Содержание к диссертации
Введение
1 Время пребывания для цепей с дискретным временем 10
1.1 Основные определения и обозначения 10
1.2 Конечномерные распределения времени пребывания 11
1.3 Функция Грина для целочисленных цепей Маркова 16
1.4 Отсутствие марковского свойства у времени пребывания . 17
2 Время пребывания для цепей с непрерывным временем 20
2.1 Основные определения и факты 20
2.2 Проверка марковского свойства времени пребывания для целочисленных симметричных цепей 24
3 Марковское свойство времени пребывания 27
3.1 Формулы для изменения функции Грина при добавлении ребер к графу переходов исходного процесса 27
3.2 Доказательство марковского свойства времени пребывания . 34
4 Марковское свойство времени пребывания относительно нескольких состояний 41
4.1 Формулы для функции Грина через решения однородного уравнения 41
4.2 О марковском свойстве времени пребывания относительно нескольких состояний 51
4.3 Поле переходов 63
5 Время пребывания для неоднородных цепей Маркова 68
5.1 Обобщение рассуждений для однородного случая 68
5.2 Неэкспоненциальный момент остановки 72
5.3 Отсутствие марковости времени пребывания для простейшей неоднородной цепи 86
Заключение 95
Список литературы 96
- Функция Грина для целочисленных цепей Маркова
- Проверка марковского свойства времени пребывания для целочисленных симметричных цепей
- Доказательство марковского свойства времени пребывания .
- Обобщение рассуждений для однородного случая
Введение к работе
Актуальность темы. В 1939 г. П. Леви в [11] было введено понятие локального времени для броуновского движения. Эта и две последующих его работы [9], [10] положили начало теории локальных времен случайных процессов, интенсивное развитие которой началось с середины 60-х годов. Достаточно подробный и всесторонний обзор важнейших результатов, связанных с броуновским локальным временем, можно найти в [1].
Приведем наиболее удобное и интуитивно понятное представление для локального времени t(, ж) процесса броуновского движения w(s) в точке х
за время t:
t(t,x)=lim- l[XiX+e)(w(s))ds
єф0 Є J
0 с вероятностью единица для всех t > 0 и х Є К.
Как видно, t(t, х) можно рассматривать как случайный процесс по параметру х. Д. Рэй в [12] показал, что если в качестве t взять независимый от w(s) случайный экспоненциальный момент времени, процесс t(t,x), х Є К, при условии w(t) = z будет марковским.
В 1982 г. С.С. Валландером в серии работ [3]-[6] была предпринята попытка перенести результат Д. Рэя с броуновского движения на однородные марковские цепи. Аналогом локального времени в данном случае служит время пребывания t(v) цепи X(t) в состоянии v до не зависящего от цепи экспоненциального момента в, а марковское свойство рассматривается относительно условных мер Раь, фиксирующих начало и конец траектории (А(0) = а, Х{9) = Ь). Время пребывания т(-) представляет собой случайное поле, определенное на пространстве состояний цепи. Тем не менее, говоря о марковости, мы не имеем в виду марковские случайные поля, а понимаем марковское свойство по-другому. Марковским случайным полем в его классическом понимании время пребывания не является.
Трудность обобщения результата Д. Рэя заключается в том, что пространство состояний А цепи X(t), вообще говоря, может не иметь каких-либо дополнительных структур, а потому само понятие марковского свойства для т, равно как и понятия «прошлого», «настоящего» и «будущего», определить не всегда возможно. Тем не менеее, в относительно простых
случаях, таких как блуждание по целым числам или вообще по дереву, никаких проблем с определением не возникает.
Оказывается, что в случае дискретного времени (t = 0,1,2,...) даже для простейшего симметричного случайного блуждания по Z процесс t(v) не является марковским. В случае же непрерывного времени (t > 0) удается проверить марковское свойство t(v) для блуждания по дереву.
В тезисах [7] С.С. Валландера 1985 г. высказывается предположение, что последний результат можно обобщить на случай блуждания по графу, который при удалении одной из вершин, называемой «необходимой» (и понимаемой как «настоящее»), распадается на компоненты связности (понимаемые как «прошлое» и «будущее»). Под марковостью времени пребывания в данном случае понимается независимость относительно условных мер Раь значений т на этих компонентах при фиксированном значении t(v). Доказательство этого утверждения приводится в диссертации.
Кроме того, в [7] рассматривается пример, когда «настоящее» сосредоточено не в одной вершине, а в нескольких. В [2] для неоднородных цепей с дискретным временем приводятся формулы для описания конечномерных распределений поля времени пребывания. Различные обобщения полученных в этих работах результатов также являются важной частью диссертации.
Цель работы. Диссертация посвящена изучению свойств времен пребывания для дискретных марковских процессов. Основная цель — проверка марковости времени пребывания в различных ситуациях, в том числе когда «настоящее» сосредоточено в нескольких вершинах и в неоднородном случае.
Методы исследований. В диссертационной работе используется подход, позволяющий выражать конечномерные распределения времени пребывания через функцию Грина некоторого уравнения, применяемый к локальному времени еще в известной монографии К. Ито и Г. Маккина [8]. Для самих функций Грина используется возможность отслеживания их изменений при изменении графа переходов исходной марковской цепи. Основные результаты.
-
Доказана марковость времени пребывания для случая, когда «настоящее» сосредоточено в одной вершине.
-
Доказано, что для «настоящего», состоящего из нескольких вершин, поле
времени пребывания будет обладать марковским свойством в том и только в том случае, когда одна из этих вершин необходима.
-
Показана равносильность марковости времени пребывания и экспонен-циальности момента остановки.
-
Для простейшей неоднородной цепи, когда процесс до и после некоторого неслучайного момента Т ведет себя как однородная цепь, но с разными ин-тенсивностями переходов, обосновано отсутствие марковости времени пребывания.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В ней впервые доказана марковость времени пребывания в каждой необходимой вершине и показана невозможность нетривиального обобщения марковского свойства на случай, когда «настоящее» сосредоточено в нескольких вершинах. Также впервые приведены результаты, касающиеся марковости времени пребывания для неоднородных цепей. Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и подходы могут использоваться для решения близких задач, связанных с временами пребывания случайных процессов. В перспективе полученные результаты могут быть использованы в других разделах теории вероятностей и математической статистики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Четвертом Северном трехстороннем семинаре (6-8 марта 2013 г., Хельсинки, Финляндия) , XX Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастичеким методам (12-18 мая 2013 г., Йошкар-Ола), на санкт-петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством академика РАН И.А. Ибрагимова (1 ноября 2013 г.) и на семинаре по теории вероятностей междисциплинарной исследовательской лаборатории им. П.Л. Чебышева при СПбГУ (июнь 2011 г., декабрь 2011 г., ноябрь 2012 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [П1]-[П4]. Из них три работы [П1]-[ПЗ] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК (работы [ПІ, П2] опубликованы в журнале, удовлетворяющем достаточному условию включения в перечень ВАК: его переводная версия «Journal of Mathematical Sciences» входит в систему цитирования SCOPUS). Работа [П4] — это тезисы докладов на международной
конференции.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 48 наименований. Общий объем диссертации составляет 100 страниц.
Функция Грина для целочисленных цепей Маркова
Несколько неожиданно оказывается, что в случае дискретного времени ( = 0,1,2,...) даже для простейшего симметричного случайного блуждания по Z процесс T(V) не является марковским. В случае же непрерывного времени (t 0) удается проверить марковское свойство т(г ) для блуждания по дереву.
Метод доказательства сходен с методом, используемым К. Ито и Г. Маккином в [18] для проверки марковости броуновского локального времени. Основная идея заключается в том, что конечномерные распределения поля г можно выразить через функцию Грина некоторого уравнения. Сама же функция Грина выражается через решения соответствующего однородного уравнения. Полученные формулы и позволяют проверять марковское свойство. Для блуждания по дереву однородных решений, конечно, может быть не 2, как в случае локального времени, а намного больше, и рассуждения становятся технически более сложными, однако принцип остается таким же.
Более общее определение марковского свойства времени пребывания С.С. Валландер приводит в [9]. Согласно этому определению, «настоящее» предполагается сосредоточенным в одном состоянии, а оставшиеся состояния разбиваются на несколько компонент, из каждой из которых можно попасть в другую только через «настоящее». Эти компоненты и следует понимать как «прошлое» и «будущее». Конечно, их вполне может быть и больше двух, но никакого принципиального значения это не имеет. Под марковским свойством времени пребывания понимается независимость относительно условных мер Ра5 значений г на этих компонентах при фиксированном значении туи).
Другими словами, процесс X{t) рассматривается как случайное блуждание на некотором графе Г (вообще говоря, ориентированном). Вершина г Є А, понимаемая как «настоящее», называется необходимой если при удалении v и ребер, одним из концов которых она является, граф распадается на N 1 компонент связности А\,.. . , Д/у. Для функции к 0 на А через к{ обозначим ее ограничение на А{, продолженное нулем на остальные состояния. Тогда марковское свойство поля времени пребывания г в необходимой вершине v относительно мер Ра5 можно записать в следующем виде:
В вышеупомянутых тезисах [9] 1985 г. было высказано предположение, что поле г обладает марковским свойством в любой необходимой вершине, однако доказательство данного утверждения так и не было нигде приведено и впервые было изложено в работе [12] автора. Метод, используемый для проверки марковости г для блуждания по дереву, к общему случаю применить не удается, поскольку удобные формулы для функции Грина через решения однородного уравнения можно получить далеко не всегда. Ниже будет описан другой способ проверки марковского свойства времени пребывания, а также приведены рассуждения о том, когда получить формулы через однородные решения все же возможно.
Естественно задаться вопросом, что будет, если «настоящее» сосредоточено не в одной вершине, а в нескольких. Определение марковости г переносится на этот случай практически дословно.
В [9] говорится, что если Г представляет из себя многоугольник, то для «настоящего», состоящего из двух его (не соседних) вершин, поле г обладать марковским свойством не будет. С другой стороны, очевидно, что если одна из вершин «настоящего» необходима, марковость есть. Представляется интересным, будет ли марковское свойство выполнено при каких-то менее ограничительных условиях. В работе [14] автора дается отрицательный ответ на этот вопрос. Доказывается, что марковость г равносильна тому, что одна из вершин «настоящего» необходима.
Для некоторых графов возможны и другие подходы к пониманию марковского свойства времени пребывания. Например, для графа, представляющего собой бесконечную «лестницу», можно говорить о времени пребывания на «уровне», то есть в множестве из двух вершин, соответствующих одной «ступеньке», и изучать марковость этого случайного процесса. Этот и подобные вопросы также исследуются в [14] и будут рассмотрены в диссертации.
Все вышеприведенные результаты касаются однородных марковских цепей. Для неоднородных цепей с дискретным временем в [4] были получены схожие формулы для описания конечномерных распределений поля времени пребывания. Тем не менее, вопрос о марковости времени пребывания в неоднородном случае (разумеется, для непрерывного времени) ранее изучен не был. Впервые он рассматривается только в работе [13] автора и будет разобран ниже.
Марковость можно понимать совершенно аналогично однородному случаю, наложив лишь одно дополнительное ограничение на интенсивности переходов: если Qs(a}b) 0 для некоторого s, то Qs(a}b) 0 для всех s. Это предположение нужно для того, чтобы избежать каких-либо трудностей в определении графа переходов, связности и, соответственно, самого марковского свойства.
Оказывается, что даже для простейшей неоднородной цепи, когда процесс до и после некоторого (неслучайного) момента Т ведет себя как однородная цепь, но с разными переходными интенсивностями Q\ и ( 2, поле TS не будет марковским. Кроме того, если для однородного случая рассматривать не зависящие от цепи неэкспоненциальные моменты остановки, рассуждения будут сходны с рассуждениями для неоднородных цепей, а ответ на вопрос о марковости поля rs также оказывается отрицательным.
Времена пребывания для марковских цепей рассматривались рядом авторов и с других точек зрения, см., например, [30], [25], [27]. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 48 наименований. Общий объем диссертации — 100 страниц.
Главы 1 и 2 являются вводными. В них кратко излагаются основные результаты о времени пребывания, на которые мы будем активно опираться далее. Для некоторых формул приводится достаточно подробный вывод вместо того, чтобы просто дать ссылку на соответствующий источник. Это обусловлено как желанием автора сделать диссертацию достаточно автономной и доступной для понимания во всех деталях, так и тем, что даже на многие промежуточные формулы потребуется ссылаться в последующем.
Главы 3-5 представляют собой основную часть диссертации. В них отражены полученные автором результаты, во многом обобщающие приведенные в первых двух главах.
В главе 1 приводятся основные определения и наиболее важные факты, касающиеся времени пребывания для цепей Маркова с дискретным временем. Выводятся формулы для конечномерных распределений. Для случайного блуждания по Z приводятся формулы для функции Грина через решения однородного уравнения, и с их помощью опровергается марковость т.
В главе 2 приводятся результаты для цепей с непрерывным временем. Поскольку многие рассуждения аналогичны случаю дискретного времени, они разбираются менее подробно. В отличие от предыдущей главы, марковское свойство г для блуждания по Z уже не опровергается, а доказывается. Описанный метод доказательства может быть применен с незначительными изменениями и к блужданиям на произвольном дереве.
В главе 3, теорема 2, приводится доказательство марковости г в случае, когда «настоящее» сосредоточено в одной вершине. Идея доказательства заключается в следующем: если к графу Г добавлять ребра в рамках одной компоненты связности, марковость т, если она имеет место, должна сохраниться. Изменение функции Грина при добавлении ребер описывается теоремой 1. В результате из соотношений на функцию Грина, равносильных марковости т, получатся более простые необходимые соотношения, которые, как легко видеть, окажутся и достаточными. Последние можно проверить, вычислив как меняется функция Грина при изменении функции к.
В главе 4, прежде чем проверять марковское свойство в нескольких вершинах, изучается возможность обобщения формулы для функции Грина через решения однородного уравнения на некоторые графы, имеющие циклы. Оказывается, что этот способ не дает удовлетворительного результата. Поэтому доказывать теорему 3 о том, что для «настоящего» из двух вершин марковость г равносильна тому, что одна из них необходима, приходится в духе теоремы 2. Аналогичный результат для большего количества вершин в «настоящем» легко следует из теоремы.
Проверка марковского свойства времени пребывания для целочисленных симметричных цепей
Покажем теперь, что в отличие от случая дискретного времени, для блужданий по целым числам марковское свойство времени пребывания все же имеет место.
Рассмотрим симметричную целочисленную цепь, то есть предположим, что А = Z и Q(a,b) = 0 при \а — Ъ\ 2, Q(a,b) 0 при \а — Ъ\ 1, Q(a,b) = Q(b,a).
Для таких цепей аналогично случаю дискретного времени определяются монотонные решения д\ и (j2 однородного уравнения (2.4). Если положить задается той же самой формулой (1.16). Функция Грина выражается через монотонные решения по формуле полностью аналогичной (1.17), (1.18)).
Докажем, что для таких цепей процесс т(г ) {у Є Z) марковский относительно мер Раъ (в отличие от случая дискретного времени!). Марковское свойство в точке v Є Z означает, что для любой функции к 0 с k(v) = 0 и любого t 0 выполняется равенство Следует напомнить, что при t = 0 эти условные ожидания определены лишь при Раъ(т(у) = 0) т 0. Легко видеть, что для нашей цепи это означает, что v не лежит между а и Ь. В соответствии с формулами (2.12) и (2.15), проверка марковского свой ства сводится к проверке трех равенств: Покажем теперь, что в отличие от случая дискретного времени, для блужданий по целым числам марковское свойство времени пребывания все же имеет место. Рассмотрим симметричную целочисленную цепь, то есть предположим, что А = Z и Q(a,b) = 0 при \а — Ъ\ 2, Q(a,b) 0 при \а — Ъ\ 1, Q(a,b) = Q(b,a). Для таких цепей аналогично случаю дискретного времени определяются монотонные решения д\ и (j2 однородного уравнения (2.4). Если положить то д\ задается той же самой формулой (1.16). Функция Грина выражается через монотонные решения по формуле (полностью аналогичной (1.17), (1.18)). Докажем, что для таких цепей процесс т(г ) {у Є Z) марковский относительно мер Раъ (в отличие от случая дискретного времени!). Марковское свойство в точке v Є Z означает, что для любой функции к 0 с k(v) = 0 и любого t 0 выполняется равенство Следует напомнить, что при t = 0 эти условные ожидания определены лишь при Раъ(т(у) = 0) т 0. Легко видеть, что для нашей цепи это означает, что v не лежит между а и Ь. В соответствии с формулами (2.12) и (2.15), проверка марковского свой ства сводится к проверке трех равенств:
В работах [6]-[8] доказывается марковость поля времени пребывания для случайного блуждания по дереву с непрерывным временем. Однако, перенести используемые там методы на случай произвольных цепей не удается. Поэтому для общего случая будет предложен несколько иной способ доказательства.
Формулы для изменения функции Грина при добавлении ребер к графу переходов исходного процесса
Поскольку марковское свойство времени пребывания можно доказать для случая, когда граф Г(Р) — дерево, возникает естественная идея представить произвольный граф переходов как дерево с добавленными к нему ребрами, и посмотреть как меняется функция Грина при добавлении этих ребер. Тогда можно надеяться переписать марковское свойство в терминах функции Грина исходного дерева, после чего его уже несложно будет проверить. Геализация данного подхода сталкивается с некоторыми трудностями, однако именно он будет лежать в основе дальнейших рассуждений.
Для начала опишем как меняется функция Грина G при добавлении к Г(Р) ребра а\Ъ\ со значением t\, ребра аф со значением 2, ... , ребра апЬп со значением tn. Следует отметить, что разрешается «добавлять» ребра, уже имеющиеся в графе. В этом случае мы просто изменяем значение на ребре.
Полученную после добавления ребер функцию Грина будем обозначать Gn (хотя она, разумеется, зависит от добавляемых значений и от вершин добавленных ребер), если конечно она корректно определена. Соответствующие добавленным ребрам операторы обозначим Qn и Уп.
Доказательство марковского свойства времени пребывания .
Для проверки этих соотношений заметим, что для к = кі они, очевидно, верны. Значит, согласно утверждению 1, достаточно показать, что они остаются справедливы при изменении к в конечном множестве вершин. Поэтому остается проверить, что если равенства а ) и б ) выполнены для функции Грина G с некоторой функцией к, то при увеличении к в произвольной вершине с на t 0 они также остаются выполнены.
Для этого нам потребуется простое, но полезное обобщение соотношения (3.14).
Лемма 2. Если а, Ь Є А{, то
Если при этом х А,И то к тому же
Пусть a ub лежат в разных компонентах связности. ЕслиЬ и х также лежат в разных компонентах связности, либо b или х совпадает с v, то
Пусть а, 6, х Є А{. Как мы знаем из (3.14) и б ), последние два слагаемых в (3.23) совпадают с соответствующими слагаемыми для G{. Значит, совпадает и первое.
Значит, третье слагаемое в (3.23) равно 0, следовательно, первое слагаемое совпадает со вторым. Но второе совпадает с соответствующим слагаемым
Последний случай в лемме разбирается аналогично.
Продолжим доказательство теоремы.
По аналогии с рассуждениями выше о добавлении ребер нетрудно показать, что достаточно проверять только условие б ). Проверим, например, первое из равенств в б ).
Функция Грина Gt, получаемая при увеличении к (с) на t может быть найдена по формуле (3.11), поэтому
Замечание 3. Условие двусторонней проходимости ребер, накладываемое на граф переходов Г марковского процесса, требовалось для простого и интуитивно понятного определения компонент связности. Если отказаться от этого условия, то Г уже нельзя рассматривать как неориентированный граф, и связность можно понимать по-разному. Самое распространенное понятие связности, предполагающее, что от вершины а до вершины Ь и обратно можно дойти «по стрелочкам», нам не подходит, поскольку важно, чтобы компоненты связности не имели соединяющих их ребер (а при таком понимании связности одностороннее ребро из одной компоненты в другую вполне может существовать). Можно, однако, воспользоваться определением связности без учета направлений на ребрах (как в неориентированном графе). Как легко видеть, в этом случае доказательство теоремы 2 останется справедливым, и мы получим марковское свойство ровно в том виде, в каком оно сформулировано в [9].
Замечание 4. Рассмотрим в качестве момента остановки не 9, а момент Ъ/1ь первого попадания в состояние Ь. Тогда, очевидно, можно считать, что к(Ь) = 0, процесс не покидает Ь (т.е. соответствующие интенсивности переходов равны 0), а момент остановки в = оо. Если условные ожидания в формуле (3.12) записать через преобразования Лапласа и перейти к пределу при а — 0, то по теореме о конечном значении получим, что равенство (3.12) верно и в рассматриваемом случае. Это значит, что марковское свойство поля г имеет место также и для момента остановки М&.
Обобщение рассуждений для однородного случая
Ранее рассматривались только однородные цепи. В этой главе будет предпринята попытка перенести полученные результаты на неоднородный случай. Кроме того, оказывается, что рассмотрение неэкспоненциального момента остановки в некотором смысле аналогично введению неоднородности.
Прежде чем приступить к строгим рассуждениям, приведем один нестрогий аргумент почему марковости времени пребывания для неоднородного случая ожидать не стоит. Посмотрим, что было бы, если бы для случая дискретного времени марковское свойство все же имело бы место. Будем для простоты рассматривать целочисленную цепь. Тогда соответствующую неоднородную цепь, начинающуюся в состоянии 0, можно рассматривать как случайное блуждание по графу, изображенному на рис. 6. Уровнем будем называть множество вершин, на рисунке лежащих одна над другой.
Граф переходов, получаемый расширением пространства состояний для сведения неоднородной целочисленной цепи к однородному случаю. Легко видеть, что марковское свойство времени пребывания исходной цепи равносильно марковскому свойству времени пребывания на уровнях указанного графа относительно условных мер Ров, где В — уровень. По аналогии с утверждением 3 для «лестницы», можно ожидать, что в случае марковости для всех вершин v\ и v одного уровня будет G(v\, В) = G(v2i В). Отсюда нетрудно получить, что изначальная цепь на самом деле была однородной (для дискретного времени это показать даже проще, чем делается в доказательстве утверждения 3).
Однако приведенные рассуждения, во-первых, не вполне строгие (например, утверждение 3 было проверено для только «лестницы», а не для произвольного графа), а во-вторых, не могут быть применены к случаю непрерывного времени.
Поэтому для цепей с непрерывным временем проверять (а точнее, опровергать) марковское свойство времени пребывания придется стандартным способом — проверяя соответствующие соотношения на условные ожидания.
Естественно в данном случае обобщить рассуждения параграфа 2.1 на случай неоднородных цепей. Для цепей с дискретным временем подобные рассуждения и формулы для конечномерных распределений времени пребывания приведены в [4]. Ниже мы попытаемся перенести методы и результаты работы [4] на случай цепей с непрерывным временем.
Пусть X(t), t 0 — марковская цепь с не более чем счетным пространством состояний А и переходными функциями Ps,t(a, b), s t. Как и раньше, будем предполагать, что процесс X(t) сепарабельный и стохастически непрерывный. Также предполагаем существование пределов
Соответствующий интенсивностям переходов оператор обозначим Qs.
Через Р обозначим вероятностную меру для процессов, начинающихся в момент времени s из состояния а.
Мы также еще обобщим предыдущие рассуждения, рассматривая более широкий класс моментов остановки в. Пусть теперь в = 9s — не зависящая от цепи случайная величина с распределением
Однако имеются две проблемы. Во-первых, единственность ограниченного решения (5.6) абсолютно неясна. Непонятно при каких, пусть даже достаточно ограничительных условиях на процесс X(t), эту единственность можно ожидать. Во-вторых, даже если единственность имеет место, дальнейшие рассуждения, аналогичные рассуждениям для однородных цепей, наталкиваются на серьезные трудности. Дело в том, что исходя из уравнения (5.6) написать явную формулу для изменения функции Грина при изменении к в одной вершине не получается, а значит и явные формулы для конечномерных распределений поля rs получить не удастся.
Тем не менее, поскольку далее мы будем доказывать отсутствие марковости поля TS, подобные общие рассуждения нам и не понадобятся. В следующих двух параграфах мы рассмотрим два интересных простых, но при этом не тривиальных, случая, для которых формулы для условных ожиданий можно написать и в обход неоднородных функций Грина.
Будем считать, что, как и ранее, цепь однородна, но при этом момент остановки 6s не обязан быть экспоненциальным. Соответствующие интенсивности переходов будем обозначать Q(a, b).
Заметим, что при рассмотрении однородной цепи функция Грина в данном случае получится в а раз больше, чем в разделе 2. Если потребовать sup \Q(a a)\ оо и рассматривать ограниченные к, то общее решение (5.6) может быть записано с помощью (операторных) экспонент (по аналогии с обычной конечной системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений). Тогда единственность ограниченного решения проверить действительно можно, и можно даже написать для него явную формулу.
