Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. При построении системы управления одним из наиболее важных свойств, которым должна обладать такая система, является свойство устойчивости. При этом .в различных технических задачах требования, предъявляемые к устойчивости системы, могут быть различными. В связи с этим различными оказываются и постановки задач устойчивости систем управления.
Одним из наиболее удобных методов анализа устойчивости системы является метод функций Ляпунова. Первоначально этот .метод был развит для решения задач устойчивости детерминированных систем. С развитием теории случайных процессов он был распространен на стохастические системы. Для конкретной нелинейной динамической системы (как детерминированной, так и стохастической) функция Ляпунова позволяет решить целый комплекс задач, имеющих важное прикладное значение. Одним из примеров таких задач может служить задача стабилизации системы методом стабилизирующих пар.
Центральное место в применении метода функций Ляпунова занимает построение для системы Функции V(x), имеющей определенные свойства в .некоторой области фазового пространства. Универсальных методов построения, пригодных для широкого класса систем в настоящее время не существует. Большинство методов' построения функции v(x) основаны на использовании специфики системы. Одним из примеров такого подхода могут служить механические системы,' в которых в качестве функции Ляпунова можно выбирать полную энергию системы.
Формализация задачи построения функции Ляпунова дает возможность качественного анализа нелинейных динамических (как детерминированных, так и стохастических) систем, в том числе систем управления.
Поэтому большой практический интерес представляет разработка конструктивных методов построения функций Ляпунова, частично или полностью ориентированных на применение ЭВМ. Методы такого типа, пригодные для широкого класса нелинейных систем управления, вместе с реализующими их программами могут составить основу подсистемы анализа САПР нелинейных систем управления.
В настоящей работе предлагается и обосновывается' метод численного построения функций Ляпунова и возможность его использования для решения ряда задач устойчивости нелинейных стохастических систем.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ - разработка и исследование алгоритма численного построения функций Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных стохастических систем, а также программная реализация разработанного алгоритма.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ основываются на использовании аппарата теории случайных процессов, теории устойчивости стохастических систем, линейного программирования, сеточного метода решения задач оптимизации.
СВЯЗЬ С ПЛАНОМ. Исследования по теме диссертационной работы проводились в соответствии с плановой тематикой работ Института проблем управления РАН в рамках темы "Разработка конструктивных методов анализа устойчивости и синтеза стабилизирующих управлений для нелинейных объектов управления"
(316-92/16, НОМЄР ГОС. регистрации 01.92.0017902).
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации предложен новый подход к решению проблемы построения функций Ляпунова в задаче анализа устойчивости нулевого положения равновесия нелинейных стационарных стохастических систем с непрерывным временем ев виде уравнений Ито) и с дискретным зременем (в виде разностных уравнений со случайными параметрами). Получена новая теорема об асимптотической устойчивости для дискретных систем общего вида.
Разработан алгоритм численного построения функции Ляпунова на сетке, основанный на сведении задачи решения линей-,ных неравенств к задаче линейного программирования. Приведены алгоритмы проверки свойств во всей области Г построенной на сетке функции Ляпунова.
В диссертации рассмотрены также задачи экспоненциальной и абсолютной устойчивости стохастических систем и показано, что эти задачи могут.быть конструктивно решены на основе предложенного метода численного построения функций Ляпунова.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Необходимость учета большего количества факторов, в том числе, и случайных, а вследствие этого усложнение математических моделей технических, биологических, социально-экономических и других систем приводит к необходимости алгоритмизации исследования свойств этих систем, с этой точки зрения разработанный в диссертации ориентированный . на применение ЭВМ метод построения функций Ляпунова для стохастических систем наряду с исследованием свойств системы с построенной функцией Ляпунова представляет теоретическую и практическую ценность.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на 11 Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 17-19 июня 1992 года; їй Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Самара, 5-9 июля 1994 года, а также на научных семинарах ИЛУ.
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликованы 5 печатных работ.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация содержит ИЗ страниц машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 93 наименования.