Содержание к диссертации
Введение
1. Предельные теоремы для полумарковских случайных эволюции в схеме асимптотического фазового укрупнения 27
1. Фазовое укрупнение полумарковских случайных эволюции:случай ограниченных операторов 27
2. Фазовое укрупнение полумарковских случайных эволюции: случай неограниченных операторов 48
3. Фазовое укрупнение полумарковских случайных эволюции со скачками 52
4. Центральная предельная теорема для операторнозначных случайных величин 61
2. Асимптотическое фазовое укрупнение в теории запасов и теории трафика 67
5. Фазовое укрупнение в теории запасов: детерминированное поступление 67
6. Фазовое укрупнение в теории запасоврандомизированное поступление 79
7, Теория трафика и дифференциальные уравнения с полумарковскими переключениями 86
8. Марковская случайная эволюция 95
9. Примеры простейших случайных эволюции 100
Выводы
- Фазовое укрупнение полумарковских случайных эволюции: случай неограниченных операторов
- Центральная предельная теорема для операторнозначных случайных величин
- Фазовое укрупнение в теории запасоврандомизированное поступление
- Марковская случайная эволюция
Введение к работе
Во многих областях науки возникает ситуация, когда развивающаяся система изменяет свой закон движения или способ эволюции под влиянием случайных воздействий окружающей среды.Например развитие популяций бактерий в некоторой среде,которая подвержена случайным колебаниям; распространение радиосигнала через турбулентную среду, в которой коэффициент отражения изменяется случайно; запасание вещества (энергии) со случайным его пополнением; движение частицы на прямой с постоянной скоростью до случайного столкновения, вследствие которого меняется скорость и частица движется дальше уже с новой постоянной скоростью(теория трафика) и т.д»
Математическая теория таких задач была названа теорией "случайных эволюции" С 66] » В работах Г 63, 64] рассматривалось семейство произвольных замкнутых операторов { Vu) ', ~ 1,П] t порождающих полугруппы сжатия ) ; i = Т^ь , h ?<оj . Случайная эволюция,построенная по семейству {Гіаі; ^=*ігі & 7/J и цепи Маркова * Щ , определялась следующим образом [63] :
Щ^ГмЫ-ГшЪ-г.)-... -г^а-тм),
где :, tWi/t, - время 6-го скачка xtt), №) - число скачков до момента . Аналогичные объекты рассматривались в C68J
в предположении коммутируемости операторов {Го'J і с'=*7п>/', это ограничение на семейство {LccJ} i = ,fij было снято в работе [67] #
Распространение понятия случайной эволюции на случай однородного марковского процесса %(1) и произвольного семейства замкнутых плотно определенных операторов {Гсх); хб DC j (X - фазовое пространство Х(/ ) на некотором банаховом пространстве УЗ было сделано в [67] .
Изучались также СЭ, построенные по процессу марковского восстановления (1MB) с временами восстановления и состояниями,представляющими собой независимые одинаково распределенные случайные величины [81] « В работе [91] были введены и исследовались случайные эволюции, которые конструировались по скачкообразным марковским процессам,которыми аппроксимировались диффузионные процессы^ по ним,в свою очередь,строились СЭ на диффузионных процессах, СЭ,построенные по марковскому процессу и семейству [Гік); хе Xjt получили название марковских СЭ 63,64,66,75,76]. Понятие G3 было о'бобщено на случай произвольного полумарковского процесса (ІЖП) и СЭ,построенные по НМЛ и семейству {Гек); хе X}, называются полумарковскими случайными эволюциями (ПМСЭ) [18,19,72]
Марковские и полумарковские СЭ являются операторнозначными аналогами переключаемых процессов [1,2, 40 - 43];представляющих собой процессы с дискретным вмешательством случая [10,11] .Наиболее общее определение переключаемых процессов рассматривалось в работах [1,2] . Процессы с полумарковскими переключениями изучались в [40 - 43] .
Исследованию процессов с независимыми приращениями с полумарковскими переключениями посвящены работы [29-30] .
Переключаемые процессы можно представлять себе и как схемы суммирования случайных величин,определенных на цепях Маркова и
ПМП, которые рассматривались в работах [3,8,32,33,44,51] , Одним из возможных способов задания переключаемых процессов является мартингальный [13,17] .Здесь интересно отметить связь СЭ, которые являются мультипликативными операторными функционалами [87 - 89], с теорией мартингалов [89] .
СЭ имеют непосредственную связь также с гиперболическими уравнениями,что установлено в работе [70]fгде решение телеграфного уравнения было получено в терминах пуассоновского процесса. Движение частицы на прямой [70] было обобщено на случай движения на^прямых в [89] .
Важным аспектом изучения G3 является доказательство предельных теорем для СЭ,связанных с малыми стохастическими воздействиями (возмущениями) и большими временами «Если операторы {FcxJ; xeXj
коммутируют друг с другом,то СЭ УШ можно записать в виде:
V(l) = **f>{ }ГСШ)оі: і
а является суммой операторнозначных случайных
величин, AS/ . Для таких сумм,при некоторых
і и
предположениях,существует два важных типа предельных теорем:закон больших чисел и центральная предельная теорема,Поиску таких предельных теорем для G3 было посвящено большое число работ : [59, 66-68,72,76,77,81,82,84,90,92,93] . Эти работы (за исключением [72] ) содержат предельные теоремы для марковских СЭ» В [72] изучались предельные теоремы для дискретных ПМСЭ»
Марковская СЭ применяется во многих областях науки: теории Орнстайна-Уленбека движения частицы в случайной среде [80,85] ; теории обучения [86] ; колебание гармонического осциллятора
[85] ; теории распространения луча в сильно сфокусированной среде [83] и т.д»
Полумарковская СЭ находит свое применение в теории запасов [34,52,56,57,78,79] , теории трафика [59,703 , дифференциальных уравнений с полумарковскими переключениями [84,85]
Теория запасов возникла из статистического подхода к задачам, связанным с регулированием запасов воды в водохранилище»Самая первая работа [65] была посвящена изучению периода повторения паводковых потоков; изучались также оптимальные емкости водохранилища [69] ,В 1954 г, Моран [78] впервые дал вероятностную трактовку модели регулирования воды в водохранилище»Модель теории запасов Морана кратко можно описать так: количество воды,которое поступает в водохранилище,меняется со временем и имеет вероятностное распределение; если не считать возможного перенаполнения (в случае ограниченного объема водохранилища), эта вода запасается и выпускается в соответствии с некоторым правилом,Запасенная вода используется для получения гидро-электрической энергии, а выпускаемая - для ирригационных цепей и т.д.Центральной характеристикой описанной модели является процесс накопления,который характеризует количество воды,запасенной в различные моменты времени.Модель Морана была построена для дискретного времени. В работах С61,73] была предпринята попытка систематически построить модель регулирования запасов для непрерывного времени.
Задачи регулирования запасов встречаются и в экономике, при административном управлении торгово-промышленными предприятиями. Запас представляет собой некоторое количество вещества,предназначенного для последующего сбыта или производства.Эти вопросы изучались в работе [53] »0бз:ор ряда результатов в этом направлении содержится в [61]. Рассматривались проблемы оптимизации [54,55, .67] , а также изучались различные случайные процессы,возникающие
в теории запасов [5,35,36] ,
Дискретная модель Морана [78] описывается следующим уравнением:
где к ~ объем водохранилища; т - количество выпускаемой воды ( о< пг -с к. ); Хгь - количество поступающей воды на п. «м шаге ( { /и. ; /г ir о } „ независимые одинаково распределенные случайные величины); ?«. - количество воды в водохранилище на /г-м шаге.
Модель накопления
ik = Z + Xk - jrr(Zs)cCs
изучалась в [57] .Здесь Х± - процесс Леви [35] ; Г&) ' R, —? ft - некоторая неубывающая функция, Г Со) = о. Количество поступающей вода или вещества Х± может описываться ПМП, построенным по ПМВ 56 J .В работе [72J процесс Х± представлялся в виде
xt-ZZk (*«.,%«.+а) ,
где {Х*.,*.', н-7,0} - ПМВ, Я(х,у) - некоторая функция,k(qx)=О, В этом случае модель теории запасов описывается уравнением
где ))№)= іШґ{к; к 4 і J , Xj/#/ - ПМП, Г(г,Х/ - некоторая неубывающая по 2 функция.
Состояние теории запасов до 1959 г, рассматривалось в моно-
графии Морана [79] * Итогом исследования теории запасов с марковским входом явилась работа [52] .В монографии [35] рассмотрена связь теории запасов с системами массового обслуживания»
Исследования предельных теорем для различных сложных систем,» описываемых эволюционными уравнениями,встречают значительные трудности, связанные с проблемой сложности фазового пространства [26] «Чтобы избежать их используется метод асимптотического фазового укрупнения [26] указывающийся эффективным при решении многих задач,относящихся к сложным системам.
Асимптотическое укрупнение цепей и процессов Маркова рассматривалось в [3,21,47] . Анализу полумарковских процессов в схеме асимптотического фазового укрупнения посвящены работы [22,26,18]. Применение предельных теорем для полумарковских процессов в схеме фазового укрупнения к задачам надежности систем изучалось в [27], Метод фазового укрупнения применяется и в стохастических системах с полумарковскими переключениями [1,2,29], например, при изучении процессов с независимыми приращениями с прлумарковскими переключениями [29] . Одним из основных математических аппаратов теории фазового укрупнения является теория линейных операторов, возмущенных на спектре [9,21,24,26,46] «Теория асимптотического фазового укрупнения,развитая в работах В.С.Королюка и А.Ф.Турбина [20-23,25,27,28,47,48,74 J , позволяет рассматривать марковские и полумарковские СЭ в схеме серий,допускающую фазовое укрупнение.Предельные теоремы для марковских СЭ в схеме асимптотического фазового укрупнения впервые изучались в работах [1-3,75,76] .
Настоящая диссертация посвящена доказательству предельных теорем для ПМСЭ в схеме фазового укрупнения и применению метода фазового укрупнения к некоторым прикладным задачам.
Диссертация состоит из введения,двух глав и списка цитируемой литературы*Общий объем работы составляет {{в страниц машино-
писного текста» Библиография содержит 93 наименования.
Первая глава диссертации посвящена предельным теоремам для ШСЭ в схеме асимптотического фазового укрупнения; используется метод асимптотического анализа интегральных уравнений марковского восстановления для преобразований Лапласа от усредненных СЭ,основанный на теории обращения операторов, возмущенных на спектре[26] ,
Во второй главе рассматривается фазовое укрупнение моделей теории запасов, теории трафика, дифференциальных уравнений с полумарковскими переключениями,приводятся примеры простейших случайных эволюции.
Рассмотрим основные результаты первой главы. Пусть (лі, J- г Р ) - вероятностное пространство; (ОС, дв) -фазовое пространство со счетно-порожденной & -алгеброй ЭВ ; ( = <9, + o^J ; ~Хі.(і/е) - регулярный ПМП,построенный по
~ ^Ш/z} і гАе $U/z) = rnQX{n:Z*. ,/*.}, * = -^J &к
[22, 27J . Вероятности перехода ПМВ {/и., 9т.\ п ъо j задаются полумарковским ядром [27] ;
G%a) = P{Q^^/x^x}, Хо-х, А**, *>.
Ге6с,А)- переходные вероятности вложенной цепи Маркова {/W; пъо1 Предположим,что выполнены условия:
А)» Фазовое пространство ПМП эе* (/&} допускает эргодичее-кую декомпозицию с функцией укрупнения [26]
йо) < X ->U &<*) -и , хбХа/ и* и,
где ( % j - измеримое пространство с С -алгеброй <% , содержащей одноточечные множества:
и* U
Б).
Я Ос, Л) = Рс*,А) +б6(х,/1) ,
В6<,А] = Ьо,А) + Вг Сх,А) ;'АеХ) fait лир Vac Вє СХ, ) = О, В x,XJ = О.
Il(x,A)',№X,A6$} - переходные вероятности невозмущенной цепи Марко*
ва { ХІ і п У/ о J (согласованы с расщеплением X ):
причем , { Уч і п У/ о j равномерно эргодическая в каждом классе ОС и. со стационарным распределением ри. (А), А ^ % t и є tl '
&п На &Р*~П,
И. -7 а к ~ *
Щи] - I ^6/xifoi ^ fa), 9 fa) & I Po.-tyJ fty ,
Xu ' JC
где fc*)e CCXj.
В). Первый иШ/ и второй гПгСк/ моменты QK(і/равномерно ограничены по X ,
Г).
t(a)if- / ^/Вех, Xu)yO,ueU,
ОС и J Xu і
Через обозначим пространство функций f(zr*) на
которые 3&*Хо/& -измеримы ограничены и непрерывны
с 4ир -нормой ЩрЛ = 4-ир | vPC2,x)| . C(L%U) -про
странство функций <РС^/и/ на -измери
мых, ограниченных и непрерывных с <$ricP -нормой \\Ф\\ ~4UP\\P(,u-)\.
-сепарабельное банахово пространство с С -алгеброй «^ Рассмотрим семейство \1х(ч; х^Х, іbOj сильно непрерывных сжимающих полугрупп операторов на C(LX '] и соответствующую этому семейству совокупность производящих операторов | ГСх}', *е X j [14-16,50] f область определения которых не зависит от \ є X.
Определение I, ПМСЭ, построенной по ПМП 2ee{//eJ
и семейству называется
В первых трех параграфах изучается предельное поведение среднего от Vs.(^/ при -> о в том случае,когда ПМП ) допускает асимптотическое фазовое укрупнение [26]
&т и(деЕ С/М)) = йи)
є-->о
с предельным укрупненным однородным марковским процессом "XC&J
в укрупненном фазовом пространстве U , В этом случае опе-
ратор МР-І) (где / - единичный оператор ;
Цси)= \Р(и,оиЦ(иГ, Р(и,А)^4(и,А)/4и/;
J.-f(oci =[e(a//m(u)jf(*J; т(и/ = J ри( )
х« j
является производящим оператором ^eUJ .
В I предполагается,что совокупность {Гс*}; хX j равномерно ограничена по X в норме пространства
Рассмотрим следующую функцию:
fM z,x) = М* Щ&/у>&, *#*/)],
где y>(, x) є обозначает интегрирование
по тректориям 2Се(^/в/ , которые начинаются в точке X »
Первый параграф содержит доказательство следующих теорем.
ТЕОРЕМА I.I. Если выполнены условия А),Б),В) и Г), тогда равномерно по і на каждом конечном интервале
ШП j?t (t z,u/ -у (ё, Zf и/ в норме пространства
- -^
ф(0/ i и) = / /и Ш та}у (г, х)//пм = f&<и) /
J Жи
fU,i,u) = I fa ("txJf &,,*/,
J Ли.
л, ( //^ -л
Геи){&,<)= ' рМ*)тыГ(*)fM/wh ш,-1ьС(*-).
ТЕОРЕМА І.2# Пусть вложенная цепь Маркова (ЕЩ) {,«! ; пу,о j имеет один эргодический класс ОС со стационарным распределением О (А) , А е X :
П|6х/ 4 \ ffitxifo,*), }6,*)eC6'X),
X и выполнено условие В)«
Тогда равномерно по г на кавдом конечном интервале &mQ
л я
<1уМ,*)Ш =-Л f0 (, г) + Гра г/
{ off
ptfxjmal f&,xj/m X
J = - J o(ctx) Ba, x)/m ъО,
4 (
і {(*,-) =7 J 0&х/т(х/Г(х/^&,-)/т , f(z, / e C(*'),
= j p(otx)mu) .
Укрупненная предельная для ]/s Lw марковская эволюция является единственным решением [31,71] следующего операторного уравнения:
с начальным условием v(o] - I ,
14
где операторы \l(u,i ; а е it j определены в T.I.I,
Показывается,что функция a)(^fz,ct/ в Т. 1,1 представляется в виде:
где jMlu обозначает интегрирование по траекториям процесса ^6C^J, которые начинаются в точке и є ^ > То есть решение детерминированного уравнения в Т.І.І выражается через вероятностные объекты.
Из Т,1,2 следует,что ПМСЭ Vs. С^/ сходится слабо при a —> о к G-ocp^plj / где Г определен в Т. 1.2, а также, что и момент обрыва ПМП э^е^/е/ являются асимптотически независимыми:
fan fta,^}-fM^)=ex^i-li^fuJj>0Ci)= є е^?0^/.
Если операторы [ 1 (xj; хе Xj коммутируют друг с другом,то можно записать в виде
VUH = **/>{-frc*(s)jees} .
Под экспонентой стоит сумма операторнозначных случайных величин. Отсюда заключаем,что Т.1,2 - аналог слабого закона больших чисел для операторнозначных ограниченных некоммутируемых случайных величин (Tcxij; t = o,M/z) J .
В 2 рассматривается совокупность замкнутых линейных операторов {FcxIitcJCj с областью определения
не зависящей от х и плотной в которые
порождают при каждом к Є ОС семейство сильно непрерывных
сжимающих полугрупп операторов Через Uc обозначим пространство D с нормой
llfll0 - fuplfc*,*)! + fff I Го fa*! I.
lA: становится банаховым пространством после введения нормы
^ 'Но С 49» с. 105] . И если рассматривать операторы {ГС*);
K^Xj как операторы из ft в C(L*Xj, то они будут ограниченными [15,31,49] ,
Обозначим через пространство U с нормой
Имеют место результаты (Т.2Л и Т#2»2), аналогичные Т,1Л и i.l» соответственно в Т.2.1 и Т.,2.2 дополнительно предполагаются замыкаемыми и порождают семейство сжимающих полугрупп,и в утвержде-ниях теорем вместо операторов і (и/ и / стоят их минимальные замкнутые расширения,соответственно Т}и/ и jT7. Укрупненная марковская эволюция V%/ определяется так ставление» Ш(ЗЭ V4 «$/ сходится при -> ехр {Г*} при выполнении условий Т#2*2. Отметим,что Т#2.2 является аналогом слабого закона больших чисел для операторнозначных замкнутых некоммутируемых случайных величин В 3 исследуется следующая конструкция ПМСЭ \л/а UJ (см, определение I, I)* Пусть задана совокупность сжимающих операторов U- Сх) на СЛ']вида U%) = I -t- eU(x) + O(s), где 1 - единичный оператор; - совокупность замкнутых линейных операторов с областью определения О - общей с DClCx/l ; ОСє-І понимается в смысле операторной нормы пространства: Определение 2# ПМСЭ,построенной по ПМП дСїШг) и семействам \Гх(/і *6Х, У/ О j и j QckJ; хє X (f называется Wt#/'&№,) Bay-foe,)-... -В<**тЛіш ^~ZW-' Определим функцию y & Z, X) Ufa*] ^/f»pr/JPbetj/&/f<*f//m В 3 доказываются следующие теоремы, ТЕОРЕМА 3,1, Предположим, что выполнены условия А), -А -Л Б),В),Г) и операторы l(uj + U-(ul - замыкаемые и порождают семейство сжимающих полугрупп операторов.Тогда равномерно по зг в норме U с fen f)afafz,uj =ffct?i"/: (o, ?, и) = J ри (Ж/mat у (г, к//т(и/; где i(cc) -t L/foe/ - минимальное замкнутое расширение 1}и/ + S(uf. ТЕОРЕМА 3.2, Предположим,что выполнены условия Т. 1*2 и оператор J7+ Z? замыкаемый и порождает сжимающую полугруппу. Тогда равномерно по ^ в норме Uc &>ni fe fa г, х/ =fofaz/: я я df.azi/^ =-j.f*fa,z/ + (Г+в)у,.м& fo(o,i) = J J)(c{x/jTl«Jy(2:fK///Tl f где -минимальное замкнутое расширение Г+ О Рассмотрение ядра ( ( Д І] в виде х Г(х,А) в первых трех параграфах не умаляет общности. 18 Приведена формулировка теоремы, соответствующей Т.3.2 в том случае,когда 0-aCx,A,^J представляется в виде Gzft tyt/ = G^^/PsCx^). Доказательство теоремы опускается,так как оно в точности проводится таким же путем,как и доказательство Т»3»2* В 4 доказывается центральная предельная теорема для опера-торнозначных некоммутируемых случайных величин [Г(Хк)', K- = iWj 1 построенных по ПМП эе#/7 где { Хк ; к**} - ВЦМ, {ГСк); хе XJ -семейство замкнутых операторов с областью определения произвольное сепарабельное банахово пространство«Центральная предельная теорема для однородных процессов с независимыми приращениями с полумарковскими переключениями рассматривалась в [30] # Во второй главе ( 5-9) исследуются модели теории запасов ( 5,6), теории трафика и дифференциальных уравнений с полумарковскими переключениями( 7) в схеме асимптотического фазового укрупнения,а также закон больших чисел и центральная предельная теорема для марковских СЭ (8) и простейших G3 на прямой( 9), В 5 рассматривается следующая модель теории запасов: к-f о где z ^ - количество запасенного вещества (энергии), за время Со, IJ ; 2 -начальное количество, ?о= <= а і Є- ~2-20>СХк-і) - К = 1 полное накопление вещества за время Со, i. J ; функция &Сх): X ~* R. является измеримой и ограниченной; 2fe&fe/ - ПМП; f (2* Xz&/)/ - скорость убывания (расходования) вещества в момент времени /7 причем функция Г&,Х):Ц *Х ~> И является Литпи-цевой,ограниченной,неубывающей по г и ограниченной и непрерыв- 19 , ной по убыток вещества за время Lo,iJ, Введем следующую функцию ft 0,^x1-МЛ f(Zl, Хг№1)1, где (0(В,Х)Є -пространство функций tffax/ на R,*KXf которые имеют ограниченную и непрерывную производную по Ъ и ограничены и непрерывны по х с -зир -нормой« и с - соответствующее пространство функций f &, и1 на К * М . Пусть Г(г,и} = / рЛ Хи f С*) = Jp( Основными результатами 5 являются следующие, ТЕОРЕМА 5.1« Предположим,что 1) выполнены условия А),Б),В) и Г); 2) Г (г, и) ф &(и,), V 2 и и . ип №#,2,и/= fAz,u) в норме пространства U : ТЕОРЕМА 5*2» Предположим,что I) выполнены условия Т,1.2; 2) &) фа, V z^RS, Тогда fan u?e (, г, х/ - у>0 ( г/ в норме пространства Dc : Шо,г) =; oCdx)m(x)^(z,xJ//n = Vote). Построен предельный укрупненный для -5^ процесс накопления zE ть , который является решением уравнения л 4- № (УК ~ где {и ) п?,о] - ЩМ для i?#/ J №/ = /*4х{л: Г~ d /J; Zh. = 2l_/ Эк \ і QK ; к У/о J - средние времена пребывания ~С) в состояниях; Г(2,а/ и аси,/ определены выше. Функция Фа,ъ,и-1 в Т»5.І представима в виде Є г^> Из Т.5*2 следует,что 2г ^ слабо сходится при є —> о к ^ I 21 Решение уравнения в Т#5„2 выписывается в виде 45 ] : -Л уо (і, ъ)^е ут, (р fa tpCBj)J } где О а) - функция, обратная к pcz) = 1о^^-Г(^/ + а,), Величины CL и С&) имеют вполне физический смысл: ^ средняя скорость поступающего вещества, a (z) - средняя скорость убывания вещества. Условие &)ф(2 требует, чтобы скорости поступления и убывания вещества не совпадали при любом начальном запасе Z . В 6 изучается модель теории запасов, в которой поступление вещества является рандомизированным: Ш ( е где функция C(z,x)t Xjtf/s) ~ ~Xz(/s-) и Шм) определены выше, a [xt, к,схіп\ n.7fo7f - маркированный процесс Марков-* ского восстановления : где - распределение на - борелевское множест- во из ft . Определим функцию Пусть с*о пі . к (и) ^1 fuCdtllcKJ/mcu/, к - \ p(clt)KCK)/t Справделивы следующие утверждения,доказанные в 6, ТЕОРЕМА 6Л* Предположим,что 1) выполнены условия А),Б),В) и Г); 2) к-Ск) равномерно ограничена по х ; 3) (2,U) t kiccj , V 2 и и „ Urn &&,z,u/= Ф&г,и) в норме De : у (о, 2, и) - I пи (<*)тск/ <РСг, х)//п(и) = фС^, <*1 < «_A,Gfc ТЕОРЕМА 6.2, Предположим,что 1) выполнены условия Т#1»2; 2) я(х/ равномерно ограничена по х ; 3) а) t I , V геЯ*. Тогда fzZfeti*'*) = frt*} внорме ^с : fо(0,2) = J р(о(к}іШк)Ф(гІ*//Гп, Предельная функция представляется в виде где zr^ - решение следующего уравнения,предельного для zr і : *^f Из Т„6»2 вытекает,что процесс zr ^ слабо сходится при —> о к z^/ : со "* ^Z + li - fr(Z5)ds. В данном случае средней скоростью поступающего вещества является величина А- « В 7 рассматриваются два объекта: 1) движение частицы в случайной среде 80,85] со скоростью состояния ПМП dz.(/e)f переключающего скорость движения. Если z? (/ « положение частицы в момент времени t, то ее эволюция описывается следующей задачей Коши: 2) дифференциальные уравнения со случайными воздействиями ие(о) =у , «^ Функции 1?(?,х) и F((/fX) на R,*X удовлетворяют тем же условиям,что и -С2, xj 7 определенная выше. Эти задачи идентичны: заменой и(/' = е Z) сводится к изучению 1)# Приведем лишь один результат из 7, касающийся объекта I)* ТЕОРЕМА 7.1. При выполнении условий А),Б),В) и Г) fan iltt, 2, и) = k(fz,u/ в норме Ог Ьо,їіии) = J j>4 (citl/nCK)X(2,X)/nl(U/f fiftг, к) ^M*[f(2fy **№))], yd,*) e Dc , iffy и] = J nu(efx)lU(^/VCZ;X.)//1t(Uf , с// Для процессов 2" (/ и у <^/ строятся предельные процессы, выписываются решения соответствующих предельных уравнений. В 8 доказываются закон больших чисел и центральная предельная теорема для марковских G3, используя метод асимптотического обращения операторов,возмущенных на спектре С26] » Пусть {Гс<)і X&DC г семейство плотно определенных замкнутых линейных операторов на C(lx'J с областью определения D ; не зависящих от х , и порождающих сильно непрерывное семейство сжимающих полугрупп операторов; К(/ « однородный эргодический необрывающийся марковских процесс со значениями в компактном метрическом пространстве (JC/ Э) \ в- - производящий 25 оператор X(J с областью определения D&-)<^ С(к%) EfM^lmirvfczrh у/ где &(А) - стационарная мера процесса *UJ, А е Э ) й. =(& *П)'-П; П{і;*ґ'іш*)р, *), j-c,*)tC0*x). Определение 3* Марковской СЭ, построенной по х#/ и семейству [Г(х)} Х&Хj , называется решение следующего операторного уравнения [66,74,75 J : oiV'&]/<& B&-V'МЛ*се/) Vй(о) = /. Рассмотрим функцию и'а в, х) = Лх [ Уамуъ *Ш, fc^.o^ JDf\DC&). Центральная предельная теорема для марковских СЭ формулируется следующим образом. ТЕОРЕМА 8,2. Предположим,что плотна в 2) Г, =0; 3) оператор 1 z замыкаемый и порождает сжимающую полугруппу. Тогда шп U&,2,)(J = U(, &) в норме Dc : u(o, 2] - / (Mf&, */, где 1% - минимальное замкнутое расширение \ . В 9 приводятся примеры простейших СЭ на прямой,доказываются теоремы типа закона больших чисел и центральной предельной теоремы для них. Основные результаты диссертации докладывались в 1982 -1984 годах на Международной конференции "Стохастическая оптимизация" (Киев, 1984 г.), конференции молодых ученых Института математики АН УССР (1982 г., 1984 г.),на семинарах отдела теории вероятностей и математической статистики Института математики АН УССР (1982 - 1984 гг.) и опубликованы в работах [18, 19, 37 - 39, 75] . Считаю своим долгом выразить искреннюю признательность моему научному руководителю Королюку Владимиру Семеновичу за постановку задач, постоянное внимание, ценные советы и замечания. Рассмотрим совокупность замкнутых линейных операторов {FccJ} с областью определения не завися- щей от х є X и плотной в СІЇ /, которые порождают при каждом X и. семейство сильно непрерывных сжимающих полугрупп операторов {Ціч і к& -/ 7 } Через /. обозначим пространство функций из U с нормой После введения нормы II llD пространство L/c становится банаховым#Заметим,что если рассматривать операторы \Г(х);х& X} ,как операторы из то они будут ограниченны- где v (if определяется так же,как и в I, (6)»только при тех дополнительных условиях,которые указаны выше; уС / ) е Л ТЕОРЕМА 2.1. Пусть выполнены условия А),Б),В) и Г) из I и операторы { ffaf; с & J замыкаемые и порождают семейство сильно непрерывных сжимающих полугрупп операторов. Тогда равномерно по я на каждом конечном интервале 77 Ч?&2/Х/ = ff4z,u/ в норме пространства De где і - минимальное замкнутое расширение оператора I7, Доказательство Т.2,1 Из Л.І.І , I,следует, что функция у% 4?/ / в (33) удовлетворяет следующему уравнению марковского восстановления: причем операторы Qfy) и Qs(я]такие же,как и в (15), I. Учитывая условия Б) и В), I,последнее уравнение в асимптотическом виде становится следующим: где операторы М, В,Р и i l (Я) определены в (Г7), I; W(Zf ХІ Є D ) О (Є) понимается в смысле операторной нормы в пространстве ь)0- Следствием применения метода асимптотического фазового укрупнения с помощью обращения операторов,возмущенных на спектре [26,с.149]; является следующая где T-/(jJ определяется из условий: их - минимальное замкнутое расширение оператора / и U , Из (35) и Л#2Д вытекает,что А в сужении на подпространство U$ получаем : что и доказывает Tt2»I» ТЕОРЕМА 2,2. Пусть выполнены условия Т,1»2, I, и оператор Р t определенный в (32), замыкаемый и порождает сильно непрерывную сжимающую полугруппу»Тогда равномерно по г на каждом конечном интервале в норме пространства Dc : где I - минимальное замкнутое расширение оператора Р) -J-и \f o&) определены в (32),(31)« Доказательство Т#2.2 следует из T.2.I и следующих соотношений; где Ф0(Я, z] - преобразование Лапласа от W0(fZ:l по -zr. Замечания, 1# Из Т#2»2 следует, что ПМСЭ Ve() сходится слабо при у О к е Хр {Гі} ; где оператор Г определен в (32). 2, Т#2.2 является аналогом слабого закона больших чисел для операторнозначных замкнутых некоммутируемых случайных величин 3, Фазовое укрупнение полумарковских случайных эволюции со скачками Пусть задана совокупность сжимающих линейных операторов на вида где I - единичный оператор; f/J(xJ/ x Xj - замкнутые операторы с областью определения О - общей с областью определения операторов {1 (. ); х в X j определенных в 2; о&) пони- мается в следующем смысле. Определение 2# Полумарковской случайной эволюцией, построенной по ПМП 2Ct( /cJ и Определим функцию ТЕОРЕМА 3.1 Предположим, что выполнены условия А), Б),В) и Г), I, и операторы - замыкаемые и поро- ждают сильно непрерывное семейство сжимающих полугрупп,где Г (сс/ определен в (8), I, a Lr(uj „ в (40), 3, Тогда равномерно по -к в норме пространства DQ « где J- () f LJ-(cc) _ минимальное замкнутое расширение -LCUJ + Q(uJ Доказательство Т.З.І. Справедлива следующая ЛЕМ М А 3.1. Функция \{/Е(г, / (см# (39)) удовлетворяет уравнению марковского восстановления Доказательство Л#3#1 следует из следующих соотношений, аналогичных (11),(12) и (13), В преобразованиях Лапласа уравнение (41) принимает вид: где операторы ІвСл) и ft(j) действуют по правилам: Фе (2f H/ x/ - преобразование Лапласа от функции Ф ft щ X.Jr ЛЕММА 3.2. Уравнение (42) в асимптотическом виде представляется таким образом: [Г - Р е (л м - В - Г - а)+oa ]fa fa ) е[таЯ mcj?a)]fbx), 44) где операторы М,Е }Г и т11 (Я/ определены в (17) , I, а оператор L - в (40), 3# Доказательство Л.3.2. Заметим,что правая часть уравнения (42) совпадает с правой частью уравнения (14), I;поэтому асимптотическое разложение в парвой части (44) оче- видно. Рассмотрим левую часть равенства (42) Учитывая условие Б), I, и (37), 3, , имеем асимптотическое разложение для третьего слагаемого в (45): Четвертое слагаемое в (45) представимо таким образом: Рассувдения,аналогичные тем,которые проводились в (21), І,показывают, что при условии В), I, и (37), 3, второе слагаемое в правой части (45) является величиной порядка 0() . Учитывая условия Б),В), I и (37), 3, (45),46) и (47),получаем доказательство Л„3 2. Пусть на произвольном сепарабельном банаховом пространстве задано семейство замкнутых операторов /jTcxj: х X } с областью определения U } не зависящей от хе X, таких, что V f D функция Hx/f является слабо измеримой. Задан также ПМП Ttotj построенный по 1MB / Хи., Є и) ri7,ol с полумар ковским ядром переходные вероятности вложенной в 2e(J цепи Маркова (х»; . В дальнейшем предполагается, что {Х -} к о J равномерно эрго-дична со стационарным распределением Р - замыкаемый и порождает полугруппу операторов сжатия» Рассмотрим следующий элемент ; Для любого линейного непрерывного функционала на Я определим случайную величину Складывая (50) и (51) и подставляя в (49),находим,что справедлива ЛЕММА 4.1» Функция Ра &х) удовлетворяет следующему уравнению марковского восстановления: Уравнение (52) перепишем в асимптотическом виде.Для этого заметим,что в преобразованиях Лапласа (52) имеет вид; где Для QtQc) имеет место следующее асимптотическое разложение; которое следует из очевидного разложения; Соответственно для &е CxJ справедливо асимптотическое разложение которое,в свою очередь,является следствием разложения Учитывая (54),(55) и условия теоремы 4, уравнение (53) запишем в асимптотическом виде: то для обращения оператора в левой части уравнения (56) можно применить метод асимптотического обращения операторов,возмущенных В настоящей главе предельные теоремы главы I применяются к моделям теории запасов ( 5,6), теории трафика и дифференциальным уравнениям с полумарковскими переключениями ( 7)„Доказываются теоремы типа закона больших чисел и центральной предельной теоремы для марковских СЭ,используя метод асимптотического обращения операторов, возмущенных на спектре 26] (8), Рассматриваются примеры простейших случайных эволюции на прямой и доказываются теоремы для них,аналогичные теоремам 8 ( 9 ). 5» Фазовое укрупнение СЭ в теории запасов: детерминированное поступление Рассмотрим следующую модель теории запасов: где zL.± - количество запасенного вещества(энергии) за время C)i.] 9 2? - начальное количество, Н гС ; е- 2L 2(XK.i) _ полное накопление (поступление) вещества за время Lo,-L] ; функ- ция Q,tt)\ JC — Л является измеримой и ограниченной; - скорость убывания(расхо дования) вещества в момент времени / ,причем функция - C /V R, х JC —У R, является липшицевой,ограниченной,неубывающей по 2 ,ограниченной и непрерывной по , С(Рі ) - О \у 6Х) - убыток вещества за время Lo, J. Определим следующую функцию: где у?(2,х]е Dc- С (& Х) - пространство функций на R, JC , которые имеют ограниченную и непрерывную производную по Н , ограничены и непрерывны по х \ Dg - соответствующее пространство функций C fc) на R, Ы , Пусть ТЕОРЕМА 5,1. Предположим,что I) выполнены условия А),Б),В) и Г) I; Z) Г(2,ос] Ф &(и) , V 2fU. Тогда Доказательство T.5.I. Пусть 6(,2, ) - решение следующего уравнения: При тех предположениях,которые наложены на функцию ССЩХ}, задача Коши (60) имеет единственное решение [56,45 J OCX,В, /, которое при фиксированных X и Z непрерывно по zf 7 а при фиксированных х и неубывает и непрерывно по 2" [56] » Определим операторы Гк() и и-Сх) (ем« определение 2, 3) таким образом: где 2- - решение уравнения (57), Доказательство Л«5.1, Рассмотрим уравнение (57) на интервале 8 t!t, В Т .+ ) . Величина 23 Q Cxt-i) равна при этом JLJ Q,(XK-i) ; то есть не зависит от/. Отсюда вытекает,что уравнение (57) эквивалентно на интервале Но задача Коши (62) эквивалентна, в свою очередь,задаче (60),толь- ко при другом начальном условии, а именно: i?e = 2"f . Поэтому решение уравнения (62) выглядит так: В итоге получим,что уравнение (62) эквивалентно следующему( ср# (60)): Осталось выяснить как ведет себя решение уравнения (62) в точках е 2 f то есть найти zf. єГІ. Для этого введем рекуррентно следующие величины: В моменты восстановления {&2 ь. } n?sol происходят скачки процесса z - на величину -(2(Yn.) / поэтому где 2ц, определено В (65), Принимая во внимание (63) и (66) находим,что решение уравнения (57) имеет вид: Если теперь учесть определение операторов в (61), то как раз и получим,что Учитывая (58) и (61) имеем где функция I0{,Z,J(J определена в (58). Поступая таким же образом,как и при доказательстве Л,3»1, 3, находим,что справедлива ЛЕММА 5 2. Функция у? (, і, X) в (58) удовлетворяет следующему уравнению марковского восстановления1 В преобразованиях Лапласа уравнение (67) выглядит следующим образом: где Kpt (Л, 2, X) - преобразование Лапласа от i&ff,2/X/ по f а операторы действуют по правилам: ЛЕММА 5,3» Уравнение (68) в асимптотическом разложении имеет вид где операторы Af и В определены в (17), I, а Г К и т е?(Я) действуют так: Доказательство Л.5.3, Разложение в правой части уравнения (69) вытекает из следующего представления для X Рассмотрим второе слагаемое в (70): Учитывая условия Б) и В), I, отсюда вытекает разложение \\{(%ti,2,$) + #//// Gx&sJPz(x, tyj Рассуждения,аналогичные тем, которые были проведены при доказательстве ЛД,2, I (см, (21)),показывают,что первое слагаемое в (70) есть величина порядка GfeJ в смысле операторной нормы в пространстве Ос . Принимая во внимание (70),(71),(72) и последнее замечание, получаем доказательство Ла5«3. В этом параграфе рассматривается модель теории запасов, в которой поступление вещества является рандомизированным, а именно: где функция C(2/XJ; Х (УЕ) и ti№feJ определены в 5; (Лк., «., е .) птгОJ - маркированный процесс марковского восстановления: Ltd, А) и &КЩ определены в I, г1х(В/- распределение на it , Определим функцию ТЕОРЕМА 6#I. Предположим,что 1) выполнены условия А),Б),В) и Г), I ; 2) tvCK) - равномерно ограничена по х ; 3) Cte/d/ t &(и-1 і V 2, и f Где rCz,ccj определена в (59), 5, а %( ) - (79), Тогда fetz &(,2,и.)= $fcz,u.J В норме пространства 0е і Доказательство T.6.I Через Q (x, z, ) обозначается решение задачи Коши (60), которое, как уже отмечалось(см»(60)) единственное. Определим операторы Паи п%/ следующим образом: то есть оператор паї такой же, как и в (61), 5), а Іі-Скі -не зависит от х. ПМСЭ \\/1(-1 в этом случае определяется так: Рассуждения,подобные тем,которые проводились при доказатель- стве Л.5Д, 5, показывают,что в этом случае справедлива ЛЕММА 6.1. где е /определено в (81), a Z - решение уравнения (77), б,Поэтому имеет место ЛЕММА 6,2, Функция \P j ,xJ в (78) удовлетворяет уравнению марковского восстановления В преобразованиях Лапласа (82) принимает вид ЛЕММА 6,3. Уравнение (83) в асимптотическом виде,учитывая условия Б) и В), I, выписывается в следующем виде: причем оператор т. (ЯІ определен в Л.5,3, 5, а оператор Н действует так: Доказательство Л.6.3, Асимптотическое разложение правой части очевидно (см#доказательство Л#5«3)« Рассмотрим левую часть, а именно, оператор Jj / : Для второго слагаемого в (86) имеем ; Для третьего слагаемого (см, (86)): Первое слагаемое в (86) есть величина порядка в силу условий В) и 2) (см. Т.6Д) „Доказательство Л,6.3 закончено. Из лемм 5,4 и 6,3 находим : где оператор //., (л) определяется из условий: Оператор ПНП равен; Следствие 6,1. Предельный для укрупненный процесс Z. находится из уравнения где Cz,u1 определена в (59), 5; KCU.J определена в (79), 6; $Ш определяется из следствия 5,1, 5» Следствие 6 2# При выполнении условий Т»6.2 про-цесс Z в (77) слабо сходится к где С&) определена в (75), 5; к - в Т.6#2# 7. Теория трафика и дифференциальные уравнения с полумарковскими переключениями Рассмотрим движение частицы в случайной среде [80] со скоростью 1 ( К) f z K, л DC, зависящей от положения в пространстве rl и от состояния полумарковского процесса З С /е/, переключающего скорость движения» Если 2Е (t/ - положение частицы в момент времени , то ее движение (эволюция) описывается следующей задачей Коши: (87) где функция l?(Zt К) удовлетворяет тем же условиям,что и функция Г 2,Х/ , 5, кроме того , JlX2,X// У/о У о длЯ некоторого На интервале времени Ї..Т, ЕСК+І) частица движется по закону В момент времени Є ц+і происходит переключение скорости и частица движется на ЦЇ Н+І, с «+х/ уже по другому закону,а именно: и так далее. Наряду с задачей Коши (87) рассмотрим укрупненную задачу (оо) To есть (95) эквивалентно (92) с начальным условием zE o/ = Поэтому решение (95) представляется в виде В моменты ІЕТИ. } н,?г о J процесс z- v ведет себя следующим образом: ЕСЛИ Обозначить 2=L (Є? ./ ЧЄРЄЗ -zr#c , zr f /- ZTH ; и принять во внимание (96), то получим что доказывает Л.7.І» Зададим полугруппу Гх(! так: где ( z, / определено в (92). Из Л.7.І, определения Л / и ПМСЭ / (см. I,определение I) найдем,что где Yf ,2,X/ определена в (89). Применяя T.2»I, 2, к функции %E (,?,&/ получим доказательство T.7.I» Теорема 7,2 является следствием применения Т.2.2, 2, к функции 7 42 Х/, Следствие 7,1, Если выполнены условия Т,7,2, то процесс в (87) слабо сходится к детерминированному процес- где определена в (91), Следствие 7.2. Предельная для 1% полугруппа Ги(/ имеет вид где с (и, 2У 6J - решение следующего уравнения: \?(2:,и,) определена в (88). Замечания» I. Pfe) - это средняя скорость движения частицы,где Z - ее начальное положение« 2. Во многих областях науки возникает ситуация, когда развивающаяся система изменяет свой закон движения или способ эволюции под влиянием случайных воздействий окружающей среды.Например развитие популяций бактерий в некоторой среде,которая подвержена случайным колебаниям; распространение радиосигнала через турбулентную среду, в которой коэффициент отражения изменяется случайно; запасание вещества (энергии) со случайным его пополнением; движение частицы на прямой с постоянной скоростью до случайного столкновения, вследствие которого меняется скорость и частица движется дальше уже с новой постоянной скоростью(теория трафика) и т.д» Математическая теория таких задач была названа теорией "случайных эволюции" С 66] » В работах Г 63, 64] рассматривалось семейство произвольных замкнутых операторов { Vu) , 1,П] t порождающих полугруппы сжатия \Vitt) ; i = Т ь , h оj . Случайная эволюция,построенная по семейству {Гіаі; = ігі & 7/J и цепи Маркова Щ , определялась следующим образом [63] : где :, tWi/t, - время 6-го скачка xtt), №) - число скачков до момента . Аналогичные объекты рассматривались в C68J в предположении коммутируемости операторов {Го J і с = 7п / , это ограничение на семейство {LccJ} i = ,fij было снято в работе [67] # Распространение понятия случайной эволюции на случай однородного марковского процесса %(1) и произвольного семейства замкнутых плотно определенных операторов {Гсх); хб DC j (X - фазовое пространство Х(/ ) на некотором банаховом пространстве УЗ было сделано в [67] . Изучались также СЭ, построенные по процессу марковского восстановления (1MB) с временами восстановления и состояниями,представляющими собой независимые одинаково распределенные случайные величины [81] « В работе [91] были введены и исследовались случайные эволюции, которые конструировались по скачкообразным марковским процессам,которыми аппроксимировались диффузионные процессы по ним,в свою очередь,строились СЭ на диффузионных процессах, СЭ,построенные по марковскому процессу и семейству [Гік); хе Xjt получили название марковских СЭ 63,64,66,75,76]. Понятие G3 было о бобщено на случай произвольного полумарковского процесса (ІЖП) и СЭ,построенные по НМЛ и семейству {Гек); хе X}, называются полумарковскими случайными эволюциями (ПМСЭ) [18,19,72] Марковские и полумарковские СЭ являются операторнозначными аналогами переключаемых процессов [1,2, 40 - 43];представляющих собой процессы с дискретным вмешательством случая [10,11] .Наиболее общее определение переключаемых процессов рассматривалось в работах [1,2] . Процессы с полумарковскими переключениями изучались в [40 - 43] . Исследованию процессов с независимыми приращениями с полумарковскими переключениями посвящены работы [29-30] . Переключаемые процессы можно представлять себе и как схемы суммирования случайных величин,определенных на цепях Маркова и ПМП, которые рассматривались в работах [3,8,32,33,44,51] , Одним из возможных способов задания переключаемых процессов является мартингальный [13,17] .Здесь интересно отметить связь СЭ, которые являются мультипликативными операторными функционалами [87 - 89], с теорией мартингалов [89] . СЭ имеют непосредственную связь также с гиперболическими уравнениями,что установлено в работе [70]fгде решение телеграфного уравнения было получено в терминах пуассоновского процесса. Движение частицы на прямой [70] было обобщено на случай движения на прямых в [89] . Важным аспектом изучения G3 является доказательство предельных теорем для СЭ,связанных с малыми стохастическими воздействиями (возмущениями) и большими временами «Если операторы {FcxJ; xeXj коммутируют друг с другом,то СЭ УШ можно записать в виде: а является суммой операторнозначных случайных величин, AS/ . Для таких сумм,при некоторых предположениях,существует два важных типа предельных теорем:закон больших чисел и центральная предельная теорема,Поиску таких предельных теорем для G3 было посвящено большое число работ : [59, 66-68,72,76,77,81,82,84,90,92,93] . Эти работы (за исключением [72] ) содержат предельные теоремы для марковских СЭ» В [72] изучались предельные теоремы для дискретных ПМСЭ» Марковская СЭ применяется во многих областях науки: теории Орнстайна-Уленбека движения частицы в случайной среде [80,85] ; теории обучения [86] ; колебание гармонического осциллятора [85] ; теории распространения луча в сильно сфокусированной среде [83] и т.д» Полумарковская СЭ находит свое применение в теории запасов [34,52,56,57,78,79] , теории трафика [59,703 , дифференциальных уравнений с полумарковскими переключениями [84,85] Теория запасов возникла из статистического подхода к задачам, связанным с регулированием запасов воды в водохранилище»Самая первая работа [65] была посвящена изучению периода повторения паводковых потоков; изучались также оптимальные емкости водохранилища [69] ,В 1954 г, Моран [78] впервые дал вероятностную трактовку модели регулирования воды в водохранилище»Модель теории запасов Морана кратко можно описать так: количество воды,которое поступает в водохранилище,меняется со временем и имеет вероятностное распределение; если не считать возможного перенаполнения (в случае ограниченного объема водохранилища), эта вода запасается и выпускается в соответствии с некоторым правилом,Запасенная вода используется для получения гидро-электрической энергии, а выпускаемая - для ирригационных цепей и т.д.Центральной характеристикой описанной модели является процесс накопления,который характеризует количество воды,запасенной в различные моменты времени.Модель Морана была построена для дискретного времени. В работах С61,73] была предпринята попытка систематически построить модель регулирования запасов для непрерывного времени. Задачи регулирования запасов встречаются и в экономике, при административном управлении торгово-промышленными предприятиями. Запас представляет собой некоторое количество вещества,предназначенного для последующего сбыта или производства.Эти вопросы изучались в работе [53] »0бз:ор ряда результатов в этом направлении содержится в [61]. Рассматривались проблемы оптимизации [54,55, .67] , а также изучались различные случайные процессы,возникающие в теории запасов [5,35,36] , Дискретная модель Морана [78] описывается следующим уравнением: где к объем водохранилища; т - количество выпускаемой воды ( о пг -с к. ); Хгь - количество поступающей воды на п. «м шаге ( { /и. ; /г ir о } „ независимые одинаково распределенные случайные величины); «. - количество воды в водохранилище на /г-м шаге. Модель накопления изучалась в [57] .Здесь Х± - процесс Леви [35] ; Г&) R, —? ft - некоторая неубывающая функция, Г Со) = о. Количество поступающей вода или вещества Х± может описываться ПМП, построенным по ПМВ 56 J .В работе [72J процесс Х± представлялся в виде где {Х ., . , н-7,0} - ПМВ, Я(х,у) - некоторая функция,k(qx)=О, В этом случае модель теории запасов описывается уравнением где ))№)= іШґ{к; к 4 і J , Xj/#/ - ПМП, Г(г,Х/ - некоторая неубывающая по 2 функция. Состояние теории запасов до 1959 г, рассматривалось в моно- графии Морана [79] Итогом исследования теории запасов с марковским входом явилась работа [52] .В монографии [35] рассмотрена связь теории запасов с системами массового обслуживания» Исследования предельных теорем для различных сложных систем,» описываемых эволюционными уравнениями,встречают значительные трудности, связанные с проблемой сложности фазового пространства [26] «Чтобы избежать их используется метод асимптотического фазового укрупнения [26] указывающийся эффективным при решении многих задач,относящихся к сложным системам. Асимптотическое укрупнение цепей и процессов Маркова рассматривалось в [3,21,47] . Анализу полумарковских процессов в схеме асимптотического фазового укрупнения посвящены работы [22,26,18].
же,как и в I, с указанными выше ограничениями на операторы
\ГМ) ueU} и функция f{^i2,u>/ имеет аналогично^пред-
Тогда
Тогда
1?(2,XJ , ^^ ft, XjL, зависящей от положения на R, и от
[81] ; а именно, полумарковскими переключениями:Фазовое укрупнение полумарковских случайных эволюции: случай неограниченных операторов
Центральная предельная теорема для операторнозначных случайных величин
Фазовое укрупнение в теории запасоврандомизированное поступление
Марковская случайная эволюция
Похожие диссертации на Предельные теоремы для полумарковских случайных эволюций в схеме асимптотического фазового укрупнения
