Предельные теоремы для условно независимых схем суммирования Черняк Александр Иванович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Асимптотическое поведение неоднородных потоков редких событий 26

1.1. Предельные теоремы для потоков редких индикаторов 26

1.2. Асимптотический анализ неоднородных систем массового обслуживания 36

1. Системы массового обслуживания, управляемые цепью Маркова 36

2. Системы массового обслуживания, управляемые цепью Маркова, допускающей асимптотическое укрупнение 49

ГЛАВА 2. Предельные теоремы для потоков редких событий на цепях маркова 56

2.1. Асимптотическое поведение L -цепочек 56

2.2. Предельные теореїш для некоторых функционалов от редких событий на цепях Маркова 60

ГЛАВА 3. Предельные теоремы для сумм слабозависжых случайных величин 71

3.1. Предельная теорема для сумм зависимых случай ных величин 71

3.2. Предельная теорема для сумм случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания

3.3. Предельные теоремы для схем суммирования на стационарной последовательности и цепи Маркова 89

3.4. Обобщение на схему серий 97

3.5. Предельная теорема для схем суммирования на полумарковском процессе 113

Приложение 126

Заключение 129

Литература

• Системы массового обслуживания, управляемые цепью Маркова, допускающей асимптотическое укрупнение
• Предельные теореїш для некоторых функционалов от редких событий на цепях Маркова
• Предельная теорема для сумм случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания
• Предельная теорема для схем суммирования на полумарковском процессе

Введение к работе

Предельные теоремы составляют весьма обширный и один из центральных разделов теории вероятностей и находят все большее применение при решении прикладных задач.

Значительный интерес представляют задачи, связанные с исследованием асимптотического поведения сумм условно независимых случайных величин, которые могут применяться для решения различных асимптотических задач теории массового обслуживания и теории надежности. На эту связь указывал Б.В.Гнеденко в работе [ 33 3 . В частности, эти результаты можно использовать для нахождения предельного поведения потоков редких событий, возникающих на траекториях некоторых случайных последовательностей, при асимптотическом анализе надежности управляемых систем массового обслуживания.

Схемы суммирования случайных величин, определенных на стационарных последовательностях, цепях Маркова, полумарковских процессах исследовались многими авторами [ 1-3, 5, 6, 24, 25, 42, 43, 45, 46, 51, 52, 54, 62, 64, 71, 74, 75, 80, 83, 90, 95, 99, 106 2 и др.

В работах [5, 6, 8, 9, 14, 37, 38, 55, 69, 70, 80 - 82 ] и др. исследовались условия сходимости в различных топологиях процессов с условно независимыми приращениями и сумм случайных величин, заданных на произвольной случайной последовательности, удовлетворяющей условиям эргодичности, либо перемешивания, либо общим условиям сходимости частот.

Настоящая диссертация посвящена изучению предельных теорем для различных схем суммирования условно независимых случайных величин. Под последовательностью условно независимых случайных величин понимается последовательность независимых случайных величин, распределение которых переключается траекторией некоторой случайной последовательности. В работе рассматриваются как однородные, так и неоднородные схемы суммирования.

Исследуется предельное поведение неоднородных потоков редких событий, возникающих на траектории некоторой случайной последовательности. Получена общая предельная теорема, которая применяется для анализа надежности некоторых неоднородных систем массового обслуживания. Также найдены предельные распределения для количества редких событий, возникающих на траекториях конечных цепей Маркова, для сумм случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания.

Изучаются схемы суммирования с центрированием на стационарной последовательности, цепи Маркова, полумарковском процессе с дискретным временем и произвольным пространством состояний. Рассматривается случай, когда случайные величины и переключающая последовательность заданы в схеме серий.

Перейдем к краткому изложению результатов диссертации с указанием их места среди аналогичных исследований.

Работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы.

В первой главе "Асимптотическое поведение неоднородных потоков редких событий" доказана общая предельная теорема для неоднородных потоков редких событий и рассмотрены примеры асимптотического анализа неоднородных систем массового обслуживания.

При исследовании систем массового обслуживания часто возникают задачи, связанные с нахождением момента наступления некото- рых реких событий. Ряд таких моделей рассматривался в работах [7, 23, 31 - 34, 39 - 41, 49, 56 - 59, 62 - 65, 86 - 89, 105, 108] и др. В том случае, когда параметры потока или системы меняются со временем, традиционные методы, связанные с построением вспомогательного полумарковского процесса и исследования момента первого выхода из подмножества, не применимы, поскольку соответствующие процессы не обладают моментами восстановления. Ряд результатов по асимптотическому анализу неоднородных потоков, порожденных системами, у которых есть одно восстанавливающее состояние, а времена сидения-в других состояниях пренебрежительно малы по сравнению с временами сидения в этом состоянии, получены в [57, 58J . Некоторые результаты по исследованию потоков, порожденных неоднородными системами с многими точками восстановления, получены в [ТО*] .

В первой главе предлагается подход к данной проблематике, связанный с исследованием потоков редких индикаторов / появление единицы трактуется как наступление некоторого редкого события /. Этот подход развивался в работах [8, 14, 40, 41 ] .

В I.I доказывается общая предельная теорема для потоков редких индикаторов, определенных на некоторой дискретной управляющей последовательности.

Пусть Хи С к ) , к > і - некоторая дискретная случайная последовательность со значениями в произвольном измеримом пространстве (X , В_х ) */ {т„чк,х) ,^ХЬ^і и {jC^ (к,Х) , ХЄ X. } > К * і ~ семейства независимых от Х^С* ) и в совокупности неотрицательных случайных вели- х/ ecь и в дальнейшем By* ~ & -алгебра измеримых множеств на X чин и индикаторов. При этом предполагается, что при каждом к

Г***. Х*(к)) ^и /n.(^w і XrtCO) - случайные величины. Введем обозначение */ к = ± #и.(т) = Е /*(«. **<*>), па. ^1 .

Если ^_Л ( т., Хц. ( "* )) = 1 »^Т0В момент /Нц(иа) происходит редкое событие. Определим последовательности

Будем исследовать поток редких событий Vn. ( ) » моменты скачков которого есть величины їиь(и) , L^i » при соответствующем растяжении оси времени в предположении, что осуществление или не осуществление редкого события не влияет на поведение Хм. ( к ) , к > і . Пусть

В начале I.I доказывается вспомогательная лемма I.I, которая является аналогом теоремы Пуассона для слабозависимых индикаторов. Отметим, что в работе [і4] для сумм случайных индикаторов, заданных на случайной последовательности, удовлетворяющей условию равномерно сильного перемешивания, был получен аналогичный результат в предположении, что индикаторы удовлетворяют более жестким условиям / типа закона больших чисел /. Теоремы о сходимости сумм зависимых целозначных процессов либо точечных, удовлетворяющих условию типа равномерно сильного перемешивания, к пуассоновс- кому процессу с ведущей неслучайной функцией были получены в [18, 19 ] . Общие условия сходимости считающих и точечных процессов приведены в Г 38, 53 J . Там же указан достаточно полный обзор результатов в этом направлении.

Основным результатом I.I является

Теорема I.I. Если при п——** <* существует норми- рующий множитель /3„. такой, что {сліпії), л*М])}=> {т₀а),мі)},іеюл]^ где Го (~Ь ) - стохастически непрерывный процесс, Л (4:) непрерывный монотонно неубывающий процесс и _>*(*>-^-о, то конечномерные распределения потока V_n ( ^ t ) слабо сходятся к конечномерным распределениям потока "Vj (*) » последовательные моменты скачков которого есть величины Т₀ ( "&р ) , где !р - момент L -го скачка пуассоновского потока

П (Л (і )) > toii) ^и Л (і ) ^М0ГУ^{Т бшъ} зависимы, а |~] /. ) не зависит от ( Г₀ ( ) , Д ( )) Здесь П (-fc) - пуассоновский процесс с параметром единица.

Предельные теоремы для подобных схем исследовались многими авторами, в основном когда Хи.(^к) - однородный марковский или стационарный процесс, а распределения Тц.(* »Х) и ^и.^^к»#) не зависят от к . Подробнее этот вопрос я/ Символ [ а ] обозначает целую часть cl яя/ Символы > , * обозначают соответственно слабую сходимость функций распределений случайных величин либо конечномерных распределений случайных процессов и сходимость по ве- будет рассмотрен в главе 3. Для неоднородных цепей Маркова ряд результатов получен в работах Г 42, 45, 78, 90 ] . В работах [б, 8, 9, 14, 55, 81, 106] и др. доказаны предельные теоремы для последовательностей Х„.(к) , удовлетворяющих условиям эргодичности либо перемешивания.

В 1.2 рассматривается применение полученной в I.I теоремы к асимптотическому анализу неоднородных систем массового обслуживания. Параграф состоит из двух подпараграфов. В первом из них исследуется поток потерянных требований в системе массового обслуживания, управляемой цепью Маркова.

Пусть входящий поток в систему типа G-ц) Сг | f | О управляется однородной равномерно эргодической цепью Маркова X (< \ , к * 0 со значениями в произвольном измеримом фа зовом пространстве ( X > 8х ) » ЗГ ( А ) , А є Вх стационарное распределение цепи. Управление происходит следующим образом. Если Х(к)—Х ,то Ї и. (^к, X ) - промежуток между поступлениями К-і -го и К -го требований, 'Уіи.ік) -время обслуживания к - 1 -го требования, поступившего в систему, к *і , !„, Со, х) = 0 , хє X Случайные величины ^i^V* >х) _t хе"Х. > к ^ О ^иг/к.^(к)> кг» 1 - независимы от Х(*) ив совокупности и при каждом к, 1_кг(^к,Х(к)) - случайная величина. Если требование поступает в занятую систему, оно теряется.

Пусть V^. (-t) , -t ^ 0 - поток потерянных требований.

Теорема 1.2. Если при и. * <=>*> gup SUD Р{ 1^(к,Х} ^^(к)} -0 роятности случайных величин или случайных процессов. *цр sap Р{5^(к,Х₁)+ їпС^і,Х_г)^^^«)Д_пС<,Х,)б^«)}—-0, xJWC ⁷ и существуют нормирующие множители о^ и А я. такие, что

ДЛЯ І[0,і] ^p sup(i-/4exp{-flj&*il„.(*»x)}) ^0,0*0, где Л(±0,і)=О , ^я/ f:«CO,n ,Л(±) и А(в,±) непрерывны по і , то конечномерные распределения потока "Ти. (рп.'Ь' слабо сходятся к конечномерным распределениям потока V₀(i) , который задается последовательными момента ми скачков Xi , t > 1 , где J- = Г ( 36* ) , () - неубывающий процесс с независимыми приращениями вида

Мехр{-8ТЙ)} = ехр{-А(8Д)}, а "эер - момент t -го скачка неоднородного пуассоновского процесса ГЦЛіі^ ^с ведущей функцией Л ("і) » причем П С') и Г С') независимы. Во втором подпараграфе 1.2 исследуется поток потерянных требований в системе массового обслуживания, управляемой цепью х/ Символ А (±0 ,4:)=0 обозначает непрерывность в нуле функции A(8,-fc) по 0 для всех "f/є [o,f] - II -

Маркова, допускающей асимптотическое укрупнение.

Следует отметить работы [39, 40, 77, 88, 89, 94] , где получены другими методами, связанными с принципом монотонных траекторий, предельные теоремы для момента первого отказа в моделях неоднородного резервирования с быстрым восстановлением и в однородных системах массового обслуживания с полумарковским входящим потоком либо с входящим потоком, управляемым некоторым эргодичес-ким процессом со счетным множеством состояний.

Во второй главе "Предельные теоремы для потоков редких событий на цепях Маркова" изучается предельное поведение количества редких событий, возникающих на траекториях конечных цепей Маркова.

В 2.1 рассматривается следующая задача. Пусть Э(.) , ь^О - однородная неприводимая непериодическая цепь Маркова с конечным множеством состояний { і »«,... . К } и матрицей переходных вероятностей Р = || Р-'| 1 {. і = 1, К

Л' _t L**l_fK - стационарное распределение цепи. При этом і * ——— предполагается, что О -^ РЦ* I, t^B і, к .

Последовательность состояний цепи Маркова и ?(Jtrl) ф l при г 2s 1 назовем і -цепочкой длины Z "> і _t L~ 1, к . Вводятся случайные величины р (и. _f2^ ) - количество L -цепочек ДЛИНЫ 2ц, , момент начала которых не превосходит п . Для исследования предельного поведения P'_L (п., Z„_ ) _э L- ,к использует- ся подход, предложенный в первой главе, а также предельные теоремы для суперпозиции случайных процессов [б, 79, 80 ] . Основным результатом параграфа является - 12 -Теорема 2.1. Если п. —* <=*=> по некоторой подпоследовательности таким образом, что &»i J4exp{i ^jcn,^)}- expiree 4-і)} где oj «Cjfij (і- p^) ,

Также доказывается аналогичная теорема и для количества і -цепочек длины не меньше с п. . Иной подход к решению этой задачи для цепей Маркова с двумя состояниями рассмотрен в работе [l07] . Он основан на понятии рекуррентных событий [92"] . Заметим также, что феллеровская теория рекуррентных событий применялась ранее в работе [73] для конечных однородных цепей Маркова. Для знаменателя производящей функции вероятности первого появления любой комбинации на цепи Маркова получен ряд для наименьшего корня в общем случае и конечные формулы для асимптотики этого корня по Пуассону [92] . Следует отметить, что этот аналитический метод решения задачи является более громостким, нежели вероятностный метод, предложенный в 2.1.

В 2.2 рассматривается более общая задача. Из множества состояний {і , 2, . ... , к J цепи Маркова 36 (I) ,1^0 выделим подмножество A ^s і ї-1 » І. г » * ' » ^ir*^o^ _} і - І і ^ l& -= . < ^. l_m ± КГ yyi * vt ^^{сли цепь} ^^аР^кова находится в подмножестве Д некоторое время Z > і , то происходит редкое событие длины Z Пусть 5rt.C^sn_) - количество редких событий длины гт_ , момент начала которых не превосходит П. . Вводятся обозначения: Рд~ II Ри II ілєр\ , Д () - характеристический многочлен матрицы р_А , оС - - ІЗ - максимальное по модулю неотрицательное характеристическое число матрицы Р^ , dL^- і > %'S (яО " алгебраическое до полнение к элементу > -й строки і -го столбца матрицы об Е - Р. > А д (об) - производная Д_д (2 ) в точке об , СІ, =[ АдЫ^]"¹^ ^JuU).

Предположим, что оС " единственное максимальное по модулю характеристическое число. Основным результатом 2.2 является

Теорема 2.5. Если п. —* <=*=> по некоторой подпоследовательности таким образом, что hrn not**"¹- р₀ ^ * /0.1/ п.—*. о ^d то S kl C^n.) ==^% при *г -* «« по этой подпоследовательности, где - пуассоновская случайная величина с параметром їакже в 2.2 исследуется следующий поток редких событий. Если цепь Маркова находится в подмножестве А некоторое время 2^+^ , то происходит т.* L редких событий, т. ^ о ; («.) - количество таких редких событий, мо- мент начала которых не превосходит кг.

Теорема 2.6. Пусть выполняется условие /0.1/. Тогда ^Л СЯ. V- J и. {0=^ bj[ при и.—* оо по указанной подпоследовательности, где _х - случайная величина с характеристической функцией вида

УаЬехрІХоСі-сОСе^-іКі-е^0, )^_і}, ^{где Хо= /}

В случае, если максимальное характеристическое число о тлеет кратность к. "> 1 , утверждения теорем 2.5, 2.6 сохранятся, только условие /0.1/ заменяется на следующее: если к.—*- <=*=> по некоторой подпоследовательности таким образом,что: Um. УїВ^іг^) - f,₀ ^

ДС^І-сС^П П^і-І)

При этом в утверждениях теорем

Схема, аналогичная предложенной в теореме 2.6, была рассмотрена в работе [72] . Используя "метод секционирования" С.Н.Бернштейна и известные условия сходимости суммы независимых случайных величин к заданному безгранично делимому распределению [30, с.287] был получен аналогичный результат.

В случае равновероятной полиномиальной схемы и А = г *~ 5этот результат совпадает с результатом работы [ 22"] . Последовательность состояний ( 36 () , эе (⁺1),. . .. 36 (l+ S~і.)), 1^0 называется S -цепочкой [ 21, 22, 60 ] .В том случае, когда задана последовательность независимых испытаний, для количества S -цепочек в и. + і - і испытаниях анало- гичный результат был получен в [ 47 ] / этот результат приведен в Г 60, с.Зб"] /. Для последовательности испытаний, связанных в цепь Маркова / простую или сложную / с большим числом состояний и матрицей переходных вероятностей специального вида в работах [20, 21"] исследовались вероятности непоявления заданного числа $! -цепочек. Эти результаты обобщены в работе [48] . Довольно полный обзор результатов по этому направлению содержится в [50, 60] .

Подобно теореме 2.5 доказывается теорема о предельном пове- дении количества редких событий, возникающих на траекториях двух независимых цепей Маркова с одинаковым конечным множеством сос тояний. Здесь под редким событием длины Z понимается сле дующее событие при С і

В заключении 2.2 сформулировано утверждение для количества выбросов времен пребывания полумарковского процесса за высокий уровень.

В третьей главе "Предельные теоремы для сумм слабозависимых случайных величин" исследуются схемы суммирования случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания, определенных на стационарной последовательности, на цепи Маркова и на полумарковском процессе с дискретным временем и произвольным пространством состояний.

В 3.1 доказывается вспомогательная теорема для сумм зависимых случайных величин в схеме серий. Довольно общие условия для выполнения центральной предельной теоремы для сумм зависимых случайных величин приведены в [ 68 ] .В [36, 67, 68] указан перечень основных работ, относящихся к этому направлению. При доказательстве теоремы 3.1 использовалась стандартная методика, связанная с построением специальных оценок для разности между характеристическими функциями случайного процесса, построенного по сумме зависимых случайных величин и предельного процесса. Она применялась при доказательстве центральной предельной теоремы для сумм зависимых случайных величин [ 100, 101"] , для сумм мар- тингал-разностей [96, 97, 102] , для доказательства сходимости сумм зависимых случайных величин к безгранично делимым законам [98, 103, 104] . Следует отметить работу [ЮЗ] , где получены общие условия, достаточные для сходимости сумм зависимых случайных величин к безгранично делимым законам. Иной подход для исследования сумм зависимых случайных величин предложен в [27] . Суть его заключается в том, что суммы случайных величин предста-вимы в виде сумм мартингал-разностей и для проверки условий предельных теорем для них нужно доказывать вспомогательные предельные теоремы типа закона больших чисел.

В 3.2 теорема 3.1 применяется для доказательства следующей теоремы.

Пусть J^_L , _f 1^ , »г* i,2,.. . - последователь ность случайных величин, заданных на вероятностном пространстве (2 Во Р ) » ^{со значениями в} R. = (- ^в>, ** ).

Обозначим через { 7_Пк. > * ~ ^0,п- і ~ поток S* -алгебр таких,

ЧТО {.fl ,0.}= 1иго - J"nt~ - J-гьух. И 1и.к, ЯВ-

ЛЯеТСЯ J-txK. -измеримой случайной величиной, * _О=о, п.- L Z . . . Положим tut] **<*)= И 1пк , Ь[0,1] .

Теорема 3.2. Если последовательность J^ , »с= і, п.удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания с функ цией перемешивания Ч^ (*-) , к ^. о такой, что ^_п(о)=1 , tim liZ 4^ С* > = О и для любых ^eR._>>Q <-» ОО УХ.

с=1 - 17 -где а_(*,-Ь) непрерывна по і и е. (± о ,-t ) so ,teCo,n , существует константа С < <=*=> такая, что - ^а(Т,^А".^ ))}Л,..-,^0,41,^,...,^^,

В 3.3 исследуется предельное поведение сумм случайных величин, определенных на стационарной последовательности или цепи -Маркова с произвольным пространством состояний.

Пусть X ( к) , к & о - стационарная в узком смысле последовательность случайных величин со значениями в произвольном измеримом пространстве (X > Bv ) » удовлетворяющая условию равномерно сильного перемешивания / р.с.п. / с функцией перемешивания Y_{к }} к ъ. О : % = 1 , Сі'ит. ^к. = 0 . ^"с⁼ ( Ic^jX) , хеХ ] ) к:^ і - независимые от X (к) и в совокупности семейства случайных величин со значениями в jj , распределение которых не зависит от индекса к , и при каждом ус J С х- , ХС*)) - случайная величина. При этом _кл сАІс«,х) . _% , .С, , , оС _ч

ИЄ = і+іХ*пСх)-ІЛІС!сх)-«-0(Х, |А| ), і* d± г , ЛєЯ _t хеХ » ^гД^{е m}Cx) и С С*) - некоторые By -измеримые действительные функции, причем Є(Х) - положительная.

В 3.3 доказывается сходимость J. * ^ *г>]Г] С ЇС*с>ХОО)-іті) при vi-+<*=> к устойчивому закону. Здесь ^-J^cx)Jrcdx) , JTcА^ = Р{хсо)єА} , Ас В_х . X

Подобные схемы исследовались многими авторами. Центральная предельная теорема для последовательностей случайных величин, связанных в цепь Маркова / однородную или неоднородную / либо для стационарных последовательностей рассматривалась в работах [2, 3, 24, 27, 42, 43, 45, 46, 51, 52, 71,75, 78, 83, 90, 95] и др. В работах [і, 51, 74, 99] исследовались условия сходимости сумм случайных величин, связанных в цепь Маркова либо заданных на стационарной последовательности к устойчивому закону. Теореїш типа принципа инвариантности для полумарковских процессов приведены в [54, 106 ] . Схемы суммирования на стационарных или марковских процессах с произвольным пространством состояний исследовались также в работах Г 6, 12, 25, 55 ] и др. Основным результатом 3.3 является Теорема 3.3. Если Z*~- ЛЛт^г(Х(о)) < <х=> , к = і ІЛС(Хіо)) < оо , jlo(x, UI^JlJTcdx) = 0(1x1*), X рде tim IM 0 ( M і } = 0 , гов случае л—» о ^І' і-* об -< г и. об = г ^- а^_л^^а^«- -А (с *—e~ ) -ч п lim ЛЛЄ = , А R. , /0.2/ /0.3/ где С = /Чс(Х(0)) , г. _ Я

6^J = M(w(X(o))-m)t2E^(^w(X(o))-m)(M(x(K))-hi)

Также доказывается аналогичная теорема и для цепей Маркова с произвольным пространством состояний и произвольным начальным распределением.

В 3.4 результаты 3.3 обобщаются на схему серий.

Пусть X* (*) ,к^О - стационарная в узком смысле последовательность случайных величин со значениями в произвольном метрическом пространстве ( УІ , Оу- > Р ) , удовлетворяющая условию равномерно сильного перемешивания с функцией перемешива- ния Ч>^ ( к ) , к * О :

1С-*' у^_Ск) = {!„_(.*,*) ,ХбХ],<^і " независимые от Х^С* > и в совокупности семейства случайных величин со значениями в R. , распределение которых не зависит от индекса к _? и при каждом к 5_И_С^К>Х_И.С^)) - случайная величина, L By -измеримые действительные функции, причем

СцОО - положительная. В этом случае

Теорема 3.5. Если при и.

Лі(- )=> .л С- ) , /0.4/ где jl (А) , А^е 8х " некоторая вероятностная мера на гіт т^Сх) - mCX) , /0.5/ ki -* e>e -urn C„_C*> = C(X) /0.6/ равномерно no xeX » ^гД^е >^(^x) ^и C(x) - 6v измеримые, почти всюду по мере J7(- ) непрерывные функции,

Сіт. Ііугг Sap иГЮи.СХ, IM* )(=0 , _{/n 7/}

6« е; V^7o = о, /0.8/ //—* «хэ л —* оо К ^ Л/ и существует конечный предел km km Zl M(m_№(_JX_ll(o))-m_rt)(m_n(X_rl(»c))- »^г_Л)^вІі, -» во И -* оа то справедливы утверждения теоремы 3.3 : /0.2/ и /0.3/, где С = JCCX)X(dx) , б' = [(и*гСХ)-пг)²Х(сІХ)+г(г , = JmCX)JTCc/x) , 2^г = J m*cx)0r(cix).

Аналогичный результат справедлив и для цепей Маркова с прои- звольным пространством состояний и произвольным начальным распределением.

В заключении 3.4 приведена подобная теорема для разложения г\ =1 + L*/*^*cx)+ #*(:*с\-х)+ ^/0-^9/ + Он С*,Уи. ) ' ^где /«- > %"- " ^некотР^ые нормирую- щие множители такие, что в „. —-* 0 , ^ц. —* 0 при п. —*» <=*=> _f

С и. C^fX) - некоторая комплексная функция, которая при любом фиксированном ?\ равномерно оганиченная относительно kl на множестве X и Bv -измерима, Re с^с^х) ^0.

В этом случае вместо условий /0.6/, /0.7/ требуется выполнение следующих условий dm СЛ^, X) «CC>,X) /0.10/ равномерно no X X при любом фиксированном /\ и Um SUp ^ I О и. СХ , tfOl =0 . /O.II/

Доказана теорема о сходимости процессов ступенчатых сумм в J" -топологии Скорохода [84"] к однородному процессу с независимыми приращениями с кумулянтой [ С(?0 » ^ЄСЛИ firt- 0Цуі) где СІХ) = JcC>,X)5l(cJx). ^к/

В 3.5 рассматривается схема суммирования на полумарковском процессе с дискретным временем и произвольным фазовым пространством.

Пусть L/_l1_(»c)_>KasO - полумарковский процесс с дискретным временем со значениями в произвольном метрическом пространстве (_ X , Bv , Р ) і для которого заданы вложенная эргодическая цепь Маркова X^CO.tc^o ^и семейства независимых от х„,С ) ив совокупности случайных векторов {T_nd,X) , 3„.(,Х) , ХсХ } > 1*0 ' Распределение которых не зависит от индекса . Здесь f^ (С,х) я/ Под интегралом Лебега от комплексной функции -f (X) понимаем U(x>jlCо в состоянии X при t -м попадании в него. Предполагается, что при каждом [

2и.(^» ^Х«.С^)), „.(,*„.()) - случайные величины, цепь Маркова X* (^к). к ^0 удовлетворяет условию р.с.п. с функцией перемешивания %^(^к) > ^к > ^ ЗЇ"и.СА) ,

А С By " стационарное распределение цепи, и справедливо представление /0.9/. Обозначим через

I*tt) =J5* ( 5к ( * ^н.«))- пги.) , -tc [0,1] , _{X X} m_№= иг_Л

Схемы суммирования на полумарковском процессе исследовались в работах [5, 54, 61, 64 - 66, 80, 1061 и др.

Основным результатом 3.5 является Іеорема 3.8. Если выполняются условия /0.4/, /0.5/, /0.8/, /0.10/, /0.II/ И dm l>_n(x)=g(x) , #m V„.(X)*V(X) равномерно no xcX » ^ГД^е DC*) ^и V(X) - Bv-измеримые, почти всюду по мере UlL-) непрерывные функции, равномерно по X Є X ^и yl- 1,1, ссиг Su-p Sup Mt^CKjXjTCCt^Cc^) >л/)=0 -24:- существует конечный предел iim Urn Z]MC^Ki(^KiCO)b ^)8^(^(.0))

Ы-~<~* п.— ос _K__L где J₀ (4:) - однородный процесс с независимыми приращениями с кумулянтой

Д са)= 1 ^ ^Сі^СА)' ^ЄСЛИ J³^" (W где ^С^^ { ССА,Л)^(х;ХЫх) , m = jm(x)Scx)jT(clx>B , U= [x/oo(mcx>-m)²- m*x)Rcx)]5T(dx), В=]І>(х)5Г(<1х). X X

Заметим, что в случае Р*.⁼ О*. / центральная предельная теорема / аналогичный результат был получен в [бб] для однородных процессов с независимыми приращениями с полумарковскими переключениями. При этом для доказательства применялся метод асимптотического анализа уравнений марковского восстановления для производящих функций переключаемых процессов уклонений, основанный на предельной теореме обращения сингулярно возмущенных операторов.

В приложении приведены некоторые важные предельные теоремы из теории сходимости случайных процессов, которые многократно используются в диссертационной работе.

Завершает диссертацию заключение, в котором даются основные выводы работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались в 1980 - 1984 г.г. на Республиканском семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Институте математики АН УССР, на Республиканском семинаре "Статистический анализ и оптимизация стохастических систем" в Киевском государственном университете, на семинаре в Институте математики и кибернетики АН Лит.ССР, на Всесоюзном научно-практическом, семинаре "Статистические методы исследования процесса функционирования сложных технических систем / качество, надежность,' эффективность /" / г.Москва, 1983 г. /, на научно-технической конференции "Вероятностные методы и средства" / г.Новгород, 1983 г. /, на межвузовской конференции молодых ученых "Развитие фундаментальных и прикладных исследований" / г.Ленинград, 1984 г. / и опубликованы в работах [ II, 13, 15 - 17, 93 ] .

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору В.В.Анисимову за постановку задач, обсуждение результатов и постоянное внимание к работе.

Системы массового обслуживания, управляемые цепью Маркова, допускающей асимптотическое укрупнение

Предельные теоремы составляют весьма обширный и один из центральных разделов теории вероятностей и находят все большее применение при решении прикладных задач.

Значительный интерес представляют задачи, связанные с исследованием асимптотического поведения сумм условно независимых случайных величин, которые могут применяться для решения различных асимптотических задач теории массового обслуживания и теории надежности. На эту связь указывал Б.В.Гнеденко в работе [ 33 3 . В частности, эти результаты можно использовать для нахождения предельного поведения потоков редких событий, возникающих на траекториях некоторых случайных последовательностей, при асимптотическом анализе надежности управляемых систем массового обслуживания.

Схемы суммирования случайных величин, определенных на стационарных последовательностях, цепях Маркова, полумарковских процессах исследовались многими авторами [ 1-3, 5, 6, 24, 25, 42, 43, 45, 46, 51, 52, 54, 62, 64, 71, 74, 75, 80, 83, 90, 95, 99, 106 2 и др.

В работах [5, 6, 8, 9, 14, 37, 38, 55, 69, 70, 80 - 82 ] и др. исследовались условия сходимости в различных топологиях процессов с условно независимыми приращениями и сумм случайных величин, заданных на произвольной случайной последовательности, удовлетворяющей условиям эргодичности, либо перемешивания, либо общим условиям сходимости частот.

Настоящая диссертация посвящена изучению предельных теорем для различных схем суммирования условно независимых случайных величин. Под последовательностью условно независимых случайных величин понимается последовательность независимых случайных величин, распределение которых переключается траекторией некоторой случайной последовательности. В работе рассматриваются как однородные, так и неоднородные схемы суммирования.

Исследуется предельное поведение неоднородных потоков редких событий, возникающих на траектории некоторой случайной последовательности. Получена общая предельная теорема, которая применяется для анализа надежности некоторых неоднородных систем массового обслуживания. Также найдены предельные распределения для количества редких событий, возникающих на траекториях конечных цепей Маркова, для сумм случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания.

Изучаются схемы суммирования с центрированием на стационарной последовательности, цепи Маркова, полумарковском процессе с дискретным временем и произвольным пространством состояний. Рассматривается случай, когда случайные величины и переключающая последовательность заданы в схеме серий.

Перейдем к краткому изложению результатов диссертации с указанием их места среди аналогичных исследований. Работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы.

В первой главе "Асимптотическое поведение неоднородных потоков редких событий" доказана общая предельная теорема для неоднородных потоков редких событий и рассмотрены примеры асимптотического анализа неоднородных систем массового обслуживания.

Предельные теореїш для некоторых функционалов от редких событий на цепях Маркова

В первой главе предлагается подход к данной проблематике, связанный с исследованием потоков редких индикаторов / появление единицы трактуется как наступление некоторого редкого события /. Этот подход развивался в работах [8, 14, 40, 41 ] .

В 1.1. доказывается общая предельная теорема для потоков редких индикаторов, определенных на некоторой дискретной управляющей последовательности.

Пусть Хи С к ) , к і - некоторая дискретная случайная последовательность со значениями в произвольном измеримом пространстве (X , Вх ) / {т„чк,х) ,семейства независимых от Х С ) и в совокупности неотрицательных случайных вели х/ ecь и в дальнейшем BY & -алгебра измеримых множеств на X чин и индикаторов. При этом предполагается, что при каждом к Г . Х (к)) и /n.(w і XrtCO) - случайные величины. Введем обозначение Если Л ( т., Хц. ( " )) = 1 »Т0В момент /Нц(иа) происходит редкое событие. Определим последовательности

Будем исследовать поток редких событий Vn. ( ) » моменты скачков которого есть величины їиь(и) , L i » при соответствующем растяжении оси времени в предположении, что осуществление или не осуществление редкого события не влияет на поведение Хм. ( к ) , к і . Пусть

В начале 1.1. доказывается вспомогательная лемма I.I, которая является аналогом теоремы Пуассона для слабозависимых индикаторов. Отметим, что в работе [і4] для сумм случайных индикаторов, заданных на случайной последовательности, удовлетворяющей условию равномерно сильного перемешивания, был получен аналогичный результат в предположении, что индикаторы удовлетворяют более жестким условиям / типа закона больших чисел /. Теоремы о сходимости сумм зависимых целозначных процессов либо точечных, удовлетворяющих условию типа равномерно сильного перемешивания, к пуассоновс кому процессу с ведущей неслучайной функцией были получены в [18, 19 ] . Общие условия сходимости считающих и точечных процессов приведены в Г 38, 53 J . Там же указан достаточно полный обзор результатов в этом направлении.

Если при существует норми рующий множитель /3„. такой, что где Го ( Ь ) - стохастически непрерывный процесс, Л (4:) непрерывный монотонно неубывающий процесс и то конечномерные распределения потока Vn ( t ) слабо сходятся к конечномерным распределениям потока "Vj ( ) » последовательные моменты скачков которого есть величины, где - момент L -го скачка пуассоновского потока бшъ зависимы,не зависит от Здесь П (-fc) - пуассоновский процесс с параметром единица.

Предельные теоремы для подобных схем исследовались многими авторами, в основном когда Хи.(к) - однородный марковский или стационарный процесс, а распределения Тц.( »Х) и и. к»#) не зависят от к . Подробнее этот вопрос я/ Символ [ а ] обозначает целую часть CL яя/ Символы обозначают соответственно слабую сходимость функций распределений случайных величин либо конечномерных распределений случайных процессов и сходимость по ве будет рассмотрен в главе 3. Для неоднородных цепей Маркова ряд результатов получен в работах Г 42, 45, 78, 90 ] . В работах [б, 8, 9, 14, 55, 81, 106] и др. доказаны предельные теоремы для последовательностей Х„.(к) удовлетворяющих условиям эргодичности либо перемешивания.

Предельная теорема для сумм случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания 84

Пусть теперь х С ) , к . о - однородная эргодическая цепь Маркова с фазовым пространством ( X , Br ) » удовлет воряющая условию р.с.п. с функцией перемешивания Ч7 ,к»о можно сделать достаточно малым, выбрав . Первые два слагаемых при выбранном S стремятся к нулю равномерно по А , лежащим в произвольном конечном интервале

В работе [44] доказана теорема, что если для некоторого к0 функция перемешивания цепи Маркова то существуют некоторые константы С и с , о -= с «= , 0-=p .L что при всех к ч к срї . В нашем случае ({ Ч - о и, таким образом, согласно этому ре к— = зультату условие /3.24/ теоремы 3.3 будет выполнено. Далее пользуемся теоремой 3.3.

Замечание 3.1. Пусть цепь Маркова (. ), - о удовлетворяет условию Деблина, неприводима и непериодична [46, С.І76І . Тогда она удовлетворяет условию р.с.п. с функцией пере мешивания Ч к - Q-f " , где OL и в - некото рые константы

Замечание 3.2. Аналогично теоремам 3.3, 3.4 можно доказать теорему о слабой сходимости конечномерных распределений случайного процесса к конечномерным распределениш.1 однородного процесса с независимыми приращениями БоООДє Lo.il с кумулянтой АО) при и — «х» , где - IMC , \ cL Z -Хг(С-ь -2 ) =2 ,АєЦ - 97 3.4. Обобщение на схему серий. Пусть Хк.С ) Кг= - стационарная в узком смысле последовательность случайных величин со значениями в метрическом пространстве ( XI , В v- , Р } удовлетворяющая условию равномерно сильного перемешивания с функцией перемешивания тп і ) - I ( , ) , єХ \ , 1 независимые от X () и в совокупности семейства случайных величин со значениями в , распределение которых не зависит от индекса к и при каждом к- ( » 1 в 1ггСК,Х, U) , хєХ сое ь2 - 6у х Q Q -измеримая функция. При этом . I і Мя (к,х) . Л 4itCA,x ) = Пе = + IXKTJ„CX) - [АГС„0)+ /3.34/ + 0 (х,Л ) J oC 2,A6R fxeX гДе " „( ) и Си Сх ) - некоторые равномерно ограниченные относительно п. на множестве X. Вх -измеримые действительные функции, причем С .С ) - положительная. Аналогично 3.3 обозначим _i- п Ї" e " Zl ( и К Х" (" "" ) і ГДе m & J и(х)?„(с1х ) , Jn (А )- Р{ХиСо)А},АеВх X Если последовательность функций тиСх) сходится к 4 0 ) - 98 при УІ — равномерно по хеХ , то будем это обо значать следующим образом и (.х) —\ (. ) , хеХ . Теорема 3.5. Если при и — jr„C-)S 5Го), /3-35/ где JT(A) А 8v " некоторая вероятностная мера на ч лг /3.36/ пг„(.х):=3. тек) ,хє А , ( 0 )= С СО , ХеХ , /3.37/ где тех) и С С ) - 8х -измеримые, почти всюду по мере Зі i-) непрерывные функции, Ьт tfa SUP (ХГ ІОЛХ, ІХҐ) SP.. /З-38/ А- о — ooxJx fcm fc oO =0 , /3.39/ и существует конечный предел Л/ Urn 4n ZM( то в случае I. ( - сС - 2 let/ л а„ -їх Гс . п h — о Х,п . с?г- & II. оС = S. л кл LX Cn -X СС g - ) v - р w - 99 где С= fee ) J4 сІХ) , ё = J ( (x) -w jrCcU) 2 , кп - ( cx)JU ix) , & » пЛх)ЗГЫО. X Доказатель ство. Из представления /3.34/ следует, что равномерно относительно X в любом конечном интервале х Т SUP ІУлСл"51, xW I -o,v!— oo . xeX1

Таким образом, для достаточно больших »ч_ при X , лежащих в произвольном конечном интервале л I Т выполняется неравенство st/p „ (А и , х ) - і « /г и поэтому хеХ1 определены си Чп (А и" , X ) / главные значения / и справедливо представление /3.28/, т.е. \ы (А,Х) = & Мехр Хп" ( ІпСк.х)- юп )}--Си (Є (Н iA m Cx) -C„(x)V + + j- " m tx) + 0Л (X, -7Г ) , ХЛ . Условие /3.35/ означает,что X для любой ограниченной непрерывной & -измеримой функции - 100 С ) хеХ . В работе [28, с.437] доказано, что из условия /3.35/ следует, что /3.41/ выполняется для любой ограни ченной Вх -измеримой и почти всюду по мере ji (;-) непре рывной функции -f сх) , ХбХ .В силу /3.36/, /3.37/, тех) и ссх) - ограниченные функции. Тогда из /3.35/ - /3.37/ следует, что J Kn„cx)5T« Cdx) - J cx) fr(dx) J 1 т„сх)Я,(с!х) X X X - JmCx)JUCdx)t мсх)ЗГиС іх)- jmcx)JTcciA)— o, XX x Kl — o-e» , Т.Є. ы vn n = m . Аналогично &m (c«Cx)j?„C )=C , /3.42/ &- (hnicxj tdx , /3.43/ X Я С S-2" при o-& , в силу представления /3.34/ и условий /3.35/ - /3.37/. Докажем теперь, что при y Z» (иСХ (к))- mn) = /\/(о,г), /3.44/ Обозначил через о « поп ( Ккі ОО) "- а . Последовательность оСуік , к- о обладает следующими свойствами: 2. Равномерно ограничена с вероятностью единица; 3. Удовлетворяет условию р.с.п. с функцией перемешивания - 101 S4J.K) 4VtC 0 , кі -о [51, c.437] и выполняется /3.39/ ; п 4« 3)( 21 п« ) — Э ЦРИ Ц- оо. Докажем последнее свойство. »с=і к:=і M(m„(Xr,(0))-mJ(in„(x„(ic))- w ). Оценим bUpcU, ! » ГДЄ X д»г — о при п. —» x= t в силу /3.35/, /3.36/. Л/ А/ Эп IS М п - tlw, fcm X MdUodU I + - 102 Устремляя сначала ю. — » , а затем, полу чим, что в . — о , т.к. согласно неравенству /1.25/ Л/ к л/ где 0(.VIK ) с С с вероятностью единица, к.&о, n \,Z,.... и выполняются условия /3.39/, /3.40/. Аналогично оцениваем и ЯС I—гЯ— 1 (0 ) -о, п. -во. Z Таким образом, J g - J)( = i ) и свойство 4 выполняется. Предположим, что О Обозначим Доказательство /3.44/ будем проводить аналогично доказательству теоремы 20.1 [24, C.24IJ / см. приложение, теорема 2 / с тем отличием, что величины ОСГУК. , ic?o зависят от парамет ра п. /т.е. рассматривается схема серий /. Покажем, что последовательность 8ц И , n»U, равномерно интегрируема, т.е.

Предельная теорема для схем суммирования на полумарковском процессе

Переходя в /3.64/ к пределу по и получим, что первое слагаемое в правой части, в силу /3.65/, равно 0 для любого фиксированного N , а второе слагаемое, в силу /3.69/, выбором л/ может быть сделано сколь угодно малым. Таким образом, Р{і(Ч„(±)І }=0 , te ІоДІ . /3.72/ Обозначим через S m С"Ь следующий случайный процесс

Поскольку равномерно относительно X , лежащих в произвольном конечном интервале в силу равномерной ограниченности ъп (.х) и представления /3.52/. При оценке использовалось неравенство /1.4/. Тогда при достаточно больших о. и при X , лежащих в произвольном конечном интервале 1 X \ Т , выполняется неравенство и поэтому определены in Мехр \ і Л д XL (\(,х}-/п ) Это следует из представления для функции in(Z } и условий /3.54/, /3.58/. Теперь для достаточно больших п и при Л , лежащих в произвольном конечном интервале I Л Т , справедливо представление

Аналогично доказательству теоремы 3.5, используя теорему 20.1 [ 24, с.241 ] / см. приложение, теорема 2 /, можно показать,что где W (-L ) - винеровский процесс с коэффициентами переноса 0 и диффузии

При этом используются условия /3.35/, /3.36/, /3.39/, /3.55/, /3.58/, /3.59/. Из условий /3.35/, /3.39/, /3.53/, /3.55/, аналогично доказательству /3.50/, следует, что при п — о& к = о Аналогично из условий /3.35/, /3.36/, /3.39/, /3.55/, /3.56/ следует, что при п. — с к -о & \ р " г Х LP p J t .y Из /3.73/ следует, что с вероятностью единица Используя эти соотношения, аналогично доказательству теореїш 3.7, получим, что л где А ( -Ь ) - однородный процесс с независимыми приращениями J ХсЛкЪ v(x.) (/ж ) - т) о с кумулянтой - 125 , сл если fin. = о( Ю п. Воспользовавшись теперь теоремой 4 [ 80, с.46 ] либо теоремой 3.3 [ 5 J о суперпозиции случайных процессов и соотношением /3.72/, получим утверкдение теоремы. .

Замечание 3.8. Как видно их хода доказательства теоремы 3.8, в случае уз - о ( Ук ) , вместо условия /3.58/ доста точно потребовать выполнение условия /3.60/.

Поскольку в диссертации многократно применяется теорема о слабой сходимости суперпозиции случайных процессов и центральная предельная теорема для стационарной последовательности случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания, представляется целесообразным привести их в настоящем приложении.

Пусть для каждого - случайный процесс, принимающий значения в /с , траектории которого с вероятностью единица принадлежат J)f0 , пространству функций на Г о , с ) без разрывов второго рода, непрерывных справа; О =( ./= -f} т ) - случайный вектор, принимающий значения в к , такой, что v . о у а і = -f, т с вероятностью единица.

Здесь модуль непрерывности в Т -топологии [ 84 1 . Теорема І справедлива и в случае, если вместо соотношения б/ потребовать компактность процессов л J в топологии !Л г у введеной в [ 84 J / замечание І [ 80, глава 2, I, с.38 3 либо следствие теоремы 3.1 Г 5, с.24 ] /.

Похожие диссертации на Предельные теоремы для условно независимых схем суммирования

Предельные теоремы для схемы суммирования случайных величин с остаточной зависимостьюРусаков, Олег Витальевич

Сходимость вполне и предельные теоремы в схеме серийМикушева Анна Евгеньевна

Многомерные предельные теоремы для бесконечных схем случайных размещенийМаматов, Муротхон Тоштиллаевич

Предельные теоремы для многоэтапных схем размещения частиц по ячейкамШибанов Олег Константинович

Предельные теоремы для полумарковских случайных эволюций в схеме асимптотического фазового укрупненияСвищук, Анатолий Витальевич

Предельные теоремы для времен ожидания в равновероятной схеме размещения частиц комплектамиЗнатская, Наталия Юрьевна