Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. Многие астрофизические объекты (галактики, звезды, планеты) обладают собственными крупномасштабными магнитными полями. Происхождение, сохранение и эволюция этих полей составляют один из основных вопросов космологии. Считается, что они обязаны своим происхождением работе механизма гидромагнитного динамо, идея которого, принадлежащая Лармору1, состоит в том, что вследствие действия электромагнитной индукции кинетическая энергия движущейся электропроводящей среды, превращаясь в энергию магнитного поля, экспоненциально усиливает начальное магнитное поле при отсутствии внешних ЭДС. Эволюция магнитного поля Н в объеме движущейся электропроводящей жидкости в безразмерных переменных описывается уравнением магнитной индукции
dH/dt = V х (V х Н) + z/mV2H (1)
при VH = О, VV = 0, где vm = 1/Rm > 0 — коэффициент магнитной индукции электропроводящей жидкости, Rm — магнитное число Рейнольдса, V = V(x,) — поле скорости движущейся жидкости. Наиболее интересным и важным в космической физике является случай малых vm (больших Rm). Особую роль играет так называемое быстрое динамо, то есть динамо, не исчезающее В Пределе Vm —> 0 {Rm —> ОО).
Большую роль для генерации магнитного поля играет геометрическая (топологическая) структура поля скорости. Например, согласно теореме Ка-улинга2'3 для осесимметричного потока невозможно магнитное динамо с той же осью магнитного поля. Также магнитное динамо не возникает для плоского (двумерного) поля скорости '5'6.
Наиболее интересна реализация механизма магнитного динамо, основанная на так называемом «-эффекте, суть которого состоит в том, что во вращающейся турбулентности или конвекции происходит своеобразное нарушение зеркальной симметрии, так что в результате действия силы Кориолиса в выражении для средней ЭДС индукции (с которой связан электрический ток) появляется член, параллельный магнитному полю. Напомним, что обычно электрический ток перпендикулярен магнитному полю. В результате действия «-эффекта в течении электропроводящей жидкости возникает крупномасштабное магнитное поле, пространственный масштаб которого может
1Larmor J. How could a rotating body such as the Sun become a magnet? Rep. Brit. Assoc. Adv. Sci., 1919, P. 159-160.
2Cowling T.G. The magnetic field of sunspots, Month. Not. Roy. Astr. Soc, 1934, V. 94, P. 39-48.
3Каулинг Т. Магнитная гидродинамика, М., ИЛ, 1959.
4 Зельдович Я.Б. Магнитное поле при двумерном движении проводящей турбулентной жидкости, ЖЭТФ, 1956, Т. 31, Вып. 1, С. 154-156.
5Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Магнитное поле проводящей жидкости, движущейся в двух измерениях, ЖЭТФ, 1980, Т. 78, Вып. 3, С. 980-986.
6Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Гидромагнитное динамо как источник планетарного, солнечного и галактического магнетизма, Успехи физ. наук, 1987, Т. 152, Вып. 2, С. 263-284.
намного превосходить основной масштаб турбулентности. Это описание а-эффекта требует последовательной интерпретации турбулентности как случайного статистически локально однородного и изотропного поля. Идея Паркера о возможности возникновения магнитного динамо в турбулентном потоке электропроводящей жидкости с полем скорости, обладающим ненулевой спиральностью и не имеющем зеркальной симметрии, привела к дальнейшему развитию теории магнитного динамо и послужила основой для создания теории магнитной гидродинамики средних полей7'8'9.
Непосредственно со времени развития концепции «-эффекта в середине 60-ых годов предпринимаются усилия для того, чтобы воспроизвести его и в моделях, которые непосредственно привлекают описание течений на языке статистической гидромеханики. Вопрос о том, насколько это можно сделать, принадлежит к одному из наиболее дискуссионных в данной области. Одна из плодотворных возможностей для такого описания была предложена В.И. Арнольдом10'11, который ввел ставшую широко известной модель АВС-потока, являющегося, с одной стороны, классическим примером так называемого детерминированного хаоса, а с другой — течением Бельтрами, то есть в этом потоке rotv ос v, иными словами, гидродинамическая спираль-ность А>С-потока vrot v — максимально возможная. Оказывается, что спи-ральность и определяет а-эффект, так что ожидалось, что А>С-поток должен хорошо моделировать свойства вращающейся турбулентности. Для конкретного ABC-потока произведен численный расчет12 магнитного динамо на ЭВМ. Оказалось, что поведение магнитного поля в детерминированном А>С-потоке существенно отличается от его поведения в зеркально-асимметричной турбулентности. Магнитное поле в этом потоке на самом деле растет (если магнитное число Рейнольдса оказывается достаточно большим). Этот рост соответствует быстрому динамо, однако пространственный масштаб растущего магнитного поля не превышает масштаба течения.
Я.Б. Зельдовичем и др. в 1983 г. (см. 13) сформулировано представление о том, что причина несходства А>С-потока и зеркально-асимметричной турбулентности в отношении генерации быстрого крупномасштабного магнитного динамо состоит в стационарности первого. Была высказана надежда на то, что введение случайности в коэффициенты А>С-потока должно сделать
"'Паркер Е. Космические магнитные поля, М., Мир, 1982, Т. 1 и 2.
8Вайнштейн СИ., Зельдович Я.В., Рузмайкин А.А. Турбулентное динамо в астрофизике, М., Наука, 1980.
9Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо, М., Мир, 1984.
10 Арнольд В.И. Замечание о поведении течений трехмерной жидкости при малом возмущении началь
ного поля скоростей, Прикладная математика и механика, 1972, Т. 36, С. 255-264.
11 Арнольд В.И. Математические методы классической механики, М., Наука, 1974.
12Арнольд В.И., Коркина Е.И. Рост магнитного поля в трехмерностационарном потоке несжимаемой жидкости, Вестник МГУ, Серия матем. и мех., 1983, Вып. 3, С. 43-46.
13Зельдович Я.В., Рузмайкин А.А., Соколов ДД. Магнитные поля в астрофизике, М .-Ижевск, ИКИ, 2006.
1AGalanti В., Sulem P., Pouquet A. Linear and non-linear dynamos associated with ABC flows, Geophys. Astrophys. Fluid Dynam., 1992, V. 66, Issue 1, P. 183-208.
поведение магнитного поля в этом потоке намного более похожим на его поведение в зеркально-асимметричной турбулентности. Одна из задач данной работы — проверить это предположение.
Отметим, что техника вывода уравнения среднего поля в турбулентной среде, обладающей развитой иерархией масштабов, хорошо известна. С физической точки зрения мы находимся в иной ситуации. Мы рассматриваем случайные поля скорости, описывающие потоки, в определенных отношениях похожие на турбулентные, но в других сильно от них отличающиеся. Эти потоки, которые мы называем рандомизированными коротко коррелированными случайными полями (РКПС), с одной стороны, более бедные и оттого более обозримые, и это ключевое отличие. С другой стороны, они содержат многие часто применяемые поля скорости при условии рандомизации их коэффициентов. Согласно сформулированной выше гипотезе Я.Б. Зельдовича, подтверждаемой в данной работе для случайных ABC-потока и потока Г. Робертса, являющихся частными случаями РКПС, введение случайности в коэффициенты этих потоков сближает их по свойствам с зеркально-асимметричной турбулентностью, по крайней мере, в отношении «-эффекта и крупномасштабного динамо.
В 1983 г. С.А. Молчановым и др.15'16 для описания магнитного поля в нестационарном потоке со случайными флуктуациями был предложен метод вывода уравнений среднего магнитного поля для короткокоррелированного случайного поля скорости с функциональным управляющим параметром, что наряду со сложностью вычислений по этому методу сдерживало его применение к конкретным случайным полям скорости (в частности, уравнения среднего поля даже для представляющих особый интерес случайных А>С-потока и потока Г. Робертса до сих пор не были получены).
Цель работы. Цель настоящей диссертации состоит в решении следующих задач: разработать конструктивный метод вывода уравнений среднего магнитного поля (отталкиваясь от подхода, предложенного С.А. Молчановым и др.) для введенного автором класса РКПС; получить явные уравнения среднего магнитного поля для содержащихся в этом классе случайных АВС-потока и потока Г. Робертса; исследовать крупномасштабное динамо в этих конкретных случайных потоках и проверить для них гипотезу Я.Б. Зельдовича; вывести уравнения среднего магнитного поля в декартовых и цилиндрических координатах во всем пространстве для винтового цилиндрического поля скорости с коротко коррелированными коэффициентами; провести статистическую обработку результатов наблюдений солнечной активности с целью обнаружения и исследования «-эффекта.
15Молчанов С.А., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Уравнения динамо в случайном короткокоррелиро-ванном поле скорости, Магнитная гидродинамика, 1983, №4, С. 67-72.
16Молчанов С.А., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Кинематическое динамо в случайном потоке, УФН, 1985, Т. 145, №4, С. 593-628.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Перечислим основные из них:
1. Разработан метод вывода уравнений среднего магнитного поля (на
основе подхода С.А. Молчанова и др.) для случайных полей скорости из вы
деленного автором класса РКПС, а также получены сами эти уравнения и
предложен матричный алгоритм вычисления их коэффициентов.
2. Найдены уравнения среднего магнитного поля для конкретных
РКПС, получающихся коротко коррелированной рандомизацией коэффици
ентов классических детерминированных А>С-потока и потока Г. Робертса.
-
Показано, что вопрос о генерации крупномасштабного магнитного динамо в РКПС с независящими от времени базисными полями скорости ввиду уравнений среднего поля с усредненными по пространству коэффициентами сводится к исследованию спектра некоторой связанной с этим РКПС матрицы. В частности, для указанных выше случайных А>С-потока и потока Г. Робертса получены эти уравнения и доказано возникновение «-эффекта, турбулентной диффузии и крупномасштабного кинематического динамо, чем подтверждена гипотеза Я. Б. Зельдовича.
-
Выведены уравнения среднего магнитного поля в декартовых и цилиндрических координатах в пространстве для рандомизированного винтового цилиндрического потока.
Кроме того, произведена статистическая обработка результатов наблюдений солнечной активности в связи с проявлениями «-эффекта для магнитного поля Солнца.
Методы исследования. В работе используются методы теории вероятностей, случайных процессов, математической статистики, математического анализа, дифференциальных и интегральных уравнений, математической физики. В частности, при построения решения задачи Коши для уравнения магнитной индукции применяются методы теории мультипликативных интегралов, а при исследовании крупномасштабного динамо — метод Фурье.
Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Систематизированная техника вывода уравнений среднего магнитного поля для введенного класса РКПС, основанная на предложенном автором матричном алгоритме, может быть использована при исследовании широкого круга как чисто теоретических задач, так и задач, возникающих в приложениях и связанных с теоретическими, экспериментальными и вычислительными моделями магнитного динамо. В этих моделях одним из важнейших элементов исследования является усреднение уравнения индукции и нахождение моментных уравнений, в частности, уравнения среднего поля для магнитного поля в соответствующем случайном потоке. Многие как экспериментальные, так и теоретические модели динамо связаны именно с теми конкретными полями скорости, которые рассмотрены в настоящей работе: ABC-поток, поток Г. Робертса и винтовое поле скорости.
Апробация работы. По теме диссертации были сделаны доклады:
в 2010 и 2011 гг. на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ (руководитель семинара и заведующий кафедрой — академик РАН А.Н. Ширяев);
в 2012 г. на семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ (руководитель — профессор, д.ф.-м.н. В.И. Богачев );
в 2012 г. на семинаре «Физическая гидродинамика» под руководством профессора, д.ф.-м.н. П.Г. Фрика в Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН, Пермь;
в 2008 г. на Астрофизическом семинаре Отделения теоретической физики ФИАН (руководитель семинара — академик РАН А.В. Гуревич).
Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях: Международная конференция МСС-09 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность», Москва, 2009 г.; 8th AIMS Conference «Dynamical systems, differential equations and applications», Dresden, Germany, 2010; XXIX конференция «Актуальные проблемы внегалактической астрономии», Пущинская радиоастрономическая обсерватория АКЦ ФИАН, Пущине, 2012 г.
Публикации. Список основных научных работ, опубликованных по теме диссертации, состоит из 8 наименований, приведен в конце автореферата [1] — [8] и содержит 5 статей в журналах из списка ВАК РФ и 3 работы — в тезисах конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения (глава 1), двух разбитых на параграфы основных глав, приложения и списка литературы из 52 наименований. Ее общий объем составляет 104 страницы, включая 6 рисунков и 1 таблицу.
