схем вычисления гиперсингулярных интегралов освещены в работах [19,83].
Обратные задачи являются сравнительно новой, наиболее интересной и достаточно трудной областью математической физики, которая в настоящее время переживает период перехода от анализа математических вопросов коррекгности, единственности, устойчивости к вопросам построения вычислительных схем и численного исследования обратных задач.
Следует сразу заметить, что несмотря на большое разнообразие численных и аналитических методов решения прямой задачи, в обратных задачах альтернативы методу ГИУ, позволяющему сформулировать систему операторных уравнений, на основании которой решается обратная задача, на сегодняшний день практически нет.
В ряде публикаций, посвященных обратным задачам теории трещин, используется модель полупространства или полуплоскости с одиночным трещиноподобным дефектом, ориентированным, как правило, параллельно границе среды [87]. Значительно более трудоемки для анализа модели полу ограниченной среды или слоя с прямолинейной наклонной или криволинейной трещиной и источником на поверхности [86]. Такие модели более адекватны для исследования процесса возбуждения и регистрации волн, а также весьма полезны при решении обратных задач об определении размеров и положения трещины. При этом трещина моделируется математическим разрезом, берега которой не взаимодействуют в процессе установившихся колебаний. Такая постановка позволяет свести задачу об изучении волновых полей в кусочно-однородных облаегях с трещиной (расслоением) на іранице раздела к системам линейных интегральных уравнений относительно функций раскрытия трещины и использовать их далее при решении проблемы идентификации. Учет взаимодействия берегов приводит к сложной нелинейной проблеме на этапе решения прямой задачи и существенно перераспределяег структуру волновых полей в окрестности трещины [6,57, 56,77].
Во многих практически важных случаях модель ортотропной упругой среды с дефектом, содержащая бесконечно удаленную точку (полоса, слой, полуплоскость) является подходящей для описания изучаемого явления.
Возможны различные постановки геометрических обратных задач. В ряде работ предполагаются известными граничные поля смещений и напряжений на всей границе тела [95]. Однако на практике такие условия
обычно трудно реализовать, и более адекватными являются постановки, в которых граничные поля заданы лишь на части границы [28,29,31].
При решении обратной задачи могут быть использованы различные способы зондирования - позиционное, когда при фиксированной частоте излучателя измеряются смещения на участке поверхности упругого тела, или частотное, когда измеряются смещения в фиксированной точке тела на разных частотах.
Наиболее четко математические аспекты постановки и исследования
ОЗ при установившихся колебаниях изложены в книгах Д.Колтона и
Р.Кресса [60], А.А. Горюнова и А.В. Сасковца [45]. Различные аспекты
исследования обратных задач рассмотрены в работах
[23,35,74,13,73,53,55,54,21,22,78]. Численному исследованию обратных задач на основании метода ГИУ и их последующей дискретизации посвящены работы [37,94].
Вышеизложенное определяет актуальность и практическую значимость настоящей работы.
В настоящей работе на основании метода ГИУ, метода граничного элемента и метода регуляризации решаются задачи идентификации одиночной трещины в орготронном упругом слое, колебания в котором вызываются сосредоточенным источником, расположенным на его поверхности. При этом поле смещений считается заданным на части поверхносі и слоя, что отражает реальный процесс измерений.
Диссертация содержит 4 главы. Первая глава диссертации посвящена постановкам основных задач, которые рассматриваются в работе, и состоит из трех параграфов. Параграф 1 содержит общую постановку прямой задачи об установившихся колебаниях анизотропного упругого тела, ослабленного одиночной трещиной. Параграф 2 посвящен постановке прямых задач для ортотропного слоя с одиночной трещиной. В третьем параграфе изложена
постановка обратной задачи об идентификации одиночной трещины в ортотропном упругом теле.
Вторая глава состоит из пяти параграфов. Она посвящена получению граничных интегральных уравнений, на основании решения которых может быть вычислено поле смещений на границе слоя. Параграф 1 содержит сведения о методе граничных интегральных уравнений в прямых задачах динамической теории упругости, и понятие особого интеграла в смысле конечного значения по Адамару. Параграфы 2 и 3 содержат формулировку ГИУ для задачи об антиплоских колебаниях однородного ортотропного упругого слоя с внутренней трещиной, и трещиной, выходящей на поверхность слоя соогвегсгвенно. Параграф 4 посвящен формулировке ГИУ в задаче об антиплоских колебаниях неоднородного ортотропного упругого слоя с трещиной на границе раздела. В параграфе 5 сформулирована система ГИУ для однородного слоя в условиях плоской деформации.
Третья глава диссертационной работы посвящена дискретизации и построению численных схем решения полученных ГИУ, а также анализу результатов численного решения ГИУ и прямых задач. При этом, дискретизация ГИУ осуществляется на основании метода граничного элемента в результате чего получается система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных скачков вектора смещений на трещине. Коэффициенты полученной алгебраической системы не имеют явного выражения, а представлены в виде однократных интегралов по контуру в комтшексной плоскости. Эти интегралы вычисляются но квадратурным формулам Гаусса, причем для сокращения времени вычислений используется алгоритм, позволяющий ингегрировать всю матрицу системы сразу, поскольку подынтегральные функции содержат общие части. В параграфе 1 рассмотрены вопросы вычисления гиперсингулярных интеі"ралов, встречающихся в работе. В параграфах 2-5 построены дискретные аналоги соответствующих интегральных операторов и
11 рассмотрены вопросы численной реализации решения прямых задач. Результаты проведенного численного анализа в виде графиков и таблиц вынесены в приложение. Проведенный анализ отражает влияние частоты, и параметров трещины на характер формируемого на поверхности слоя волнового поля. Результаты этих расчетов были использованы в качестве входных данных при решении обратных задач о реконструкции одиночной трещины в ортотропном упругом слое, речь о которых идет в четвертой главе.
Четвертая глава работы посвящена малоизученному классу обратных геометрических задач теории упругости - определению положения одиночной трещины в ортотропном слое, если известно поле упругих смещений на части границы, свободной от напряжений. В параграфе 1 сформулирована система операторных уравнений, к решению которой сводится геометрическая обратная задача о реконструкции трещины в упругом геле. Для решения полученной нелинейной системы использован метод регуляризации, который учитывает априорную информацию о местоположении трещины, и основанный на парамегризании трещины
конечным числом параметров 9%. В результате проблема сведена к задаче минимизации неквадрагичного функционала относительно параметров 9%.
Проведено численное исследование решения обратных задач для ортотрогшого слоя с вертикальной туннельной трещиной в условиях антиплоской и плоской деформаций. Приведенные графики и таблицы иллюстрируют влияние количества распространяющихся мод в слое на скорость сходимости процесса идентификации; влияние зашумленности входных данных, а также местоположения трещины и числа точек измерений на точность идентификации.
Основное содержание диссертации отражено в работах [14,15, 16,17,24,25,26,27], опубликованных в открытой печати. В работе [15] Ватульяну А.О. принадлежит постановка задач и идеи их решения, Баранову
И.В. и Вудгурян О.В. принадлежат формулировка граничных интегральных уравнений и проведение расчетов. Результаты работ [14,17] принадлежат авторам в равной степени. В работах [24,25,26] Ватульяну АО. принадлежит постановка задач, обсуждение результатов, Баранову И.В. принадлежит формулировка ГИУ, исследование ядер интегральных операторов и численный анализ. В работах [16,27] Ватульяну А. О. принадлежит постановка задач, Баранову И. В. принадлежит формулировка ГИУ, исследование ядер интегральных операторов и численный анализ, Гусевой VIA. принадлежит методика формирования матриц систем.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, код проекта 02-01-01124 и гранта Президента Российской Федерации по поддержке ведущей научной школы ШІ-2113. 2003.1
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить призиагельность профессору Ватульяну А.О. за постоянное внимание к работе.
Постановка задач о колебаниях ортотропного упругого слоя с трещиной
Рассмотрим постановки задач теории упругости для важного с точки зрения приложений частного случая ортотропного слоя с жестко защемленной нижней гранью, колебания в котором вызываются нагрузкой, приложенной на границе х:3 = Н . Рассмотрим задачу об установившихся 67/ колебаниях ортотропного упругого слоя толщины Н с одиночной вертикальной туннельной трещиной, не выходящей на его границу. Колебания в слое вызываются касательной сосредоточенной силой, приложенной в точке (—L,H) на его верхней границе. Из компонент вектора смещений в случае антишюской деформации отлична от нуля компонента U2 —и(хі,х$ )ехр(—іоХ), из компонент тензора напряжений отличны от нуля а сбби ] и т2з = ?44w 3 Предполагается, что нижняя граница слоя жестко защемлена. верхняя граница свободна от напряжений, трещина расположена перпендикулярно к граням слоя, а ее концы имеют координаты а и Ь, причем 0 а b Н. Система координат выбрана следующим образом: упругого слоя с трещиной, выходящей на его поверхность. ( Задача 2). В условия задачи 1 об установившихся SJI - колебаниях орточ лонного упругою слоя толщины // будем предполагать, что одиночная вертикальная туннельная трещина выходит на его поверхность. Пусть вершина і ретины находится иа расстоянии а от дна слоя. После отделения временного множителя exp(—wjt) уравнение движения относительно и о — г/(л , л з ) и граничные условия имеют вид: причем функция х Ж(Л 0 определена согласно (1.2.4). Будем считать, что берега трещины не контактирую! в процессе установившихся колебаний: Замыкают постановку задачи условия излучения, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения [36]. В случае составного кусочно-однородного упругого тела при наличии трещины, расположенной на границе раздела, при формулировке задачи будем использовать условия сопряжения решений на границе раздела сред, полагая, что массовые силы, действующие на тело, равны нулю. Пусть ортотропный слой толщины Н состоит из двух сред с различными физическими характеристиками, а на границе их раздела расположена одиночная вертикальная туннельная трещина.
Выберем сие І ему координат- таким образом, чтобы ось Л } была совмещена с нижней і ранью слоя, а ось л совпадала с границей раздела сред. Верхним индексом /—1 снабдим величины, относящиеся к части слоя .Vj 0, a ,/ = 2 величины. 01 носящиеся к части слоя A"j 0. Предполагается, что нижняя грань опоя жестко защемлена, а колебания вызываются сосредоточенной натр /зкли, приложенной к его верхней грани Обозначим координаты вершин трещтпл 0 а h // Из компонент вектора перемещений в случае антиплоских колебаний отлична от пуля только компонента expf -in?) краевая задача в случае установившихся колебшгай описывается v piiiliiCiiU ivUi ДВИЛІСІШЛ граничными усяовиями Пусть в однородном орготрошюм слое толщины Н с жестко защемленной нижней гранью имеется одиночная поперечная туннельная і рещина с вершинами cuh 7 не выходящая ня его поверхность (О а Ь И"). Выберем систему координат таким образом, чтобы она совпадала с осями упругой симметрии магериала. Будем считать, что трещина находится на оси Ox , а ось Ох\ совмещена с нижней гранью слоя (рис.3) Колебания в слое вызываются нормальным сосредоточенным источником интенсивности /\ приложенным к его верхней грани в точке с координатой (/,,//) Из компонент вектора смещений в случае плоской деформации (її.ІЇИЧНЬТ от нугія компоненты Кл = ц (х ,х ) и «з =мз(х1 л3 а компонента м2 — О В этом часі ном случае уравнения движения и граничные условия (1.1.2)-(1.1.4) примут вид: ЇДЄСЬ введены обозначения для упругих постоянных магсриала: Будем полагать, что берега трещины не взаимодействую! в процессе установившихся колебаний (свободны от напряжений): Единсівсшюс решение задачи выделяют условия излучения, при формулировке которых использован принцип предельного жл лощения [36]. Прямые задачи динамической анизотропной теории упругости для областей, содержащих бесконечно удаленную точку, в настоящий момент хорошо изучены, имеется богатый арсенал методов их решения, и им посвящена обширная литература [82,3,40,41.42,17,47,86,12,52 67]. Наиболее интересны и в значительно меньшей степени изучены обратные задачи (ОЗ), в которых по информации на границе тела подлежат определению те или иные его характеристики. Важный класс обратных задач - геометрические ОЗ (1 ОЗ) в которых определению подлежат местоположение и геометрия дефектов в упругом геле. При решении ОЗ приходится преодолевать многочисленные трудности, связанные прежде всего с нелинейностью идами, неединственностью решения и его неустойчивостью. При этом максимальное использование априорной информации о разыскиваемом решении позволяет построить соответствующий регуляризующий алгоритм. В настоящей работе априорно предполагается наличие одиночной трещины в \jipyioM геле В геометрической обратной задаче определению подлежат \)есіоиило,ксііис и конфигурация неизвестной поверхности трещины. При лом возможны различные постановки ОЗ. В ряде работ рассмотрены постановки, в которых предполагаются известными поля напряжений и смещений (существенно переопределенные условия) на всей границе і ела [95]. Такие постановки ОЗ безусловно интересны с точки зрения развития теоретических методов исследования обратных задач, однако на практике, в реальном процессе измерений, эти условия трудно реализуемы. В этом смысле боле адекнач ными являются постановки ОЗ, в которых поля напряжений и (или) смещений известны лишь на части границы в некоторой области или в отдельных точках (гам, где установлены датчики, измеряющие поля, приложена нагрузка или имеется защемление), а на остальной части
Формулировка ГИУ для задачи об антиплоских колебаниях однородного упругого слоя с поперечной внутренней трещиной. (Задача 1). Исследование структуры ядра
Рассмотрим постановки задач теории упругости для важного с точки зрения приложений частного случая ортотропного слоя с жестко защемленной нижней гранью, колебания в котором вызываются нагрузкой, приложенной на границе х:3 = Н . Рассмотрим задачу об установившихся 67/ колебаниях ортотропного упругого слоя толщины Н с одиночной вертикальной туннельной трещиной, не выходящей на его границу. Колебания в слое вызываются касательной сосредоточенной силой, приложенной в точке (—L,H) на его верхней границе. Из компонент вектора смещений в случае антишюской деформации отлична от нуля компонента U2 —и(хі,х$ )ехр(—іоХ), из компонент тензора напряжений отличны от нуля а сбби ] и т2з = 44w 3 Предполагается, что нижняя граница слоя жестко защемлена. верхняя граница свободна от напряжений, трещина расположена перпендикулярно к граням слоя, а ее концы имеют координаты а и Ь, причем 0 а b Н. Система координат выбрана следующим образом: упругого слоя с трещиной, выходящей на его поверхность. ( Задача 2). В условия задачи 1 об установившихся SJI - колебаниях орточ лонного упругою слоя толщины // будем предполагать, что одиночная вертикальная туннельная трещина выходит на его поверхность. Пусть вершина і ретины находится иа расстоянии а от дна слоя. После отделения временного множителя exp(—wjt) уравнение движения относительно и о — г/(л , л з ) и граничные условия имеют вид: причем функция х Ж(Л 0 определена согласно (1.2.4). Будем считать, что берега трещины не контактирую! в процессе установившихся колебаний: Замыкают постановку задачи условия излучения, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения [36]. В случае составного кусочно-однородного упругого тела при наличии трещины, расположенной на границе раздела, при формулировке задачи будем использовать условия сопряжения решений на границе раздела сред, полагая, что массовые силы, действующие на тело, равны нулю. Пусть ортотропный слой толщины Н состоит из двух сред с различными физическими характеристиками, а на границе их раздела расположена одиночная вертикальная туннельная трещина.
Выберем сие І ему координат- таким образом, чтобы ось Л } была совмещена с нижней і ранью слоя, а ось л совпадала с границей раздела сред. Верхним индексом /—1 снабдим величины, относящиеся к части слоя .Vj 0, a ,/ = 2 величины. 01 носящиеся к части слоя A"j 0. Предполагается, что нижняя грань опоя жестко защемлена, а колебания вызываются сосредоточенной натр /зкли, приложенной к его верхней грани Обозначим координаты вершин трещтпл 0 а h // Из компонент вектора перемещений в случае антиплоских колебаний отлична от пуля только компонента expf -in?) краевая задача в случае установившихся колебшгай описывается v piiiliiCiiU ivUi ДВИЛІСІШЛ граничными усяовиями Пусть в однородном орготрошюм слое толщины Н с жестко защемленной нижней гранью имеется одиночная поперечная туннельная і рещина с вершинами cuh 7 не выходящая ня его поверхность (О а Ь И"). Выберем систему координат таким образом, чтобы она совпадала с осями упругой симметрии магериала. Будем считать, что трещина находится на оси Ox , а ось Ох\ совмещена с нижней гранью слоя (рис.3) Колебания в слое вызываются нормальным сосредоточенным источником интенсивности /\ приложенным к его верхней грани в точке с координатой (/,,//) Из компонент вектора смещений в случае плоской деформации (її.ІЇИЧНЬТ от нугія компоненты Кл = ц (х ,х ) и «з =мз(х1 л3 а компонента м2 — О В этом часі ном случае уравнения движения и граничные условия (1.1.2)-(1.1.4) примут вид: ЇДЄСЬ введены обозначения для упругих постоянных магсриала: Будем полагать, что берега трещины не взаимодействую! в процессе установившихся колебаний (свободны от напряжений): Единсівсшюс решение задачи выделяют условия излучения, при формулировке которых использован принцип предельного жл лощения [36]. Прямые задачи динамической анизотропной теории упругости для областей, содержащих бесконечно удаленную точку, в настоящий момент хорошо изучены, имеется богатый арсенал методов их решения, и им посвящена обширная литература [82,3,40,41.42,17,47,86,12,52 67]. Наиболее интересны и в значительно меньшей степени изучены обратные задачи (ОЗ), в которых по информации на границе тела подлежат определению те или иные его характеристики. Важный класс обратных задач - геометрические ОЗ (1 ОЗ) в которых определению подлежат местоположение и геометрия дефектов в упругом геле. При решении ОЗ приходится преодолевать многочисленные трудности, связанные прежде всего с нелинейностью идами, неединственностью решения и его неустойчивостью. При этом максимальное использование априорной информации о разыскиваемом решении позволяет построить соответствующий регуляризующий алгоритм. В настоящей работе априорно предполагается наличие одиночной трещины в \jipyioM геле В геометрической обратной задаче определению подлежат \)есіоиило,ксііис и конфигурация неизвестной поверхности трещины. При лом возможны различные постановки ОЗ. В ряде работ рассмотрены постановки, в которых предполагаются известными поля напряжений и смещений (существенно переопределенные условия) на всей границе і ела [95]. Такие постановки ОЗ безусловно интересны с точки зрения развития теоретических методов исследования обратных задач, однако на практике, в реальном процессе измерений, эти условия трудно реализуемы. В этом смысле боле адекнач ными являются постановки ОЗ, в которых поля напряжений и (или) смещений известны лишь на части границы в некоторой области или в отдельных точках (гам, где установлены датчики, измеряющие поля, приложена нагрузка или имеется защемление), а на остальной части
Формулировка системы ГИУ для однородного слоя в условиях плоской деформации. (Задача 4)
Решение задачи будем строить, используя двумерное интегральное преобразование Фурье по координатам JCj, JC3 : Обозначим через L одиночную туннельную трещину-разрез, расположенную внутри упругого тела V. Прежде всего вычислим трансформанту Фурье для функций ft = {сщПъХФ(.)] j входящих в уравнения движения (1.1.2): Непосредственное применение свойства преобразования Фурье для производной невозможно, т.к. функции fj имеют носитель на трещине, а, значит, не являются непрерывными, поэтому используем интегрирование по частям. Получим. Для вычисления интегралов (2.5.2) рассмотрим интеграл по SR - кругу радиуса R, содержащему L, обозначив dSj - его границу. Рассмотрим первый интеграл в (2.5.2). Используя теорему Гаусса-Остроградского, и учитывая, что т.к. ( - граница круга SR, то точки ей не принадлежат, и поэтому в силу условий задачи (и свойств 6- функции) получаем, что этот интеграл равен нулю: В силу линейности решение задачи (1.2.13)-(1.2.15) представимо в виде где «о - общее решение однородной задачи (/) =0), а м - какое либо частное решение исходной неоднородной задачи (1.2.13)-(1.2.14). Применив преобразование Фурье по х , х$ к (1.2.13), получим представление для трансформанты Фурье частного решения Решение однородной системы (2.5.10) обыкновенных дифференциальных уравнений будем искать в виде линейной комбинации функций вида «j = Ае , «з = Ite . Общее решение системы (2.5.10) имеет вид: Заметим, что корни полиномов PQ И А связаны соотношением // = /Я. Учитывая этот факт, получаем представление трансформанты решения: причем Яз = -Хх, Я4 = -Я2, а Хт — Х(ах) (т = 1,2) - корни полинома А(ах) отбираемые (в соответствии с принципом предельного поглощения) условиями (при ах\ — о): После перегруппировки членов в выражениях (2.5.8) получим, что:
Обозначим через D (g) определитель, который получается из Dfj(ax) заменой k - того столбца на столбец g, тогда коэффициенты 1 с ( і з) = Тогда И;( 1, з) = b Dff(aJ \ ( (gi)Zi + Dk (g3 )%3 ) + Dk (gQ) a (2.5.19) = 1( ( , , ) ( 3) + 3( , 3, ) 3( 3) 3- 0( 3): a где h b 4t 3 уі( і з хз)--г-\ 2п a /з( 1 з з) = т tf JUl da -10 1» - « «,; 1,14 Для формулировки системы ГНУ используем условие (1.2.15) отсутствия напряжений на берегах трещины: при =0, сти=сииЬ1+сии3,3 = 0, а1Ъ=с55(и13+иъ,1) = 0, Вычислив выражения Ъ с\\иъ\ +сізмз,з = \с\і(аЛ\Х\ + Аз з)+с\з(РЗ ЗІХІ + 3 Ьгз з -а -спЭ 10 -с13Э3Хзо = Ъ = } (сцд п +c13a3L3iki +( 11 1 13 + із5з ззкз з а -cndxLX0-cud3L30 и "и +мз 1 = J ( 3 11 1 + дъкъХъ)+(д\ьъ\Х\ +д1Ь33хъ)хз з - 3) -ді зо = J (дък\ +д\Ьзі)х\ + ( + іІ3зЬ:з з - d\L сі га (здесь символ д.- означает ), переходя к пределу при Хл — О, и дх используя (1.2.15) получим систему ГИУ: Ъ Ь \ h і (ft з )Х\ (ft Mft + j із (ft з ) з (ft ) ft = i ( з) я а Ъ Ъ \ h і (ft, з ) i (ft ) ft + j 33 (ft, з ) з (ft Жз = 3 з) (252) где ll(ft 3)- J t/OTi 1з(5з з)- J й?ОГі 3l(ft 3)- J CT зз(з з)- J 4 4 DH yfc=i із зз - і н Гз +7J-Z 1 () Я =1 а ... а1э дх- U u -iaxu\x +-І- Z«3W )Z (ft Л і, Э . crL а з я =i F1( 3) = J-i-i (Ajfe) (go 1; о-Ь я =1 з( з) = JTJ- ЕЗЗСЛ СЯОИ !; о-Ь Я =1 1 0) = cl3 ife 3 ( k) - ici і Vi (Ak ) Функция, чётная по ax.. S3 (Лк ) = kl ( k ) сс\У/ъ (Як ) нечетная по . (2.5.21) , что функции 1/ц, 17$$, д3/п, d3f/33, Dk{gy) являются нечетными по Ofj, а функции (73 и C/3j, DH, Dk(g{) - четные по аІ5 получаем, что із(й» з) s » Зі0?3» з) . Таким образом в рассматриваемом случае система ГИУ распадается на два независимых уравнения относительно скачков Ь \kjj{ хъ)Х)(гУ%ъ =FM) хъе[а,Ь], J = 1,3, (2-5.22) а причем их ядра содержат подвижную гиперсингулярную особенность вида ( 3 з) на трещине, и соответствующие интегралы понимаются в смысле конечного значения по Адамару [19]. Действительно, ядра к//(з хз) согласно (2.5.21) представимы в виде ff(& з) = f р( 1,&» 3 й 1 (2-5.23) а Анализ подынтегральных фикций К Аа\, ,х ) при jorj — оо показывает, что при Х\ — оо, Хт —» vm а \, Kjjia x,) - \ax\{ ne-v +MJ2e-v a l (2.5.24) где „ 33 11- 13- 13 55 У\ 2с33 ?55 (с33Сц 1зХсЗЗс11 g13 4с13с55 -4С55) У2 ТТ 1 _ Сіі{сПС55 +Уі(с13с55 -gllg33 + &)) Mll 2 2 2 33 55 ( 2 -П) Ы - С11\р11С55 +VJ(C13C55 -CUC33 +gf3)) M\2 о 2 Д _VI2(C55+gl3-g33 + g55 М31 2 2 Л/f - 2(с55+с13- Зз) + 55 Муі _ f Считаем, что У\У2 =0. При з = 3 интеграл (2.5.23) в обычном смысле является расходящимся. Вычислив интеграл I \pcx\e-v- - dax = -со v(&- 3)2 и учитывая, что функции К « (0 , 3,- 3) являются четными по (Х\, получим, что ядра ки($,х$) представимы в виде kjj( x3) = --+ -(» з) (2-5.25) «3- з) $ з) = -( 1 з з 1 АН где Мj = 2 —г— - константы, зависящие только от упругих постоянных материала; ег+ - часть контура or, расположенная в правой полуплоскости (Re(#i) 0); (3, з) регулярные при 3 = з яДРа а функции iC«(dfj,3 3)» фигурирующие в интегральных представлениях ядер, мероморфные по ах в комплексной плоскости, имеющие конечное число полюсов на вещественной оси. Их число и взаимное расположение зависит от частоты колебаний, и определяет число распространяющихся волн в слое. Таким образом, получаем систему ГИУ относительно скачков вектора смещений на трещине: а КЬ 3 ХЪ ) а 1ал хъе[а,Ь], у"=1,3, а \ т=1 иН к=\ (2.5.26) Л А з fin = сіз — 3 1 - оцС/п; а Єзз= з- " і з з; дх3
Дискретизация ГИУ и численное решение задачи
Расчеты проводились для аустенитной стали (для значений упругих постоянных ?44=12,9, С66 7,72 хЮ н/м ). В безразмерных переменных слой имеет толщину 1, а величина сосредоточенной силы Р0 ввиду линейности задачи принималась равной 1. Получены численные решения для трещин различного размера и степени заглубления, для различных значений частоты. На рисунках Рис. П2-Рис. ГТ7 представлены графики распределения волновых полей на поверхности слоя для вертикальных трещин с вершинами 6\ и #2, для значений безразмерной частоты к —1,3 -г 7,0. При этом для к то і 2 бегущие волны в слое отсутствуют, для я 12 к 3я/2 имеется 1 бегущая волна, а в диапазоне частот Ъп 12 к 5я /2 - две волны. При анализе волнового поля методом граничных элементов их число выбиралось таким образом, чтобы их приходилось 5-7 на длину волны зондирующего сигнала. При этом относительная погрешность вычислений коэффициентов алгебраической системы - дискретного аналога ГИУ не превосходила 0,01%. На рисунке Рис. П8 изображены линии уровня Re(M2) поля перемещений внутри слоя в прямоугольнике [—0.2,0.5] х [0,1]. В слое имеется внутренняя поперечная трещина с вершинами вх =0.61, 02 =0.85. Источник находится в точке с безразмерной координатой х = —2 на поверхности слоя (на рисунке не показан), безразмерная частота А = 5. Зависимость амплитуды перемещений от степени заглубления трещины, имеющей длину 20% толщины слоя приведена на рисунках Рис. П2 - Рис. П4. В результате расчетов было выяснено, что для значений безразмерной частоты п 12 к Ъя72, где имеется одна распространяющаяся мода, как вдали, так и вблизи от частот толщинного резонанса, и трещин, имеющих вершины (0,2;0,4), (0,4;0,6), (0,6;0,8) различие в волновых полях на поверхности слоя составляет не более 1%. На Рис. П2 приведены волновые поля на поверхности слоя при к = 4,5 для вышеуказанных трещин. Таким образом, можно сделать вывод, что с точки зрения процедуры идентификации низкие частоты являются неблагоприятными. На рисунках Рис. ПЗ и Рис. П4 приведены амплитуды перемещений для значений К = 5 и к — 1 (две бегущие волны) соответственно.
Параметры вынесены на рисунки. Замечено, что на поверхности слоя имеются участки благоприятные (на которых поля, для трещин с различной степенью заглубления различаются существенно) и неблагоприятные (поля различаются менее чем на 1%) с точки зрения процедуры идентификации. Кроме того, такие неблагоприятные участки находятся в зоне прошедшей волны, а в зоне отраженной волны их нет, что отчетливо видно на Рис. П4. Зависимость амплитуды перемещений на поверхности слоя от размера трещины приведена на графике Рис. П5. Следует отметить, что размер трещины более существенно влияет на волновое поле, нежели степень ее заглубления. Влияние частоты на характер формируемого поля на поверхности слоя с внутренней трещиной [0,4; 0,6] отражает рисунок Рис. П6. Видно, что при к = 1,3 к о бегущих волн в слое нет, Re и 2 - экспоненциально убывает по мере удаления от источника, a Imw2 =0. Рисунок Рис. П7 иллюстрирует влияние трещины на амплитуду перемещений на поверхности слоя. Сплошная линия соответствует волновому полю на поверхности среды без трещины (эталонное поле), штрих-пунктирная - волновому полю на поверхности слоя с трещиной, параметры которой указаны на рисунке. На всех рисунках сосредоточенный источник, вызывающий колебания в слое расположен на его поверхности, на расстоянии двух толщин слоя, в точке с безразмерной координатой х = —2. Приведенные графики отражают влияние частоты и геометрии трещины (ее размеров и степени заглубления) на основные характеристики возбуждаемых в слое волновых полей. Проведенный численный анализ позволяет сделать следующие выводы. 1) На малых частотах наблюдается слабое различие в волновых полях, возбуждаемых придонной, находящейся в середине и приповерхностной трещиной. Однако с ростом частоты, с увеличением числа бегущих волн, различие в полях становится существенным. Таким образом, низкие частоты менее информативны с точки зрения задач идентификации трещины. Кроме того, низкие частоты менее пригодны для процесса идентификации в связи с тем, что в реальном процессе измерений поля всегда присутствует шум, нивелирующий слабое различие в полях, создаваемых различными трещинами на низких частотах. Информацию о трещине несут бегущие волны.
Поэтому частоту зондирующего сигнала следует выбирать не слишком маленькой (чтобы различие в полях было "ощутимым"), но и не слишком большой (т.к. с ростом частоты приходится увеличивать число граничных элементов, и соответственно, увеличиваются вычислительные затраты). С этой точки зрения приемлемыми являются частоты, на которых имеются 2-3 распространяющиеся волны. 2) На поверхности слоя имеются участки, на которых поля, формируемые различными трещинами различаются "слабо" и "сильно". Потому зону "измерений" следует тщательно выбирать, желательно в зоне отраженного сигнала, либо же устанавливать несколько несинфазно расположенных датчиков. 3) Размер трещины более существенно влияет на изменение волнового поля, нежели степень ее заглубления. Для трещины, выходящей на поверхность слоя, выполним процедуру дискретизации, аналогично проведенной в 2. Представим функцию раскрытия в виде p(rf) - р (т})-у]т} - 9, выберем на отрезке [9 ,1] равномерные сетки JT/j-jt и {»} =і с шагом h = Q.-B )/N, (N число узлов), причем Щ = 9 , TjN+i = 1. Обозначим через rjj середину сегмента [г].-, 7/+1І» и положим у =Tjk. Для гиперсингулярных слагаемых используем конечномерную аппроксимацию:
