Введение к работе
э .
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Задачи к случайном рнлмсщенми частиц по ячейкам — одно иї оспоипих пяираилепнй дискретной теории вероятностей, которое в настоящее время интенсивно раЛВКНаСТСЯ.
Интерес к таким задачам обусловлен простотой и наглядностью постановок и многочисленными приложениями получеппих лд<*сь результатов во многих областях науки и техники, таких как матемічическші елатпстмха, теория надежности, статистическая фи.іика, социолог-ил, экономика, биология и другие.
В качестве более обшей схемы в теории размещений о последние годи полнилось много работ, поевлгцеплшх изучению схемы размещении частиц комплектами. Лляная работ» обобщает некоторые и_і них, а полученные результаты об асимптотическом понедении статистик пустых ячеек и ире-меп ожидания можно использовать в статистических приложениях в указанных областях. Прииспеяпые здесь методы дагаг возможность изучения подобных схем размещения.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ — получение предельных распределений для статистик времен ожидания в равновероятной схеме размещения чистил, комплектами по ячейкам,среди которых выделено конечное число к групп ячеек и получеине оценок скоростей сходимости к предельном законам распределения при общем числе ячеек N —» оо, k ~ 1 и разных соотношениях между параметрами схеыи.
Размещение комплектов частиц ведется до момента, гнячашюго с достижением п определенном числе групп установленных для каждой группы "уровней заполнения", то есть когда впервые в них количества непустых ячеек окажутся не меньше заданных чисел.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Изучаются предельные {при N —» оо) распределении случайных величин (св.) с'1' и іЛ*\ являющихся соотиетстие.нио количествами размещенных комплектом до моментов, к«»гда впервые хоти би а одной и во всех выделенных группах будут достигнуты свои "уровни заполнения", а также св. vj^ - (іА1)(іЛ*І). Метод Исследоиалил состоит прежде ьсего и переходе от решении обратной задачи нахождения предельных распределении св. »^l\ "^,i*i,4 к решению
нрлмоЙ міяпчи — изучению асимптотического ііовєдсішя
векторни* статистик пустых ячеек До = ("v0>. ЛГ«). » = й ').
ро (|»о('м , А'і). №і(«3і Л^,), і гз 1, А) среди ячеек каждой группы размерами
Nt,... ,Л'*,(М — Х2 " - ") восяо размещения соответстнеиао п,Пі,п5 комплектуй частиц.
Специфика приведенной схеми при М < N в отличие от случая М = N состоит н том, что здесь н М ячеек после размещения п комплектов поилдаег случайное числе» частиц, в то время как в Л' ячейках их тп.
Исследование иредельиых распределений для статистик пустых ячеек при I = 1 ио наблюдаемой группе ячеек проводится частично методом ' моментом, частично на основании доказашой здесь представимости см. ро(»»Л4) = fio(><) в пили композиции некоторых двухточечных с», и аяа-логичло проведенному ь статье В. Л. Ватутина и В. Г. Михайлова'. А при к > 1 асимптотическое поведение вектора пустых ячеек изучается с использованием представления веролтпостеЙ P{jio(n, Ni), і = I,к) и Г{/'о("і. Ni) — «і»Мо("ї. Ni) = A, » = Ї7Ї} в виде произведения вероятностей звдышлго числа пустых ячеек среди М вмделешшх к обобщенной іипергеометричссюй вероятности.
Таким образом, при к>1 в »том представлении можно воспользоваться результ/ітамн случая к = 1 о предельных распределениях количеств пустых ячеек, а асимптотика обобщенной гниергеометркн нг.следуетел путем представления ее через биномиальные вероятности и применения к вей нормального и пуассононског*» приближений. Далее переход от результатов для предельных распределений с.в. /<о(п) и JIc(ni,nj) к соответствующим результатам для времен ожидания проводится проведением стандартной техники получения кз локальных теорем интегральных.
В ряде теорем используется явный вид вероятности:
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Осиоваие результаты работы являются ио-
1 Предельные теореми для числа пустых ячеек в р&иііовероятной схеме размещения частиц комплектами. Теория вероятностей и се применение. 1ЄЙ2, ЗТ, CS4-692.
ними, п пмепно :
— ТОЧІІПЛ фіфМуЛП ДЛЯ факТириПЛМІЬІХ МРМЄНГОІІ E(/J()(ri, M))j для СП.
/<о — числа пуг/ru* ячеек среди М т>\зп$пгг\тт (чкюдп получаются пмрсужения для E/»o(n, Af) u D«o(n, М)),
Асимптотическое разложение для E(/iH(n, //))j при W — со и разных сооттгашепилх между параметрами схемы,
предствяение с.в.;*о(»>,.А/) в виде суммы иезаписимых двухточечных св.,
бнноыиальнал, иуассоноиская н нормальная Tfupt-MU <>Ґ> асимптота чвекпм поведении c.u. /io(n,A/) цри N — оо (с оценками скоростей сходимости),
предельные распределения со скоростями сходимости к ним при к = I ДЛЯ СВ. *-<1> = с(*> - l'(i),
— при і > 1 представления вероятностей Р{/»о(н, W,) ~ г»;, і и 1,«}
в Р{/іо(тЧі "Л xs ((, jio(«3, Nj) = /ї,, і ~ l.fej через гітергеометричес-
кис вероятности u распределения чисел пустих ячеек и одшіп РМДСЛеШІОЙ
группе,
предельные теоремы для вектора пустих ячеек в нидоленных груипах ячеек,
предельные теоремы для с.в. і/(')_,,(*),«Л,».
