Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование величин, связанных с падением и ростом броуновского движения со сносом 15
1.1. Вспомогательное утверждение 15
1.2. Свойства момента остановки 7аб 19
1.3. Совместное распределение та и аъ 24
1.4. Обращение преобразований Лапласа 27
Глава 2. Задача о двусторонней разладке для броуновского движения в байесовской постановке 30
2.1. Постановка задачи 30
2.2. Сведение к задаче об оптимальной остановке для апостериорных вероятностей 32
2.3. Качественное описание решения задачи об оптимальной остановке 35
2.4. Интегральное уравнение для оптимальных границ 52
Глава 3. Последовательное различение гипотез для фрактального броуновского движения 59
3.1. Задачи различения гипотез в байесовской постановке 59
3.2. Сведение к стандартным задачам об оптимальной остановке 65
Глава 4. Марковское представление для фрактального броуновского движения 71
4.1. Представление Вн в виде функционала от бесконечномерного процесса Орнштейна-Уленбека 71
4.2. Неравенство для среднего значения Вн, остановленного в случайный момент времени 76
Приложение 88
П.1. Исследование момента (ас 88
П.2. О распределении ХТа — infs ;Ta Xs 91
П.З. Плотность распределения 7аб 93
П.4. Предельное распределение процесса 7г 95
Список литературы
- Свойства момента остановки 7аб
- Сведение к задаче об оптимальной остановке для апостериорных вероятностей
- Сведение к стандартным задачам об оптимальной остановке
- Неравенство для среднего значения Вн, остановленного в случайный момент времени
Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертация посвящена вопросам последовательного различения гипотез для моделей броуновского движения с "разладкой" и фрактального броуновского движения. Также в диссертации получено представление фрактального броуновского движения в виде линейного функционала от бесконечномерного диффузионного процесса, что представляет самостоятельный интерес и за рамками рассматриваемых задач.
В отличие от классических областей математической статистики, где объём выборки устанавливается заранее, в последовательном анализе объём выборки не фиксирован, а определяется в процессе анализа статистических данных, получаемых последовательно. В некоторых случаях это позволяет сделать заключение гораздо раньше, чем это было бы возможно при использовании классических методов. Начало данному направлению было положено в работах А. Вальда1 в связи с изучением вопросов производственного контроля качества. Впоследствии методы статистического последовательного анализа нашли широкое применение в медицине2, эпидемиологии3, финансовой инженерии4, задачах обнаружения "атак" в компьютерных сетях5 и других областях.
Как и в других разделах математической статистики, отдельный класс составляют байесовские постановки, в которых предполагается, что неизвестные параметры не фиксированы, а являются случайными величинами. Двумя фундаментальными задачами статистического последовательного анализа являются задача о различении гипотез и задача о разладке.
Задача о различении гипотез относится к вопросу о том, как по наблюдениям за случайным процессом определить его вероятностные характери-
1 Вальд А. Последовательный анализ (пер. с англ.). — Москва: Физматгиз, 1960
2 Frisen М. Evaluations of methods for statistical surveillance // Statistics in Medicine. — 1992. —
Vol. 11, no. 11.- Pp. 1489-1502
3 Weatherall J. A. C, Haskey J. С Surveillance of malformations. // British Medical Bulletin. — 1976.
- Vol. 32, No 1. P. 39-44
4 Chen J, Gupta A. K. Testing and locating variance changepoints with application to stock prices //
Journal of the American Statistical Association. — 1997. — Vol. 92, no. 438.— Pp. 739-747
5 Kim H., Rozovskii B. L., Tartakovsky A. G. A nonparametric multichart CUSUM test for rapid detection
of DOS attacks in computer networks // International Journal of Computing and Information Sciences. —
2004. - Vol. 2, no. 3.- Pp. 149-158
стики. Предполагается априори известным, что вероятностный закон распределения данного процесса принадлежит некоторому семейству. Задача состоит в том, как по наблюдениям определить точный вид данного закона. Поскольку продолжительность наблюдений заранее не фиксирована, то от исследователя требуется не только вынести как можно более правильное суждения об истинном законе распределения наблюдаемого процесса, но и сделать это за кратчайшее время.
Фундаментальным результатом в данной области является последовательный критерий отношения правдоподобия, предложенный А. Валь-дом и предназначенный для проверки двух простых гипотез. А. Вальд и Дж. Волфовиц6 продемонстрировали преимущества данного критерия на задаче различения двух простых гипотез для случая, когда наблюдению подлежит последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. А именно, ими было показано, что при справедливости каждой из двух гипотез он обладает наименьшим средним временем наблюдения среди всех последовательных критериев с такими же вероятностями ошибочных решений.
В. С. Михалевич и А. Н. Ширяев7 получили решение байесовской задачи последовательного различения двух простых гипотез о величине сноса броуновского движения, из которого следует, что в вариационной постановке критерий Вальда является оптимальным также и для данной модели.
В случае, когда истинное значение параметра не совпадает ни с одной из гипотез, в методе А. Вальда время наблюдения может оказываться достаточно большим. В связи с этим Дж. Кифером и Л. Вейсом был предложен критерий8, состоящий в минимизации максимального (при всевозможных значениях параметра) среднего время наблюдения при ограничении на вероятность ошибочного решения.
Наиболее известным примером байесовской задачи различения слож-
6 Wald A., Wolfowitz J. Optimum character of the sequential probability ratio test // The Annals of
Mathematical Statistics. - 1948. - Vol. 19, no. 3. - Pp. 326-339
7 Ширяев A. H. О двух задачах последовательного анализа // Кибернетика. — 1967. — Т. 2. —
С. 79-80
8 Kiefer J., Weiss L. Some properties of generalized sequential probability ratio tests // The Annals of
Mathematical Statistics. — 1957. — Vol. 28, no. 1. — Pp. 57-74
них гипотез является рассмотренная Г. Черновым задача определения знака сноса /і броуновского движения по последовательным наблюдениям, где /і предполагалась гауссовской случайной величиной с известными параметрами, а штраф за принятие неправильного решения был выбран пропорциональным абсолютному значению /і. Впоследствии Г. Чернов и Дж. Брейквелл10'11'12 исследовали асимптотически оптимальные правила для данного критерия и рассмотрели дискретный аналог данной задачи.
Более подробный обзор известных результатов, связанных с последовательным различением гипотез, можно найти в работе13.
Задача о разладке относится к вопросу о наилучшем определении момента смены вероятностных характеристик некоторого случайного процесса. Предполагается априори известным, что вид закона распределения наблюдаемого процесса может измениться в некоторый (случайный) момент времени. На практике данное изменение может соответствовать поломке оборудования, что вызывает резкий рост доли брака в выпуске продукции, или же, например, соответствовать резкому изменению ожиданий инвесторов на рынке, что приводит к изменению тренда финансового актива. Как и в задаче о различении гипотез, требуется найти не только наиболее точное решение, но и сделать это за кратчайшее время. Хорошие критерии должны обладать как небольшим средним запаздыванием, так и малой вероятностью "ложной тревоги". В данном случае потребность использования последовательных методов становится очевидной в силу самой природы задачи.
Первые результаты в этом направлении были получены У. Шьюартом14. Предложенный им метод основывался на том, что при изменении харак-
9 Chernoff Н. Sequential tests for the mean of a Normal distribution // Fourth Berkeley Symposium. — 1961. - Vol. 1. - Pp. 79-91
10 Breakwell J., Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution II (large t) // The
Annals of Mathematical Statistics. — 1964. — Vol. 35. — Pp. 162-173
11 Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution III (small t) // The Annals of
Mathematical Statistics. - 1965. - Vol. 36. - Pp. 28-54
12 Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution IV (discrete case) // The Annals of
Mathematical Statistics. - 1964. - Vol. 36. - Pp. 55-68
13 Lai T. L. Sequential analysis: some classical problems and new challenges // Statistica Sinica. — 2001.
- Vol. 11, no. 2.- Pp. 303-350
14 Shewart W. The application of statistics as an aid in maintaining quality of a manufactured product //
Journal of the American Statistical Association. — 1925. — Vol. 20, no. 152. — Pp. 546-548
теристик, арифметическое среднее наблюдений должно сильно изменить своё значение. Однако, данный метод оказался малоэффективным в случае, когда характеристики меняются не очень существенно.
Это стимулировало развитие более точных техник, направленных на преодоление данного недостатка. Одним из наиболее известных является метод кумулятивных сумм (или, более кратко, CUSUM), предложенный Э. Пэйджем15. Позднее, А. Н. Ширяевым16 и С. Робертсом17 независимо друг от друга был предложен метод, основанный на статистике, называемой сейчас статистикой Ширяева-Робертса.
Под задачей о разладке броуновского движения обычно понимают модель, в которой у броуновского движения в некоторый ненаблюдаемый момент времени в снос меняется с нуля на известное значение /і. А. Н. Ширяевым18 было показано, что в байесовской постановке (в предположении, что в является экспоненциально распределённой случайной величиной) оптимальное правило представляет собой момент первого достижения процессом апостериорных вероятностей некоторого порога.
Также для модели броуновского движения известно, что правило CUSUM является оптимальным в критерии Лордена19,20,21, а правило Ширя-ева-Робертса — в обобщённой байесовской постановке (т. е. в предположении, что в распределён "равномерно на положительной полупрямой действительной оси"), сравнение данных методов может быть найдено в работе М. Поллака и Д. Сигмунда22. Большой обзор имеющихся в настоящее время результатов по разладке можно найти в работе23.
15 Page Е. S. Continuous inspection schemes // Biometrika. — 1954. — Vol. 41. — Pp. 100-114
16 Ширяев A. H. Обнаружение спонтанно возникающих эффектов // Доклады АН СССР. — 1961.
- Т. 138, № 4. - С. 799-801
17 Roberts S. W. Control charts based on geometric moving average // Technometrics. — 1959. — Vol. 1.
- Pp. 239-250
18 Ширяев A. H. Об оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружения // Теория вероятно
стей и ее применения. — 1963. — Т. 8, Na 1. — С. 26-51
19 Lorden С Procedures for reacting to a change in distribution. // Annals of Mathematical Statistics. —
1971. - Pp. 1897-1908
20 Ширяев A. H. Минимаксная оптимальность метода кумулятивных сумм (CUSUM) в случае непре
рывного времени // Успехи математических наук. — 1985. — Т. 51, Na 4.— Pp. 173-174
21 Beibel М. A note on Ritov's Bayes approach to the minimax property of the CUSUM procedure //
Annals of Statistics. - 1996. - Vol. 24, no. 4.- Pp. 1804-1812
22 Pollak M., Siegmund D. A diffusion process and its applications to detecting a change in the drift of
Brownian motion // Biometrika. - 1985. - Vol. 72, no. 2.- Pp. 267-280
23 Shiryaev A. N. Quickest detection problems: fifty years later // Sequential Analysis. — 2010. — Vol. 29,
С точки зрения приложений важную роль играют постановки, в которых кроме определения момента разладки также требуется принять одну из гипотез о значении новых характеристик. Связано это с тем, что довольно часто исследователь не знает как именно изменится поведение процесса, и, в лучшем случае, может сделать некоторые предположения.
Наиболее популярным подходом к исследованию данных задач является использование правил, обобщающих обычную статистику CUSUM. Впервые данный подход был использован Г. Барнардом24 для модели с двусторонними альтернативами. Позднее, аналоги данного метода рассматривались многими авторами для более общих моделей19'25'26. В частности,
A. Тартаковский27 исследовал оптимальность метода 7V-CUSUM (состоя
щем из комбинации N одномерных правил CUSUM) для задачи с несколь
кими альтернативами.
М. Байбелем28 были предложены критерии для двух байесовских постановок, первая из которых является обобщением тестов X. Р. Лерхе29 для определения наличия сноса у броуновского движения, а вторая — обобщением процесса апостериорных вероятностей из постановки А. Н. Ширяева18.
Результаты первых двух глав диссертации дополняют имеющиеся результаты по задаче о "двусторонней разладке" броуновского движения, т. е. для модели, в которой предполагается, что появляющийся снос может принять одно из двух значений: \i\ < 0 или /І2 > 0.
В первой главе исследуются моменты остановки, связанные с падением и ростом броуновского движения со сносом. Величина падения процесса определяется как разница между текущим максимумом и значением про-
по. 4.- Pp. 445-385
24 Barnard G. A. Control charts and stochastic processes // Journal of the Royal Statistical Society, Series
B. - 1959. - Vol. 11 - Pp. 239-271
25 Dragalin V. P. The design and analysis of 2-CUSUM procedure. // Communications in Statistics -
Simulation and Computation. — 1997. — Vol. 26, No 1. Pp. 67-81
26 Hadjiliadis O. Change-point detection of two-sided alternatives in the Brownian motion model and its
connection to the gambler's ruin problem with relative wealth perception. // PhD Thesis with Distinction.
— Columbia University, 2005
27 Тартаковский A. Г. Асимптотически минимаксное многоальтернативное последовательное прави
ло обнаружения разладки. // Статистика и управление случайными процессами, Тр. МИАН, 202 —
Vol. 26, No 1. Москва: ТВП, 1993 С. 287-295
28 Beibel М. Sequential change-point detection in continuous time when the post-change drift is
unknown. J) Bernoulli. - 1997. - Vol. 3, No 4. Pp. 457-478
29 Lerche H. R. The shape of Bayes tests of power one. // The Annals of Statistics. — 1986. — Vol. 14,
No 3. P. 1030-1048
цесса, а величина роста — как разница между его значением и текущим минимумом.
С одной стороны, рассматриваемые моменты остановки представляют собой подкласс 2-CUSUM решающих правил, возникающих в задачах о разладке (общий класс правил содержит также моменты остановки, для которых падение и рост соответствуют броуновскому движению с разной величиной сноса). С другой стороны, данные величины играют важную роль в финансовой математике30, поскольку их можно рассматривать как статистическую меру риска инвестирования в качестве альтернативы стандартным мерам риска, таким как вероятность возврата, V@R, Sharp ratio и т. д. Основные полученные результаты связаны с вычислением преобразований Лапласа для рассматриваемых моментов.
Во второй главе исследуется байесовская постановка задачи о "двусторонней разладке" для броуновского движения со сносом. В качестве функции риска рассматривается сумма штрафов за запаздывание при принятии решения, за ложную тревогу и за неверно принятое решение о величине сноса. Таким образом, данный критерий объединяет в себе две классические байесовские постановки из последовательного анализа7.
Отметим, что эффективность того или иного критерия в "непрерывном времени" обычно проверяется в первую очередь для броуновского движения со сносом. С одной стороны, это объясняется тем, что данный процесс является предельным случаем для многих моделей с дискретными наблюдениями. С другой стороны, для броуновского движения оптимальные правила во многих ситуациях имеют простую структуру, и могут быть впоследствии обобщены на другие марковские модели, такие как пуассо-новский процесс31 и одномерные диффузии32.
Однако, в последние два десятилетия различными исследователями от-
«33 і 34
мечалось, что в теории телекоммуникации , финансовых приложениях и
30 Szego G. P. (Ed.) Risk measures for the 21st century // Wiley, 2004
31 Галъчук Л. И., Розовский Б. Л. Задача о "разладке" для пуассоновского процесса. // Теория
вероятностей и ее применения — Т. 16, № 4. С. 729-734
32 Gapeev Р. V., Shiryaev А. N. Bayesian quickest detection problems for some diffusion processes. //
Advances in Applied Probability. — 2013. — Vol. 45, No 1. P. 164-185
33 Norros I. On the use of the fractional Brownian motion in the theory of connectionless networks. //
Selected Areas in Communications, IEEE Journal on. — 1995. — Vol. 13, No 6. P. 953-962
34 Anh V. V., Inoue A. Financial markets with memory I: Dynamic models. // Stochastic Analysis and
некоторых других важных областях наблюдаемые данные обладают свойством сильной зависимости от прошлого и самоподобия.
В случае непрерывного времени простейшим примером процесса с данными свойствами является фрактальное броуновское движение Вн, где величина Н Є (0,1) обозначает параметр самоподобия Харста. Чем больше Н: тем более гладкими оказываются траектории. В случае Н = 1/2 процесс Вн совпадает со стандартным броуновским движением.
Впервые данный процесс был рассмотрен А. Н. Колмогоровым35 в 1940 г. при исследовании вопросов моделирования турбулентности36. Большую популярность Вн получил в связи с исследованиями Б. Мандельброта37 по фракталам и, в частности, после работы38, в которой фрактальное броуновское движение было построено в виде интеграла по винеровскому процессу на всей действительной прямой. Отметим, что именно у Б. Мандельброта и Дж. ван Несса38 процесс Вн получил своё название (в своих работах А. Н. Колмогоров называл Вн "винеровской спиралью").
Характерными свойствами Вн являются гауссовость, самоподобие и стационарность приращений. При Н > 1/2 приращения процесса положительно коррелированы, а при Н < 1/2 — отрицательно. В дополнении к этому, при Н > 1/2 процесс Вн обладает свойством сильной зависимости от прошлого. Другие свойства могут быть найдены в монографии39.
У. Четиным, А. А. Новиковым и А. Н. Ширяевым40 была рассмотрена задача последовательного оценивания величины сноса /і фрактального броуновского движения в предположении гауссовости /і. Ими было показано, что оптимальный момент остановки является детерминистическим, когда функция штрафа является квадратичной или дельта-функцией.
Applications. - 2005. - Vol. 23, No 2. P. 275-300
35 Колмогоров A. H. Спирали Винера и другие интересные кривые в гильбертовом пространстве //
Доклады АН СССР. - 1940. - Т. 26, № 2
36 Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень боль
ших числах Рейнольдса // Доклады АН СССР. - 1941. - Т. 30, № 4. С. 299-303
37 Mandelbrot В. Fractals and scaling in finance: Discontinuity and concentration. // Springer Verlag,
1997
38 Mandelbrot В. В., van Ness J. W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications //
SIAM review - 1968. - Vol. 10, no. 4.- Pp. 422-437
39 Mishura Yu. Stochastic calculus for fractional Brownian motion and related processes // Lecture Notes
in Math., 1929 - Springer, Berlin, 2008
40 Cetin U., A. Novikov A. A., Shiryaev A. N. Bayesian sequential estimation of a drift of fractional
Brownian motion // to appear in Sequential Analysis. — 2013. — Vol. 32, No 3. — P. 288-296
В третьей главе изучаются задачи различения гипотез о величине сноса фрактального броуновского движения по результатам последовательных наблюдений. Доказывается, что задачи подобного типа могут быть сведены к задачам об оптимальной остановке для стандартного броуновского движения, для решения которых можно использовать хорошо разработанные методы из общей теории41'42. В данном случае оптимальный момент времени оказывается случайным.
Отметим, что при Н ф 1/2 процесс Вн не является ни марковским процессом, ни семимартингалом39, поэтому хорошо разработанный аналитический аппарат оказывается неприменимым непосредственно к данному процессу (в частности, для Вн при Н ф 1/2 перестаёт быть верным тождество Вальда).
В четвёртой главе показано, что, несмотря на это, Вн можно представить как линейный функционал от бесконечномерного диффузионного процесса типа Орнштейна-Уленбека. В качестве применения данного результата, доказывается неравенство, связывающее среднее значение остановленного процесса В^ и среднее время наблюдения г (для моментов остановки г). В случае Н < 1/2 данное неравенство дополняет результаты А. А. Новикова и Э. Валкейлы43.
Цель работы. Целью работы является изучение оптимальных решающих правил в двух конкретных моделях: броуновском движении с возникающей разладкой и фрактальном броуновском движении с неизвестным сносом. Также целью является исследование границ применимости марковских методов к фрактальному броуновскому движению (являющегося одним из классических примеров процесса с зависимостью от прошлого).
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
1. Найдены аналитические формулы преобразований Лапласа для моментов остановки, связанных с падением и ростом броуновского движения
41 Peskir G., Shiryaev A. Optimal stopping and free-boundary problems. — Birkhauser Basel, 2006
42 van Moerbeke P. On optimal stopping and free-boundary problems // Arch. Rational Mech. Anal. —
1976. - Vol. 60, - Pp. 101-148
43 Novikov A., Valkeila. E. On some maximal inequalities for fractional Brownian motions // Statistics &
probability letters — 1999. — Vol. 1, no. 4.— Pp. 47-54
со сносом, представляющие собой подкласс 2-CUSUM решающих правил.
-
В байесовской постановке задачи о "двусторонней разладке" изучена структура оптимальных решающих правил. А именно, доказана выпуклость, непрерывность и дифференцируемость функции риска, а оптимальные границы остановки характеризуются как единственное решение некоторого интегрального уравнения.
-
Предложен метод, позволяющий конструктивно решать задачи о различении конечного числа гипотез о величине сноса фрактального броуновского движения. Показано, как сводить задачи подобного типа к задачам об оптимальной остановке для стандартного броуновского движения.
-
Получено представление фрактального броуновского движения в виде функционала от бесконечномерной диффузии (аналоге процесса Орн-штейна-Уленбека). В качестве приложения данного результата доказано неравенство, связывающее средние значения произвольного момента остановки и фрактального броуновского движения, остановленного в этот момент.
Методы исследования. В диссертации применены методы стохастического анализа: теория марковских процессов, теория мартингалов и стохастическое дифференциальное исчисление.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть полезны в вопросах последовательного анализа стохастических систем, связанных с проверкой гипотез и обнаружением разладок. Результаты четвёртой главы могут быть использованы для применения аналитических методов теории марковских процессов при изучении свойств фрактального броуновского движения.
Апробация диссертации. Результаты работы докладывались автором на следующих научных конференциях и семинарах:
-
Конференция "The Seventh Bachelier Colloquium on Mathematical Finance and Stochastic Calculus", Метабьеф, Франция, 13-20 января 2013 г. Тема доклада: Quickest disorder detection problem with sequential hypothesis testing.
-
Конференция "Stochastic Optimization and Optimal Stopping", Москва, 24-
28 сентября 2012 г. Тема доклада: On a two-side disorder problem for a Brownian motion in a Bayesian setting.
-
Конференция "The Joint Meeting of International Young Business and Industrial Statisticians", Лиссабон, Португалия, 23-26 июля 2012 г. Тема доклада: On multiple Bayesian quickest detection problems.
-
Конференция ИППИ (Москва) — WIAS (Берлин) по стохастическому и предсказательному моделированию, Москва, 31 мая - 1 июня 2012 г. Тема доклада: The study of a fractional Brownian motion by means of Markov techniques.
-
Конференция МИ AH — ПОМП, посвященная теме "Вероятность и функциональный анализ", Москва, 16-17 февраля 2012 г. Тема доклада: Фрактальное броуновское движение: новое представление и следствия из него.
-
Конференция "17th European Young Statisticians Meeting", Лиссабон, Португалия, 5-9 сентября 2011 г. Тема доклада: On some inequalities for fractional Brownian motion.
-
Российско-японский симпозиум no стохастическому анализу", Москва, 15-17 сентября 2009 г. Тема доклада: О преобразовании Лапласа для характеристик, связанных с падением и ростом броуновского движения со сносом.
-
Большой семинар кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, несколько докладов в 2009-2012 гг.
-
Научный семинар "Случайные процессы и стохастический анализ" под рук. А. Н. Ширяева, МГУ, несколько докладов в 2008-2013 гг.
10. Выступления в Лаборатории предсказательного моделирования, МФТИ, несколько докладов в 2012-2013 гг.
Публикации. Список работ автора, содержащих результаты диссертации, приведен в конце автореферата. Непосредственно по теме диссертации опубликованы 4 работы [1], [3]-[5]; работа [2] содержит вспомогательный результат.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и приложения. Общий объём работы составляет 107 страниц. Список литературы включает 105 наименований.
Благодарность. Работа выполнена под руководством академика РАН профессора А. Н. Ширяева, которому автор выражает искреннюю благодарность.
Свойства момента остановки 7аб
Величина падения процесса определяется как разница между текущим максимумом и значением процесса, а величина роста — как разница между его значением и текущим минимумом. В первой главе исследуются моменты первого достижения данными характеристиками некоторого уровня для модели броуновского движения со сносом а также их минимум аь = та Л о"ь. С одной стороны, рассматриваемые моменты остановки представляют собой класс 2-CUSUM решающих правил, возникающих в задачах о разладке (чтобы получить общий класс правил, нужно рассматривать моменты та и о ъ для броуновского движения с разной величиной сноса). С другой стороны, данные величины играют важную роль в финансовой математике [67], поскольку их можно рассматривать как статистическую меру риска инвестирования в качестве альтернативы стандартным мерам риска, таким как вероятность возврата, V@R, Sharp ratio и т. д. Основные полученные результаты связаны с вычислением преобразований Лапласа для рассматриваемых моментов.
Во второй главе исследуется байесовская постановка задачи о "двусторонней разладке" для броуновского движения со сносом. В качестве функции риска рассматривается сумма штрафов за запаздывание при принятии решения, за ложную тревогу и за неверно принятое решение о величине сноса. Таким образом, данный критерий объединяет в себе две классические байесовские постановки из последовательного анализа [102].
Отметим, что эффективность того или иного критерия в "непрерывном времени" обычно проверяется в первую очередь для броуновского движе ния со сносом. С одной стороны, это объясняется тем, что данный процесс является предельным случаем для многих моделей с дискретными наблюдениями. С другой стороны, для броуновского движения оптимальные правила во многих ситуациях имеют простую структуру, и могут быть впоследствии обобщены на другие марковские модели, такие как пуассо-новский процесс [19, 58, 81] и одномерные диффузии [23, 24].
Однако в последние два десятилетия различными исследователями отмечалось, что в теории телекоммуникаций [50], финансовых приложениях [3, 4] и некоторых других важных областях наблюдаемые данные обладают свойством сильной зависимости от прошлого и самоподобия.
В случае непрерывного времени простейшим примером процесса с данными свойствами является фрактальное броуновское движение Вн, где величина Н Є (0,1) обозначает параметр самоподобия Харста. Процесс Вн определяется как выходящий из нуля гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией
Чем больше Н: тем более гладкими оказываются траектории. В случае Н = 1/2 процесс Вн совпадает со стандартным броуновским движением. Впервые данный процесс был рассмотрен А. Н. Колмогоровым [88] в 1940 г. при исследовании вопросов моделирования турбулентности [89]. Большую популярность Вн получил в связи с исследованиями Б. Мандельброта [44] по фракталам и, в частности, после работы [43], в которой фрактальное броуновское движение было построено в виде интеграла по винеровскому процессу на всей действительной прямой: где сн является некоторой нормирующий константой. Отметим, что именно у Б. Мандельброта и Дж. ван Несса [43] процесс Вн получил своё название (в своих работах А. Н. Колмогоров называл Вн "винеровской спиралью"). Характерными свойствами Вн являются гауссовость, самоподобие и стационарность приращений. При Н 1/2 приращения процесса поло жительно коррелированы, а при Н 1/2 — отрицательно. В дополнение к этому, при Н 1/2 процесс Вн обладает свойством сильной зависимости от прошлого: Y =i ( n+i n) = - ДРУгие свойства могут быть найдены в монографии [46].
У. Четиным, А. А. Новиковым и А. Н. Ширяевым [13] была рассмотрена задача последовательного оценивания величины сноса /І фрактального броуновского движения в предположении гауссовости /І. Ими было показано, что оптимальный момент остановки является детерминистическим, когда функция штрафа является квадратичной или дельта-функцией.
В третьей главе изучаются задачи различения гипотез о величине сноса фрактального броуновского движения по результатам последовательных наблюдений. Доказывается, что задачи подобного типа могут быть сведены к задачам об оптимальной остановке для стандартного броуновского движения, для решения которых можно использовать хорошо разработанные методы из общей теории [57, 69]. В данном случае оптимальный момент времени оказывается случайным.
Отметим, что при Н ф 1/2 процесс Вн не является ни марковским процессом, ни семимартингалом [46], поэтому хорошо разработанный аналитический аппарат оказывается неприменимым непосредственно к данному процессу (в частности, для Вн при Н ф 1/2 перестаёт быть верным тождество Вальда).
В четвёртой главе показано, что, несмотря на это, Вн можно представить как линейный функционал от бесконечномерного диффузионного процесса типа Орнштейна-Уленбека. В качестве применения данного результата доказывается неравенство, связывающее среднее значение остановленного процесса В и среднее время наблюдения г (для моментов остановки г). В случае Н 1/2 данное неравенство является новым результатом и дополняет доказанные А. А. Новиковым и Э. Валкейлой [52] аналоги неравенств Буркхолдера-Ганди-Дэвиса
В главе 1 найдены аналитические формулы преобразований Лапласа для моментов остановки, связанных с падением и ростом броуновского движения со сносом, представляющие собой класс 2-CUSUM решающих правил.
В главе 2 для байесовской постановки задачи о "двусторонней разладке" изучена структура оптимальных решающих правил. А именно, доказана выпуклость, непрерывность и дифференцируемость функции риска, а оптимальные границы остановки характеризуются как единственное решение некоторого интегрального уравнения.
В главе 3 предложен метод, позволяющий конструктивно решать задачи о различении конечного числа гипотез о величине сноса фрактального броуновского движения. Показано, как сводить задачи подобного типа к задачам об оптимальной остановке для стандартного броуновского движения.
В главе 4 получено представление фрактального броуновского движения в виде функционала от бесконечномерной диффузии (аналоге процесса Орнштейна-Уленбека). В качестве применения данного результата доказано неравенство, связывающее средние значения произвольного момента остановки и фрактального броуновского движения, остановленного в этот момент.
Сведение к задаче об оптимальной остановке для апостериорных вероятностей
В данной главе рассматривается задача о двусторонней разладке для броуновского движения в байесовской постановке, точная формулировка которой дана в 2.1. В 2.2 показано, как свести данную задачу к стандартной задаче об оптимальной остановке для процесса апостериорных вероятностей. В 2.3 исследуются качественные свойства решения, а именно, доказывается выпуклость, непрерывность и принцип гладкого склеивания для функции риска. В 2.4 оптимальные границы остановки характеризуются как единственное решение некоторого интегрального уравнения.
Предположим, что мы наблюдаем за траекторией броуновского движения X = [Xtjt Q со сносом fjl{t #), где момент появления сноса 9 и его значение /І ф 0 считаются неизвестными. В настоящей главе будет исследоваться байесовская задача скорейшего обнаружения 9 и последовательного различения двух гипотез о величине появившегося сноса /І.
П= (тг = (TTV2) : тг1 0, тг2 0, тг1 + тг2 lY задано броуновское движение В = (Bt)t o-, а также случайные величины в и /І, независимые между собой и от броуновского движения В. Будем считать, что 9 имеет экспоненциальное распределение с параметром Л и весом р в нуле, /І принимает значения \i\ 0 с вероятностью р\ и \i2 О с вероятностью р2 = 1 — pi, а параметры распределения Р определяют априорные вероятности 7Г1 = Рп(0 = 0,/i = /ii) =ррі, 7Г2 = Рп{0 = 0,/і = /і2) = Р/ 2 Предполагается, что наблюдению подлежит процесс X = (Xt)t o, удовлетворяющим стохастическому дифференциальному уравнению
Пусть 6 = (т, d) обозначает решающее правило, состоящее из момента остановки г = т(и) относительно естественной фильтрации # = a(Xs,s t) процесса X и функции принятия решения d = d(uj) — # -измеримой случайной величины, принимающей значения di и d2. После того, как мы останавливаем наблюдения в момент т, функция d показывает, какую гипотезу о величине сноса /І МЫ должны принять: если d = d\, то принимаем Hi : /І = /ІІ, а если d = d2 — принимаем Н2 : /І = fi2. состоит из линейной комбинации вероятности ложной тревоги и среднего запаздывания при правильном обнаружении разладки, с 0, а М%(5) = aPn(d = d\,fi = /І2) + bPn(d = G?2,M = Ці) состоит из линейной комбинации вероятностей неправильного принятия гипотезы о величине сноса /І, где а, Ъ 0. Соотношения (2.5) можно переписать в виде + рцр\ + р2 = , , /;г, ,,2 = 1,2. (2J Из общей теории фильтрации (см., например, [90, 7.4]) следует, что процесс X = (Xt)t o допускает инновационное представление
Сначала мы покажем, что V(TT) является выпуклой на компакте П функцией (2.3.1), далее, определим вид оптимальных границ остановки ( 2.3.2) и установим справедливость принципа гладкого склеивания на этих границах (2.3.3).
1. Начнём качественное исследование V(к) с доказательства выпуклости. Перепишем (2.4) в более компактном виде: где XQ обозначает часть траектории процесса X до момента остановки т. Как было показано ранее, функционал Я на самом деле зависит не от всей траектории наблюдаемого процесса, а лишь от конечного числа достаточных статистик, но в данном случае это не важно.
Идея состоит в том, чтобы доказать выпуклость функции тг Е,Я(тг,т,Х0т), (2.14) для каждого фиксированного момента остановки г с Е т оо, тогда выпуклость V(TT) становится очевидна. Действительно, зафиксируем точки фазового пространства тта и 7Г/? и возьмём произвольные веса а ) 0 и /3 0, удовлетворяющие условию а + /3 = 1. Несложно видеть, что точка 7Г = атга + (Зттр будет также принадлежать фазовому пространству П (поскольку П является симплексом), и справедливо аіпіЕ Я(7га,т,Х0г) + /ЗіпЕ Я(тг г,Х0г) = аУ(тг0) + pVfo). Однако, выпуклость отображения (2.14) совсем неочевидна, поскольку от 7Г зависит не только функционал Н: но и мера Рт,-, по которой берётся математическое ожидание. Поэтому преобразуем задачу к такому виду, в котором зависимость от 7Г будет более явной. Для этого воспользуемся методом замены меры.
Будем пока считать, что момент г является ограниченным. А именно, зафиксируем некоторое Т 0 и будем считать, что Ртг-п.н. т Т. Определим процесс стохастической экспоненты SJ = (t)o t T (2.15)
В последнем равенстве мы воспользовались тем, что по мере Р00 процесс X является стандартным броуновским движением (с коэффициентом диффузии сг), и стохастический интеграл является квадратично интегрируемым мартингалом. А значит, по теореме о преобразовании свободного выбора, для любого момента остановки т Т его среднее равно нулю. Определим процессы фі = (фІ)о г т, і = 1,2 как
Слева: множества D\1 D2 и С; справа: множества Пі, П2 и Со на компакте П следует непрерывность V(TT) на П, а значит и равномерная непрерывность. Кроме того, для каждой точки внутренности П существуют производные по всем направлениям:
Далее мы покажем, что на самом деле функция V(тт) является дифференцируемой. Кроме того, выпуклость функции поможет нам в исследовании свойств оптимальных границ в следующем пункте.
Следующим шагом является определение качественного вида множества остановки D, множества продолжения наблюдения С и, как следствие, оптимальных границ остановки 7 Перепишем функцию V(TT) В более компактном виде где С(тг) была определена в (2.13). Очевидно, что точки 7Гі;о = (1,0) и од = (0,1) принадлежат множеству остановки D, поскольку в них можно безошибочно принять гипотезы Hi и 7 2 (функция риска V(TT) В ЭТИХ точках равна нулю). Далее мы покажем, что в то же время, некоторые точки фазового пространства заведомо принадлежат множеству продолжения наблюдения С. Во-первых, это множество
Сведение к стандартным задачам об оптимальной остановке
Справедливость данного факта эвристически можно объяснить следующим образом. Напомним, что в рассматриваемой модели до некоторого конечного момента времени процесс находится "в среднем" около нуля, а затем появляется положительный или отрицательный снос, и процесс X устремляется "в среднем" в одном из двух противоположных направлений. Поэтому, если нам известна вся траектория процесса X, то естественно предположить, что по ней можно определить, в какую строну процесс X начало "сносить". В приложении П.4 приводится строгое доказательство данного утверждения, основанное на законе повторного логарифма для броуновского движения.
Рассмотрим класс границ W = {7 = 7i U 72}, для которых 7« является непрерывной невырожденной кривой, принадлежащей П /Со, і = 1,2. Невырожденность означает, что 7і и 72 являются границами некоторых непустых окрестностей точек 7Гі;о и 7Год, соответственно. Как следует из теоремы 2.2, оптимальные границы остановки 7 принадлежат .
Теорема 2.4. Оптимальные границы в задаче (2.4) являются единственным решением интегрального уравнения (2.34) в классе CS . Доказательство. Приводимое доказательство основано на идеях, изложенных в работе [55]. Пусть 7 — оптимальные границы множества остановки в задаче (2.4), а 7 некоторое другое решение интегрального уравнения (2.34). Рассмотрим функцию
Возможное расположение границ 7 и 7 при их несовпадении. поскольку до момента г процесс 7Г не достигнет прямой . Из формул (2.23), (2.35) и (2.36) следует, что V (7r) (тг) для 7Г Є П.
Далее будет показано, что на самом деле имеет место V(TT) = V(TT). Установим сначала, что точки 7 не могут принадлежать внутри множества остановки intD.
Последовательное различение гипотез для фрактального броуновского движения
В главе изучаются задачи различения гипотез о величине сноса фрактального броуновского движения по результатам последовательных наблюдений. В 3.1 рассматривается общая байесовская постановка, в 3.2 устанавливается, что задачи подобного типа могут быть сведены к задачам об оптимальной остановке для стандартного броуновского движения.
1. Пусть на вероятностном пространстве (Q, #", Р) задано фрактальное броуновское движение Вн = (B )t o с параметром самоподобия Харста Н Є (0,1). Предположим, что мы последовательно наблюдаем за процессом X = (Х ) о, определённым как Xt = iit + В?, где значение сноса /І является неизвестным. Следуя байесовскому подходу, будем считать, что /І является некоторой независимой от Вн случайной величиной, также заданной на (Q, #", Р) и удовлетворяющей Е /І оо.
Пусть множества А\,..., Ап С К. образуют полную группу, т. е. они не пересекаются, и выполняется условие Хл-Р(м ) = 1- В данном параграфе мы рассмотрим задачу различения гипотез Н\,... , Нп, Нь: /І Є А{, по последовательным наблюдениям за процессом X.
Каждая последовательная процедура по определению задаётся решающим правилом 5 = (r dfj), состоящим из момента остановки т = т(ш) относительно естественной фильтрации = a(Xs,s і) процесса X и функции принятия решения d/j, = d/j,(uj) — і -измеримой случайной величины. После того, как мы останавливаем наблюдения в момент т, функция d показывает, какую гипотезу о величине сноса /І МЫ принимаем. где константа с 0 является платой за наблюдение, a W(/i, d ) — функция "штрафа", отвечающая за неправильное принятие решения. Предполагается, что W(/i, dfj) = 0, если /І Є Arj , и W(/i, d ) 0 в противном случае. Кроме того, будем считать, что для EW(p} і) оо для і = 1,..., п.
Если предположить, что функция d может принимать произвольное значение из К. (т.е., говоря формально, рассмотреть задачу различения континуума гипотез Ни : /І = it), то (3.1) становится задачей построения оптимальной оценки параметра /І. Так, в [13] было показано, что в случаях, когда функция штрафа является квадратичной И- /І, ) = /І — ім2 или дельта-функцией \(р И) = —А(/І, ІМ), а случайная величина /І является нормально распределённой, оптимальный момент остановки т (в классе правил 5 = (г, d) с г Т, где Т 0) является детерминистическим, а функция d — зависит от траектории X.
Далее мы покажем, что в общем случае оптимальным моментом т будет являться момент первого пересечения некоторым функционалом от {Xs,s і] оптимальных границ остановки (таким образом, изученные в [13] случаи являются вырожденными). Отметим следующий интересный факт: выбор W(fi, d ) влияет только на вид оптимальных границ, а достаточные статистики в (3.1) никак не зависят от вида функции "штрафа".
Итак, от задачи для фрактального броуновского движения со сносом /І мы перешли к соответствующей задаче для стандартного броуновского движения со сносом Л, и плата за наблюдения стала нелинейной. Поскольку задачи обычно ставятся не для конкретного распределения /І, а для некоторого семейства распределений, то переход к новому значению сноса Л с помощью линейного преобразования Л = &яМ часто оставляет распределение в том же семействе, и поэтому на ход решения эта замена не очень влияет.
Неравенство для среднего значения Вн, остановленного в случайный момент времени
Предыдущий пример показывает, что, вообще говоря, оптимальный момент т в задаче (3.8) может не быть оптимальным в (3.6).
Замечание 3.1. Как было показано в (3.7), по исходной мере Р процесс Z является одномерным (неоднородным) марковским, поэтому можно было решать задачу об оптимальной остановке для него, а не переходить к мере Р. Всё же, имеется ряд причин рассматривать именно задачу (3.8). Во-первых, она ставится для броуновского движения, а проверить условие Ео"1 1-2" = оо во многих случаях достаточно просто. Во-вторых, фильтрации В и Z могут отличаться — для их совпадения нужно потребовать, например, существование сильного решения в (3.7). В третьих, при выведении интегральных уравнений на границы удобнее вычислять вероятности P{Zt Є А), чем P(Zt Є А).
Замечание 3.2. Проведённые рассуждения остаются верными и для задач на конечном интервале, т.е. когда инфимум в (3.1) берётся по правилам остановки 6 с моментами г, для которых Р-п. н. выполняется г Т для некоторого Т 0. В этом случае условие Р( 7 оо) = 1 не нужно в теореме 3.2.
Поскольку в (3.8) процесс Z по мере Е является броуновским движением, то отыскание инфимума в (3.8) по моментам остановки Еа"1 1_2а ) оо можно свести к соответствующей задаче на конечном интервале с помощью преобразования Аппеля (см. [5, 69]).
Пример 3.2. Рассмотрим задачу различения двух простых гипотез. Предположим, что наблюдению подлежит процесс X = (Xt)t o, определённым как где значение сноса /І принимает значения \і\ и /І2 С вероятностями р и 1 —р. В качестве критерия выберем стандартный (см., например, [ЮЗ]):
Для решения задачи можно использовать стандартные методы (см., например, [77]). В частности, с помощью обобщённой формулы Ито [59] можно показать, что области продолжения наблюдения принадлежит прямая
Результаты данной главы имеют самостоятельный интерес с точки зрения изучения общих свойств фрактального броуновского движения.
Как уже отмечалось ранее, при Н Є (0,1/2) U (1/2,1) процесс Вн не является ни семимартингалом, ни марковским процессом (см., например, [46]). В 4.1 будет показано, что, несмотря на это, Вн можно представить как линейный функционал от бесконечномерного марковского процесса. В 4.2 будет доказано неравенство, связывающее среднее значение произвольного момента остановки и среднее фрактального броуновского движения, остановленного в этот момент времени.
Пусть = (/?)/? о — гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией Щ(а, /3) = (а + /З)-1, а В = (Bt)t o — независимое от стандартное броуновское движение. Построим по и В семейство процессов {Z j x), где Z13 = (Zl)t o — процесс Орнштейна-Уленбека, являющийся решением стохастического дифференциального уравнения rfZf = -/3Z? dt + dBt, Z = g. (4.1)
Аналогично одномерному случаю, можно показать, что с таким начальным распределением процесс Z является стационарным. Теорема 4.1. Для Я Є (0,1/2) U (1/2,1) и произвольного є 0 процесе В = ( t )t Q; определяемый как также является фрактальным броуновским движением с параметром Харста Я.
Фактически, в теореме 4.1 даётся представление Вн в виде линейного функционала от бесконечномерного марковского процесса Z . Один из естественно возникающих вопросов состоит в том, как для заданного Вн построить соответствующие процессы и В. Следующая теорема частично отвечает на данный вопрос.
Теорема 4.2. Пусть Вн = (B )te является фрактальным броуновским движением на всей действительной прямой. Тогда существуют процессы и В такие, что (В ) о задаётся представлениями (4.2)-(4.3).
Вместо этого мы построим в явном виде (4.2) и (4.3) в предположениях теоремы 4.2, а затем используем их для доказательства теоремы 4.1. 2. Пусть на вероятностном пространстве (Г2, #", Р) задано фрактальное броуновское движение Ви = (B )teR- Как отмечалось ранее, существует стандартное броуновское движении В = (Bt)teR такое, что Вн можно задать с помощью представления Мандельброта-Ван Несса [43]:
Из общей теории марковских процессов следует, что момент остановки т = T (Z ), где z определяется из (4.13), функция w(z) = Егт является решением уравнения Jw(z) = — 1 и удовлетворяет граничному условию w(z ) = 0. Кроме того, легко видеть, что w(z) убывает при Z Z и w(z) 0. Отсюда следует, что z — CEZT должна обязательно совпадать с W(z), и (4.16) действительно имеет место.
Похожие диссертации на Последовательное различение гипотез для броуновского движения с разладкой и фрактального броуновского движения
