Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава I. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДРШЕРЕНЦИАЛЬШХ УРАВНЕНИЙ С КОЭФФИЦИЕНТОМ
СНОСА ВИДА (И*)+ 9^)) 12
I, Асимптотическое поведение , Ш в случае,
когда lY[ \Л) является винеровским процессом 14
2. Поведение решении >(Л) в случае,когда
^ (Л) является диффузионным процессом .... 33
3. Примеры ,.. 59
Глава 2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ
ДШФЕЇЕНЦИАЛЬННХ УРАВНЕНИЙ С КОЭФФИЦИЕНТОМ
СНОСА ВИДА СЦх) C}(*j(t)) 65
I. Асимптотическое поведение , (Л) в
случае, когда У[(Л) является диффузионным
процессом 66
2. Асимптотическое поведение , (Л) в
случае неотрицательного коэффициента сноса 75
3. Асимптотическое поведение | %&)\ 94
4. Асимптотическое поведение |)lt)| в
случае эргодичности решения YJik) 104
ЛИТЕРАТУРА 109
Введение к работе
Предельные теоремы для случайных функций являются одной из основных частей теории вероятностей и математической статистики. В настоящее время с увеличением интереса к теории случайных процессов важную роль играет решение задачи о поведении процесса при Х->оо 9 Одним из наиболее эффективных приемов исследования в современной теории случайных процессов являются стохастические интегралы и основанные на них стохастические дифференциальные уравнения.
Теория стохастических дифференциальных уравнений была создана в конце 40-х годов Ито К. [б9І, fro]* [7ІІ и Гихманом И.И. [8],[9] независимо друг от друга, на основе идей Берштейна [2І и Винера [84], [85].
Основные результаты исследования стохастических дифференциальных уравнений изложены в ряде монографий [із], [l4J , [l7] , [їв], [20], [22], [41], [48], [49] и работ [б], [?1. [37І, І44~1 , [4б], (50], [бі].
Основными элементами теории стохастических дифференциальных уравнений являются вопросы о существовании и единственности слабых и сильных решений в конечномерном эвклидовом пространстве [l9], [54], [58], [83], [88], а также в банаховом и гильбертовом пространствах 1.59], [бб] , [68]; о единственности по траекториям [56], [72], [73], {76], [8І]і о продолжении и сравнении решений [72], [78], [87]. Процесс исследования этих вопросов закономерно привел к применению мартингальных подходов, ставших действительным средством изучения стохастических дифференциальных уравнений [б], [зо], [бз], [75] Не менее важным методом является изучение стохастических дифферента *» льных уравнений с помощью обыкновенных уравнений в частных производных [і], [4] , [ю], [2l], [5і], [бО], [во], которые встречаются во многих разделах теоретической физики, задачах автоматического управ-
-k-
ления, радиотехники и механики [46], [55], [57], [бі], [62], [74], [79], [89] Существуют и другие методы исследования, но спектр их применения значительно уже: методы Метивье и Рунге Кутта, используемые только для численного построения решений стохастических дифференциальных уравнений [67], [82].
Вопросы об асимптотическом поведении решения стохастического дифференциального уравнения, имеющие в настоящее время важное зна~ чение, возникли при доказательстве теорем об ограниченности и нео* граниченности решений уравнений данного вида [12] В связи с этими предложениями появился интерес к задачам об устойчивости [42], [53], [64], эргодичности [12], [52] и о точном росте решений стохастических дифференциальных уравнений [65]
Последовательная разработка вопроса об асимптотическом при \,->- со поведении неустойчивых решений одномерных стохастических дифференциальных уравнений оусуществлена Кулиничем Г.Л» во второй половине 60-х годов [23], [24], [25], [27] , [28] . В дальнейшем им были разработаны вопросы об асимптотическом поведении распределений функционалов от диффузионного процесса [29], [Зі], [33] , об асимптотическом поведении модуля решения стохастического дифференциального уравнения в одномерном [Зб] и в многомерном пространствах [32], [Зб] , [38] , а также для уравнений со случайными коэффициентами [34] Однако условия в терминах коэффициентов уравнения данного вида предопределяют, в конечном счете, исчезновение случайности в коэффициентах для предельного процесса 4() при соответствующей нормировке.
Целью нашего исследования является изучение асимптотического при \—> со поведения решения %W одномерного стохастического дифференциального уравнения со случайным коэффициентом сноса при сохранении в пределе случайности в коэффициентах.
Настоящая диссертационная работа состоит из введения и двух глав.
Б параграфе I первой главы изучается асимптотическое приЬ-*оо поведение решения %М уравнения
где \fi{k) и WiW - независимые винеровские процессы, заданные на вероятностном пространстве \D.,Qf, Pj при нормировке
t-\ .
Основной результат этого параграфа заключен в следующей теореме:
Теорема 1*6» Пусть ^(Л) - решение уравнения (I). При выполнении следующих условий:
\ 2і*і ах - о
2. Ilmbtx) - Ь0 и \И(Ч)|сІЧ -С *>
процесс слабо сходится к процессу
Л А
где \CiW и *VXTC"t) - независимые винеровские процессы
Во втором параграфе первой главы обобщаются предыдующие результаты в случае, когда CL является функцией от ^C't) -решения стохастического дифференциального уравнения
ci^rtW еи^И))Ак + бі^сї))cLiftШ у t*o. (2)
При исследовании предельного поведения решения 4 (і) уравнения
dH^)=[atiH)) + ^(^(-t})loLt + b(4C-fc))olvr(t^-t>.o сз)
доказана следующая теорема, обобщающая 1*6.
Теорема 2.8« Пусть ^(i) - решение уравнения (3) и пусть выполняется условие I теоремы 1.6» Если
I. JL \** . %\x)-+o при |ос|->Оо , где 0(хЦ*4 >%>>
№> = WHSS^}***
-00 w
3.
4.
« 3 i'U) ff^u)
где СГДїі -^ , ^o
-ч-
то процесс -j-(-t) sT * 6tT) сла<5 сходится при Т-* ОО к процессу
і it) = i[ fo A w) ь w - І$%т\,ф
i^e(H*))durt») ,
Ч Ф ^ ee*lu (*й сі fo W .
л л
TAJ('t) и 1Л)Ч (Л) - независимые винеровские процессы.
Кроме того было доказано, что при выполнении условий теоремы 2.8
процесс где
слабо сходится при Т—> Оо к процессу
00 +
где ^ех^-Дй^а*} и п*)= ^0(U^)<^W
о о
Б третьем параграфе первой главы даются примеры. Получены в параграфе I второй главы результаты для решения %{к) уравнения;
сЦМ =. а(ЛШ) Щ№)& + bUtt»MU о t*o , (4)
где ^(.-Ь) - решение уравнения (2), аналогичны тем, что имеет место в главе I. Действительно, основные выводы этого параграфа
сводятся к следующему:
Теорема 1.3. Пусть % (О - решение уравнения (4). Если выполняются условия:
Л(х)ІК*я , о< Ь(х)^ Сі< оо ,
um. аи) - ас , J-[^L. ^Ъ0':1(х)—>о при |х|->л>
i*i->w * j fcftu)
и имеют место условия а. , 5, и i+.meojp.^i, то при т->а> ,Т(А) слабо сходится к процессу
lit) -- лао[(іігЧ^»))7ДО - ^їЧ^ч W)^^W] -^
где ^С^ = ^e*(^CA))dwKiC*) . Wilt) и Mi) -
независимые винеровские процессы.
В параграфе 2 второй главы исследуется асимптотическое поведение решения %Li) уравнения (4) при нормировке 1" л в случае неотрицательного коэффициента сноса AW fytyCt)) Получено следующее утверждение;
Теорема 2.4. Пусть (t) - решение уравнения (4) и пусть выполнены условия 2 и 4 теоремы 2.8. ^fejAu
I. b(x) - непрерывная функция, а aCxj^o , существует такое
^)> 0 , что g (. ty) ^ 9 , F-p ограничена свер-
Ху И JW Fv(*b-«>, ГДЄ FV (ОС) - ^ eXf)^- ^5^^}^ ;
\хас«)1^к^оо ^ о^бЬМбС,^, IJ^ikK^j
-UvYiaa(x) = <яі . JWb(x) = bi « x-»*> x->#> ^
4.
0 u
где P»u)= ft. ч ,
5. za< рйб?а+Ь? >o j і -- tji ,
то при T-* oo I, j (t) слабо сходится к процессу T(t) , который является решением уравнения
ххit) -- iWi ftc*(i W)e-.**(?iW)+ b\] Ah
О '
где %H)= ^^Cic^d^W , ^W и ЇЇШ *
винеровские процессы. Кроме того, доказана, что при замене требований I. и 3. теоремы 2.4 следующими условиями:
і'. й(*)0 » Q(ty)^tf^0 ^ ограничена снизу и
-Urn, Г (х) - + #> з
з'. Itm. xacxb лд . I^vu Ь(.х) = bi »
процесс %j№) слабо сходится при T-» л> к - 'ї (tj ,
- ио-
где "с *(i) представляет собой решение уравнения:
4t) = ^aAp>:c^W)ff/2(^W)+b\]o(A
Параграф 3 второй главы посвящен изучению асимптотического при \.~*оо поведения модуля решения уравнения (4). Показано, что
Щ-ІГГл при нормировке Т 2 слабо сходится при Т—> л? к некоторому процессу.
Теорема 3,1« Пусть ЬЮ - решение уравнения (4). Если выполнены условия Л. и Ц теоремы 2.8, Я , Ц. теоремы 2.4 и имеет место следующее требование
-л
то при Т—* оо tT (^) = Т"4/л | 4 (.іт) I слабо сходится к
t 6t) , который является решением уравнения:
хЧї) = \[a.UD (ft (.^1 C*>) (5?2t^W) + bJ]cL+ ab^^duHo.
о
Кроме того, утверждается, что при Л (кой0 + Ь0 > 0 , где
а« = -uwi аасх) , b0=.-Wb(«) _ S"n --в, ш*) ,
согласно условиям Д w\eo^>. Д.8 и 2. теоремы 2.4 процесс ^т (t) слабо сходится при Т—> ** к бесселевскому диффузионному процессу 4W ;
/І А
Содержание параграфа 4 диссертации составляют теоремы, основанные
-Ні-
на вспомогательных утверждениях параграфов 2 и 3 второй главы и эргодичности процесса 'V? (Л)
Теорема 4#1. Пусть І,іХ) - решение уравнения (4) и Vx.Li) - решение уравнения:
d^W= еС^СОЫиШ) , t*o (5)
с начальным условием ^(О) = ЭС #
Если выполняются условия I. и 2. теоремы 2,4 и
оо , о . *> ,
-еа -ео -оо
то при Т—> 0 т^ слабо сходится к решению т(і) уравне-
Аналогичный результат имеет меото при замене требования I. теоремы 2.4 условием I': Кроме того, доказано, что если выполняется условие 2. теоремы 2.4 и
где ц0= -UtoXCUx) , b0 =-им-Ь(х) то при эргодичности У[ Ct) > при Т—^^ ^т^) слаб сходится к бесселевскому диффузионному процессу X (і)
Основные результаты опубликованы в работах [45] »НЙ
-U-
