Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задач о колебаниях ортотропного слоя с трещинами произвольной формы 16
1.1. Общая постановка о колебаниях ортотропного упругого слоя с трещиной 16
1.2. Постановка антиплоской задачи о колебаниях ортотропного упругого слоя с туннельной трещиной 18
1.3. Постановка плоской задачи о колебаниях ортотропной упругой полосы с трещиной 19
2. Сведение краевых задач к системам граничных интегральных уравнений и их исследование 20
2.1.Сведение к системам граничных интегральных уравнений 20
2.2. Фундаментальные решения для слоя 22
2.3. Формулировка граничного уравнения для антиплоской задачи и его исследование 29
2.4. Формулировка системы граничных уравнений для плоской задачи и их исследование 34
3. Дискретизация системы граничных интегральных уравнений и вычислительные эксперименты по решению прямых задач 41
3,1. Дискретизация системы граничных интегральных уравнений 41
3.2. Дискретизация гиперсингулярного интегрального уравнения антиплоской задачи. Численная реализация 41
3.3. Дискретизация системы гиперсингулярных интегральных уравнений плоской задачи. Численная реализация 48
4. Решение обратных задач об идентификации трещины в ортотропном слое 52
4.1. Особенности обратных задач идентификации трещин в ортотропном слое 52
4,2. Формулировка систем операторных уравнений 56
4.3. Формулировка системы операторных уравнений и метод линеаризации для антиплоской задачи 57
4.4. Формулировка системы операторных уравнений и метод линеаризации для плоской задачи 60
4.5. Определение начального приближения 62
4.6 Численная реализация обратной задачи для наклонной прямолинейной трещины 64
4.7. Численная реализация антиплоской задачи 67
4.8. Численная реализация плоской задачи 70
5. Асимптотический подход в задаче реконструкции прямолинейной трещины 72
5.1 Асимптотический подход к решению антиплоской задачи для слоя с прямолинейной трещиной. 72
5.2 Идентификация параметров прямолинейной трещины антиплоской задачи. Численные результаты 75
5.3 Асимптотический подход к решению плоской задачи для слоя с прямолинейной трещиной. Идентификация параметров трещины. Численная реализация 80
Заключение 85
- Постановка антиплоской задачи о колебаниях ортотропного упругого слоя с туннельной трещиной
- Дискретизация гиперсингулярного интегрального уравнения антиплоской задачи. Численная реализация
- Формулировка системы операторных уравнений и метод линеаризации для плоской задачи
- Идентификация параметров прямолинейной трещины антиплоской задачи. Численные результаты
Введение к работе
Современное развитие промышленности связано с внедрением новых композиционных материалов, что объясняет нарастающий интерес к задачам прочности конструкций из таких материалов. При этом отметим, что композиционный материал может быть часто описан моделью ортотропной среды в рамках концепции эффективных модулей. Прочность конструкций в значительной степени определяется наличием микродефектов, развитие которых под действием приложенных нагрузок приводит к их росту и, как правило, к разрушению. К наиболее «опасным» с точки зрения механики разрушения относятся трещиноподобные дефекты, поскольку в процессе эксплуатации у вершин трещин возникают окрестности со значительными напряжениями, которые являются причиной дальнейшего развития дефекта и последующего разрушения конструкции [66,79].
Своевременное выявление трещиноподобных дефектов в конструкциях позволяет контролировать их дальнейшее развитие и избежать катастрофических последствий [21,50].
С точки зрения причинно-следственной связи задачи о колебаниях упругих тел условно принято разделять на два класса: класс прямых задач, в которых требуется по известным граничным условиям определить волновые поля в исследуемой области, и класс обратных задач, в которых требуется по известным полям смещений, измеренных на части границы области, определить местоположение и конфигурацию трещины.
При этом составление адекватных моделей колеблющихся тел с дефектами является одним из основополагающих моментов при решении прямых и обратных задач теории трещин.
Наиболее популярной математической моделью для описания поведения колеблющегося тела, ослабленного трещиноподобным дефектом, является модель, в которой трещина моделируется математическим разрезом, на берегах которого поля перемещений терпят разрыв и вводятся функции раскрытия трещины, которые определяют соответствующие скачки перемещения на берегах. Также модель основана на том, что берега трещины в процессе колебания не взаимодействуют и свободны от нагрузок. Учет взаимодействия берегов приводит к значительному усложнению задачи, и рассмотрены модели, в которых осуществлен учет взаимодействия берегов [66-68].
К настоящему времени задачи теории трещин выделились в самостоятельный раздел теории упругости. Имеется большое количество монографий, посвященных различным аспектам механики трещин, среди которых отметим монографии В.М. Александрова, Б.И. Сметанина, Б.В.Соболя [1], Н.Ф.Морозова [77], В.ЗЛартона, В.Г.Борисковского [80], Л.И. Слепяна [84], Г.П.Черепанова [87] и другие.
Кроме того, отметим циклы работ В.А. Бабешко с соавторами [2-11], Н.В. и Е.В. Глушковых [53-54], М.А. Сумбатяна [109], Е.И.Шифрина [88], А.О. Ватульяна и А.Н. Соловьева [35,40-46], Achenbach J.D.[91,115], S.K. Sih, A.K. Mai, A.-Y. Kuo, J.F.Loeber, Y.Shindo и других отечественных и зарубежных авторов [48, 52, 56, 60, 62, 64, 67, 70, 79, 80-82, 124 ].
По типу приложенной нагрузки, возбуждающей колебания тела, прямые и обратные динамические задачи принято разделять на стационарные, когда рассматривается установившийся во времени режим колебаний, и нестационарные, когда осуществляется импульсное воздействие на объект. В последнем случае реконструкция дефекта осуществляется по времени прихода отраженного сигнала. С позиции составления математической модели такие задачи значительно сложнее по сравнению со стационарными задачами.
Задачи о колебаниях слоя с системой трещин, расположенных в параллельных плоскостях или одиночных трещин, рассмотрены в работах [2-7], Эффективные методы исследования колебания областей канонической формы, ослабленных дефектами, представлены в работах [59, 80, 99]. Пространственным задачам посвящены работы [37, 54].
Решение динамических задач теории трещин возможно с использованием различных методов, таких как метод конечных элементов, метод граничных интегральных уравнений.
Одним из наиболее эффективных методов решения стационарных задач теории трещин, особенно неканонической формы, является метод граничных интегральных уравнений, которому посвящен ряд работ [39, 61, 69,71,80, 100, 112,110].
Согласно этому подходу, исходная краевая задача при помощи фундаментальных решений соответствующих операторов сводится к граничным интегральным уравнениям относительно функций раскрытия трещины. Метод ГИУ позволяет снизить размерность исследуемой задачи и составить систему интегральных уравнений для решения обратной задачи. На основе решения систем граничных интегральных уравнений возможно построение волнового поля перемещений в исследуемой области. Данный подход использован в работах [37-38], где получены граничные интегральные уравнения для полупространства с трещиной, неоднородного слоя с трещиной, расположенной на границе областей, построены волновые поля перемещений в исследуемых областях.
В работе [102] рассматривается динамическая задача для тела с трещиной. Предложен новый подход к определению динамического коэффициента интенсивности напряжений
В связи с развитием вычислительной техники разрабатываются эффективные методы расчета волновых полей, такие как метод конечных элементов (МКЭ) [55, 114], асимптотические методы [20, 88], метод граничных элементов (МГЭ) [23, 73], в соответствии с этим подходом, граница области, по которой осуществляется интегрирование, аппроксимируется ломаной, на каждом элементе которой неизвестные функции интерполируются при помощи набора базисных функций. В результате применения МГЭ система ГИУ сводится к СЛАУ относительно узловых значений неизвестных функций.
Обратные задачи идентификации трещин уже давно являются предметом исследования а механике и привлекают внимание многих ученых ввиду практического приложения практически во всех областях науки и техники. Задачи определения местоположения дефектов встречаются в геофизике, медицине, сейсморазведке и строительной промышленности.
Однако исследование обратных задач достаточно сложно. В первую очередь это связано с тем, что как правило такие задачи нелинейны и некорректны, и для их решения необходимы другие методы исследования с учетом этих свойств. Одним из основных моментов при решении обратных задач является формулировка условий единственности решения.
Различные постановки обратных задач теории трещин и методы их исследования представлены в работах [12, 19, 27-30, 46, 49, 57, 63, 65, 83, 96, 98,107,108, 111,116, 119-122].
Исследования обратных геометрических задач теории трещин ведутся в нескольких направлениях. Достаточно полный обзор о методах решения обратных задач теории трещин, развиваемых в настоящий момент, представлен в работе А.О. Ватульяна и А.Н. Соловьева [46]. Осветим основные моменты, связанные с исследованием обратных задач теории трещин, представленные в [46].
Первое направление связано с изучением обратных задач для уравнений Лапласа и Пуассона, для уравнения теплопроводности и моделирования процедуры идентификации трещины при помощи изучения особенностей строения либо тепловых, либо электростатических полей в телах с дефектами. При этом сформулированы подходы, основанные на теории потенциала или связанные с введением некоторого функционала «невзаимности». В работе [92] рассмотрен вопрос о единственности решения обратной задачи идентификации трещин в электропроводном теле, решение которой сводится к уравнению Лапласа.
В [118] исследована обратная задача идентификации поперечной трещины в полупространстве по информации о нормальной компоненте магнитного поля, заданной на всей границе. Задача сведена к обратной задаче для уравнения Пуассона, при априорных предположениях о том, что трещина ограничена эллипсом.
Авторами ряда работ предложен новый подход к решению обратных задач [89, 95, 97, 101, ПО]. При наличии априорной информации о том, что трещина или системы трещин расположены в некоторой плоскости, задача идентификации разбивается на задачу определения параметров плоскости, которой принадлежит трещина, ее центра в этой плоскости и характерного линейного размера. Определение плоскости связано с введением некоторого функционала «невзаимности» и пробных решений, при помощи которых удается выделить «основные» параметры и найти их из некоторых простых соотношений. В [89] исследован вопрос единственности решения обратной задачи идентификации трещины по известному полю температуры и тепловому потоку, заданным на всей границе области. В [90] рассмотрена задача идентификации трещины в случае неполного задания граничных полей для уравнения Лапласа. В [96] получены формулы для определения параметров плоскости, содержащей трещину для статической задачи теории упругости. Получены условия, при выполнении которых возможна реконструкция трещины по полям смещений и напряжений.
Аналогичный подход использован в работах [41-43] в случае установившихся колебаний анизотропной среды, ослабленной плоской трещиной. При помощи вспомогательных пробных решений и введения функционала невзаимности получены выражения для определения параметров плоскости, которой принадлежит трещина. Далее определяются размер и средняя точка трещины. Проведены вычислительные эксперименты по реконструкции плоской прямолинейной трещины.
Второе направление связано с исследованием обратных геометрических задач для уравнений теории упругости в конечной области [45, 105, 106 ] или в области типа слоя [13-16, 24-26, 31-34], полупространства [36]. Реконструкция осуществляется по полям смещений, заданных на части границы области. В работах [30,105] доказывается теорема единственности решения обратной задачи идентификации двумерной трещины в теле конечных размеров по граничным полям.
Для решения обратной задачи формулируется система нелинейных операторных уравнений [45]. Реконструкция трещины осуществляется на основе метода линеаризации полученной системы в окрестности трещины известной конфигурации (прямолинейной, дуги окружности или эллипса). Начальную конфигурацию трещины предлагается определять из условия минимума функционала невязки, зависящего от параметров, однозначно определяющих трещину. В [105] получены граничные интегральные уравнения для тел с малыми дефектами для статической задачи изотропной теории упругости. Идентификация трещины осуществляется на основе построенных ГНУ и генетических алгоритмов.
Особое внимание уделено также задачам реконструкции трещин в бесконечной среде по полям упругих волн в дальней зоне [93, 94,104, 111, 117]. Вопрос единственности решения обратной задачи в дифракционной постановке исследован в работе [117], в которой доказана теорема единственности решения обратной задачи восстановления формы дефекта (рассеивателя) по электромагнитным полям в дальней зоне. Решена прямая задача построения отраженного поля при помощи фундаментального решения, исследована асимптотика решения в дальней зоне. Произведена реконструкция дефекта на основе решения прямой задачи и теории потенциала. В работе [111] рассмотрена плоская задача теории трещин в дифракционной постановке для изотропной упругой среды. Реконструкция трещины осуществляется по информации о рассеянном поле плоских упругих волн в дальней зоне. Доказана теорема единственности решения обратной задачи. Для выделения единственного решения на бесконечности использован принцип излучения Купрадзе. Задача решена в два этапа. На первом этапе построено рассеянное поле перемещений, которое представляется в виде контурных интегралов. Исследована асимптотика поля в дальней зоне. Далее, решена обратная задача на основе метода Ньютона, который заключается в построении нелинейных операторных уравнений, и дальнейшей их линеаризации в окрестности трещины простейшей конфигурации, В результате получена линейная переопределенная система относительно вектора поправок. Решение полученной системы представляет собой некорректную задачу и требует применения процедуры регуляризации, в работе использован метод А.Н. Тихонова. Далее, вектор поправок используется в качестве следующего приближения конфигурации исходной трещины. Приведены численные результаты восстановления криволинейных (дуг эллипсов) трещин. В работе [104] исследована обратная задача теории трещин в дифракционной постановке, которая сведена к решению уравнения Гельмгольца.
Следующее направление связано с исследованием задач о колебаниях упругих тел, ослабленных трещиноподобными дефектами, расположенными на стыке областей или приповерхностных дефектов. Как правило, такого рода дефекты на практике возникают в результате изготовления или обработки материалов. Решение таких обратных задач значительно упрощается, поскольку априори известно местоположение дефекта. В работах [31, 33, 41-46, 103, 123] рассмотрены задачи реконструкции внутренних поперечных трещин, расположенных на стыке областей и трещин, выходящих на поверхность области. Идентификация трещины осуществляется по информации о полях смещений, заданных на части границы области. Решение обратной задачи сводится к определению конечного числа параметров (2 параметра, характеризующие координаты вершины внутренней трещины, 1 параметр, определяющий заглубление интерфейсной трещины) из условия минимума функционала невязки.
В [123] исследована обратная задача идентификации трещин, расположенных на некоторой внутренней поверхности. Рассмотрены две постановки: в первой постановке заданы поля напряжений (или перемещений) на всей внешней поверхности исследуемой области, во второй постановке реконструкция дефекта осуществляется на основе заданных полей перемещений и напряжений на части внешней поверхности области.
В [103] рассмотрена задача реконструкции приповерхностной трещины в конечной области по полям напряжений, измеренных на границе области. Прямая задача решена на основе преобразования Шварца-Кристоффеля, при помощи которого исходная плоская многоугольная область с приповерхностной трещиной переводится в прямоугольную область. В новой области трещина располагается на части границы, на которой выполняются соответствующие граничные условия.
В работах [106, 113] для решения обратных задач теории трещин использованы новые вычислительные технологии, такие как генетические алгоритмы и нейронные сети.
Вышеизложенное определяет актуальность и практическую значимость работы.
В настоящей работе рассматривается обратная задача идентификации трещины в ортотропном упругом слое по полям смещений, измеренных на части верхней границы слоя. Задача решается в два этапа. На первом этапе строятся волновые поля смещений в слое по известным граничным условиям. На втором этапе, на основании решения прямой задачи и дополнительной информации о волновых полях решается обратная задача реконструкции трещины. Прямая задача решается при помощи метода граничных интегральных уравнений, который позволяет снизить размерность исследуемой задачи и перейти к рассмотрению интегральных уравнений в ограниченной области. Дальнейшее исследование полученных ГИУ осуществляется с позиций двух подходов. Первый подход связан с дискретизацией ГИУ на основе метода граничных элементов, согласно которому контур интегрирования аппроксимируется ломаной, на каждом элементе которого неизвестные функции аппроксимируются при помощи набора базисных функций. В результате получается система линейных алгебраических уравнений для определения узловых значений функций раскрытия, которые используются в дальнейшем при построении волнового поля перемещений в слое, в частности для определения поля перемещений на верхней границе слоя. Второй подход связан с решением ГИУ на основе асимптотического подхода для трещин малых относительных размеров. При наличии априорной информации о малости относительного размера дефекта ГИУ удается свести к интегральному уравнению с постоянной правой частью, которое имеет простое точное решение [109].
Решение обратной задачи строится на основе информации о полях смещений, измеренных на верхней границе слоя, но поскольку произвести реальный эксперимент в рамках данного исследования не удалось, то в качестве входных данных при решении обратной задачи задаются значения поля перемещений на верхней границе слоя, полученные из решения прямой задачи. Для реконструкции трещин произвольной конфигурации одним из наиболее эффективных методов является метод, предложенный в работе [30], согласно которому конфигурация трещины определяется из нелинейной системы операторных уравнений. Решение полученной системы осуществляется на основе метода линеаризации в окрестности трещины простейшей конфигурации, в результате построена система уравнений Фредгольма 1-ого рода с гладкими ядрами, решение которой требует применения регуляризующих алгоритмов. При таком подходе к решению обратной задачи идентификации трещины особое внимание уделено выбору начального приближения, которое следует разыскивать в классе трещин простейшей конфигурации. В этом случае трещина определяется конечным числом параметров, определение которых и составляет суть задачи идентификации трещины. Далее составляется неквадратичный функционал невязки, зависящий от параметров трещины, которые определяются из условия минимума этого функционала. В работе особое внимание уделено определению параметров прямолинейных трещин, как первого этапа на пути к реконструкции криволинейных трещин. Задача идентификации прямолинейных трещин решена на основе процедуры минимизации функционала невязки, а также на основе асимптотического подхода. Для трещин малой относительной длины параметры трещины определяются из трансцендентных уравнений. Стоит отметить, что реализация первого метода требует многократного решения прямой задачи, что связано с затратой времени счета, в то время как при помощи асимптотического подхода решение задачи осуществляется за значительно меньшее время (время счета сокращается в более чем 20 раз).
Диссертационная работа содержит 5 глав. Главы 1,2,3 посвящены решению прямой задачи о построении волновых полей перемещений в слое. Главы 4 и 5 посвящены решению обратных задач идентификации трещин в ортотропном слое. В первой главе рассматриваются постановки прямых задач. Она состоит из трех параграфов. В первом параграфе изложена общая постановка о колебаниях ортотропного слоя с внутренней трещиной. Во втором и третьем параграфах рассмотрены постановки прямых антиплоской (задача 1) и плоской (задача 2) задач о колебаниях ортотропной полосы с трещиной.
Вторая глава посвящена сведению исходных краевых задач к системам граничных интегральных уравнений и их исследованию. Первый параграф посвящен определению фундаментальных решений соответствующих операторов для слоя для задачи 1 и 2, как первого этапа при построении волнового поля в слое. Во втором и третьем параграфах построены волновые поля в полосе, получены ГИУ и проведено их исследование для задач 1 и 2.
В третьей главе осуществлена дискретизация полученных ГИУ. В первом параграфе изложены общие методы решения ГИУ. Во втором и третьем параграфах проведена дискретизация ГИУ, представлены результаты проведенного численного эксперимента решения ГИУ и построения волновых полей смещений на верхней границе слоя для задач 1 и 2 соответственно.
Четвертая глава посвящена решению обратной задачи идентификации трещины в слое по полям смещений, заданных на части верхней границы слоя. В первом параграфе представлены основные методы исследования обратных задач теории трещин. Во втором параграфе изложена постановка обратной задачи идентификации трещины произвольной конфигурации в ортотропном слое. Сформулирована система операторных уравнений и рассмотрен метод линеаризации для решения системы. Третий и четвертый параграфы посвящены формулировке систем нелинейных операторных уравнений и методу линеаризации для задач 1 и 2 соответственно. Пятый параграф посвящен определению начального приближения трещины. В шестом параграфе изложены метод идентификации прямолинейных трещин в полосе. В седьмом и восьмом параграфах представлены численные результаты определения длины и угла наклона прямолинейной трещины для 1 и 2 задач.
В пятой главе предложен асимптотический подход в задаче реконструкции прямолинейной трещины. Первый параграф посвящен решению прямой антиплоской задачи с использованием асимптотического подхода. Второй параграф посвящен определению параметров трещины из трансцендентных уравнения. В этом параграфе представлены также численные результаты реконструкции характеристик дефекта. В третьем параграфе рассмотрены решения прямой и обратной плоской задачи с использованием асимптотического метода. Представлены численные результаты. Осуществлено сравнение методов определения параметров трещины на основе подхода ГЭ и минимизации функционала невязки с асимптотическим методом. Выявлены преимущества и недостатки обоих методов.
Основное содержание диссертации отражено в работах [13, 14, 15, 16, 17, 18, 24, 25, 26], опубликованных в открытой печати. В работе [13] О.В. Булгурян принадлежит построение линеаризованной системы интегральных уравнений, И.В. Баранову принадлежит осуществление реконструкции вертикальной трещины. Результаты работы [14] принадлежат авторам в равной степени. В работах [15,16] А.О. Ватульяну принадлежит постановка задач и идеи их решения, И.В. Баранову и О.В. Булгурян принадлежат формулировка граничных интегральных уравнений и проведение расчетов соответственно для вертикальных и произвольных трещин. В работе [17] постановка задач, обсуждение результатов принадлежат А.О. Ватульяну, О.В. Булгурян принадлежит формулировка граничных интегральных уравнений и их исследование, а также проведение расчетов, в которых частично использованы вычислительные модули И.В. Баранова. В [18] постановка задач и методы их решения принадлежат Соловьеву А.Н., результаты расчетов принадлежат О.В. Булгурян и И.В. Баранову. В работах [24 - 26] постановка и основные идеи метода решения прямых и обратных задач принадлежат Ватульяну А.О, Булгурян О.В. принадлежит формулировка граничных интегральных уравнений, исследование ядер интегральных операторов и численный анализ.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, коды проектов 02-01-01124, 05-01-00734 и гранта Президента Российской Федерации по поддержке ведущей научной школы НШ - 2113. 2003.1.
Постановка антиплоской задачи о колебаниях ортотропного упругого слоя с туннельной трещиной
В случае антиплоских колебаний (задача 1) ненулевой компонентой вектора перемещений является компонента u2=u (xj,x3) и соответствующая компонента функции раскрытия трещины %2 =U2Jj+ -u2 ,- = Х- При этом влияние трещины заменяется действием массовой силы f = -[с Х ТСХЦ» (0 " дельта-функция Дирака с носителем на трещине. Тогда проблема описывается краевой задачей (1.2.1)-(1.2.3): где C44 =C2323. Сбб =Ci2i2 -константы материалов. Замыкают постановку задачи условия излучения волн на бесконечности, при формулировке которых используется принцип предельного поглощения [48]. 1.3 Постановка плоской задачи о колебаниях ортотропной упругой полосы с трещиной Будем считать, что из компонент вектора перемещений отличны от нуля Uj =Ui(xi,x3)e , U3 =и3(хі,хз)е . Ненулевыми компонентами функции раскрытия будут Х] »Хз Влияние трещины заменяется действием массовых сил, которые выражены через %\,%з следующим образом [74] Тогда, отделяя временной множитель, получим, что задача описывается краевой задачей материала. Аналогично (задаче 1) замыкают постановку задачи условия излучения волн на бесконечности, при формулировке которых используется принцип предельного поглощения [48]. Одним из наиболее эффективных методов решения прямой задачи о построении полей смещений в слое является метод сведения исходной краевой задачи (1.1.1)-(1.1.3) к системе граничных интегральных уравнений (ГИУ) [30, 39]. Этот подход позволяет снизить размерность исследуемой задачи на единицу и перейти к рассмотрению интегральных уравнений в ограниченной области. Реализация данного подхода осуществляется в два этапа. На первом этапе строятся волновые поля в слое, для анизотропной среды их явные представления построить не удается, однако возможно построить их интегральные представления. Такое представление оказывается вполне достаточным при численной реализации метода граничных уравнений. На основании теоремы взаимности для упругого анизотропного слоя, поле упругих смещений в слое может быть найдено при помощи формул Сомильяны [2] где Uj (x,%), o" .m (x,) - соответственно фундаментальные и сингулярные решения для ортотропной среды. В качестве фундаментальных решений Uj (х, ) выберем фундаментальные решения дифференциальных операторов в (1.1.1), удовлетворяющие однородным условиям на границах слоя Далее, преобразуя объемный интеграл в (2.1.1) в поверхностный при помощи теоремы Гаусса-Остроградского, получим выражения для расчета полей смещений: поле) от действия заданной нагрузки; интегральное слагаемое есть вклад трещины в общее поле перемещений.
Оно определяется через компоненты функции раскрытия, которые определяются на втором этапе. Наиболее эффективной схемой их определения является сведение к системам граничных интегральных уравнений на основе представлений (2.1.3) из условия отсутствия напряжений на трещины (1.1.3). Для этого необходимо устремить точку eS в выражении (2.1.3) на границу области, по которой идет интегрирование SQ, И удовлетворить граничным условиям (1.1.3). Далее, необходимо осуществить предельный переход, при этом интегралы перестают существовать в обычном смысле, становятся расходящимися, их ядра содержат гиперсингулярную особенность, и требуют введения понятия значения особого интеграла. Интегралы в этом случае понимаются в смысле конечного значения по Адамару и используются при исследовании гиперсингулярных интегральных уравнений, возникающих в теории трещин. Интегралом в смысле конечного значения по Адамару ЪГ Y(t) называется интеграл типа Io(to)= —- --dt, для вычисления которого используют следующую формулу [22, 76] \ \бы2 Вопросы построения и обоснования дискретных схем вычисления гиперсингулярных интегралов освещены в работе [22]. В результате получаем систему граничных интегральных уравнений относительно компонент функций раскрытия Далее будем рассматривать колебания, которые вызываются сосредоточенной силой величины ро, приложенной на расстоянии L от начала координат, касательной для антиплоской и нормальной для плоской задач. Ключевым моментом при сведении краевых задач (1.2.1)-(1.2.3), (1.3.1)-(1.3.3.) к системам интегральных уравнений является построение фундаментального решения соответствующих дифференциальных уравнений задачи 1 и задачи 2. Под фундаментальным решением будем понимать поле смещений Uj (х,), вызванное действием сосредоточенного источника в точке упругой среды . В зависимости от рассматриваемой краевой задачи, удобно выбирать фундаментальные решения, удовлетворяющие некоторым граничным условиям. Для ортотропного слоя толщины h под фундаментальным решением будем понимать решение уравнений теории упругости с сосредоточенным источником, которое удовлетворяет некоторым граничным условиям на верхней и нижней границах слоя. В случае задачи 1 фундаментальное решение U2(x,4) = U(x,4) является решением дифференциального уравнения которое удовлетворяет граничным условиям (2.2.2) и условиям излучения волн на бесконечности Здесь а- контур в комплексной плоскости, который всюду совпадает с вещественной осью, за исключением особых точек подынтегральной функции, которые он огибает в соответствии с принципом предельного поглощения.
При этом ветвь неоднозначной функции Х(ах) выбирается таким образом, что при a(j — со Re(X) 0, если Re(X) = 0, то Im(A,) 0. Для определения решения однородного уравнения (2.2.1) применим интегральное преобразование Фурье по xj и будем разыскивать решение полученного дифференциального уравнения для трансформант Фурье в виде S(ar, х3, i, 43) = ci (ai Лі Лз )shbi3 + С2 (а{, %х, %ъ Неизвестные функции С](аі, і, з) гіщЛхЛг) определим из граничных условий (2.2.2) и после применения обратного преобразования Фурье, устремляя є - 0, получим следующее интегральное представление фундаментального решения для слоя Аналогичное фундаментальное решение для ортотропного слоя построено в [38]. В случае задачи 2 фундаментальное решение удовлетворяет краевой задаче, которая после отделения временного множителя имеет вид (2.2.8)-(2.2.9): Постановку задачи замыкают условия излучения волн на бесконечности. Аналогично случаю антиплоской деформации решение задачи (2.2.8), (2.2.9) ищем в виде Upm (x, )- фундаментальное решение для неограниченной среды, Sjm (x, )- решение однородной системы (2.2.8). При помощи интегрального преобразования Фурье получим выражение для трансформант Фурье После применения к Uj (схі,Хз,41},з) обратного преобразования Фурье по координате aj, устремляя є- 0 получим: Решение Sj однородной задачи (2.2.8) можно получить, применив интегральное преобразование Фурье по координате Xj: -і«і(У5 +У7)д Щт) +(2 -Y5«i2 + k2)S m) =0. Решение однородной системы (2.2Л 2) ищем в виде линейной комбинации элементарных решений: Подставляя (2.2.13) в (2.2.12) и сгруппировав коэффициенты перед экспонентами с одинаковыми показателями, получим, что коэффициенты Ак выражаются через Вк следующим образом Таким образом, фундаментальное решение для полосы в случае плоской задачи, после применения к (2.2.14) обратного преобразования Фурье, имеет следующее интегральное представление Подынтегральные функции в (2.2.17) имеют точки ветвления, расположенные в комплексной плоскости, причем их расположение зависит от класса анизотропии материала. Для однозначного определения подынтегральных функций в (2.2.17) достаточно выделить ветви функций 4 Д2 следующим образом: представить их в виде X: = 0:(а])[і:(аі); Отметим, что такое представление корней характеристического уравнения использовалось в [37], там же получены фундаментальные решения для ортотропной полуплоскости. 2.3. Формулировка граничного уравнения для антиплоской задачи и его исследование Для антиплоской задачи при рз(х ) = p2(xi +L) поле перемещений в точке слоя S согласно (2.1.3) имеет вид В формуле (2.3.1) первое слагаемое - эталонное поле, представляющее собой поле смещений в среде без дефекта, второе слагаемое обусловлено наличием трещины в слое. Представление (2.3.1) позволяет определить смещение в любой точке слоя при известных значениях функции раскрытия.
Дискретизация гиперсингулярного интегрального уравнения антиплоской задачи. Численная реализация
В главе 2 получены выражения для полей смещений в слое, которые представлены выражениями (2.3.1) и (2.4.1). Значения функций раскрытия трещины определяются из граничных интегральных уравнений, ядра которых имеют гиперсингулярную особенность. Настоящая глава посвящена дискретизации интегральных уравнений и осуществлению вычислительных экспериментов. Дискретизация полученных ГИУ будет осуществлена на основе подхода метода граничных элементов (МГЭ) [23]. Согласно этому N подходу трещина аппроксимируется ломаной 1 = LJ 1„ э на каждом 1п n=l неизвестные функции интерполируются при помощи набора некоторых базисных функций, в данной работе рассмотрены элементы с постоянной плотностью. Узловые неизвестные определяются методом коллокаций, в соответствии с которым требуется выполнение соответствующей дискретной формы интегральных уравнений в узловых точках разбиения. В результате дискретизации получены СЛАУ относительно узловых значений компонент функций раскрытия трещины. 3.2. Дискретизация гиперсингулярного интегрального уравнения антиплоской задачи. Численная реализация. Рассмотрим процедуру дискретизации граничного интегрального уравнения (2.3.2) в случае трещины произвольной конфигурации. Будем использовать постоянные граничные элементы, контур трещины N аппроксимируем N - звенной ломаной 1 = (Jln .В качестве точек коллокаций возьмем середины соответствующих граничных элементов. В результате получим следующую систему линейных алгебраических уравнений На каждом элементе /„ введем параметризацию Xjn=Pjnt + yjn tg[_1 Ч Компоненты нормали выберем так, чтобы при введенной параметризации они имели вид VPhi+Рзп аналогичным способом определяются n]m, n3m в точке уг Таким образом, элементы системы определяются как Рассмотрим дискретизацию интегрального уравнения (2.3.4) Оно представлено в виде суммы двух интегралов. Первое слагаемое представляет собой интеграл в смысле конечного значения по Адамару, в котором выделена гиперсингулярная особенность вида l/(t —т) . Квадратурные формулы для интегралов в смысле конечного значения по Адамару строятся по формуле (3.2.4) [22]. интегральное слагаемое (2.3.4) представляет собой интеграл с гладкой подынтегральной функцией, который можно вычислить приближенно при помощи стандартных квадратурных формул, например прямоугольников.
Тогда дискретный аналог интегрального уравнения можно записать в виде Матрица полученной системы имеет явно выраженное диагональное преобладание, система является хорошо обусловленной и устойчивой к малым вычислительным погрешностям элементов системы. В работах [31-34] при решении (3.2.5) выделена явно корневая структура функций раскрытия у концов трещин, однако это не приводит к ускорению вычислительного процесса при нахождении узловых неизвестных, поскольку коэффициенты систем представлены в виде интегралов от специальных функций. Из системы (3.2.5) определяются узловые значения функции раскрытия трещины, которые далее используются для построения волнового поля смещений в слое. В частности, в настоящей работе наибольший интерес представляет собой поле смещений на верхней границе полосы S2. Выпишем формулу для его расчета Подынтегральная функция имеет счетное количество мнимых полюсов, и конечное число вещественных полюсов, которые определяют число бегущих волн в слое. Контур интегрирования а выбирается в соответствии с принципом предельного поглощения. Он всюду совпадает с вещественной осью за исключением окрестностей вещественных полюсов и отклоняется в комплексную плоскость, огибая положительные полюса снизу, отрицательные сверху. Замыкается контур интегрирования в зависимости от знака i-Xj в соответствии с леммой Жордана. Если H,j — Х} 0, то контур интегрирования замыкаем в верхнюю полуплоскость, если 1 — Х 0, то контур интегрирования замыкаем в нижнюю полуплоскость. Объединяя оба случая, получим следующее выражение для ядра Pn Предположим, что возможно параметрическое представление трещины выражение для поля перемещений на верхней границе слоя примет вид Pn Используя квадратурную формулу прямоугольников для вычисления интеграла в (3.2.9), окончательно получим формулу для расчета поля перемещений в точке верхней границы слоя Здесь An - амплитуды поля смещений. В ряде (3.2.10) лишь конечное число вещественных Рп П = 1, m, (m- количество бегущих волн в слое, которое определяется волновым числом к), которым соответствуют распространяющиеся моды колебаний, несущие основную информацию о дефекте. Именно в амплитудах бегущих волн заложена вся информация о трещине и анализ амплитуд может быть полезен при решении задач идентификации трещин.
В соответствии с представленным алгоритмом решения ГИУ и расчета волнового поля перемещений проведена серия расчетов для слоя из аустенитной стали С44 = 1-29,С$$ = 0.8225 (хЮ Н/м ) с прямолинейной трещиной и криволинейной трещиной, дугой окружности. В расчетах толщина слоя принята равной 1. Проведено исследование для прямолинейных трещин различной длины, угла наклона и заглубления при разном количестве бегущих волн. При этом значению к — соответствует случай, когда бегущих волн в слое нет, одна бегущая волна в слое при граничных элементов выбиралось таким образом, чтобы на длину волны приходилось 5-7 элементов. Центр прямолинейной трещины расположен на оси Ох3 на расстоянии dgOT нижнего края; трещина расположена под углом G к оси Oxj. Источник колебаний расположен в точке верхней границы слоя при щ = -2.0 (L = 2.0). На рисунке 3.2.1 приведены графики функции раскрытия (вещественная и мнимая части) трещины l = 0.3h,do =0.5h,6 = 120 для разного количества граничных элементов N=10, N=20 и N=30. В слое две бегущие волны при к = 6.0. С увеличением количества граничных элементов наблюдается уточнение вида функций раскрытия трещины в основном ее у концов, в центральной части поправка не превышает 5%, что свидетельствует о хорошей сходимости предложенного алгоритма. На рисунках 3.2.2-3.2.4 представлены графики вещественной и мнимой частей поля перемещения, обусловленного трещиной 1 = 0.3h,d0 =0.5h при разных значениях угла наклона 0 = {60,80,90 }, для случаев, когда в слое нет бегущих волн при к = 0.5 (рис.3.2.2), в слое имеется одна бегущая волна при к = 2.0 (рис.3.2.3) и в слое две бегущие волны при к =6.0 (рис.3.2.3). Интересно также определить зависимость поля смещений на границе слое в зависимости от длины трещины. На рисунках 3.2.5-3.2.6 представлены графики вещественных и мнимых частей полей смещений на верхней границе слое для трещин со следующими характеристиками 9 = 60,d0 =—, длина трещины меняется 1 = {0.15,0.25,0.35,0.45}; в слое одна бегущая волна при к = 2,0 (рис.3.2.5) и две бегущие волны при к = 6.0 (Рис 3.2.6). На рисунках 3.2.7-3.2.8 приведены графики волновых полей смещений на верхней границе слое в зависимости от заглубления трещины l = 0.3h,G = 60 . На рис. 3.2.7 представлен случай, когда в слое имеется одна бегущая волна (к = 2.0), на рис.3.2.8 представлены поля смещений в случае, когда в слое две бегущие волны при к = 6.0. На Рис.3.2.9 изображены графики вещественной и мнимой частей поля перемещения на верхней границе слоя для криволинейной трещины, дуги окружности при к = 6.0. На всех рисунках приведены графики волновых полей смещений без эталонных полей, поскольку важно определить, как влияет на поле смещений конфигурация и расположение трещины.
Формулировка системы операторных уравнений и метод линеаризации для плоской задачи
Обратная задача для случая плоской деформации решается на основе заданных полей смещений либо их амплитуд на части границы полосы На основании выражения (2.4.1) при условии, что sS2i, условие (4.4.1) приводит к соотношению Тогда, используя (2.4.5) приходим к системе нелинейных операторных уравнений относительно скачков Xl(x) функций раскрытия и поверхности Ядро первого интегрального уравнения (4.4.3) является гладким, и обратная геометрическая задача определения конфигурации трещины некорректна. Проведем процедуру линеаризации системы (4.4.3) в окрестности некоторого известного положения трещины простейшей конфигурации, которое задается параметрически xs(t), t є [—1,1], s = 1,3. Это известное положение может быть определено в классе прямолинейных трещин. Аналогично задаче 1, вводим в рассмотрение вектор Представим подынтегральные функции (4.4.3) в виде Подставим разложения (4.4.4) в операторное уравнение (4.4.3), получим линеаризованное интегральное уравнение Фредгольма I рода относительно неизвестного вектора поправок. Аналогично случаю задачи I, полученную систему интегральных уравнений Фредгольма I рода можно решить при помощи регуляризующего метода А.Н.Тихонова, в результате чего определить узловые значения вектора поправок, далее перейти к следующему шагу итерационной последовательности, взяв в качестве известной конфигурации 4.5. Определение начального приближения Следует отметить, что сходимость итерационных последовательностей при решении задач идентификации с использованием метода линеаризации во многом зависит от выбора начальной конфигурации трещины. Начальное приближение предлагается разыскивать, исходя из некоторых априорных соображений, в классе трещин простейшей конфигурации (прямолинейных трещин, дуг окружностей). При этом трещины параметризуется при помощи конечного числа инвариантных характеристик qj,,k = l„.m, определение которых и составляет суть задачи нахождения начального приближения. Параметры трещины определяются из условия минимума неквадратичного функционала невязки.
В случае позиционного зондирования в качестве входной информации задаются значения компонент поля перемещений gmC i) в N точках Ь\ є[а,Ь] при фиксированной частоте со, функционал невязки определяется как В случае, когда используется частотное зондирование, задаются значения компонент поля перемещения, измеренные в фиксированной точке Е, верхней границы слоя, при М разных значениях частоты со;, функционал невязки строится следующим образом 1,0)2 выбираются между соседними частотами толщинных резонансов. В случае антиплоской задачи в выражениях для функционалов (4.5.1),(4.5.2) суммирование по m пропадает (т=2), в случае плоской задачи суммирование ведется по т=1,3. Основную информацию о характеристиках трещины несут распространяющиеся моды, поскольку амплитуды неоднородных волн затухают по экспоненциальному закону с удалением от источника колебаний, поэтому функционал невязки (4.5.2) может быть построен и для амплитуд бегущих волн при частотном зондировании: где A;m - амплитуда / - той бегущей волны у перемещения um, которая задается, г - количество бегущих волн в слое. Рассмотрим численную схему восстановления параметров прямолинейных трещин. Численная реализация обратной задачи для наклонной прямолинейной трещины. Рассмотрим несколько примеров реконструкции трещин в слое. При этом основное внимание уделим восстановлению прямолинейных наклонных трещин, как первого этапа на пути реконструкции произвольных криволинейных трещин. Отметим, что задачи об определении координат вертикальных трещин в слое по данным об амплитудах распространяющихся волн подробно исследованы в работах [31]. Рассматривается задача восстановления внутренней прямолинейной трещины длины 21 о с углом наклона G к нижней грани слоя, средняя точка трещины находится на оси Охз на расстоянии do от нижней грани, величина L характеризует расстояние от точки приложения нагрузки до вертикальной оси, проходящей через середину трещины (Рис.4.6.1). Задача идентификации состоит в определении этих 4 характеристик трещины. Параметрические уравнения трещины можно записать как xj =latcos6, х3 =l0tsin9 + d0, te[-l,l]. Параметры трещины определяются из условия минимума одного из функционалов (4.5.1),(4.5.2) или (4.5.3). Вместе с тем процедура минимизации неквадратичного функционала, зависящего от 4 параметров достаточно сложна. Для вертикальной трещины число идентифицируемых параметров сокращается до двух, процедура реконструкции была осуществлена в работах Баранова И.В. [31-34] Стоит также отметить, что схемы практической дефектоскопии позволяют получить информацию о трещине в слое, например, найти координаты точки, принадлежащей трещине. При этом задача определения длины 1 = 21 Q и угла наклона представляют особый интерес при решении задач дефектометрии трещин. На основе предложенного алгоритма проделан вычислительный эксперимент определения двух параметров трещины, длины I и ее угла наклона 9(0 9 тс) в случае антиплоских и плоских колебаний слоя, в предположении, что известны C!Q,L . На первом этапе рассчитывались волновые поля на границе слоя или их амплитудные значения на основе решения систем ГИУ (2.3.4) или (2.4.7) при помощи метода граничных элементов по схеме п.3.3. Эта информация считалась заданной при решении обратной задачи.
На втором этапе осуществлялась процедура минимизации функционала, зависящего от параметров 1,9. Функционал строится по одной из формул (4.5.1)-(4.5.3). Он имеет овражистый характер и для его минимизации предлагается использовать специальные минимизирующие алгоритмы, учитывающие такой характер поведения функционалов. В данной работе использовался метод оврагов [51]. Проведено численное исследование обратной задачи определения 1,9. Рассматриваемая задача реконструкции трещины зависит от многих параметров, таких как частота колебания, количество бегущих волн, характеристики трещины и расположение датчиков. Целью исследования было выявить зависимость восстановления параметров трещины от набора характеристик, представить практические рекомендации по выбору частоты колебаний, определить диапазон частот наиболее эффективных с точки зрения реконструкции параметров дефекта, дать рекомендации по расположению датчиков на поверхности слоя, в которых будут произведены измерения компонент вектора перемещения. Для получения ответов на эти вопросы предлагается исследование осуществить по следующей схеме. В предыдущих главах было определено, что именно бегущие волны несут всю информацию о дефекте, исходя из этого, не рассматривались частоты, на которых нет распространяющихся мод, исследовались частоты, на которых имеются одна и более бегущих волн. Также было интересно определить зависимость точности восстановления параметров от погрешности задания входных данных, по которым осуществляется реконструкция. Анализ зависимости задачи реконструкции трещины от ее параметров проведено в соответствии с введенной условной классификацией. К классу приповерхностных трещин отнесены внутренние трещины, у которых dp — h, к заглубленным трещинам отнесены трещины, у которых СІ0 —, если - QQ S— n, то такие трещины принадлежат к классу, так называемых, среднезаглубленных трещин. В зависимости от угла наклона трещины исследование проведено для вертикальных трещин У — —, для трещин с острым углом наклона U — и тупым углом наклона — о тг. В расчетах, при минимизации функционала невязки начальное приближение трещины разыскивалось в некотором дискретном наборе точек {l(m)}m=l,{e(t)} =1 ,l(m) Є (0,h),6(t) Є (0,7Г). В качестве начального приближения задавалась пара значений [1 ,0 ], в которой функционал принимал наименьшее значение [1 ,0 ]= щщ Ф(1 9). Далее осуществлялась процедура минимизации функционала при помощи метода оврагов с заданной точностью єг.
Идентификация параметров прямолинейной трещины антиплоской задачи. Численные результаты
Решение обратной задачи восстановления параметров трещины строится на основе решения прямой задачи и дополнительной информации (4.3.1). Для прямолинейной трещины, допускающей параметризацию (4.6.1), задача идентификации трещины сводится к задаче определения параметров трещины lg,C1Q,G,L. Отметим, что амплитуды распространяющихся волн пропорциональны квадрату длины трещины. Допустим, что в качестве дополнительной информации заданы амплитудные значения Ап (п=1,2) поля перемещения в дальней зоне верхней границы. Процедура идентификации осуществляется при частотном зондировании. Для однозначной идентификации достаточно рассмотреть две частоты kj,k:2, на каждой из которых имеются по две бегущие волны и заданы А (kj),A2(k}) - амплитуды первой и второй волн на частоте kj и Aj 2) 2( 2) - на частоте к2- На основании выражений для амплитуд (5.1.5) удается задачу идентификации прямолинейной трещины свести к поэтапному определению параметров трещины, решая трансцендентные уравнения. I этап - определение заглубления трещины d0. Для определения d0 рассмотрим отношение амплитуд первой и второй волн, которое обозначим как і+іц2= . Тогда, учитывая выражение для амплитуд (5.1.5), имеем откуда, разделяя мнимую и вещественную части, получаем однородную систему двух уравнений, линейную относительно sin G, COS 0: 2hP2(k!) 2hp!(k!) Приравнивая нулю определитель системы (5.2.1), получаем уравнение относительно d0, решениями которого являются значения, соответствующие корням квадратного уравнения Таким образом, для однозначного определения (XQ значений амплитуд на одной частоте недостаточно. Для определения 6.Q единственным образом необходимо знать амплитуды на второй частоте к2, провести действия, аналогичные первой частоте и получить два корня dg, один из которых будет совпадать с истинным значением dp и с одним из решений (5.2.3). II этап — определение угла наклона трещины 6, 0 9 71.
На основе найденного из (5.2.3) dg, угол наклона можно определить из системы (5.2.1) по формуле причем, если с12 (d) = 0, то 0 = 0. III этап — определение L Отметим, что определение L означает определение расстояния от точки приложения нагрузки до вертикальной оси, проходящей через середину трещины. L входит в выражение для WQ И для определения этого параметра необходимо произвести два измерения амплитуд при разном положении источника. В первом случае нагрузка приложена на расстоянии L от оси трещины; соответствующие амплитуды - A] (k,Li),A2(k,Li); во втором случае нагрузка приложена на расстоянии L2 =Lj — LQ ОТ ОСИ трещины; соответствующие амплитуды - Ai(k,L2),A2(k,Lr2). Тогда, для определения Lу из (5.1.5) имеем соотношение откуда получим выражение для определения Lj a2 =(Yi2 + iY2i)(Al(k,L1)e-iP2Lo -Al(k,L2)). Таким образом, L нельзя определить однозначно, зная амплитуды на одной частоте, можно получить лишь некоторый набор точек на оси Oxj. Для однозначного определения необходимо знание амплитуд на другой частоте. Далее, путем пересечения множества точек, полученных на первой и второй частотах, определяем координату L. Численные эксперименты показали, что величина L] определяется с точностью менее 1% при точных входных данных и устойчива к зашумлению входной информации. IV этап - определение длины трещины 10. Далее, 1д определяется из одного из выражений для амплитуд, например, Следует отметить, что параметр ]0 определяется с наименьшей точностью по сравнению с остальными параметрами, поскольку на погрешность его определения помимо погрешности входной информации влияет погрешность идентификации параметров, определенных на предыдущих этапах На рисунках 5.2.1-5.2.5 представлены численные результаты по восстановлению параметров трещины в зависимости от ее длины 1Q. Расчеты проводились для слоя толщины h = 1 из аустенитной стали. Выбирались частоты, на которых имеются по две распространяющиеся волны к] =5.0, k2=6.0, L0 =-0.4. dojGjL] определялись из (5.2.3),(5.2.4),(5.2.5). Заметим, как и следовало ожидать, с увеличением длины трещины точность определения параметров трещины уменьшается. Здесь принято ист относительные погрешности восстановления d Q, 9, Lj соответствен но. Истинные значения параметров трещины снесены на рисунки. Из рисунков видно, что при 10 ОЛЬ do,0,Lj определяются с погрешностью менее 5% при точных входных данных, длина трещины с погрешностью менее 15%. Результаты свидетельствует о достаточно устойчивой процедуре идентификации параметров трещины.
Также стоит отметить, что с заглублением трещины точность определения характеристик б, 10 в большей степени зависит от длины трещины. На рис.5.2.6-5.2.7 приведены графики относительной погрешности восстановления dg =0.5,0 = — ,Li —5.6 в зависимости от степени зашумления входных данных Г на частотах kj =5.0,k2 =7.8. Рисунок 5.2.6 соответствует случаю IQ=0.01, dg,G,Li определяются с погрешностью порядка 1% при погрешности задания входных данных порядка Г) «20%. На рисунке 5.2.7 - 10=0.1, параметры трещины определяются с погрешностью порядка 5% при погрешности задания входных данных порядка Т) «20%. С увеличением длины трещины погрешность восстановления dQ,G,L{ сильнее зависит от точности входных данных. На рис.5.2.8-5.2.9 приведены графики относительной погрешности восстановления dg = 0.6,0 = 7г/ 4, Lj — 5.6 в зависимости от степени зашумления входных данных Tj на частотах к = 5.0, к2 =6.0. Рисунок 5.2.8 соответствует случаю 1Q=0.01, C1Q,6, LJ определяются с погрешностью порядка 1% при погрешности задания входных данных порядка Т «20%. На рисунке 5.2.9 - IQ = 0.1. Длина трещины определяется с большей погрешностью чем остальные ее параметры. С увеличением длины трещины погрешность восстановления do,0,Li сильнее зависит от точности входных данных. На рисунках. 5.2.10-5.2.12 представлены графики, определяющие зависимость точности восстановления параметров трещины при kj = 5.0, k2 = 6.0 от погрешности входных данных для приповерхностной трещины d0 =0.9 (рис.5.2.10), трещины с параметром заглубленности dQ = 0.4 (рис.5.2.11) и придонной трещины dg = 0.2(рис.5.2.12). Осуществлено сравнение результатов решения обратной задачи 1 в случаях определения длины трещины d0 =0.55,8 = 65%L! =5.4, 1 = 5.0,k2 =7.0 (рис.5.2.13) и угла наклона трещины d0 =0.55,9 = 65,L, =5.4, к, =5.0,к2 =7.0 (рис.5.2.14) при помощи МГЭ и на основе асимптотического подхода. Асимптотический подход при 1 0.2h характеристики трещины восстанавливает с погрешностью менее 1%, при этом, время счета сокращается в более чем 20 раз, по сравнению с МГЭ. 5.3 Асимптотический подход к решению плоской задачи для слоя с прямолинейной трещиной. Идентификация параметров трещины. Численная реализация. В случае плоской задачи поле смещений на верхней границе определяется выражением (2.4.2) при X3 = h Аналогично случаю задачи 1 для трещин, допускающих параметризацию вида (4.6.1) компоненты функции раскрытия с учетом малости длины трещины можно представить в виде Процедуру идентификации можно проводить аналогично задаче 1 по значениям амплитуд волновых полей, либо компонент перемещений на верхней границе слоя.
