Введение к работе
з
Задачи построения несмещенных оценок и оценок максимального правдоподобия для различных функций, зависящих от неизвестных параметров в случае различных параметрических семейств распределений занимают важное место в математической статистике. В частности, большой интерес в теории оценивания надежности и ошибок измерений представляют оценки вероятностей линейных неравенств. Решению данной проблемы для различных частных случаев были посвящены работы Воинова, Лумельского, Пснской. Те-скина, а также более ста работ зарубежных авторов (Бег, Рейзер. Гутман, Бхаттачарпя, Джонсон, Чао и др.). В настоящей работе на основе единого подхода удалось доказать большое количество неизвестных ранее теоретических результатов, а также более просто вывести известные утверждения.
Цель данной работы — систематическое рассмотрение задач оценивания вероятностей линейных неравенств для непрерывных распределений. В частности, для широкого класса таких распределений решена задача нахождения оценок вероятностей безотказной работы в моделях "нагрузка-прочность'', применяющихся в приложениях. Для некоторых распределений данная модель существенно обобщена.
Особенности настоящей работы состоят в том. что в ней для параметрических семейств распределений реализован универсальный .метод нахождения несмещенных оценок для вероятностен линейных неравенств. Этот метод сводит сложную статистическую задачу оценки данных вероятностен в случае непрерывных случайных величин к нескольким задачам, каждая из которых решается стандартными способами. Эти задачи следующие.
-
Построение на основе результатов испытаний несмещенных оценок для плотностей распределений случайных величин, зависящих от неизвестных параметров. При нахождении на основе достаточных статистик несмещенных оценок реализуется байесовский метод построения несмещенных оценок, описанный и работах Абуссва. Лумельского. Патнлн. Сапожникова п других авторов. Байесовский метод существенно упрощает решение задачи нахождения несмещенной оценки плотности распределения.
-
С помощью выражений для несмещенных оценок плотностей
распределений находятся несмещенные оценки линейных функционалов, зависящих от данных плотностей, в частности, вероятностей различных линейных неравенств и дисперсий несмещенных оценок вероятностей.
Данный метод позволил упростить доказательство многих известных ранее фактов, а также получить новые результаты.
В случаях равномерного, двухпараметрического экспоненциального, нормального распределений полученные алгоритмы для нахождения несмещенных оценок и оценок максимального правдоподобия были реализованы на ЭВМ. При этом выборки из соответствующих распределений были получены методом статистического моделирования. Сравнивались относительные погрешности несмещенных оценок и оценок максимального правдоподобия при известных вероятностях линейных неравенств.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей и математической статистики, элементы линейной алгебры и теории функций комплексного переменного. Практическая реализация ряда построенных математических моделей проводилась с использованием ЭВМ.
Научная новизна и теоретическая значимость. Настоящая работа посвящена систематическому решению задач статистического оценивания вероятностей линейных неравенств. Получены следующие неизвестные ранее результаты.
-
Впервые получены несмещенные оценки дисперсий несмещенных оценок вероятностей линейных неравенств для одномерного нормального распределения. Найдено смещение оценки максимального правдоподобия при известной дисперсии и неизвестном математическом ожидании.
-
Найдены несмещенные оценки и оценки максимального правдоподобия для вероятности безотказной работы в модели "нагрузка-прочность" в случае равномерного распределения с одним и двумя неизвестными параметрами. Получена несмещенная оценка дисперсии несмещенной оценки вероятности. Построены оценки вероятности попадания в случайный интервал (двойное неравенство).
-
В случае двухпараметрического экспоненциального распределения с известным параметром масштаба и неизвестным параметром сдвига впервые найдены несмещенные оценки вероятности
безотказной работы в модели "нагрузка-прочность". Получены оценки вероятности попадания в случайный интервал. Найдена несмещенная оценка дисперсии несмещенной оценки вероятности линейного неравенства.
-
Построены несмещенные оценки вероятностей линейных неравенств для распределения Вейбулпа и гамма-распределения, распределений Бэрра н Рэлея.
-
В случае многомерного нормального распределения модель "нагрузка-прочность" была существенно обобщена. Введено понятие "линейного воздействия", когда "нагруока" и "прочность" линейно складываются из многих воздействий и найдены несмещенные оценки положительного линейного воздействия и его характеристической функции. Приведены выражения для несмещенных оценок дисперсий несмещенных оценок вероятностей положительного линейного воздействия.
Полученные теоретические результаты могут быть практически использованы при оценивании вероятности безотказной работы сложных технических систем, нахождении вероятностей ошибок в измерениях, а также прп решении ряда социально-экономических задач и задач, связанных со случайным цензурированием данных.
Теоретические результаты диссертащш были использованы при чтении спецкурса по статистическим методам контроля качества и надежности в Пермском государственном университете, будут полезны в научной работе студентов и аспирантов в Пермском государственном университете и Московском государственном техническом университете им. Баумана.
Основная часть исследований диссертации опубликована в работах В. В. Ившина [1-5], а также совместно с Я. П. Лумельским [6]. Вклад В. В. Ившина в совместной работе указан в диссертации.
Апробация работы. Теоретические п прикладные результаты докладывались на следующих научных и научно-технических конференциях: всесоюзный семинар с международным участием стран-членов СЭВ "Применение статистических методов в производстве и управлении", Пермь, 1990; межреспубликанская конференция творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики. Математическое, программное и информационное обеспечение.", Минск, 1992; шестая международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс, 1993; межрегионалъ-
ная научно-техническая конференция "Математическое моделирование систем и явлений", Пермь, 1993. Были также сделаны доклады на научных семинарах в Московском н Пермском государственных университетах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава подразделяется на параграфы, у которых первая цифра определяет номер главы. Нумерация формул, теорем, следствий и т.п. тройная: первая цифра означает номер главы, вторая — номер параграфа этой главы, третья — нумерацию внутри параграфа. Объем диссертации — 120 страниц.
Похожие диссертации на Статистические задачи оценивания вероятностей линейных неравенств
