Численное моделирование динамического контактного взаимодействия упругопластических тел Садовская Оксана Викторовна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Алгоритм численной реализации граничных условий контактного взаимодействия 32

1.1 Формулировка граничных условий контакта с учетом сил трения 32

1.2 Эквивалентность квазивариационного неравенства закону трения Амонтона - Кулона 37

1.3 Вычислительный алгоритм 43

Глава 2. Применение алгоритма в динамических задачах 50

2.1 Модель упругопластического деформирования при конечных поворотах 50

2.2 Одномерная схема с реконструкцией 54

2.3 Алгоритм двуциклического расщепления 56

2.4 Процедура корректировки напряжений 61

2.5 Тестовые расчеты 62

2.5.1 Задача о контакте упругого слоя с жесткой плоскостью 62

2.5.2 Задача о контакте упругопластического слоя с жесткой плоскостью 66

2.5.3 Задача о вдавливании жесткого цилиндрического штампа в упругую пластину 72

Глава 3. Результаты численных расчетов 76

3.1 Механическая обработка образца 76

3.2 Моделирование образования стружки в процессе обработки заготовки резанием 83

3.3 Волнообразование при сварке взрывом 93

3.3.1 Обзор основных результатов о механизме волнообразования 93

3.3.2 Задача о потере устойчивости слоя 95

3.3.3 Задача о бегущей нагрузке 98

3.3.4 Косое соударение пластин 99

Заключение 108

Литература 109

• Эквивалентность квазивариационного неравенства закону трения Амонтона - Кулона
• Алгоритм двуциклического расщепления
• Задача о вдавливании жесткого цилиндрического штампа в упругую пластину
• Моделирование образования стружки в процессе обработки заготовки резанием

Введение к работе

Динамические контактные задачи теории упругости и пластичности с заранее неизвестной, изменяющейся в процессе деформирования зоной контакта имеют широкую область приложений, связанную с исследованием процессов удара и пробивания преград, взрывной и гидровзрывной штамповки, механической обработки материалов и т. п. Как правило, при численном решении задач такого рода применяются явные по времени процедуры расчета контактных границ, что неизбежно приводит либо к пересечению деформируемых тел, либо к нарушению динамических условий в зоне контакта. Один из возможных подходов к моделированию контактного взаимодействия основан на формулировке граничных условий контакта с учетом сил трения в виде вариационных и квазивариационных неравенств. Такой подход позволяет строить итерационные процедуры, обеспечивающие выполнение дискретных ограничений в зоне контакта, условия неотрицательности нормального контактного давления и условия противоположной направленности векторов касательной скорости и касательного напряжения при проскальзывании.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов численной реализации граничных условий контактного взаимодействия деформируемых тел с заранее неизвестной зоной контакта, применение этих алгоритмов к решению задач динамического деформирования упру-гопластических тел, постановка и численное исследование модельных задач механической обработки металлов жесткими инструментами различной формы и задач косого соударения пластин при сварке взрывом.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе изложены постановка граничных условий контакта и алгоритм корректировки скоростей, разработанный для численной реализации этих условий. Во второй главе описан вычислительный алгоритм для исследования динамического деформирования упругоплас-тических тел. Рассмотрена простая геометрически нелинейная модель деформирования, учитывающая конечные повороты элементов тела при малых деформациях, и методика ее численного решения. Приведены результаты тестовых расчетов, иллюстрирующие работоспособность предложенного в предыдущей главе алгоритма в применении к динамическим задачам. В третьей главе представлены результаты численных расчетов некоторых двумерных контактных задач.

Механика контактного взаимодействия принадлежит к числу актуальных областей механики деформируемого твердого тела и трибологии. Ее развитие стимулируется в первую очередь запросами машиностроения, добывающих и перерабатывающих отраслей промышленности. Экономические потери от трения, износа и разрушения контактирующих элементов машин и иного оборудования огромны. Поэтому изучению процессов, сопровождающих контакт тел, уделяется большое внимание.

Впервые достаточно полный анализ напряжений при контакте двух упругих тел выполнил Г. Герц (1881 год). Занимаясь изучением ньютоновских оптических интерференционных колец в зазоре между двумя стеклянными линзами, он исследовал возможное влияние упругой деформации линз, обусловленной наличием контактного давления. Герц выдвинул гипотезу о том, что область контакта имеет в общем случае эллиптическую форму. Он разработал метод решения задач о соприкосновении упругих тел, позволяющий в ряде практически важных случаев получить аналитические решения. Идея метода состоит в том, что если область контакта мала по сравнению с характерными размерами соприкасающихся тел, то для вычисления локальных деформаций каждое тело можно с достаточной для практики точностью рассматривать как упругое полупространство, нагруженное по малой эллиптической области на его поверхности. Если же одно из соприкасающихся тел абсолютно жесткое, то его можно приближенно заменить эллипсоидом. Герцу удалось показать, что эллипсоидальное распределение контактных напряжений вызывает в контактирующих телах упругие перемещения, согласующиеся с предполагаемой эллиптической областью контакта.

Теория Г. Герца основана на следующих допущениях:

поверхности взаимодействующих тел гладкие и несогласованные;

деформации малы (а значит, применима линейная теория упругости);

размеры области контакта малы по сравнению с размерами каждого из контактирующих тел и с радиусами кривизны их поверхностей;

трение на поверхности контакта отсутствует.

Кроме статического нагружения Г. Герц исследовал также квазистатический удар упругих шаров (без учета трения), пренебрегая волновым движением в телах и предполагая, что каждое тело движется в любой момент времени со скоростью его центра масс. Такой удар может быть проиллюстрирован на примере столкновения двух жестких железнодорожных платформ, снабженных легкими пружинными буферами; деформация сконцентрирована в пружинах, инерцией которых можно пренебречь, а платформы движутся как твердые тела.

Теория Герца получила развитие в начале 20-го века в связи с техническими достижениями в железнодорожном транспорте, в создании судовых редукторов и подшипников качения. Прогресс механики контактного взаимодействия во второй половине 20-го столетия связан главным образом с отказом от принятых в теории Герца ограничений. Учет трения на поверхности контакта тел позволил построить в рамках теории упругости адекватное описание контактного взаимодействия со скольжением и качением. Развитие в это же время теорий пластичности и линейной вязкоупругости дало возможность исследовать напряженно-деформированное состояние контактирующих неупругих тел. Обзор основных результатов, посвященных решению контактных статических, квазистатических и динамических задач для упругих, вязкоупругих, термоупругих, жесткопластических и упругопластических тел, представлен в работах [1, 2].

Современные исследования по контактным задачам механики деформируемых сред касаются двух направлений. К первому направлению относятся задачи сопряжения сред с резко различающимися механическими свойствами (слоисто-неоднородные упругие и упругопластические тела, сопряжение твердых тел с жидкими или газообразными средами и т. п.). Как правило, границы области контакта в таких задачах заданы в процессе всего времени деформирования, а характерные специфические трудности численного исследования связаны с наличием особенностей решения типа пограничного слоя. Задачи с известной областью контакта решаются, в основном, методами теории функций комплексной перемен-

ной и теории потенциалов с использованием интегральных преобразований и парных интегральных уравнений, парных тригонометрических рядов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений и систем уравнений и пр. Применяются также численные методы исследования.

Ко второму направлению относятся контактные задачи с заранее неизвестными границами области контакта, а при наличии трения, кроме того, и границами зон проскальзывания и сцепления. При построении приближенных решений задач с неизвестными границами оказывается эффективным вариационный подход, в котором широко используются методы математического программирования (если в задачах нет явно выделенной переменной типа времени) и оптимального управления (в задачах с явно выделенным временем). Как правило, вариационная формулировка позволяет относительно просто установить существование и единственность решений задач, исследовать вопросы асимптотического поведения решений.

Вариационный подход к решению контактных задач основан на формулировке граничных условий контактного взаимодействия в виде вариационных или квазивариационных неравенств с односторонними ограничениями. Целесообразность использования неравенств в этих задачах объясняется тем, что искомая граница входит в вариационную постановку лишь неявно, как граница между областями "активных" и "пассивных" ограничений. Таким образом, не требуется каких-либо априорных предположений относительно топологии неизвестной границы, определяемой после решения задачи.

Идея подхода впервые сформулирована А. Синьорини в 1933 году в работе [3] при изучении задачи о равновесии упругого тела, соприкасающегося без трения с плоским абсолютно жестким основанием (штампом), под действием заданной системы сил. Вторично и с большей полнотой Синьорини изложил свои результаты в 1959 году [4]. Исследованная им задача сводится к минимизации функционала упругой энергии / на множестве полей перемещений, удовлетворяющих в области контакта ограничению un\_dQ < 0, где 9П - плоский участок границы упругого те-

ла Q, п - единичная внешняя нормаль к д1. Ограничение описывает условие непроникания точек тела внутрь штампа. Задача Синьорини эквивалентна вариационному неравенству J'_u (и* — и) > 0, где и ж и* принадлежат множеству К = {и* : u*n\_gQ < 0} допустимых вариаций решения, J'_u - вариация или слабая производная функционала 3.

Долгое время, вплоть до широкого использования вычислительной техники в конце 50-х - начале 60-х годов, эффективных методов численного решения задач с односторонними ограничениями не существовало, и потому интерес к задаче Синьорини и ее обобщениям проявлялся в основном теоретиками. Были доказаны различные теоремы о существовании решений - Г. Фикерой, Г. Дюво и Ж.-Л. Лионсом, X. Леви и др.; обзор этих работ можно найти в книге [5]. Наиболее весомый вклад в разработку проблемы с позиций функционального анализа и теории уравнений с частными производными был внесен, по-видимому, итальянским математиком Г. Стампаккья (обзор результатов Стампаккьи насчитывает более 80 наименований; см., например, [6]). Важные результаты исследований в области теории вариационных неравенств изложены и в работах других математиков [7 - 12].

Методы теории вариационных неравенств применялись к исследованию разрешимости контактных задач механики деформируемого твердого тела с неизвестной границей в работах А. С. Кравчука [13 - 15] (без учета сил трения) и [16] (с учетом трения). Так, например, в [16] приведены постановки квазистатической и динамической контактных задач в приращениях для общего случая граничных условий на поверхности контакта, а также доказательство существования и единственности обобщенного решения. Полученные Кравчуком результаты наиболее полно изложены в монографии [17].

После внедрения в практику научных исследований ЭВМ и развития численных методов стали развиваться методы практического построения решений. Один из общих подходов к построению численных методов решения задач, допускающих постановку в виде вариационных неравенств, сводится к двум этапам: аппроксимация дифференциального оператора

задачи и аппроксимация ограничения, определяющего множество допустимых вариаций решения. Аппроксимация оператора предполагает его замену дискретным (конечноразностным или конечноэлементным) аналогом. На этапе аппроксимации ограничения указывается явное выражение для комбинации искомых сеточных значений решения, удовлетворяющей ограничению задачи. Исходному неравенству приводится в соответствие дискретное вариационное неравенство, к решению которого можно применить численные алгоритмы выпуклого программирования. Альтернативный подход состоит в использовании процедуры явного выделения неизвестной границы, требующей итерационной перестройки разностной или конечноэлементной сетки в процессе счета. Как правило, в этом случае получаются вычислительные алгоритмы, обладающие высокой точностью, но предназначенные для решения довольно узкого класса задач. Существует третий подход, при котором сначала неизвестная граница определяется из некоторого интегрального или функционального уравнения, а затем решается задача в заданных областях. Необходимое уравнение для границы получается из условий согласования при помощи специального представления решения в склеиваемых областях (интегрального представления через функцию Грина, представления в виде рядов и т.п.). Если при численном решении не предъявляется повышенных требований к точности, то наиболее эффективными в силу своей универсальности оказываются методы, основанные на аппроксимации вариационной постановки задачи.

В монографии [18] собраны необходимые для обоснования численных методов теоретические результаты. Численным методам решения упру-гопластических задач на основе теории вариационных неравенств посвящены работы [19, 20], где используется метод локальных вариаций при исследовании контактной задачи о встречном прогибе двух упругих пластин, а также при решении задач упругопластического кручения призматических стержней. Влияние сил трения на поведение тел в зоне контакта в этих работах не учитывалось. Упругие и упругопластические контактные задачи с учетом трения рассматривались в [21 - 35].

Исторически первым и наиболее широко известным и используемым в расчетах является закон сухого трения Амонтона - Кулона (чаще называемый просто законом Кулона), связывающий касательные компоненты вектора усилий контактного взаимодействия с вектором скорости движения одного из контактирующих тел относительно другого. Рассмотрим, к примеру, задачу о контакте деформируемого тела с абсолютно жестким неподвижным штампом. В этом случае закон трения Амонтона - Кулона в области контакта (возможно, неизвестной заранее и определяемой в процессе решения) представляет собой совокупность следующих условий:

knr| < /krm|, ЄСЛИ V_r = 0,

" ' \<Г_пт\ = f\(T_nn\ И т—^- = -Г~, ЄСЛИ V_T ф 0.
{ \<Гпт\ \V_T\

Здесь а_пп и а_пт - нормальная и касательная составляющие вектора напряжений сг_п, действующего на площадке деформируемой поверхности' с нормалью п, / - коэффициент трения скольжения, v_r - касательная составляющая вектора скорости v = ди/dt, t - время или любой другой параметр, определяющий последовательность смены состояний деформируемого тела. Закон трения Кулона описывает как случай сцепления, когда v_T = 0, так и случай проскальзывания, когда выполняется равенство сг_пт/\(т_пт\ = —v_T/\v_T\. Этот закон был подвергнут обширной экспериментальной проверке; в настоящее время хорошо изучены пределы его применимости и известны многочисленные обобщения. Несмотря на ограниченность и схематичность закона Кулона, он во многих случаях дает удовлетворительные результаты по прогнозу усилий контактного взаимодействия соприкасающихся деталей машин и элементов сооружений, а также представляет собой хороший "полигон" для отработки математического аппарата исследования и решения конкретных задач с учетом трения. Одно из обобщений закона трения Амонтона - Кулона, использованное, в частности, в работах А. А. Ильюшина [36] и С. С. Григоряна [37], представляется в следующем виде:

Wnr\ < /|0"тгп| И ОДНОВрЄМЄННО \<Т_пт\ < T_s, ЄСЛИ V_T — 0,

&пт\ = /knnl ИЛИ \(T_nT\ = T_s, II —~ = -T-¹?, ЄСЛИ V_T ф 0,

\(Тпт\ \V_T\

где r_s - либо константа, либо функция деформаций и скоростей деформаций, имеющая смысл предела текучести материала на сдвиг.

По-видимому, первой работой по применению вариационного подхода к исследованию контактных задач теории упругости с учетом трения в строгой математической постановке была работа Г. Дюво и Ж.-Л. Лионса, опубликованная в 1971 году; полное изложение полученных результатов с некоторыми обобщениями дано в [8]. Одним из основных предположений работ Дюво и Лионса по данной проблеме является предположение о том, что нормальное давление в зоне контакта - известная функция координат точек поверхности тела; данное предположение было снято в работе А. С. Кравчука [16]. Следует отметить, что во многих практически интересных задачах взаимное влияние нормальных и касательных напряжений невелико: можно вначале определить нормальную компоненту а_пп вектора напряжений на контактной поверхности, считая трение нулевым, а после этого решать задачу об определении касательной компоненты а_пт, считая а_пп заданным. Более того, существуют случаи, когда задачи определения величин а_пп и а_пт разделяются точно; например, так будет в контактных задачах в постановке Герца, когда контактирующие тела заменяются полупространствами, причем коэффициенты Пуассона совпадают. Еще одним весьма существенным предположением теории, развитой Г. Дюво и Ж.-Л. Лионсом, является предположение о возможности использования в квазистатических задачах закона трения Амонто-на - Кулона с перемещениями вместо скоростей. Условия, при которых такое предположение допустимо, установлены Кравчуком [16].

Оригинальный подход к решению контактных задач с учетом трения развит в ряде работ А. В. Вовкушевского и Б. А. Шойхета (см., напр., [21]): величина а_пп предполагается заданной; задача сводится к минимизации функционала; варьируемые функции удовлетворяют условию непроникания; применяются теоремы о выпуклых функционалах, заданных на выпуклых множествах. Еще один подход заключается в интерпретации ограничения в контактной задаче с трением как ограничения в задаче о контакте деформируемых тел с идеальными односторон-

ними связями, но для случая, когда контактирующие поверхности имеют микрорельеф ("зубцы"). Такая интерпретация позволяет применять для решения задачи с трением методы, которые ранее были развиты для решения контактных задач без трения, но с микрорельефом. При решении контактных задач для тел с шероховатыми поверхностями обычно деформации микронеровностей, образующих шероховатость, моделируются включением между контактирующими поверхностями некоторого упругого слоя. В статье Вовкушевского [22] аналогичный подход используется для вариационной постановки в духе задачи Синьорини с трением, причем учитывается податливость слоя по направлениям нормали и касательной. Показано, что включение упругого слоя приводит к качественным изменениям исходной задачи и может рассматриваться как способ ее регуляризации.

В цикле работ Р. В. Гольдштейна и А. А. Спектора [23 - 27] исследуются контактные задачи с сухим трением при неизвестной границе между областями проскальзывания и сцепления. Задача определения касательных напряжений и смещений сводится к эквивалентной вариационной задаче на площадке контакта, что дает возможность получить ее эффективное численное решение в трехмерном случае. Устанавливается существование решения, а в статическом случае и его единственность. Рассматриваются статическая задача о контакте двух упругих тел из одинаковых материалов и квазистатическая задача о стационарном качении упругого тела по основанию из того же материала. Исследуется также поведение во времени решения нестационарной задачи о взаимодействии движущегося упругого тела и упругого основания; для этой задачи доказывается, что поля касательных напряжений трения и скоростей проскальзывания со временем стремятся к стационарным. Строятся вариационные оценки решений задач с неизвестной площадкой контакта и задач о трещинах с частично налегающими поверхностями. Предполагается, что развитие трещины сопровождается образованием областей, где ее поверхности приходят в контакт. В неизвестных заранее зонах налегания имеется трение с коэффициентом, зависящим от нормального

давления и величины относительного касательного смещения поверхностей. Рассматривается вариационная задача минимизации негладких неквадратичных функционалов, зависящих от скачков смещений в области разреза. Устанавливаются некоторые свойства решения задачи, а также качественные результаты о зависимости его интегральных характеристик от формы трещины и параметров закона трения.

В статье Ю. И. Няшина и С. А. Чернопазова [28] развивается вариационный подход к решению упругой контактной задачи с учетом трения, подчиняющегося закону Кулона. Рассматривается квазистатический процесс деформирования упругого тела. В связи с трудностями при исследовании разрешимости задач с трением, область контакта считается известной и не изменяющейся при нагружении. Исследуется влияние касательных перемещений на контактное давление. Формулируются достаточные условия, при выполнении которых это влияние отсутствует. С помощью оператора влияния перемещений на контактное давление доказывается существование и единственность обобщенного решения вариационной постановки задачи. 3. Досталь и В. Вондрак в [29] представили метод численного решения квазивариационных неравенств, описывающих равновесие упругих тел в контакте с трением. Задача сводится к последовательности хорошо обусловленных задач с заданным трением, которые переформулируются в задачи квадратичного программирования с ограничениями. Затем алгоритм решения этих задач применяется к решению результирующей контактной задачи с кулоновым сухим трением.

Классический закон трения Кулона не учитывает направления контактных касательных напряжений. На практике же часто встречаются случаи, когда нужно уменьшить или увеличить силы трения в одном из направлений. Для этого применяются специальные покрытия или специальная обработка контактирующих поверхностей. К примеру, в статье В. А. Дурнева [30] излагается постановка задачи упругости с односторонними связями при несимметричном кулоновском трении, рассматриваются итерационные методы ее решения с помощью аппарата идеальных односторонних связей без учета последовательности загружения.

Большой класс задач составляют задачи для тел с учетом пластических деформаций; основополагающими здесь являются работы Р. Хил-ла [38], П. П. Мосолова и В. П. Мясникова [39]. Идеи и методы А. С. Кравчука в применении к упругопластическим контактным задачам используются в цикле работ В. И. Кузьменко [31 - 34], а также в статье Ю. И. Ня-шина и С. А. Чернопазова [35]. Так, например, в работах Кузьменко рассматриваются задачи определения напряженно-деформированного состояния упругопластического тела при контактном взаимодействии с жестким штампом. Исследуется квазистатический процесс деформирования при малых перемещениях и деформациях. Накладывается требование взаимного непроникания тела и штампа, а также требование отсутствия растягивающих напряжений на контактной поверхности. Для описания касательного взаимодействия тела и штампа используется закон трения Амонтона - Кулона; допускается, что шероховатость контактирующих поверхностей может быть различной в различных точках; поэтому коэффициент трения, характеризующий шероховатость поверхностей, считается функцией положения точки. С точки зрения касательного взаимодействия поверхность возможного контакта деформируемого тела и штампа можно в каждый момент времени разбить на три части: на одной из частей контакт отсутствует, на второй части происходит сцепление контактирующих поверхностей, а на третьей осуществляется контакт и взаимное скольжение поверхностей тела и штампа. Линии раздела трех указанных областей заранее неизвестны и должны быть определены при решении задачи. На остальной части поверхности деформируемого тела заданы переменные нагрузки и перемещения. Показано, что исходная контактная задача в обобщенной постановке эквивалентна некоторому квазивариационному неравенству относительно скоростей перемещений. Исследуются вопросы существования и единственности решения неравенства. Излагается методика численного решения: дискретизация квазивариационного неравенства по времени, в результате чего получается последовательность вариационных неравенств, решение которых сводится к поиску минимумов квадратичных функционалов на множествах допус-

тимых функций; дискретизация экстремальных задач при помощи метода конечных элементов; решение возникающих конечномерных задач нелинейного программирования с использованием обобщенного метода последовательной верхней релаксации. Приводится пример решения задачи контактного взаимодействия кусочно-однородной упругопластической полосы и выпуклого штампа. Численно получены эпюры контактного давления и конфигурации пластической зоны в различные моменты времени при различных траекториях движения штампа. В процессе счета обнаружено, что, несмотря на значительное различие зон пластических деформаций в процессе деформирования, в окончательном положении штампа размеры и форма пластических областей, соответствующих различным траекториям движения штампа, достаточно близки. В работе Няшина и Чернопазова [35] рассматривается дифференциальная и вариационная постановка квазистатической задачи контактного взаимодействия упруго-пластического тела с жесткой опорой. В качестве определяющих соотношений приняты уравнения теории пластического течения с изотропным упрочнением, являющиеся частным вариантом теории упругопластичес-ких процессов А. А. Ильюшина. Приводится доказательство существования и единственности обобщенного решения. В [40] рассмотрены математические аспекты квазистатической контактной задачи об ударе торца прямолинейного стержня о поперечную преграду. Построена модель задачи, основанная на законе течения Прандтля - Рейсса. Приведены две вариационные постановки задачи, первая - в терминах напряжений и скоростей, вторая - в напряжениях. Применен подход, в котором использована вязкая регуляризация решения. Существование и единственность решения установлены с помощью теории эволюции решений и методов выпуклого анализа. Приведены некоторые априорные оценки приближенных решений. Кроме того, регуляризация вязкоупругопластической задачи может рассматриваться как основа численного анализа, для этого предложен алгоритм, сходимость которого подтверждена.

Под руководством Н. X. Арутюняна выполнен цикл работ по решению контактных задач для растущих деформируемых тел, обладающих

сложными реологическими свойствами; результаты подытожены в монографиях [41, 42], где излагаются основы механики растущих тел применительно к задачам взаимодействия последовательно возводимых сооружений с деформируемыми основаниями, действия штампов на массивные тела изменяющейся вследствие наращивания конфигурации, контакта деформируемых тел в процессах типа напыления, осаждения, фазовых превращений, намораживания и т. п. А. А. Спектором [43], И. Г. Горячевой и М. Н. Добычиным [44], В. М. Александровым и Е. В. Коваленко [45, 46] и рядом других авторов развивается направление по учету износа контактирующих поверхностей.

Вариационный подход к решению контактных задач с неизвестными границами для оболочек и пластин предложен в работах Г. И. Львова [47] и А. М. Хлуднева [48 - 58]. В [47] с применением вариационных неравенств задача о взаимодействии тонкой пологой оболочки с абсолютно жестким штампом без учета трения в области контакта сводится к задаче минимизации функционала Лагранжа на множестве допустимых перемещений; доказываются существование и единственность решения при определенных допущениях о свойствах диаграммы деформирования. В статьях А. М. Хлуднева [48 - 54] доказана разрешимость широкого класса упругопластических краевых задач, формулируемых с использованием вариационных неравенств; подробно исследована проблема оптимального управления в контактных задачах типа Синьорини для пластин и оболочек. Так, например, в [50] рассмотрена квазистатическая задача упругопластического деформирования оболочек, а в [52] - задача о контакте упругопластической пластины с жестким штампом в точной постановке; для доказательства существования решения вариационного неравенства в [52] предложена процедура введения штрафных операторов; исследована связь между задачей о контакте упругопластической пластины со штампом и контактной задачей для жесткопластической пластины. В [55 - 58] решаются задачи деформирования упругих и неупругих тел, содержащих трещины. На берегах трещины задается краевое условие, имеющее вид неравенства и моделирующее условие взаимного непрони-

кания берегов. Найден полный набор естественных краевых условий в виде системы равенств и неравенств, выполняющихся на берегах трещины. Предложенный подход отличается от классического, в котором краевые условия на берегах трещины имеют вид равенств.

Численному решению вариационных неравенств посвящены работы В. А. Ковтуненко [59 - 61], в которых с помощью метода штрафа дифференциальные неравенства аппроксимируются нелинейными дифференциальными уравнениями, линеаризуемыми итерационными методами. В [59] рассмотрено классическое вариационное неравенство, описывающее задачу о контакте упругой пластины с жестким препятствием, предложены итерационные методы аппроксимации данного неравенства с использованием оператора штрафа, доказаны результаты о сходимости решений и найдены оценки погрешности. Проведен ряд численных экспериментов по изучению поведения упругой квадратной пластины, защемленной по краям и находящейся под действием жесткого препятствия. Неизвестная область контакта пластины с препятствием находится после определения нормального прогиба пластины; рассматривается зависимость прогиба, контактных усилий и изгибающих моментов от нагрузки. В [60] рассмотрена система вариационных неравенств, описывающая контакт упругопластической пластины Кирхгоффа, жестко защемленной по краям, с жестким штампом при неизвестных границах области контакта и зоны пластичности. В [61] исследуется задача равновесия упругопластической балки, шарнирно закрепленной по краям, под действием жесткого штампа. Для описания поведения материала используется модель пластического течения. Итерационно построена система линейных дифференциальных уравнений и доказана сходимость ее решения к решению исходной задачи. Численные расчеты по построенной схеме проиллюстрированы на модельных примерах.

Другим перспективным подходом к анализу вариационных неравенств является использование операторов проектирования. Такие проекторы построены, к примеру, в ряде одномерных задач для моделей упругой балки с поперечным разрезом при условии взаимного непроникания бе-

регов разреза [62]. Это позволило свести вариационные неравенства к дифференциальным уравнениям и получить их аналитические решения. При помощи полученных решений определены основные характеристики состояния балки. Для конкретных функций внешних сил приведены примеры точных решений. Исследована также задача выбора оптимальных разрезов по кинематическому и силовому критериям.

До сих пор речь шла, в основном о статических и квазистатических контактных задачах. Решения динамических контактных задач используются при расчетах фундаментов, гидротехнических сооружений, а также многих деталей машин на действие динамической нагрузки.

Стационарная динамическая контактная задача для абсолютно жесткого штампа, движущегося с постоянной дозвуковой скоростью вдоль границы упругой полуплоскости, в рамках классической линейной теории упругости исследована впервые Л. А. Галиным [63]; им получено точное решение этой задачи. Это одно из немногих точных решений в динамических контактных задачах с заранее неизвестной зоной контакта. В монографии [64] рассмотрено качение вязкоупругого цилиндра по вязкоупругой полуплоскости в наиболее общем случае, когда площадка контакта имеет участки с трением и сцеплением. Л. А. Галин [64] исследовал также задачу о напряженном состоянии, возникающем в упругом теле при вдавливании в него одного или нескольких движущихся с постоянной скоростью штампов произвольной формы с учетом трения Кулона. При решении контактных задач им использованы методы теории функций комплексного переменного и теории потенциалов.

Исследованию нестационарных динамических задач с изменяющейся в процессе деформирования областью контакта посвящено большое число работ. Так, например, в статье А. И. Гулидова и В. М. Фомина [65] рассматриваются контактные задачи о продольном ударе цилиндрического и усеченного конического стержней об абсолютно твердую преграду в двумерной постановке. Численно моделируется процесс отскока упруго-пластического стержня конечной длины от преграды с помощью модифицированного метода М. Л. Уилкинса. Проведенные серии расчетов при

различных скоростях соударения позволили выяснить картину распространения упругопластических волн и проанализировать явление отскока. Сравнение результатов расчетов для стержней различной формы показало, что даже при малых углах конусности время отскока от преграды усеченного конического стержня существенно отличается от времени отскока цилиндрического стержня. Это явление связано с процессом кумуляции упругой волны нагрузки и разгрузки из-за изменения площади сечения и их взаимодействия с падающей пластической волной. В работе В. Г. Ковалева и В. М. Косенкова [66] изложены постановка, метод и результаты решения задачи о контактном взаимодействии вложенных друг в друга толстостенных упругопластических цилиндров конечной длины под действием импульсной нагрузки на внутреннюю поверхность внутреннего цилиндра. На основе разработанного алгоритма исследовано влияние закона нагружения, толщины внутреннего цилиндра, начальной величины и формы зазора между цилиндрами, наличия в зазоре газа на величину остаточных деформаций цилиндров. В статье Е. В. Коваленко и В. Б. Зеленцова [67] рассмотрены контактная задача об антиплоском сдвиге штампом упругого полупространства и плоская задача о вдавливании штампа в упругую полуплоскость. Для решения этих неустановившихся динамических задач применяются преобразования Лапласа -Карсона по времени и Фурье по пространственной координате; в результате задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Получены простые аналитические решения для больших и малых времен взаимодействия штампа с полупространством.

Важными особенностями задач проникания жестких ударников в деформируемые преграды являются ярко выраженный волновой характер решения и большие деформации, испытываемые преградой. Много работ посвящено экспериментальному исследованию динамических задач проникания. Однако наиболее детальная картина процессов взаимодействия ударников с деформируемыми преградами может быть получена лишь с помощью численного решения подобных задач на основе различных реологических моделей и последующего сопоставления с результатами экс-

периментов для уточнения математической модели. Сложный характер этих задач представляет весьма жесткие требования к выбору численного метода их решения, выбору независимых переменных и т. п. В частности, для больших глубин внедрения использование традиционных лагранжевых переменных приводит к сильному искажению разностной сетки и необходимости ее периодической перестройки (что может приводить к заметному снижению точности). Использование фиксированных в пространстве эйлеровых координат приводит к трудностям в постановке граничных условий на поверхности преграды и необходимости выбора большого числа узлов разностной сетки для получения приемлемой точности при сквозном расчете без явного выделения поверхности преграды. В статье В. И. Кондаурова, И. Б. Петрова и А. С. Холодова [68] рассматривается осесимметричная задача проникания абсолютно жесткого тела вращения в упругопластическую преграду. Для описания поведения деформируемой преграды под действием динамических нагрузок используется система уравнений, включающая уравнения движения и реологическое уравнение Прандтля - Рейсса для однородного изотропного упруго-идеально-пластического материала, подчиняющегося условию пластичности Мизеса, а также соответствующие начальные данные и граничные условия. Учитываются конечные деформации среды. В численных расчетах используется подвижная система координат, связанная с верхней и нижней границами преграды, и сеточно-характеристический метод сквозного счета, позволяющий естественным образом строить вычислительный алгоритм вблизи границ области интегрирования, а также в определенной мере учитывать область зависимости и волновой характер искомого решения. Проведены расчеты процессов соударения абсолютно жестких цилиндрических ударников, имеющих конические головные части, с деформируемыми преградами конечной толщины для различных параметров, определяющих задачу. Важной особенностью задачи является сильное влияние на решение радиальных волн разгрузки. Возможен отскок ударника, потеря контакта между достаточно тонким ударником и толстой преградой еще до того, как придет отраженная от тыльной

стороны преграды волна растяжения, исключительно за счет действия радиальных волн разгрузки. Для прогнозирования областей возможных разрушений рассчитывались поля максимальных главных напряжений и плотности работы напряжений на пластических деформациях. Выяснилось, что область разрушений сдвига наиболее вероятна у острия и краев конуса, а разрушение, обусловленное действием растягивающих напряжений, может локализоваться у тыльной поверхности преграды после взаимодействия с этой преградой ударной волны сжатия.

Воздействие взрывных и ударных нагрузок на металлические образцы и конструкции различной формы в большинстве случаев реализуется в условиях несимметричного нагружения. Теоретические исследования пространсвенных задач несимметричного динамического взаимодействия контактирующих тел связаны с большими трудностями. В то же время характерные особенности деформирования и разрушения твердых тел при несимметричном взаимодействии можно качественно проследить теоретически в плоской постановке. Так, в работе И. Е. Хорева, В. А. Горе льского, С. А. Зелепугина и В. Ф. Толкачева [69] проведено численное моделирование кратерообразования и разрушения плоских преград методом конечных элементов в двумерной постановке. Соударяющиеся тела описываются сжимаемой упруговязкопластической "средой, поведение которой при динамических нагрузках характеризуется модулем сдвига, динамическим пределом текучести и вязкостью. Проведено исследование процесса взаимодействия стального плоского ударника со стальной пластиной при различных скоростях соударения. Изучены конфигурации взаимодействующих тел, поля скоростей в них, а также распределения изолиний удельного объема трещин, описывающих характер разрушения преграды в процессе проникания ударника. Сравнение с экспериментальными данными показало, что расчеты, проведенные для плоского случая, качественно верно отражают существенно трехмерный процесс взаимодействия ударников с преградами при ударе под углом.

В работах [70, 71] проведен численный анализ пространственной задачи несимметричного контактного взаимодействия упругопластическо-

го тела вращения (стального цилиндра) с жесткой стенкой [70], а также задачи соударения деформируемых разноплотных тел (медного цилиндра со стальной пластиной) [71] при различных скоростях удара и углах встречи. На контактной поверхности между ударником и преградой реализуется условие скольжения. Используемая в [71] модель материала, в отличие от модели [70], учитывает разрушение и температурные эффекты. Для решения задач применяется метод конечных элементов. Анализ полученных результатов позволил выделить четыре характерные стадии процесса взаимодействия деформируемого цилиндра с жесткой стенкой: деформация передней части и изгиб ударника; движение цилиндра вдоль преграды с его одновременным вращением; удар тыльным концом по препятствию и его деформация; скольжение ударника по стенке с последующим отходом от нее. Данные стадии по-разному выражены для тех или иных углов соударения как в качественном и количественном отношении, так и по продолжительности их действия.

Дискретно-вариационный метод построения моделей для компьютерного моделирования нелинейных динамических процессов деформирования и разрушения однородных и композиционных материалов и элементов конструкций предложен в работах В. Д. Кошура и др. [72, 73]. Ими разработан вычислительный алгоритм для моделирования двух- и трехмерных динамических контактных взаимодействий деформируемых тел с учетом упругопластического деформирования и разрушения материалов.

В статьях А. И. Гулидова и др. [74 - 76] разработан численный алгоритм для решения задач высокоскоростного взаимодействия упругоплас-тических тел в двумерном случае. В качестве одного из примеров применения алгоритма рассмотрена задача о пробитии алюминиевых преград свинцовой пулей. Численно обнаружено, что процесс пробивания существенно зависит от типа преграды (монолитная преграда, преграда с контактирующими слоями, преграда с разнесенными слоями).

В статье А. Б. Киселева [77] показано, что для определения предела прочности материала можно использовать з-ксперименты по откольному разрушению при плоском соударении металлических пластин. Предел

прочности определяется в результате сравнения данных единичного расчета процесса соударения на ЭВМ с данными эксперимента.

В работах В. В. Алехина, С. Н. Коробейникова и др. [78 - 80] представлен численный алгоритм для решения геометрически и физически нелинейных статических и динамических контактных задач методом конечных элементов. Сначала определяются геометрически взаимные проникновения контактирующих тел; затем из решения уравнений равновесия (движения) определяются контактные силы, препятствующие этим проникновениям, или методом множителей Лагранжа, или методом штрафных функций. Приводятся результаты тестовых расчетов для трехмерных контактных задач. В. В. Егуновым и А. Б. Конюховым [81] разработана методика численного моделирования квазистатического и динамического контактного взаимодействия упругопластических тел на основе метода конечных элементов, неявных схем интегрирования по времени (схемы Хаболта и Ньюмарка) и метода штрафных функций.

В динамических задачах граничные условия контакта с учетом сил трения могут быть сформулированы в виде квазивариационных неравенств. В работах А. С. Кравчука [16, 17], как уже упоминалось ранее, приведена постановка динамической контактной задачи в приращениях для общего случая граничных условий на поверхности контакта, а также доказательство существования и единственности обобщенного решения. В [82] рассмотрены модели контактного взаимодействия твердых деформируемых тел как без трения, так и с учетом трения по различным теориям. Особое внимание уделено новой модели, учитывающей силы адгезионного сцепления. Эта модель, по существу, представляет собой теорию разрушения, в том числе с учетом вязкости. Алгоритмы базируются на идеях теории оптимизации.

Один из общих подходов к исследованию динамических задач в рамках теории упругопластического течения Прандтля - Рейсса основан на формулировке определяющих соотношений необратимого деформирования в виде принципа максимума скорости диссипации энергии (см. [8, 11]). Этот подход развивается в работах Б. Д. Аннина и В. М. Садовско-

го [83 - 85]. Для описания процесса упругопластического деформирования вводится вариационное неравенство с линейным оператором гиперболического типа. Граничные условия контактного взаимодействия тел формулируются в виде квазивариационных неравенств с односторонними ограничениями. Предложен алгоритм численного решения динамических задач, первый этап которого состоит в расчете на один шаг по времени вспомогательного решения системы дискретных уравнений, аппроксимирующих систему уравнений динамической теории упругости, а второй этап - в корректировке решения, включающей в себя процедуру вычисления проекции определенной комбинации основного и вспомогательного решений на множество допустимых вариаций. В упругоплас-тических задачах этот алгоритм обеспечивает автоматическое выполнение в зоне необратимой деформации условия пластичности и условия положительности скорости диссипации энергии. Предложенные способы корректировки решения можно рассматривать как обобщение процедуры корректировки М. Л. Уилкинса, обладающее по сравнению с этой процедурой меньшей дополнительной (схемной) диссипацией энергии и большей точностью. В качестве примера применения алгоритмов корректировки решения к исследованию геометрически нелинейных задач в [83, 85] рассмотрена контактная задача динамического деформирования упругопластической плиты (как однородной, так и слоистой) на оправке произвольной формы. Разработана модель деформирования слоя при малых деформациях и произвольных по величине поворотах элементов. Как внутренние граничные условия на поверхности контакта соседних слоев плиты после расслоения, так и граничные условия контакта нижнего слоя с оправкой сформулированы в виде квазивариационных неравенств с ограничениями на допустимые перемещения. Трение на поверхности контакта не учитывалось. Представлены результаты расчетов динамики однородных и слоистых плит под действием импульсной нагрузки взрывного типа.

В статье Г. Сзефера [86] рассмотрена динамическая контактная задача при учете больших перемещений и конечных деформаций. Для учета

граничных условий вводится сингулярная контактная поверхность, позволяющая вводить различные виды граничных условий: прилипание, скольжение с законом трения Кулона, потеря контакта. Граничное условие является обобщением условия А. Синьорини для случая больших деформаций. Приводится вариационная постановка задачи. Для этой цели используется принцип виртуальных работ с учетом смешанного эйлерово-лагранжева подхода. Разработан итерационный метод решения'задачи, позволяющий учесть геометрическую нелинейность.

Данная работа посвящена численному моделированию динамического контактного взаимодействия упругопластических тел.

В первой главе диссертационной работы изложены постановка граничных условий контактного взаимодействия и алгоритм корректировки скоростей, разработанный для численной реализации этих условий.

В первом параграфе контактные условия с учетом сил трения формулируются в виде квазивариационного неравенства, содержащего допустимые вариации неизвестных векторов скоростей точек в зоне контакта, как для случая взаимодействия деформируемого тела и жесткого штампа, так и для случая двух деформируемых тел. Это неравенство соответствует механическому принципу, согласно которому виртуальная мощность нормального напряжения в зоне контакта, равная разности между мощностью поверхностных напряжений и мощностью сил трения, принимает минимальное значение на действительных скоростях. Скорости удовлетворяют геометрическому ограничению, представляющему собой условие непроникания взаимодействующих тел друг в друга.

Во втором параграфе показана эквивалентность квазивариационного неравенства, описывающего контактное взаимодействие, обобщенному закону трения.

В последнем, третьем параграфе первой главы приведен алгоритм численной реализации квазивариационного неравенства в каждой граничной ячейке сеточной области. Аппроксимация неравенства и ограничения позволяет получить дискретный принцип минимума. На основе этого принципа в тех граничных ячейках сеточной области, где возможен

контакт, строится сходящийся итерационный процесс последовательного вычисления векторов скорости и векторов, определяющих направление скольжения, как проекций некоторых вспомогательных векторов на выпуклые и замкнутые множества специального вида. Если при реализации контактных условий силы трения не учитываются, то итераций не требуется. В этом случае алгоритм сводится к определению вспомогательных векторов скорости из условия равенства нулю напряжений в зоне контакта и последующей совместной корректировке этих векторов с целью удовлетворения ограничению.

Вторая глава посвящена разработке вычислительного алгоритма для исследования динамического деформирования упругопластических тел в двумерной постановке. Рассмотрена простая геометрически нелинейная модель деформирования, учитывающая конечные повороты элементов тела при малых деформациях, и методика ее численного решения. Представлены также результаты тестовых расчетов, иллюстрирующие работоспособность предложенного в предыдущей главе численного алгоритма в применении к динамическим контактным задачам.

В первом параграфе описана модель упругопластического деформирования, предложенная в работе Б. Д. Аннина и В. М. Садовского [83]. Она основана на разложении тензора градиентов деформации, определяющего линейное преобразование элемента тела из отсчетного состояния в актуальное, в произведение ортогонального тензора конечного поворота и симметричного тензора, компоненты которого в предположении малости деформаций отождествляются с компонентами единичного тензора. Эта модель состоит из уравнений движения, закона Гука для упругих составляющих деформации, принципа максимума скорости диссипации энергии, описывающего процесс пластического формоизменения, и уравнения для угла поворота. Переход материала из упругого состояния в пластическое определяется условием пластичности Мизеса. Объемная деформация происходит по линейному упругому закону. Зависимость предела текучести и параметров упругости от величины механических напряжений и температуры не учитывается.

В последующих параграфах главы изложена методика численного решения данной модели, основанная на комбинации метода двуцикличес-кого расщепления по пространственным переменным, на каждом этапе которого решаются четыре одномерные задачи с помощью монотонной ENO-схемы второго порядка точности, и специальной процедуры корректировки напряжений, позволяющей учесть необратимые деформации.

Во втором параграфе описана монотонная ENO-схема решения одномерных задач, являющаяся уточнением схемы распада разрыва С. К. Годунова. В этой схеме на шаге "предиктор" инварианты Римана определяются методом характеристик как кусочно-линейные сплайны. Для определения производных от инвариантов используется итерационный процесс с предельной реконструкцией, предложенный в статье В. Ф. Ка-менецкого и А. Ю. Семенова [87]. Реконструкция сводится к нахождению монотонных кусочно-линейных сплайнов, имеющих минимальные разрывы на границах соседних ячеек.

В третьем параграфе описан метод двуциклического расщепления по пространственным переменным второго порядка точности, позволяющий свести многомерную задачу к последовательности одномерных задач. Этот метод предложен И. В. Фрязиновым [88]. Отмечено, что на этапах расщепления имеется произвол в постановке граничных условий одномерных задач. Так, при расчете вращения тела как твердого целого следует на отдельных этапах расщепления задавать специальные фиктивные граничные условия, которые в совокупности обладают суммарной аппроксимацией условий границы, свободной от напряжений. Неверная формулировка условий приводит в процессе счета к появлению напряжений, превосходящих предел текучести материала. Вид соответствующих условий найден посредством анализа метода расщепления при решении геометрически линейной задачи.

В четвертом параграфе описана процедура корректировки напряжений (см. [85]), которая получается путем аппроксимации определяющих соотношений необратимого пластического течения материала. Известный вариант такой процедуры предложен М. Л. Уилкинсом [89].

В. М. Садовским [85] разработана корректировка, позволяющая сохранить второй порядок точности схемы.

В пятом параграфе второй главы приведены результаты тестовых расчетов. Тестирование проводится на одномерных задачах об отражении толстых упругого и упругопластического слоев от абсолютно жесткой плоскости. Результаты сравнения численных расчетов с точными решениями, построенными методом характеристик с помощью соотношений на разрывах, представлены в работе графически. Рассматривается также двумерная модельная контактная задача о медленном вдавливании жесткого цилиндрического штампа в упругую пластину, лежащую на жесткой плоскости. Численное решение сравнивается с решением статической задачи Герца для жесткого цилиндра и упругого полупространства или с решением задачи Герца для жесткого цилиндра и тонкого упругого слоя - в зависимости от толщины пластины. Получено хорошее соответствие результатов.

В третьей главе диссертации представлены результаты численных расчетов некоторых двумерных контактных задач, полученные посредством изложенной в двух предыдущих главах вычислительной методики.

В первом параграфе рассматривается задача механической обработки образца прямоугольного сечения двумя абсолютно жесткими цилиндрическими инструментами. С учетом симметрии задачи, численный анализ проводится только для половины деформируемого образца. Граничные условия задаются следующим образом: нижняя граница области решения - зона контакта с инструментом, верхняя - ось симметрии, левая граница свободна от напряжений, а правая движется с заданной скоростью. Расчеты выполнены на основе геометрически линейной модели Прандтля -Рейсса. Приведены графики с изображением конфигураций пластических зон и линий уровня напряжений в различные моменты времени, полученные без учета и с учетом трения.

Во втором параграфе моделируется процесс обработки металлической заготовки резанием, сопровождающийся образованием стружки. Считается, что заготовка, представляющая собой упругопластическую полосу,

движется с постоянной скоростью и рассекается жестким инструментом в форме клина со скругленной кромкой режущего лезвия на две части -стружку и обработанную деталь. В отличие от задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе, геометрически линейная модель, основанная на предположении о малости деформаций и поворотов элементов тела, в данном случае неприменима, поскольку угол раствора клина может быть достаточно большим и, следовательно, необходимо учитывать конечные повороты при моделировании стружки. Поэтому в расчетах используется геометрически нелинейная модель. Задача решается в лагранжевых переменных. Задаются следующие граничные условия: левая, правая и верхняя границы области решения свободны от напряжений, а нижняя граница движется с заданной скоростью в горизонтальном направлении. Вдоль линии разделения заготовки на стружку и обрабатываемую деталь вводится двойная сетка, в узлах которой ставятся либо условия склейки, либо условия контакта с жестким инструментом - в зависимости от расстояния до режущей кромки в данный момент времени.

Проведены численные расчеты для стальной заготовки при различных углах раствора режущего клина и различных коэффициентах трения. Представлены графики с изображением пластических зон и изолиний напряжений. Угол наклона пластической зоны и расчетная величина интенсивности деформации сдвига в зоне стружкообразования сравнивались с углом и величиной интенсивности, найденным по схеме простого сдвига. Анализ результатов показал, что в процессе резания в зоне пластичности преобладает сдвиговая деформация.

В третьем параграфе моделируется косое соударение двух деформируемых пластин. Задача косого соударения имеет важное прикладное значение в связи с исследованием процесса сварки металлов взрывом. Как правило, этот процесс сопровождается образованием периодических волн на границе раздела пластин. Существует механическая гипотеза М. А. Лаврентьева и А. Ю. Ишлинского, согласно которой появление волн связано с потерей устойчивости поверхностного слоя пластин под действием больших сжимающих напряжений в окрестности зоны кон-

такта аналогично потере устойчивости продольно сжатого стержня. В соответствие с этой гипотезой необходимым условием образования волн является превышение критической эйлеровой нагрузки сжимающими напряжениями в продольном направлении.

Численные расчеты показали, что модель динамического деформирования с учетом конечных поворотов удовлетворительно описывает механическую потерю устойчивости. В работе представлены результаты решения вспомогательной задачи о потере устойчивости упругопласти-ческого слоя при превышении сжимающими напряжениями эйлеровой нагрузки. Численно получены различные формы потери устойчивости.

В задаче о косом соударении пластин граничные условия задаются следующим образом: нижняя граница метаемой пластины и верхняя граница неподвижной - зоны возможного контакта, нижняя граница неподвижной пластины закреплена, а остальные части границ обеих пластин свободны от напряжений. Проведена серия численных расчетов для различных комбинаций металлов. Варьируется угол соударения и скорость точки контакта. На рисунках приведены пластические зоны и линии уровня напряжений, а также графики зависимости деформации обжатия от продольной координаты, иллюстрирующие волнообразный характер границы контакта.

Анализ результатов расчетов показал, что конфигурация зоны пластичности существенно зависит от скорости точки контакта: если эта скорость больше максимальной из скоростей пластических волн взаимодействующих металлов, то зона концентрируется за точкой контакта; если же эта скорость меньше минимальной скорости пластических волн, то зона забегает вперед. Для более детального исследования пластической зоны при различных скоростях точки контакта рассматривается вспомогательная задача о бегущей нагрузке. Проведенные численные расчеты подтверждают гипотезу В. М. Корнева и И. В. Яковлева о том, что при скоростях точки контакта, меньших скорости распространения пластических волн, зона пластичности охватывает некоторую область впереди точки контакта.

Автору диссертационной работы принадлежат следующие результаты. Разработка и обоснование алгоритма численной реализации граничных условий контактного взаимодействия деформируемых тел с учетом сил трения, обеспечивающего выполнение геометрических и динамических ограничений в зоне контакта; численное исследование механизма стружкообразования при обработке металлической заготовки абсолютно жестким клиновидным инструментом; численное обоснование известной гипотезы о забегании пластической зоны вперед по отношению к точке контакта при скорости этой точки, меньшей скорости пластических ударных волн, и подтверждение взаимосвязи волнообразования при сварке металлов взрывом и механической потери устойчивости поверхностного слоя в окрестности точки контакта.

Результаты работы докладывались на XXXIV и XXXV Международт ных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1996 г. и 1997 г.); конференциях молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1997 г. и 1999 г.); Международных конференциях "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997 г. и 2001 г.); Втором Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1998 г.); Второй и Третьей Сибирских школах-семинарах "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1998 г. и 1999 г.); Международной конференции "Mathematics in applications", посвященной академику С. К. Годунову (Новосибирск, 1999 г.); Международной конференции "Синергетика. Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях" (Комсомольск-на-Амуре, 2000 г.). В целом работа докладывалась на семинарах "Математическое моделирование в механике" ИВМ СО РАН.

Исследования по теме диссертации проводились при финансовой поддержке Грантового центра при Новосибирском государственном университете (проект № 21, 1996-1997 гг.), Красноярского краевого фонда науки (грант 8F0022, 1999 г.) и Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 97-01-00434, 99-01-00453, 01-01-06319, 01-01-00921).

Основные результаты опубликованы в работах [90 - 102].

Эквивалентность квазивариационного неравенства закону трения Амонтона - Кулона

В пятом параграфе второй главы приведены результаты тестовых расчетов. Тестирование проводится на одномерных задачах об отражении толстых упругого и упругопластического слоев от абсолютно жесткой плоскости. Результаты сравнения численных расчетов с точными решениями, построенными методом характеристик с помощью соотношений на разрывах, представлены в работе графически. Рассматривается также двумерная модельная контактная задача о медленном вдавливании жесткого цилиндрического штампа в упругую пластину, лежащую на жесткой плоскости. Численное решение сравнивается с решением статической задачи Герца для жесткого цилиндра и упругого полупространства или с решением задачи Герца для жесткого цилиндра и тонкого упругого слоя - в зависимости от толщины пластины. Получено хорошее соответствие результатов.

В третьей главе диссертации представлены результаты численных расчетов некоторых двумерных контактных задач, полученные посредством изложенной в двух предыдущих главах вычислительной методики.

В первом параграфе рассматривается задача механической обработки образца прямоугольного сечения двумя абсолютно жесткими цилиндрическими инструментами. С учетом симметрии задачи, численный анализ проводится только для половины деформируемого образца. Граничные условия задаются следующим образом: нижняя граница области решения - зона контакта с инструментом, верхняя - ось симметрии, левая граница свободна от напряжений, а правая движется с заданной скоростью. Расчеты выполнены на основе геометрически линейной модели Прандтля -Рейсса. Приведены графики с изображением конфигураций пластических зон и линий уровня напряжений в различные моменты времени, полученные без учета и с учетом трения.

Во втором параграфе моделируется процесс обработки металлической заготовки резанием, сопровождающийся образованием стружки. Считается, что заготовка, представляющая собой упругопластическую полосу, движется с постоянной скоростью и рассекается жестким инструментом в форме клина со скругленной кромкой режущего лезвия на две части -стружку и обработанную деталь. В отличие от задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе, геометрически линейная модель, основанная на предположении о малости деформаций и поворотов элементов тела, в данном случае неприменима, поскольку угол раствора клина может быть достаточно большим и, следовательно, необходимо учитывать конечные повороты при моделировании стружки. Поэтому в расчетах используется геометрически нелинейная модель. Задача решается в лагранжевых переменных. Задаются следующие граничные условия: левая, правая и верхняя границы области решения свободны от напряжений, а нижняя граница движется с заданной скоростью в горизонтальном направлении. Вдоль линии разделения заготовки на стружку и обрабатываемую деталь вводится двойная сетка, в узлах которой ставятся либо условия склейки, либо условия контакта с жестким инструментом - в зависимости от расстояния до режущей кромки в данный момент времени.

Проведены численные расчеты для стальной заготовки при различных углах раствора режущего клина и различных коэффициентах трения. Представлены графики с изображением пластических зон и изолиний напряжений. Угол наклона пластической зоны и расчетная величина интенсивности деформации сдвига в зоне стружкообразования сравнивались с углом и величиной интенсивности, найденным по схеме простого сдвига. Анализ результатов показал, что в процессе резания в зоне пластичности преобладает сдвиговая деформация.

В третьем параграфе моделируется косое соударение двух деформируемых пластин. Задача косого соударения имеет важное прикладное значение в связи с исследованием процесса сварки металлов взрывом. Как правило, этот процесс сопровождается образованием периодических волн на границе раздела пластин. Существует механическая гипотеза М. А. Лаврентьева и А. Ю. Ишлинского, согласно которой появление волн связано с потерей устойчивости поверхностного слоя пластин под действием больших сжимающих напряжений в окрестности зоны кон такта аналогично потере устойчивости продольно сжатого стержня. В соответствие с этой гипотезой необходимым условием образования волн является превышение критической эйлеровой нагрузки сжимающими напряжениями в продольном направлении.

Численные расчеты показали, что модель динамического деформирования с учетом конечных поворотов удовлетворительно описывает механическую потерю устойчивости. В работе представлены результаты решения вспомогательной задачи о потере устойчивости упругопласти-ческого слоя при превышении сжимающими напряжениями эйлеровой нагрузки. Численно получены различные формы потери устойчивости.

В задаче о косом соударении пластин граничные условия задаются следующим образом: нижняя граница метаемой пластины и верхняя граница неподвижной - зоны возможного контакта, нижняя граница неподвижной пластины закреплена, а остальные части границ обеих пластин свободны от напряжений. Проведена серия численных расчетов для различных комбинаций металлов. Варьируется угол соударения и скорость точки контакта. На рисунках приведены пластические зоны и линии уровня напряжений, а также графики зависимости деформации обжатия от продольной координаты, иллюстрирующие волнообразный характер границы контакта.

Анализ результатов расчетов показал, что конфигурация зоны пластичности существенно зависит от скорости точки контакта: если эта скорость больше максимальной из скоростей пластических волн взаимодействующих металлов, то зона концентрируется за точкой контакта; если же эта скорость меньше минимальной скорости пластических волн, то зона забегает вперед. Для более детального исследования пластической зоны при различных скоростях точки контакта рассматривается вспомогательная задача о бегущей нагрузке. Проведенные численные расчеты подтверждают гипотезу В. М. Корнева и И. В. Яковлева о том, что при скоростях точки контакта, меньших скорости распространения пластических волн, зона пластичности охватывает некоторую область впереди точки контакта.

Алгоритм двуциклического расщепления

Вторая глава посвящена разработке вычислительного алгоритма для исследования динамического деформирования упругопластических тел в двумерной постановке.

В первом параграфе рассмотрена простая геометрически нелинейная модель упругопластического течения, позволяющая учитывать конечные повороты элементов тела при малых деформациях.

Численная реализация модели осуществляется на основе комбинации метода расщепления по пространственным переменным, на каждом этапе которого решаются одномерные задачи, и специальной процедуры корректировки напряжений, позволяющей учесть необратимые деформации. Монотонная ENO-схема для одномерных гиперболических систем описана во втором параграфе, метод двуциклического расщепления - в третьем, а процедура корректировки напряжений - в четвертом параграфе.

В пятом параграфе главы приведены результаты тестовых расчетов, иллюстрирующие работоспособность алгоритма численной реализации граничных условий контакта в применении к динамическим контактным задачам.

Процесс динамического деформирования тела можно описать с помощью модели упругопластического течения, позволяющей учитывать конечные повороты элементов тела при малых деформациях. Эта модель предложена в работе Б. Д. Аннина и В. М. Садовского [83]. Она основана на разложении тензора градиентов деформации, определяющего линейное преобразование элемента тела из отсчетного состояния в актуальное, в произведение ортогонального тензора поворота и симметричного тензора деформации, компоненты которого в предположении малости деформаций отождествляются с компонентами единичного тензора.

Рассмотрим плоский случай. Тензор градиентов деформации в этом случае имеет вид удлинения, іро - угол ориентации главных направлений тензора Е относительно координатных осей, штрих означает транспонирование. Симметричный тензор описывает преобразование растяжений элемента по главным направлениям. При малых деформациях {єІ 1) симметричный тензор можно отождествить с единичным тензором. Следовательно, тензор градиентов деформации можно приблизить тензором поворота. Дифференцируя полярное разложение (2.1) по времени и умножая его слева на тензор Л , в рамках принятого приближения получим где aij и сг?- - компоненты симметричного тензора напряжений и их вариации, Ли//- параметры Ламе, е = ец +Є22 + Є33 _ скорость деформации объема, 6{j - символ Кронекера. Неравенство (2.4) выполняется для всевозможных вариаций тензора напряжений ст?-, удовлетворяющих, как и тензор истинных напряжений 7г;-, в случае изотропного материала условию пластичности Мизеса Здесь rs 0 - предел текучести материала, js(oij) = а а /2 - выпуклая симметричная функция текучести, зависящая от компонент девиато-ра тензора напряжений а - = оц — абц, а = (сгц 4- 022 + 0зз) / 3- Уравнения движения имеют вид: где р - плотность материала, тц - компоненты несимметричного тензора напряжений Пиолы - Кирхгофа, i,j = 1,2. Несимметричный тензор напряжений и симметричный тензор с компонентами сг - в лагранжевои системе координат связаны следующим образом: Итак, модель упругопластической среды, предложенная в [83], состоит из уравнений движения (2.6) с учетом (2.7), определяющих соотношений упругопластического деформирования в форме принципа максимума скорости диссипации энергии (2.4) для скоростей деформации (2.2) и напряжений, удовлетворяющих ограничению (2.5), а также уравнения для угла поворота (2.3). Процесс перехода материала из упругого состояния в пластическое определяется условием пластичности Мизеса. Объемная деформация происходит по линейному упругому закону. Зависимость предела текучести и параметров упругости от величины механических напряжений и температуры не учитывается.

Перепишем уравнения (2.2), (2.3) и (2.6) в терминах проекций вектора скорости на оси лагранжевои системы координат v[ = V\ cosip + г»2 sin 99,

Из общего вида этих уравнений можно заметить, что описанная модель динамического деформирования аналогична геометрически линейной модели, основанной на предположении о малости деформаций и поворотов элементов тела, записанной относительно движущейся ортогональной системы координат, ориентация которой в плоскости хі, х2 задается углом р. Поэтому при разработке численного метода решения задачи можно использовать геометрически линейные соотношения, связывающие скорости v k и напряжения а .

Численная реализация модели проводилась на основе метода расщепления по пространственным переменным [88]. Пространственно-одномерные задачи решались с помощью монотонной ENO (Essentially Non Oscilatory) - схемы (см. [105 - 110, 87]).

Задача о вдавливании жесткого цилиндрического штампа в упругую пластину

Алгоритм корректировки скоростей использовался также при решении модельной контактной задачи о вдавливании жесткого цилиндрического штампа в упругую пластину, лежащую на жесткой плоскости. К штампу прикладывается нормальная нагрузка Р, под действием которой штамп внедряется в. пластину на глубину 6. Задача решается в двумерной постановке в рамках геометрически линейной теории упругости. Точка начального контакта принимается за начало прямоугольной системы координат.

Численные расчеты проводились для толстой упругой пластины, пластины средней толщины и тонкой пластины. В расчетах использовалась квадратная разностная сетка из 120 х 60, 120 X 18 или 120 х б узлов -в зависимости от толщины пластины. Моделировалось медленное нагру-жение, при котором величина нагрузки увеличивалась от нуля до заданного значения Р. На рис. 2.19, а, рис. 2.20, а и рис. 2.21, а показано, какую форму принимает поверхность контакта в процессе деформирования; приведены также линии уровня напряжения 0. Черным цветом выделены области максимальных по модулю сжимающих напряжений, белым цветом - области максимальных растягивающих напряжений. В толстой пластине максимальные сжимающие напряжения концентрируются в зоне контакта, вблизи контактной поверхности. В тонкой пластине сжимающие напряжения тоже находятся непосредственно под зоной контакта со штампом, но линии уровня имеют вид вертикальных полос. В пластине средней толщины максимальные сжимающие напряжения со средоточены вблизи верхней границы в зоне контакта, остальные линии уровня почти вертикальны.

Численное решение для толстой пластины (кривая 1 на рис. 2.19, б) близко к решению задачи Герца для полупространства (кривая 2). Наблюдается различие полуширин зоны контакта для аналитического и численного решений при одинаковой площади под кривыми давления р(х) в одну ячейку разностной сетки. Это можно объяснить погрешностью алгоритма и используемой вычислительной модели, в которой пластина имеет конечные размеры, а боковая поверхность считается свободной от напряжений. Следует также заметить, что размер зоны контакта в решении Г. Герца определяется не точно. Зона контакта считается заранее известной и равной длине отрезка, получаемого при пересечении штампа с недеформированным полупространством, когда штамп внедрен на глубину 6. Действительный размер зоны оказывается несколько большим из-за выдавливания упругого материала пластины из-под штампа. Численное решение для пластины средней толщины (кривая 1 на рис. 2.20, б) лежит между решением задачи Герца для полупространства (кривая 2) и решением для тонкого слоя (кривая 3). Для тонкой пластины численное и аналитическое решения (кривые 1 и 3 на рис. 2.21, б) практически совпадают. Решение Г. Герца для бесконечного полупространства в этой задаче непригодно.

В целом, по результатам сравнения можно сделать вывод о хорошем соответствии численных расчетов, проведенных на основе изложенных выше алгоритмов, аналитическим решениям.

Рассмотрим задачу механической обработки образца прямоугольного сечения двумя неподвижными абсолютно жесткими цилиндрическими инструментами. Это модельная задача, результаты численных расчетов которой могут быть использованы при моделировании процесса прокатки, являющегося одним из основных способов придания нужной формы и размеров металлу. Прокатка полосы между двумя вращающимися цилиндрическими валками исследуется, в частности, в работах В. Л. Колмогорова [111, 112].

Будем решать задачу в двумерной постановке в рамках математической модели динамического деформирования уиругопластическои среды Прандтля - Рейсса. Эта модель для изотропной среды в случае малых деформаций состоит из уравнений движения закона Гука для упругих составляющих деформации и определяющих соотношений упругопластического деформирования в форме принципа максимума скорости диссипации энергии Основные соотношения модели упругопластической среды Прандтля - Рейсса в случае малых деформаций можно получить из соотношений модели, описанной в 2.1, положив smcp = 0, cos ip = 1 в тензоре конечного поворота R. В данном случае R = /, т. е. повороты элементов среды малы.

При численной реализации модели используются монотонная ENO-схема для одномерных гиперболических систем (она описана в 2.2), метод двуциклического расщепления по пространственным переменным (см. 2.3) и процедура корректировки напряжений (приведена в 2.4). С учетом симметрии задачи механической обработки, численный анализ проводится только для половины деформируемого образца. На рис. 3.1 показано положение образца относительно инструмента в начальный момент времени. Штрихпунктирными линиями обозначены оси симметрии. Начальные условия задачи: Vf. — 0, Сц = 0 (к = 1,2, i,j = 1,2,3). Граничные условия задаются следующим образом. Считается, что нижняя граница области решения - зона контакта с инструментом, верхняя -ось симметрии (на ней v% = 0, сг12 = 0), левая граница свободна от напряжений (егц = o"2i = 0), а правая движется с заданной скоростью V (здесь V\ = У, 721 = 0). Граничные условия в контактной зоне формулируются в виде квазивариационного неравенства (1.12) и ограничения (1.1).

Моделирование образования стружки в процессе обработки заготовки резанием

Анализ результатов расчетов показал, что приведенная выше схема простого сдвига в зоне стружкообразования адекватно описывает деформирование металла для достаточно больших углов инструмента. При малых углах наблюдается систематическое отклонение зоны концентрации пластической деформации в направлении срезаемого слоя. Так, при 7 = 45 расчетное значение угла Р, равное 65, отличается от значения Р = 68, полученного по формуле (3.1) без учета усадки срезаемого слоя (т. е. при к = 1) или, что то же самое, по формуле (3.2) с / = 0, на 3. При 7 = 60 разница составляет 10, а при у = 75 - уже 18. В обоснование такого отклонения результатов заметим, что в случае бесконечно тонкого клина пластическая зона должна вытягиваться вперед вдоль режущей поверхности, а не в вертикальном направлении, как следует из (3.1). Таким образом, эта формула в случае малых углов 7о неприменима. Если / = 0.8, то при 7 = 45 расчетный угол (3 = 50, а (3, найденный по (3.2), равен 48.

Сравнение расчетной величины интенсивности деформации сдвига в зоне стружкообразования да(єц): вычисленной по формуле (3.4), с величиной (3.3), найденной по схеме простого сдвига, показало, что в процессе резания в зоне пластичности действительно преобладает деформация сдвига. Однако, возможно расхождение числовых значений интенсивности с относительной погрешностью 11 — 13% даже при достаточно больших углах раствора клина. Так, при 7 — 45 и / = 0.8 расчетное значение gs(ij) = 0.83, а значение интенсивности, найденное по формуле (3.3), равно 0.95. Если 7 = 45 и / = 0, то расчетное значение gs равно 0.72, а значение, полученное с помощью (3.3), равно 0.83. При 7 = 60 и / = 0 эти величины равны 0.48 и 0.54 соответственно. Расхождение можно объяснить тем, что в схеме сдвига предполагается наличие бесконечно узкой полосы пластичности, в то время как в расчетах она имеет конечную ширину.

Величина gs[ij) зависит не только от угла инструмента, но и от радиуса скруглення его режущей кромки. Так, при большем значении радиуса г = 0.05 мм расчетная интенсивность несколько выше интенсивности, найденной по формуле (3.3). При у = 45 и / = 0 в данном случае значение gs, полученное численно, равно 0.97; относительная погрешность составляет 14%. В случае тупого клина распределение деформации в полосе пластичности сильно неоднородно - в окрестности режущей кромки возникает зона смятия. Таким образом, описанная выше схема при больших углах резания позволяет с высокой точностью определить угол наклона пластической зоны и уровень деформации в этой зоне. В заключение приведем характерное расчетное значение скорости деформирования в зоне пластической деформации gs( ij) 300 с-1 при скорости резания V = 5 м/с. Эта величина зависит от скорости резания и практически не зависит от угла клина и радиуса скруглення его кромки.

В качестве примера контактного взаимодействия двух деформируемых тел рассмотрим косое соударение пластин. Задача косого соударения пластин имеет важное прикладное значение в связи с исследованием процесса сварки металлов взрывом. Как правило, этот процесс сопровождается образованием периодических волн на границе раздела пластин. Волны могут появляться как в случае прочного сварного соединения, так и при его полном отсутствии. В то же время сварка не всегда сопровождается волнообразованием.

Основные теоретические результаты, касающиеся объяснения механизма волнообразования, получены на основе гидродинамической модели. В этой модели предполагается, что напряжения, возникающие в окрестности точки контакта, значительно превосходят предел прочности металлов на сдвиг. Следовательно, соударение металлических пластин можно моделировать как соударение струй идеальной несжимаемой жидкости.

Впервые периодические деформации в виде волн на границе контакта были обнаружены при проведении опытов по взрывному обжатию конусных оболочек под руководством М. А. Лаврентьева (см. [128]). Волнообразование наблюдали также В. Аллен и др. [129]. В работе Г. Абра-хамсона [130] дано качественное объяснение механизма волнообразования в рамках гидродинамической модели. В [131] А. Бахрани, Т. Блэк и Б. Кросс ланд критически оценили модель Абрахамсона и привели свои гипотезы о механизме волнообразования, основываясь на представлениях о периодическом появлении и захлопывании кумулятивных струй. В работе Ж. Ханта [132] предложено количественное обоснование модели Абрахамсона, основанное на предположении о том, что причиной образования волн является неустойчивость тангенциального разрыва скоростей на границе раздела обратной кумулятивной струи и неподвижной пластины. В статье С. К. Годунова, А. А. Дерибаса и Н. С. Козина [133] волнообразование рассмотрено как результат автоколебательного процесса в зоне высоких давлений. В работах [134, 135] на основе анализа большого числа экспериментов в широком диапазоне изменения скоростей точки контакта для различных материалов получена эмпирическая формула, связывающая длину волны Ао с углом соударения у: AQ = 8\К sin2(т/2), где К - коэффициент, значение которого колеблется от 26 до 32 в зависимости от свойств материала; считается, что толщина неподвижной пластины $2 во много раз превышает толщину метаемой пластины Ь\. Экспериментально обнаружено также, что волнообразование наблюдается в случаях, когда скорость перемещения зоны высоких давлений (в плоском случае скорость точки контакта) меньше скорости звука в соударяющихся металлах. Более полный обзор результатов можно найти в [136, 137].

Похожие диссертации на Численное моделирование динамического контактного взаимодействия упругопластических тел

Численное моделирование ударного взаимодействия тел с мерзлым грунтом с применением квазиравномерных сетокПовереннов, Евгений Юрьевич

Моделирование фрикционного взаимодействия тел с покрытиямиТорская Елена Владимировна

Развитие метода подвижных клеточных автоматов для моделирования генерации и распространения упругих волн при контактном взаимодействии твердых телДобрынин Сергей Александрович

Вариационная постановка и разработка методов решения задач контактного взаимодействия тел при конечных деформацияхМорев Павел Геннадьевич

Исследование высокоскоростного взаимодействия деформируемых твердых телЧан Динь Тхань

Исследование механики контактного взаимодействия осесимметричных упрочняющихся тел и плоских штампов по схемам осевой деформации и сжатии со сдвигомСванкулов, Кумыспек Тулеппекович

Механизмы деформации и разрушения пластичных и твердых тел при высокоскоростном взаимодействии Савенков Георгий Георгиевич

Теория контактного взаимодействия деформируемых твердых тел с круговыми границами с учетом механических и микрогеометрических характеристик поверхностей Кравчук Александр Степанович

Напряженно-деформированное состояние при контактном взаимодействии упруго-вязкопластичных тел в условиях силовых магнитных полейАбрамов Игорь Львович

Контактное взаимодействие и изнашивание неоднородных телЛюбичева Анастасия Николаевна