Введение к работе
Актуальность проблемы
Основный объектом-исследования в классической теории массово- го обслуживания являются изолированные системы относительно простой структуры, в то время как в современных приложениях (к расчету вероятностно-временных характеристик компьютерных и коммуникационных систем и сетей) приходится иметь дело с группами взаимодействующих систем, т.о. с сетями обслуживания или, как мы предпочитаем говорить (поскольку термин "сеть" в приложениях употребляется в более узком смысле) со структурно-сложными системами. Обычно в инженерной практике, где уже давно отказались от рассмотрения изолированных систем, изучение сетей всякого рода проводится так называемыми " приближенными" методами (вроде метода эквивалентных замен Вилкинсона и Бретшнэйдера; метода декомпозиции Клейнрока и т.д.), которые не имеют строгого обоснования. Для расчета современных систем пепйпяии и обрабст:::: :п:фор;»аЦиИ, китирые чрезвычайно сложны в їєхничїсзом отношении и требуют громадных расходов на проектирование, создание и эксплуатацию, это совершенно неприемлемое положение. Развитие теории массового обслуживания в направлении исследования структурно-сложных систем интересно не только с прикладной, но и с чисто теоретической точки зрения, т.к. требует выяснения границ применимости классических методов, их обобщения, разработки новых методов, привлечения идей других математических теорий.
Нала работа состоит из двух частей:
-
Процессы обслуживания в структурно-сложных системах с потерями;
-
Случайные блуждания по многомерным целочисленным решеткам.
Эти части тесно связаны между собой как использованием идейно близких математических методов, так и общностью технических приложений.
Параая кнтересупщая нас проблема - это исследовзяиэ процессов . обслуживания з структурно-сложных системах с потерями; в математическом плане, коротко говоря, дело сводится к изучению флуктуирующих под действием случайных факторов конфигураций на графах. Эти системы возникают кшс математические модели таких систем связи, как неполнодоступше схемы (НС), шогозвенные схеш, сети с коммутацией каналов и т.д. От классических полнодоступных систем структурно-сложные системы отличаются тем, что для описания
их состояния недостаточно указать общее число занятых каналов, а требуется включение некоторых дополнительных параметров. Это приводит к тому, что фазовое пространство процессов, описывающих их функционирование, становится необозримо сложным; даже численный расчет затруднен (если только система не обладает большой симметрией). Для марковских моделей основы математической теории таких процессов заложили в 60-е годы В.Бенеш чи Г.П.Башаринг; важные результаты получены Ы.А.Шнепсоы (асимптотический анализ неполиодоступных схем) и др. В последние годы появилось несколько работ ( . tt at. J. AppL. fzcbcd. , 1984, P4; Ketfa P-F-
Ad),, fipftl. ptctcxi., 1986, П, ) по сетям типа /Л/<^1 на древовидных графах. К анализу систем типа Л /$! с обходными путями и тем более систем типа S сложной системы имеет определенную -структуру. Чаще всего мы используем то, что S является частично упорядоченным множеством, при доказательстве теорем эргодичности важно наличие структуры моноида и т.д.
Второе направление наших исследований - это изучение случайных блужданий по многомерным целочисленным решеткам, возникающих при анализе сетей коммутации пакетов и сообщений, систем гибридной коммутации, систем с повторными вызовами. Здесь нас интересуют два основных вопроса - изучение блужданий в полуполосе Z. *{4i>.., Н] , а также изучение свойств монотонности и сравнимости (относительно различных отношений порядка для вероятностных мер на Z* ) блужданий общего вида.
К блужданиям в полуполосе, обладающим свойством ,? -трансляционной инвариантности, сводится ряд вазиых прахледных задач в области комцуннкационных систем (гибридная коммутация с плавающим порогом, асинхронная интерполяция данных в паузы речи м т.д.). Очонь близкие по структуре блуждания возникают в статис-
'В.Беиеи. Математические основа теории телефонных сообщений. Ы.: Связь, 1968.
2/
'Г.П.Башарин, А.Д.Харкевич, Ы.А.Шнепс. Массовое обслужившие
в телефонии. М.: Связь, 1968.
тической физике в связи с изучением газа Лоренца (Я.Г,Синай), как модель теплопроводности (Краыли и др.) и т.д. Блуддания такого рода впервые рассмотрел В.А.Малышев, который дал необходимые и достаточные условия эргодичности и указал метод расчета стационарного распределения. Частные виды процессов такого рода изучали В.С.Королюк, Халфин, Сегал и др. Алгоритмические методы расчета стацнонерного распределения разрабатывал Ньютс и его группа. Однако целый ряд принципиальных вопросов не был изучен (достаточно сказать, что не была проведена классификация состояний в неэр-годическом случае).
Нестандартные блуздания в полуполосе Z.*Vt> ^} возникают при исследовании систем с повторными вызовами. Первые модели повторных вызовов были описаны в 50-е годы ( Wilkinson., Сокеп. ); соответствующие результаты в краткой фодае вошли в нззесг:=:с «о-;;сгра4"и Саати и тордана по теории массового обслуживания. Начиная с 60-х годов они интенсивно изучаются инженерами (Ионин Г.Л,, Шнепсті.А. и его ученики - Степанов С.Н., Школьный Е.И.; Корнышев D.H., Le (Jail и др.), В 70-80-е годы появился ряд работ математического характера (BJjieen-beij , Q-. Redout7 и др.), однако, несмотря на очевидные успехи теории повторных вызовов целый ряд принципиальных задач не был решен, например, не было никаких подходов к анализу асккптотического поведения систем при большой интенсивности повторения (наиболее вашшй предельный переход).
Отношения порядка для мер на Z+ в последние годы интенсивно используются при,исследовании конкретных процессов в сетях Двексона, системах с повторными вызовами, сетях ALOHA , теории перколяцни и др. Однако имеющаяся обцая теория монотонности сто-
'"Ионкн Г.Л., Седол Я.Я. Таблицы вероятностных характеристик пол-надоступного пучка при повторных Бызовах.М.: Наука, 1970. гЧїїнепс Ы.А. Систекы распределения информации. Ы.: Связь, 1979.
'Степанов С.Н. Численные методы расчета систем с повторными сцзовссзі. 11.: Наука, 1983.
'Ь. Q-иелйга. QtuueiM justwis with, ittutnino (adontu and Lkt otcUz d- tcuukm. oueuis. P&.2>. TfitsLi. Um/eviliu of Ca&Uitia,
бггіе&у, 1986.
7/fq. ИЫалЬ. A studtf of гьічіаі c^xczazi^ s-ystevu will 4utfiu>. tA.Tkesis, ttnivttslty oj. To-watb, /9в4.
хаотических моделей (Д.Штойян) для многомерных процессов результатов почти не содержит. Кроме того, при решении многих важных конкретных задач теории сетей (например, в эргодичности сетей ALOHh ) не принимались в расчет свойства монотонности, что приводило к весьма громоздким и неэффективным решениям.
Цель диссертации - разработать методы исследованая:-процес-сов обслуживания в структурно-сложных системах с потерям» (теоремы эргодичности, устойчивости и т.п. для систем типа Q/Q- , теоремы инвариантности для систем типа М/<р1 , доказательство "пуаесоновской гипотезы" для бодыянх звездообразных сетей типа М/^7 и т.д.);
стационарных распределений блужданий в полосе Z+x{J,..., N)
свойств монотонности относительно стохастической и обобщенной стохастической упорядоченности блужданий по многомерным целочисленным решеткам;
случайных процессов, связанных с однолинеКкммя н кного-дкнейкдаи полнодоступньши системами с повторили вызовами.
Обдая методика исследования. Для доказательства теоремы эргодичности и устойчивости использовались метод обновленая; функции Ляпунова, отноиения порядка для мер на Z_y . Асимптотические разложения получались с помощью метода монотонных траекторий, идей теории обращения возмущённых на спектре операторов и т.д. Теория свойств монотонности случайных блужданий по ?+ развивалась с помощь» метода одного вероятностного пространства,. теории фунхций Ыебиуса. Для укрупнения состояний симметричных неполнодоступных схем использовались идеи и результаты теории групп. Применялись и другие вероятностные и аналитические методы.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации является новыми. Они опубликованы в 34 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Приложения. Значительная часть результатов и методов диссертации использовалась при выполнении научно-исследовательских работ "Математический анализ функционирования программно-управляемых АИТС", "Исследование телефонных систем с приоритетами и повторными вызовами в условиях внедрения программно-управляемых АнТС", "Стохастические модели для оценки перспективных систем связи" и др., которые велись на механико-математическом факультете МГУ и внедрены в соответствующих организациях.
Результаты диссертации составили основу ряда специальных курсов по теории случайных процессов, теории массового обслуживания и их прилокеникм, прочитанных в 1982-1988гг. на механико-математическом факультете МГУ.
Результаты и методы диссертации, выдвинутые в ней идеи использовались в ряде работ по фвппии м»ссо;ого сбслу=;::хц;;;л, исполненных у нас в стране и за рубеяом.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на I Всемирном конгрессе общества математической статистики и теории вероятностей км.Бернулли (Топкент, 1986), ІУ Международной Вилькгс-ской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1985), Ш и ІУ Меедународных семинарах по теории телотрафика (Москва, 1964, София, 1988), Ломоносовских чтениях в І98І-І988гг.і ряде других конференций, на семинарах механико-математического факультета МГУ, факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, ЛОМИ АН СССР, институтов математики СО АН СССР, АН ЛитССР, АН УССР, Болгарской АН, Киевского Госуниверситета, ИППИ АН СССР и др.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 34 работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из двух глав, содергит 299 страниц техста, библиографии из 208 наименований на 21 страницах.
