Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ МОДУЛЯ ЧАСТИ КОМПОНЕНТ СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИИ 11
I. Неограниченность и устойчивость модуля решения системы СДУ 13
2. Теоремы о точном порядке роста 21
3. Закон повторного логарифма 36
4. О усиленном законе больших чисел 44
ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА РЕШЕНИИ
СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИИ 49
I. Поведение модуля решений системы СДУ со случайными коэффициентами сноса. Сходимость к бесселевскому диффузионному процессу 52
2. Поведение аргумента решений системы СДУ 63
ЛИТЕРАТУРА 76
- Неограниченность и устойчивость модуля решения системы СДУ
- Теоремы о точном порядке роста
- Поведение модуля решений системы СДУ со случайными коэффициентами сноса. Сходимость к бесселевскому диффузионному процессу
Введение к работе
Асимптотические задачи всегда занимали важное место в вероятностных исследованиях. Так, значительную часть теории вероятностей составляют теоремы типа законов больших чисел и центральной предельной теоремы. В последнее время основные интересы переместились на изучение случайных процессов. В стохастических дифференциальных уравнениях - одном из наиболее важных разделов теории случайных процессов - изучаются вопросы существования сильных и слабых решений в конечномерном евклидовом пространстве [l3j, [ ЗІ, f^l» Гб2І, Гб9І, в гильбертовом и банаховом пространствах [Зі], Г I J, [55j, p6J, а также на многообразиях p8J, [бЗІ, Гб5І. Рассмотрение этих же вопросов с несколько других позиций - с мартингальной точки зрения - проведено в работах Г 64], Гб8І. Все увеличивающимися запросами многих разделов теоретической физики, задачами автоматического управления, радиотехники и механики много работ посвящено изучению стохастических дифференциальных уравнений в частных производных [32], [«], М>[5]> [57!' [74]> [бб] и другие. Однако асимптотические задачи продолжают играть ведущую роль*. В стохастических дифференциальных уравнениях они возникают в связи с изучением ограниченности или неограниченности решений [ll|, - ч - [бі], устойчивости [іб] , [ 7], [ 9], [54] , [Зб] , [37] , [29] , [70] , [71] и эргодичности * [52] , [іч], [бї] , [73], [75] , [її] решений , в связи с изучением предельного при f-р<г=> поведения решений стохастических дифференциальных уравнений и другие [бї].
Систематическим изучением предельного поведения решения Ш) одномерного стохастического дифференциального уравнения в середине 60-х годов занялся Г.Л.Кулинич. Он доказал, что при /-*«*> решение Я/) уравнения неограниченно по вероятности и в пределе распределения случай- ных величин -т=- и -=- совпадают, если CL(X)dx = О(Т ІТ J [l7J. Далее эта задача обобщалась в различных направлениях: d(x) - функция колебательного характера [l9], [20] ; (2(х)-~: ПРИ |<^|-?^ [22J ; находились условия, когда решение (/) неоднородного уравнения при /-»ео ведет себя как решение однородного [2l] и другие.
Этапным в развитии предельного поведения решения одномерного стохастического дифференциального уравнения был выход монографии И.И.Гихмана и А.В.Скорохода [її].
Однако переход к многомерному случаю был связан с опреде ленными трудностями. Впервые их удалось преодолеть А.Фридману в работе [59]. Затем в 1975 году вышла работа [22], где ис следовалось предельное при /-»оо поведение, неустойчивых компонент Lit) решения 5(/)= (SM, i-iS) уравнения did) a(tM)M + Ід (Л m)dwk[t) (/) и была толчком дальнейших многочисленных исследований в R : этот вопрос изучался для систем со случайными коэффициентами [25], рассматривалось предельное поведение функционалов интегрального типа от таких компонент [24] , исследовалось асимптотическое поведение решений стохастических дифференциальных уравнений, коэффициенты которых нерегулярным образом зависят от параметра [23j и другие.
Совсем недавно в работе |_26j для одномерного случая были найдены необходимые и достаточные условия сходимости решения стохастического уравнения к обобщенному процессу. Понятие обобщенного диффузионного процесса введено Н.И.Портенко в работе М-
Настоящая диссертационная работа состоит из введения и двух глав.
Во введении дается исторический обзор результатов, имеющих отношение к тематике диссертации. Кратко изложено её содержа -ние. Указана литература, в которой опубликованы основные ре -зультаты реферируемой работы.
В 1 главы I для системы d - одномерных диффузионных уравнений d ?, (t) - а, {Ш) Ш * Z &jk (т) йЦ (0, /. ЇЗ (2) изучается вопрос ухода ( с вероятностью I ) на бесконечность модуля части компонент |?(/). i + l^d и устойчивости ( по вероятности ) модуля оставшейся части компонент. Условия получены в терминах коэффициентов уравнения (^). Поясним их. (Л. ): Функции (ХЛХ) б'ц.іХ) непрерывны и существует такая постоянная К , что - б - d> d І Щх)\^\бікЩ */ґ(/*|я|)
Как известно, при этом предположении уравнение {2 ) имеет не прерывное с вероятностью единица решение !(/) [4б], [49J . (<4>: К/># Ju(J/)>0 для которых при ||\ < Jf, I d І t,j:{ к-1
Обычно от матрицы диффузии требуется невырожденность. Можно привести примеры, когда матрица вырождается, но условие (jt) БЫ~ полняется. (jfj ): Для некоторого e(o,l) и V X є R ^1^) ^11 (а) - A/ A/ *r/ / ^ "М ^ Z Z %(Щ(Х)Щ>0.i(Lk Ц-І кн J
И.И.Гихманом было показано, что для устойчивости по вероятности решения С 2 ) нужно lt Id iZ4^ + ZZw^.
Для ухода на бесконечность |(fl|. от этих слагаемых требуется положительность, да ещё с некоторым запасом.
Заметим, что вопрос ухода на бесконечность модуля решения системы (Z ) рассматривался А.Фридманом, но у него от матрицы диффузии требовалась невырожденность. У нас это условие заменено значительно более слабым условием (Jl).
Коль выяснены условия ухода на бесконечность, то возникает вопрос: с какой скоростью осуществляется этот уход? Для одномерного случая это было изучено в монографии Й.И.Гихмана и А.В.Скорохода [її]. Содержание 2 диссертации составляют теоремы, которые дают достаточные условия точного порядка роста части модуля решения системы (#).
Теорема 3. Пусть выполняются условия (jtf ) - (^?), н hi Ч-*~ xi, f*W Щ м
I 1г ' ' I
Тогда для №Щ Яf* #-,1=,
Кроме того, получен аналог теоремы 3 при более слабом условии Id ^ t d Z Z С (ФС(/+ Щ ) о(< і чем условие Xll&k ^ * СA/ h-i 1 Н Ы (содержание следствия І). В теореме 5 уже при условии I d
Щ {/=/ А=/ J J ^1 изучается точный порядок роста I"S(/)|» .
Также изучен точный порядок роста iSu)L , когда от коэффи ~ циента сноса требуется при \Х\»1 порядок роста C\XL , -1<с(<0 (следствие 2) и С\Х\~ 0<о(<~ (следствие 3). Как известно, для модуля винеровского процесса имеет место закон повторного логарифма. В 3 при некоторых ограничениях на коэффициенты #. (х) и &. (х) для модуля решения системы {2 ) доказано аналогичное утверждение.
Теорема 7. Если выполняются условия (Л, ) , (jL ) и для всех i=jft(Z*td) к* і '^7
Параграф 4 посвящен доказательству утверждения типа усиленного закона больших чисел для стохастических диффузионных уравнений.
Теорема 8. Пусть выполняются условия: (л, ) , id I d ^ZL6/kmk(x)xiwj^o) qk(x)tct 1 h 11^)^1^)
I D-~> t rid і H Wf-xtM+id\-H мч $(№l)ds=o\ --1
Тогда
, где 9(r) < -J j o< >0
В I второй главы для системы стохастических диффузион -ных уравнений со случайными коэффициентами сноса d$j(i) - ai{wj> W))dt + X Sik{tt l{t))dwk(t), i*& {3) показано, что при определенной нормировке её решение слабо сходится к бесселевскому диффузионному процессу.
Теорема І. Пусть J(/j - решение системы (<3) и для её коэффициентов выполняются следующие условия: I) Существуют неслучайные функции 0<М,х) такие, что с вероят- ностью единица lP> hi L J
6 (I XL) g(T) - непрерывная функция, удовлетворяющая условиям
1 ~ґ \f(r) -> а, a (if) (к
Г-* "О
6(Щ) ,0 (UP); %/(/) - некоторый винеровский процесс с вероятностью единица V/ )0 и V хє R а для ttfitz) , $/,({,%) выполняются условия (xJOf) и (JL).
2) fan Hip L^rf* +ZZ%(m*№
Ы hj Ы ^ч icm sup_ Z ^a({t,x)'a = o a>o і -> CO
Тогда случайный процесс УпЦ)-\П 2_. ^-0W) ПРИ п слабо сходится к процессу, который удовлетворяет уравнению
Ц{і)- винеровский процесе на
Кроме того, для системы стохастических диффузионных уравнений вида ( / ) в 2 рассматривается проекция её решения о (/J = - (?,.(/)} /-/~й) на единичную сферу Я} (/) - -~- и выяснены достаточные условия сходимости при /-? со распре деления случайного вектора [ЯМ) і-id) к равномерному распределению на "цилиндре" и "окружности".
Нумерация утверждений и формул введения и каждой главы отдельная.
Основные результаты опубликованы в работах !27J, [28J, [38|, [39].
Автор приносит искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Григорию Логвиновичу Кулиничу за помощь и постоянное внимание к настоящей работе. - II -
Неограниченность и устойчивость модуля решения системы СДУ
Этапным в развитии предельного поведения решения одномерного стохастического дифференциального уравнения был выход монографии И.И.Гихмана и А.В.Скорохода [її].
Однако переход к многомерному случаю был связан с опреде ленными трудностями. Впервые их удалось преодолеть А.Фридману в работе [59]. Затем в 1975 году вышла работа [22], где ис следовалось предельное при /-»оо поведение, неустойчивых компонент Lit) решения 5(/)= (SM, i-iS) уравнения и была толчком дальнейших многочисленных исследований в R : этот вопрос изучался для систем со случайными коэффициентами [25], рассматривалось предельное поведение функционалов интегрального типа от таких компонент [24] , исследовалось асимптотическое поведение решений стохастических дифференциальных уравнений, коэффициенты которых нерегулярным образом зависят от параметра [23j и другие.
Совсем недавно в работе _26j для одномерного случая были найдены необходимые и достаточные условия сходимости решения стохастического уравнения к обобщенному процессу. Понятие обобщенного диффузионного процесса введено Н.И.Портенко в работе
Настоящая диссертационная работа состоит из введения и двух глав.
Во введении дается исторический обзор результатов, имеющих отношение к тематике диссертации. Кратко изложено её содержа -ние. Указана литература, в которой опубликованы основные ре -зультаты реферируемой работы.
Теоремы о точном порядке роста
В последнее время основные интересы переместились на изучение случайных процессов. В стохастических дифференциальных уравнениях - одном из наиболее важных разделов теории случайных процессов - изучаются вопросы существования сильных и слабых решений в конечномерном евклидовом пространстве [l3j, [ ЗІ, f l» Гб2І, Гб9І, в гильбертовом и банаховом пространствах [Зі], Г I J, [55j, p6J, а также на многообразиях p8J, [бЗІ, Гб5І. Рассмотрение этих же вопросов с несколько других позиций - с мартингальной точки зрения - проведено в работах Г 64], Гб8І. Все увеличивающимися запросами многих разделов теоретической физики, задачами автоматического управления, радиотехники и механики много работ посвящено изучению стохастических дифференциальных уравнений в частных производных [32], [«], М [5] [57! [74] [бб] и другие. Однако асимптотические задачи продолжают играть ведущую роль . В стохастических дифференциальных уравнениях они возникают в связи с изучением ограниченности или неограниченности решений [ll, [бі], устойчивости [іб] , [ 7], [ 9], [54] , [Зб] , [37] , [29] , [70] , [71] и эргодичности [52] , [іч], [бї] , [73], [75] , [її] решений , в связи с изучением предельного при f-Р Г= поведения решений стохастических дифференциальных уравнений и другие [бї].
class2 ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА РЕШЕНИИ
СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИИ class2
Поведение модуля решений системы СДУ со случайными коэффициентами сноса. Сходимость к бесселевскому диффузионному процессу
Также изучен точный порядок роста iSu)L , когда от коэффи циента сноса требуется при \Х\»1 порядок роста C\XL , -1 с( 0 (следствие 2) и С\Х\ 0 о( (следствие 3). Как известно, для модуля винеровского процесса имеет место закон повторного логарифма. В 3 при некоторых ограничениях на коэффициенты #. (х) и &. (х) для модуля решения системы.
