Введение к работе
В настоящей работе рассматривается равновероятная схема размещения частиц комплектами: п комплектов по ^,^,---,^ частиц (размеры комплектов являются независимыми копиями целочисленной случайной величины принимающей значения от / до L) независимо друг от друга (L
размещаются в ячейках по одной, причем все Q^ возможных размещений
частиц j-ro комплекта равновероятны. Обозначим 77,- число частиц в
ячейке с номером j, 7=1,.. Д после размещения п комплектов частиц. Располагая в неубывающем порядке величины ^,...,77^, построим их
вариационный ряд т]^ <...< Щщ.
Диссертация посвящена изучению предельного распределения крайних членов вариационного ряда Tj^N_m+V) и 77^ для любого фиксированного
пЕ ЕЕ 1
целого т > 1 при и, N —> о, > х, 0 < х < о, > р, 0< р <— и
NlnN N 2
выполнении для любого целого неотрицательного k дополнительного
условия следующего вида на концентрацию распределения размера
комплекта:
Щ)к (Е)к
v/fe-l
(Юк Nk где (а)к = а(а-Х)...(а-к + Х)
<к(к-\)Щ~, (*)
Актуальность темы. За последние шестьдесят лет в исследованиях по теории вероятностей заметное место занимают вероятностные задачи комбинаторного характера. Одним из интенсивно развивающихся направ-
лений таких исследований является изучение различных схем размещения частиц по ячейкам (см., например [5]).
При Р{<Е, = 1} = 1 изучаемая в диссертации схема представляет собой
равновероятную схему размещения частиц по ячейкам, за которой утвердилось название классической [9].
Изучение вариационного ряда в классической схеме начато И.И.Викторовой и Б.А.Севастьяновым [1] и [2], а подробное исследование всех членов вариационного ряда в этой же схеме в случае, когда nl\nN стремится к постоянной величине, проведено Г.И.Ивченко [3]. В этих работах исследование вариационного ряда сводится к изучению методом моментов асимптотического поведения случайных величин
С =цг+1{п,Ы) + ... + цп{п,Ы), где цк (п, N) - число ячеек, содержащих ровно к частиц, =0,1, ...,г.
В.Ф.Колчиным [6] для изучения классической схемы размещения частиц, и в том числе для изучения членов вариационного ряда, предложен другой подход, опирающийся на представление полиномиального распределения заполнении ячеек щ...т]м в виде условного распределения
распределённых по закону Пуассона независимых случайных величин при условии, что их сумма равна п.
Поведение членов вариационного ряда в равновероятной схеме размещения частиц комплектами при n,N —> о и фиксированном размере
комплектов изучено Е.Р. Хакимуллиным [10], при фиксированном п оно изучено СЮ. Теребулиным [8].
Схема со случайным размером комплектов рассматривалась ранее Г.И. Ивченко [4], Т.М. Селке [13], Е.Р. Хакимуллиным и Н.Ю. Энатской [11]. В их работах изучались характеристики, связанные со временем ожидания до заполнения всех или почти всех ячеек.
Для изучения характеристик классической схемы размещения частиц применялись различные асимптотические методы теории вероятностей: метод моментов, метод перевала, метод сведения к суммам независимых случайных величин, метод оценки нулей производящей функции и другие. Многие из этих методов опираются на наличие простых выражений для производящих функций изучаемых характеристик. Для схемы размещения частиц комплектами отсутствие простых выражений для производящих функций ограничивает возможность применения перечисленных методов. В схеме размещения частиц комплектами нашли применений лишь метод моментов и метод "сопровождающих схем", предложенный Б.А.Севастьяновым [7].
Цель работы. Целью работы является доказательство предельных теорем, описывающие поведение крайних членов вариационного ряда заполнений N ячеек комплектами частиц случайной длины при некотором дополнительном условии на распределение длины комплекта и различными соотношениями между параметрами схемы
Метод исследования. В диссертации распределение крайних членов вариационного ряда изучается методом моментов, при этом для исследования факториальных моментов приходится оценивать вероятности больших уклонении для суммы независимых векторов, компоненты которых принимают значения 0 и 1.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации решены следущие новые задачи:
Доказаны предельные теоремы, описывающие поведение крайних членов вариационного ряда заполнений N ячеек комплектами частиц случайной длины при дополнительном условии на
распределение длины комплекта и различными соотношениями между параметрами схемы.
Приведены примеры распределений длин комплектов, для которых выполняется (или не выполняется) условие на концентрацию размеров комплектов.
Практическая ценность работы. Работа имеет теоритический характер. Её результаты могут быть полезны специалистам, работающим в области предельных теорем теории вероятностей.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на Международной научно-технической конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий» (2002 г.), в Московском государственном институте электроники и математики (2002-2005 г.г.), на семинаре в МИАН им. В.А. Стеклова (2006 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объём диссертаци. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, одного приложения и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объём диссертации 88 страниц. В каждой главе диссертации принята своя нумирация параграфов, утверждений и формул.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Г.И. Ивченко за полезные обсуждения и поддержку при работе над диссертацией.
Работа выполнена при поддержке программы Президента Российской Федерации поддержки ведущих научных школ, грант НШ 1758.2003.1.
