Содержание к диссертации
Введение
I Гиперболические уравнения 27
1. Волновое уравнение 28
1.1. Введение 28
1.1.1. Случайное решение. Сходимость к равновесию . 30
1.1.2. Условие перемешивания 31
1.2. Главные результаты 32
1.2.1. Основная теорема 32
1.2.2. Примеры 34
1.3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами . 36
1.4. Приложение к случаю гиббсовских мер 37
1.4Л. Гиббсовские меры 37
1.4.2. Сходимость к равновесию 39
1.4.3. Предельный поток энергии 41
1.5. Компактность семейства мер 42
1.6. Сходимость корреляционных функций 46
1.7. Корреляционные функции в общем случае 51
1.8. Метод Бернштейна для волнового уравнения 54
1.9. Сходимость характеристических функционалов 60
1.10. Условие Линдеберга 63
1.11. Моментные функции четвертого порядка 65
1.12. Теория рассеяния для решений с бесконечной энергией . 69
1.13. Сходимость к равновесию для переменных коэффициентов . 74
1.14. Оценки Вайнберга 76
1.15. Эргодичность и перемешивание для предельных мер . 77
1.16. Дополнения 81
1.16.1. Дополнение А1. Преобразование Радона 81
1.16.2. Дополнение А2. Гауссовские меры в пространствах Соболева 83
2, Уравнение Клейна - Гордона 85
2.1. Введение 85
2.1.1. Случайное решение. Сходимость к равновесию . 86
2.1.2. Условие перемешивания 87
2.1.3. Статистические условия и основной результат . 88
2.2. Уравнения с постоянными коэффициентами 91
2.3. Приложение к случаю гиббсовских мер 92
2.3.1. Гиббсовские меры 93
2.3.2. Предельный поток энергии для сглаженных полей 94
2.4. Оценки для начальной ковариации 95
2.4.1. Перемешивание в терминах спектральной плотности 95
2.4.2. Разложение начальной ковариации 97
2.5. Равномерные оценки и сходимость ковариации 99
2.6. Компактность семейства мер 106
2.7. Метод Бернштейна для уравнения Клейна - Гордона . ПО
2.8. Сходимость характеристических функционалов 113
2.9. Переменные коэффициенты: Теория рассеяния для решений бесконечной энергии 117
2.10. Эргодичность и перемешивание для предельных мер . 122
2.11. Дополнения 124
2.11.1. Дополнение A3. Преобразование Фурье 124
2.11.2. Дополнение А4, Сингулярные осциллирующие интегралы 125
II Разностные уравнения 129
3. Гармонический кристалл 130
3.1. Введение 130
3.1.1. Динамика 133
3.1.2. Сходимость к статистическому равновесию 136
3.1.3. Условие перемешивания 137
3.1.4. Статистические условия и результаты 137
3.1.5. Примеры 141
3.2. Приложение ко Второму закону 143
3.2.1. Поток энергии 144
3.2.2. Гиббсовские меры 146
3.3. Оценки для начальной ковариации 149
3.4. Компакность семейства мер 150
3.5. "Вырезание" критического спектра 151
3.5.1. Равномерная непрерывность ковариации 151
3.5.2. Равномерная непрерывность характеристических функционалов 153
3.6. Сходимость корреляционных функций для некритического спектра 153
3.6Л. Сходимость Q*{x,y) 154
3.6.2. Сходимость Qj~(x,y) 156
3.6.3. Сходимость 0[{х,у) 160
3.7. Техника Бернштейна 163
3.7.1. Осциллирующие интегралы и метод стационарной фазы 163
3.7.2. Разбиение на "комнаты - коридоры" 165
3.8. Условие Линдеберга 170
3.9. Эргодичность и перемешивание для предельных мер 173
3.10. Дополнения 175
3.10.1. Дополнение А5. Динамика и ковариация в преобразовании Фурье 175
3.10.2. Дополнение А6. Об ослаблении условия перемешивания 177
4. Литература
- Условие перемешивания
- Моментные функции четвертого порядка
- Предельный поток энергии для сглаженных полей
- Статистические условия и результаты
Введение к работе
Актуальность темы
Изучение слабой сходимости мер для уравнений в частных производных и для разностных уравнений является одной из интересных и актуальных задач современной теории вероятностей. Это связано как с теоретической важностью изучения поведения статистических решений, так и с исследованием математических проблем статистических физики непрерывных и дискретных систем.
Проблема математического обоснования статистической физики возникла в 19 веке, когда Максвелл, Больцман и Гиббс применили равновесные (гиббсовские) статистические распределения для вычисления средних значений физических величин: средних энергий и скоростей молекул газа, величины свободного пробега и т.п. (см. книгу [30]). Это привело к хорошим результатам для теплоемкости газов и твердых тел, электропроводимости металлов и т.д. Такой подход оказался удивительно успешным в классической и еще более в квантовой физике, но математическое обоснование роли равновесных мер до сих пор является открытой проблемой.
Эргодическая теория Биркгофа и фон Неймана была одной из первых попыток такого обоснования (см. [7, 72, 73]). Однако эргодичность реальных физических систем (газов, жидкостей, электронов в металлах и пр.) до сих пор не доказана. Далее эргодическая теория получила бурное развитие для гладких конечномерных динамических систем, начиная с 1939 г. в работах Хопфа (об эргодичности геодезического потока на многообразиях (постоянной) отрицательной кривизны [87]) и Аносова и Синая (1967) (об эргодичности У-систем, [3, 82]), подробнее см. в обзорной статье [4].
В 50-х годах появляются работы, в которых впервые изучаются бесконечномерные системы, отвечающие движению бесконечного числа невзаимодействующих частиц (см. статью Добрушина [33]). Первые достижения на этом пути - результат Волковысского и Синая (1971) для идеального газа [25] и Синая (1972) для одномерных твердых шариков [83]. Эр-годические свойства системы твердых стержней были также исследованы в работе Айзенмана, Голдстейна и Лейбовица [1, 2], а для газа Лоренца -в работе Бунимовича и Синая [20]. Для решетчатых систем эргодичность и перемешивание впервые доказаны Лэнфордом и Лейбовицем в 1975 г. в статье [69] для начальных мер, которые являются абсолютно непрерывными относительно канонической гауссовой меры. В 1977 г. Лейбовиц и Шпон [84] доказали сходимость к равновесию для одномерной цепочки гармонических осцилляторов в случае двух-температурных начальных мер, т.е. начальная случайная функция "далеко слева" {при а; —N) и "далеко справа" (при х N) совпадает с двумя различными однородными случайными процессами, которые имеют гиббсовские распределения с температурами jij} ф /1. Эта работа является продолжением исследований Лейбовица и др. (см., например, [71, 80]), где изучаются стационарные состояния конечного гармонического кристалла, т.е. одномерной цепочки N гармонических осцилляторов, которые на правом и левом концах связаны с двумя тепловыми резервуарами с температурами /3 и /ЗН1 В 1977 г. в своем докладе на заседании Московского математического общества (см.[35]) Добрушин высказал новую идею обоснования равновесных распределений, отличную от эргодичности: равновесная мера должна появиться как предельная теорема, вытекающая из условий перемешивания на начальные распределения. Эти условия перемешивания были введены Добрушиным и Суховым [35, 37] при исследовании сходимости к равновесным мерам для свободного движения в системах бесконечного числа частиц или одномерных твердых стержней. Затем аналогичные результаты в этом направлении были получены Болдригини, Пеллегри-нотти и Триоло в статье [8] для одномерных решетчатых систем.
В многомерном случае результаты для решетчатых систем не были известны. Исследование многомерных задач имеет важное значение для теории теплопроводности твердого тела. В работах Наказавы [71] и Рай-дера, Лейбовица, Лиеба [80] предложен метод построения равновесных мер в двух-температурной задаче. Однако сходимость при t - со не рассматривалась.
В недавних работах Экмана и других [57]-[59] исследовалась сходимость к равновесной мере для одномерной конечной цепочки ангармонических осцилляторов, связанных с двумя тепловыми резервуарами. Для многомерных задач подобная сходимость является открытой проблемой. В работах Экмана и других доказательство сходимости сводится к исследованию стохастического конечномерного уравнения. Заметим, что в исследуемых нами задачах сведение к конечномерной системе невозможно. В 80-х годах Комеч, Копылова и Ратанов впервые начали изучать эргодические свойства динамических систем, описываемых гиперболическими уравнениями в частных производных (см. [66, 67, 75, 76]). Они доказали сходимость к равновесным мерам при условии, что начальная мера является трансляционно-инвариантной и удовлетворяет условиям перемешивания типа Ибрагимова [63] или Розенблатта [81]. Однако, для неоднородных начальных мер результатов не было. Это и дало импульс к настоящему исследованию.
В работе рассматриваются уравнения в частных производных и разностные уравнения. Для всех уравнений предполагается, что начальные данные - случайная функция, удовлетворяющая условию перемешивания типа Розенблатта или Ибрагимова. Через щ обозначается распределение решения в момент времени t Є IR. Основная задача исследования -доказать слабую сходимость мер. В главах 1, 2 и 3 рассматриваются, соответственно, уравнения акустики, Клейна - Гордона и упругой п-мерной решетки, состоящей из гармонических осцилляторов. Эти системы имеют существенные различия и требуют соответствующей модификации методов, которые и излагаются в каждой главе диссертации.
Отметим, что хотя постановка проблемы связана с одним из направлений в обосновании статистической физики, исследование основано на методах теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории случайных процессов: теоремах вложения Соболева, формулах Кирхгофа и Герглотца - Петровского, энергетических оценках, методе стационарной фазы для осциллирующих интегралов, теории рассеяния, критерии компактности Прохорова, методе комнат - коридоров Бернштей-на, предельных теоремах в условиях слабой зависимости и т.д. (Подробнее см. в разделе 0.1.4).
Условие перемешивания
Доказательство сходимости (0.1.26) для уравнения (0.1.4) разбивается на те же три этапа I - III (см. с. 17).
Доказательство шагов I и II проводится в пространстве Фурье (как и для уравнения Клейна - Гордона). С одной стороны, для гармонического кристалла пространство Фурье - это тор Т", который является компактным (в отличие от уравнения Клейна - Гордона, где пространство Фурье - Н"). С другой стороны, в случае гармонического кристалла, вообще говоря, могут быть точки в Є Т", в которых фазовые функции щ{в) (к — l,...,d) - негладкие, или равны нулю, или в которых гессиан обращается в нуль, т.е. det = 0.
Множество таких точек С С Т" назовем критическим (см. определение 3.5.2). Из условий Е1-Е4 (см. с. 133), наложенных на матрицу V, вытекает, что лебегова мера множества С равна нулю.
Свойство I выводится из непрерывности квадратичной формы (Зц(Ф, Ф) = { «(ж)ї/)}Ф(я:)(2)Ф(і/)) в пространстве 2. В свою очередь, непрерывность вытекает из леммы Шура и пространственного убывания корреляционных функций Qa(x y), которое следует из условия перемешивания (0.1.9).
Для доказательства свойств II и III развивается вырезающая стратегия, которая комбинируется с некоторой техникой из [8] (где сходимость (0.1.26) доказана в случае d = п = 1). Для того, чтобы доказать свойство II, функции QlJ{x,y) раскладываются на четную и нечетную компоненты и остаточный член (см. формулу (3.6.5)) также, как в [8]. Четная компонента соответствует трансляционно-инвариантной начальной мере и анализируется методом из [47]. С другой стороны, нечетная компонента требует новых средств, так как ее преобразование Фурье содержит интеграл типа главного значения по Коши (ср. с (0.1.37) и (0.1.38)), который более сингулярный, чем меры, соответствущие четной компоненте. Эта особенность изучалась в [8] для случая d = п = 1. Заметим, что в [8] предполагаются более сильные условия на матрицу V, чем условия ЕЗ и Е4, а именно, что ш(в) 0, и множество {0Є[-тг,7г]: w"(0) = w "(0) = 0} пусто. При этих условиях в [8] доказана равномерная асимптотика функции Грина: sup \gt(x)\ c(i + \t\)-l \ Эта оценка играет ключевую роль в доказательстве [8]. Однако подобный детальный анализ в случае n,d 1 кажется невозможным из-за наличия критического множества С.
В данной работе предлагается следующий метод. Сходимость (0.1.29) переписывается в эквивалентной форме а((Ф, Ф) -4 Sect , Ф), t -4 оо, (0.1.40) где Фє5. Сначала сходимость (0.1.40) доказывается для Фє . Доопределению, 5 - множество таких функций Ф Є S, преобразование Фурье которых равно нулю в окрестности критического множества С С Т".
Вырезание критического множества С возможно благодаря двум ключевым наблюдениям: (І) mesC = 0, и (и) квадратичная форма бо( Ф) непрерывна в і2 в силу условия перемешивания (0.1.9). Последний факт позволяет расширить утверждение (0.1.40) от Ф на все функции Ф Є S в силу условия Е6.
Аналогично доказывается свойство III: сначала для Ф Є «S, а затем и для всех функций Ф Є S. В случае Ф 5 используется техника Берн-штейна "комнат - коридоров", которая уже применялась в предыдущих главах в случае волновых уравнений и уравнений Клейна - Гордона. А именно, сначала левую часть (0.1.30) представим в виде /}((Ф) = /?ехр(г(У(),Ф)), где Ф Є S. Затем перепишем скалярное произведение (У((),Ф) = Г(0),Ф(,г) , где функция Ф(х,1) может быть представлена как осциллирующий интеграл. Для функции Ф(я,) выводятся равномерные оценки (3.7.6) и (3.7.7). Эти оценки вытекают из метода стационарной фазы, так как Ф(ж,0) = Ф(ж) Є iS, и следовательно, Ф(0) = 0 во всех точках 9 Є С с вырожденным гессианом фазовой функции. Оценки, грубо говоря, подразумевают следующее представление: ВД {{№) yeDi , -юо, (0.1.41) где через Bt обозначается шар {у Жп : \у\ сі}, и \Ві\ - его объем. Теперь сходимость (0.1.30) вытекает из (0.1.41) в силу центральной предельной теоремы Линдеберга, так как У{\{у\) и Уц{у%) - почти независимы при \у\ — yi\ - со в силу условия перемешивания (0.1.9).
Моментные функции четвертого порядка
Доказательство сходимости (1.9.16) может быть сведено к случаю, когда для некоторого 6 0 мы имеем почти всюду, что о(я) Ь, хеПп. (1.10.1)
Общий случай может быть доказан стандартными срезающими рассуждениями следующим способом. Разложим У0 на два слагаемых: одно, удовлетворяющее оценке (1.10.1), и остаточный член. При больших значениях Ь дисперсия остаточного члена мала в силу условий S2, S3 и леммы 1.9.2 (г). Следовательно, дисперсия (1.8.11) соответствующих переменных г\ равномерно мала по t. Последний факт следует из доказательства (1.8.11). G3 В силу оценки для доказательства (1.9.16) достаточно показать, что В силу неравенства Чебышева Е\г\\2 Ыг\\\ (1.10.3) и используя представление (1.8.19), получаем Е\г{\4 = Е\1} + ... + //Г С[М)Е(\1}\4 + ... + /Л4). (1-10.4) Поэтому (1.10.2) вытекает из следующей оценки: тъхщЕ\&л гМ,)4 = о(Гп+1), і -» оо. (1.10.5) Предложение 1.10.1. Пусть выполнены условия (1.2.V) и (1.10.1), и w = t 1Un,Vu{) или г/ц. Тогда для любой области С St справедлива следующая оценка: fc »,e 4 C(C) ilSp- (1-10.6) Здесь 8t (x) - одно из выражений ТТТ——рг——$t,?i{x) 0 s k = II (n — 3)/2; 0j - одна из функций Dntyl с \а\ к + 1. этого Предложение 1.10.1 будет доказано в следующим параграфе. Из предложения вытекает оценка (1.10.5). Действительно, щЕ\{б1Х ЩА)\ щсщ щ1 c(6, )ML = o(r»+1)i так как \R[\ ojn itn l/Nt, и Nt - оо. Сходимость (1.9.16) доказана. С4 1.11. Моментные функции четвертого порядка Мы докажем предложение 1.10.1, используя оценки для моментных функций четвертого порядка. Обозначим т() (z) := E[w(zl) ... w(z1)], z = (z1,..., ), где w(zk) — V[j(zL) для каждого к = 1,...,/, или w(zA) = Ущ(гк) для каждого /г = 1,,..,/, или w{zl) = t-1uo(2 ) Для каждого к = 1,...,/. Напомним, что supp#cBro с го 0. Тогда левая часть неравенства (1.10.6) оценивается следующим образом (см. (1.8.19)): Я&Е М}4 ШЦ Im№ - 2)d5(z)d5, (1.11.1) где d(z) := dS(z1).. .dS(24). Поэтому достаточно доказать, что I(x) = J \т[ц]{х - z)\dS(z) СЬ4Е2, х Є ВГ(). (1.11.2) Докажем оценку для моментных функций гщ (у1, у2, у3, У4), используя условие перемешивания для различных конфигураций точек у1,у2,у3,у4 в пространстве И". Лемма 1.11.1. Справедливы следующие оценки: 4V,!/V,2/4)I {ul -y + ul W-y t-") + -(ІЇ1 - У4І) (ІИ - У3\)) (1-и-з)
Доказательство. Разделим пространство Ш" на три области I\,h,h двумя гиперплоскостями, которые является ортогональными к отрезку [у1,!/2] и делят его на три равных отрезка, у1 h, У2 Є /з (см- рис. 3). G5 у1 У Рис. 3 По крайней мере, одна из областей /1,/2,/3 не содержит y ,yi. Если точки у3,?/4 /і, то из условий SO и S3 вытекают оценки (1.11.3), так как \т (у\у\у3,у4)\ = \т (у\у\у\у4) - »4V)4V, /V)I 46 - 1) + - -4). То же самое доказательство верно для случая, когда у , у4 h- Теперь допустим, что у3,у4 /г, например, у3 Є h, ї/4 Є h- Тогда из условий SO и S3 вытекает (1.11.3), так как применяя лемму 1.9.2 (гг), получаем \ {У\У\У\УА)\ \ \У\У\У\УА)-Г$\у\у )т%\у\у )\ H V,/)4V, /4)I 4 (, 1 -у2) + v!(\\у1-у2\)Г ) +1бг 4 Е иЛ\у1-у )-1Тз»Ш-у% Аналогично доказывается оценка (1.11.3) в случае уъ Є /3, уА 1\.
Замечание. В одномерном случае и для трансляционно-инвариантной меры fi оценка, аналогичная (1.11.3), получена в [6, неравенство (20.42)]. (гг) Оценка (1.11.3) справедлива с любыми перестановками у1,у2,у3,у4 в правой части. Следовательно, к"(Й1 4Ь4( ф/-/1) + Ь -гЛ)г4) +іб( 4 СтЯМ-у - иЬ -у П + (1 - 1)- -,(1/-/1)) = М.Уй + М Й, (1.11.4) для любой перестановки {s,p,&,/} из {1,2,3,4}. Определим h3 67 ЕЯ(Р := {г Є S4 \z - zp\ = max \zl - z3\).
Тогда (S)4 = U S3jP, где объединение берется по всем парам (s,p) nuts,?) дексов 1,2,3,4. Поэтому из (1.11.4) вытекает, что Щ = J\m\?](x-z)\dS{z) Т,{ j MlP(x z)dS(z)+ f Ml(x z)dS(z)V (1.11.5) Здесь сумма берется по всем парам (s,p). Все шесть членов в сумме , соответствующие различным парам {s,p) в правой части (1,11.5), совпадают. Мы должны оценить 1(х) только для х Е Б4о (см. (1.11.2)). Тогда \zs - zp - xs + хР\ {\zs - zv\ - 2г0)+ для любых zs, z? ПГ. Так как v,i - невозрастающая функция, то из (1.11.4) и (1.11.5) вытекает, что Щ CbA / (ul(\(\ - Л - 2r«)+) + v\i \zx - z2\ - 2г0)+)Г4) dS(z) +СЬ4 E /( Uti - VSroW- 2-,((1 - 1-2 )+)) dS(z) = /1 + /2. (1.11.6) (шУ Оценим /і и h отдельно. Лемма 1.11.2. /і С Ь4Е2. Доказательство. Подинтегральное выражение в 1\ не зависит от г3 и z4.
Предельный поток энергии для сглаженных полей
Пусть и(х, t) - случайное решение задачи (2.2.1) с начальной мерой fin, удовлетворяющей условиям S0-S3. Средняя плотность потока энергии равна E](x,t) = -Eu(x,t)Vu{x,t). Поэтому в пределе при t - оо Bj(M)-UToo = VgJJ(O), ввиду сходимости (2.5.7). В случае "гиббсовской" начальной меры дц из выражения (2.3.4) для предельной корреляционной функции следует формально, что L = -j- -vpio), где [VPjfjs) = — F l[ksgn(kn)/iJ\k\2 + m2](z). Следовательно, формально мы имеем "ультрафиолетовую расходимость" предельной средней плотности потока энергии: Joc = Т+-Т_ г ksgn(kn) 2(2тг)" J J\k\ + m V + Это связано с тем, что гиббсовские меры д± имеют сингулярные корреляционные функции и не удовлетворяют условиям (2.1.12). Соответственно, наши результаты непосредственно к д± неприменимы. Рассмотрим гаус-совские процессы Y±, соответствующие мерам д±, и определим "сглаженные" меры дв± как распределения сверток У± 0, где в D = С (Ш!1). Меры д± удовлетворяют всем нашим условиям, и поэтому сходимость д\ —г д ПРИ і- оо вытекает из теоремы 2.2.2. Для свертки Щ(і)(Уц 0) соответствующая предельная плотность потока энергии конечна и равна если 9{х) - осесимметрична относительно оси Охп, и Св 0, если 6(х) ф О, так как
Следующее предложение выражает условие перемешивания в терминах преобразования Фурье q± начальных корреляционных функций q± . Из условия S2 следует, что q±(z) - непрерывные ограниченные функции. Поэтому Q\i{xty) в формуле (2.1.10) также являются непрерывными ограниченными функциями.
Предложение 2.4.1, Пусть выполнены условия теоремы 2.2.2. Тогда (і) при i,j = 0,1 имеют место следующие оценки: j\Qli(x,y)\dy С оо, а: Є ИГ. и" f\Q\l{x,y)\dx C со, увМп, где константа С не зависит от х, у Є ffi". (іг) ЙЄ Г) 2, i,j = 0,1. Доказательство, (г) Из условий SO, S2 и S3 по теореме 17.2.3 из [63, с.392] вытекает, что при а,/3 Є Жп, \а\ 1 - і и Щ 1 - j с i, j = 0,1 справедливы следующие оценки: K, W(a,!/) С?е0у 1/2( - 2/), , j, Є К". (2.4.1) Коэффициент перемешивания (р ограничен, поэтому из (2.4.1) и (2.1.13) следует: f\D (x,y)fdy Ce%J 2(\x-y\)dy Е" И" ос Cleljrn-l pll2{r)dr oo, р \. (2.4.2) о (и) Аналогично (2.4Л), для 7 2" с І7І 2 - і - j, і, j = 0,1 имеем PMWI W/2(I I). г И". (2.4.3) Поэтому в силу (2.1.13) получаем, что для р 1 (ср. с (2.4.2)) D q Kz) Є (IR") @ М2. (2.4.4) Но по теореме Бохнера [29] распределение q± = (q±(k))dk является поло жительно определенной матричнозначной мерой на Щ", причем из усло вия S2 вытекает, что полная мера g±(IR") конечна. Наконец, из (2.4.4) при р = 2 следует, что ql Є 2(Ж") g M2.
Следствие 2.4.2. (Vj Яз пункта (і) предложения 2.4-1 є сыду ЛЄДІЛІЬІ Жура следует, что квадратичная форма С?о(Ф,Ф) = (фо(#,г/),Ф(ж) Ф(у)) непрерывна на L2(Mn) G32. (мУ Аналогично предложению 2.4-1 (іі), из оценки (2.4-4) и теоремы Бохнера следует, что ш - кЦ Цк) Є Ll(JRn) М2, г, j = 0,1. Следовательно, применяя формулу (2.1.21) для матрицы С(к), получаем C(k)q±(k)CT(k), C(k)q±{k), q±(k)CT(k)eL1(Win)M4. (2.4.5) Поэтому из (2.1.18)-(2.1.20) вытекает, что qg Є L IR") М2, V«, j. Следствие 2.4.3. Квадратичная форма б Ф) непрерывна на 2(Ы)С2.
Доказательство. Это вытекает из явных формул (2.1.14) - (2,1.17). Действительно, во-первых, (ZJGL IR"). Во-вторых, для любого ф Є L2 имеем {{V ф(х - у),ф(х) ф(у)} = (й(я; - у), (Р )W #/) , где V(x) :=V(—x). Отметим, что ЦР /;2 С7 дз. Следовательно, непрерывность Q t i Ф) вытекает из леммы Шура в силу (2.4.4) ср = 1,
Лемма 2.4.4. Преобразования Фурье функций ± Є C fffi,) допускают следующие представления: U(k) = ir8(k)±i?V( )a±(k), (2.4.6) г Эе с єС ПІ). Доказательство. Обозначим а±(х) := ±±(х), з Є Ш.- Тогда C+W = / a+{y)dy С-М = / a-(y)dy -00 з В силу (2.1.11) функции а± обладают следующими свойствами: а і) а± Є C(f(IR), іі) а±(а;) = 0 при \х\ а, ні) J a±(y)dy 1, так что —а a±(Q) = 1. Поэтому -foe (±(Ж) = J e(±y)a±{x-y)dyi (2.4.7) —ос где 0(а;) - функция Хевисайда. Обозначим через PV главное значение в смысле Копій. Так как 0(к) = Щк) + іРУ{1), кет, к то в силу (2.4.7) получаем C±W = [ж8{к)±ІР\{1)]а±{к) = Щк)±іРУ{1)а±{к). ш
Из условий SI и S2 следует, что Q$(x,y) - непрерывные ограниченные функции. Следовательно, они принадлежат пространству умеренных распределений Шварца так же, как их преобразования Фурье.
Статистические условия и результаты
Резюме. Рассматривается динамика гармонического кристалла в Ш с d компонентами, d,n 1. Начальные данные - случайная функция с конечной средней плотностью энергии и удовлетворяющая условию перемешивания типа Розенблатта или Ибрагимова. Кроме того предполагается, что начальная случайная функция близка при хп - ±оо к двум различным трансляционно-инвариантным процессам с распределениями fi±. Изучается распределение fit решения в момент времени t Є IR. Основной результат - сходимость [it к гауссовской трансляционно-инвариантной мере при t — со. Доказательство основано на долго-временной асимптотике функции Грина и на методе "комнат - коридоров" Бернштейна, Дано приложение к случаю гиббсовских мер fi± = g± с двумя различными температурами Т± . Предельная средняя плотность потока энергии равна —(0,.. .,0,С(Т+— Т_)) с некоторой положительной константой С 0, что соответствует Второму Закону.
Рассмотрим дискретную подгруппу Г пространства Шп, которая является изоморфной группе Жп. Мы можем допустить, что Г = Жп после подходящей замены координат. Решетка в IR" - это множество точек вида Т\(х) = х + &, где хЖп, д Є Ш", А = 1,..., Л (см. рис. 4).
Точки решетки представляют собой равновесные состояния атомов (молекул, ионов,...) кристалла. Обозначим через r\(x,t) динамику состояний атомов. Тогда динамика отклонений r\{x,t) — \(х) подчиняется уравнениям типа действительная матрица взаимодействия (или сила). Аналогичные уравнения были рассмотрены в [8, 47, 69, 84]. Ниже мы рассматриваем систему типа (3.1.1) с произвольными d — 1,2,....
Введем следующие обозначения: Y(t) = (Y\t),Y\t)) = (u(.,0,u(-,0), П = {Y?,Yi) = MO,«»()) Тогда задача (3.1.1) имеет вид эволюционного уравнения У()=ЛУ(0, ЬеЩ У(0) = У0. (3.1.2) Формально, это гамильтонова система, так как ДУ = J (J ) Y = JVH(Y), J=[t іу (3.1.3) Здесь V - оператор свертки с матричным ядром V, и Н - функция Гамильтона Я(У) := \{v,v) + l-{Vu,u), Y = (u,v), (3.1.4) где кинетическая энергия равна {v,v) = - \v(x)\ ) а потенциальная энергия равна -{Vu,u} = - Y, {У(х у)и(у),и{х)). Через (, ) обозначается действительное скалярное произведение в евклидовом пространстве IR . 132
Предполагается, что начальное данное Уц принадлежит фазовому пространству На, а Є Ш.1. Определение 3.1.1. На - гилъбертовое пространство пар -значных функций от х Ж1 с нормой \\Y&= («(х)Чф)8)(1 + И2) оо. жЄ2п Предположим следующие условия Е1-Е6 на матрицу V. El. Существуют константы С, 7 0 такие, что ВД Се- 1, М Є 3:={1,..., }, 2 Є 2". Е2. Матрица V - действительная и симметричная, т.е. VlK( z) = Vki(z)M1 kjed, zer1.
Обозначим V(9) := (й,(%Іє5, где Vkl{6) = їЗДе12 , 0 Є Т", и Tn - n-мерный тор Ш,п/2тг2". Из условий El и Е2 вытекает, что V(0) - действительно-аналическая эрмитова матричнозначная функция от в Є Т". ЕЗ. Матрица V(B) - неотрицательно определенная для каждого вєТп. Это условие означает, что уравнение (3.1.1) - гиперболическое, подобно волновым уравнениям и уравнениям Клейна - Гордона, рассмотренным в предыдущих главах. Определим эрмитовую не отрицательно-определенную матрицу П(в):=(У(в))1/2 0 (3.1.5) с собственными значениями ші(в) 0, к Є d, которые называются дисперсионными соотношениями. Для каждой точки в Є Т" эрмитова матрица 1(6) имеет диагольный вид в базисе из ортогональных собственных векторов {еі(в) : к d}: Щв) = В(в) (wi(0) ... О \ О . О О ... шп($) ) 133 В (в), (3.1.6) где В(0) - унитарная матрица, и В (в) обозначает ее сопряжение. Известно, что функции Шк(в) и В(в) - действительно-аналитические вне множества "пересекающихся" точек в : и)к{6 ) = w;(0 ) для некоторых І Ф к. Однако, вообще говоря, эти функции не гладкие в пересекающихся точках, если ик{6) ф &i(0). Следовательно, нам необходима следующая лемма, которая доказана в [47, приложение].
Лемма ЗЛ.2, Пусть выполнены условия Е1 и Е2. Тогда существует замкнутое подмножество С С Т" такое, что (г) лебегова мера С равна нулю: mesC, = 0. (ЗЛ.7) (и) Для любой точки 0 Є Т"\С, существует такая окрестность 0(Q), что каждое дисперсионное соотношение и к(в) и матрица В(в) могут быть выбраны как действительно-аналитические функции в 0(0). (Иг)
