Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелинейные преобразования мер и геометрические неравенства 27
1.1. Характеризация диффузионных полугрупп, сохраняющих логарифмически вогнутые функции 30
1.2. Другие классы функций 34
1.3. Замечания о гауссовском корреляционном неравенстве 44
Глава 2 Треугольные преобразования мер 53
2.1. Свойства треугольных преобразований мер 55
2.2. Оценки энтропии плотностей Радона-Никодима 67
2.3. Применения треугольных преобразований и оценок для энтропии 77
Глава 3. Оптимальные отображения 99
3.1. Конечномерные транспортные неравенства для выпуклых мер 106
3.2. Бесконечномерные оптимальные отображения 113
3.3. Бесконечномерное уравнение Монжа-Ампера 119
3.4. Интегрируемость оптимальных отображений 146
Глава 4. Сходимость Моско 175
4.1. Сходимость гильбертовых пространств. 178
4.2. Условия компактности для сходимости Моско 184
4.3. Одномерный случай. 190
4.4. Сходимость бесконечномерных форм Дирихле 195
4.5. Сходимость Моско и логарифмические производные 218
Литература 233
- Другие классы функций
- Оценки энтропии плотностей Радона-Никодима
- Бесконечномерные оптимальные отображения
- Сходимость бесконечномерных форм Дирихле
Введение к работе
Актуальность темы. Нелинейные преобразования и различного рода сходимость вероятностных распределений являются важнейшими объектами изучения в большинстве задач теории вероятностей и теории случайных процессов. Эти объекты связывают теорию вероятностей с теорией меры, функциональным анализом, дифференциальными уравнениями и теорией экстремальных задач. Такие связи, возникшие более чем полвека назад в классических трудах А.Н. Колмогорова, А.Д. Александрова, Н.Н.'Боголюбова, Н.М. Крылова, Дж. фон Неймана, Л.В. Канторовича, Ю.В. Прохорова, А.В. Скорохода и других исследователей, в настоящее время продолжают расширяться, обогащая взаимодействующие области математики. Особенно здесь можно отметить работы1,2,3'4'5,6. Подробный историко-библиографический обзор дан в книге7. В более позднее время существенный вклад в изучение всего комплекса проблем, связанных с нелинейными преобразованиями вероятностных распределений и сходимостью нелинейных образов мер, внесли В.Н. Судаков8, М. Тала-гран9, К. Ферник10, Я. Бренье и, Р. Маккэн12.
Основные результаты диссертации связаны с исследованием нелинейных преобразований вероятностных распределений, позволяющих меры из заданных классов представлять в виде образов каких-либо простых мер (например, гауссовских), причем требуется, чтобы эти представления обладали некоторыми дополнительными свойствами. В качестве таких дополнительных свойств в диссертации выступают свойства инвариантности (преобразования, заданные диффузионными полугруппами), оптимальности (оптимальные отображения), а также некоторые специ-
1 Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел I-IV. Матем. сб., 1937, т. 2(44), в. 5, с. 947-972, в. 6, с. 1205-1238; 1938, т. 3(45), в. 1, с. 27-46, в. 2, с. 227-251.
3 Александров АД. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), в. 1, с. 167-174.
'Александров АД. Существование и единственность выпуклой поверхности с заданной интегральной кривизной. ДАН СССР, 1942, в. 35, 131-134.
'Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7-8, с. 227-229.
вПрохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177-238.
Скороход А.В. Предельные теоремы для случайных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 3, с 289-319.
7Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. Москва - Ижевск, РХД, 2003
"Судаков В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1-190.
eTalagrand М. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal., 1996, n. 6, p. 587-600.
10Fernique X. Extension du theoreme de Cameron-Martin aux translations aleatoires. II. Integrabilitl des densites. Progr. Probab., v. 55, p. 95-102, Birkhauser, Basel, 2003.
"Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 375-417.
uMcCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J., 1995, v. 80, p. 309-323.
альные геометрические свойства (треугольные преобразования). Полученные результаты применяются к задачам теории вероятностей, бесконечномерного анализа, теории гауссовских мер, теории случайных процессов. Многие результаты диссертации тесно связаны с важными аналитическими неравенствами (логарифмическое неравенство Соболева и т.п.). Кроме того, в диссертации применяются методы слабой сходимости мер и вариационного исчисления к теории сходимости случайных процессов (сходимость Моско13).
В главе 1 рассмотрены преобразования мер, задаваемые стохастическими дифференциальными уравнениями. Этот вид преобразований в последнее время эффективно применяется для доказательства чисто аналитических неравенств. Здесь доказано, что свойство диффузионных полугрупп сохранять класс так называемых логарифмически вогнутых функций равносильно тому, что эти полугруппы имеют гауссовские переходные вероятности. Класс логарифмически вогнутых функций играет важную роль в бесконечномерном анализе, теории вероятностей, стохастике, теории гауссовских мер (см.14). Также изучен вопрос о сохране-ниии полугруппами так называемых функций Шермана, включающих все чётные логарифмически вогнутые функции. Мотивацией задачи послужила известная проблема, появившаяся на стыке теории гауссовских мер и теории выпуклых множеств, так называемое гауссовское корреляционное неравенство. Это неравенство — пока еще недоказанное в общем случае — состоит в том, что
7(АПВ)>7(Л)7(В) (1)
для произвольных выпуклых центрально-симметричных множеств А и В в Rn и всякой центрированной гауссовской меры 7- Основной к настоящему моменту прогресс был достигнут в работах15,16'17. Наиболее плодотворными методами исследования этого неравенства являются метод полугрупп и метод оптимальных отображений мер. В диссертации обсуждается применение обоих методов и доказываются некоторые частные случаи корреляционного неравенства. Применение метода оптимальных отображений мер к корреляционному неравенству было предложено в работе18..
"Mosco U. Composite media and Dirichlet forms. J. Rmc. Anal., 1994, v. 123, p. 368-421.
"Богачев В.И. Гауссовские меры.Мосхва: Наука, 1997.
15Pitt L.D. A Gauasian correlation inequality for symmetric convex sets. Ann. Probab., 1977, p. 470— 474.
"Schechtman G., Schlumprecht Т., Zinn J. On the Gaussian measure of the intersection of the symmetric, convex set. Ann. Probab.. 1998, p. 346-357.
17Harge G. A particular case of correlation inequality for the Gaussian measure. Ann. Probab., 1999, v. 27, p. 1939-1951.
lECaffarelli L.A, Monotonicity properties of optimal transportation and the FKG and related inequalities. Commun. Math. Phys., 2000, v. 214, n. 3, p. 547-563.
Глава 2 посвящена изучению треугольных отображений мер. Треугольные отображения имеют ясную геометрическую структуру и находят многочисленные применения на стыке выпуклой геометрии и теории вероятностей (см.19'20). В диссертации исследованы фундаментальные свойства этих отображений. Интересно отметить, что треугольные отображения обладают многими свойствами, близкими к оптимальным, что, учитывая весьма сложную структуру последних, делает треугольные отображения полезным инструментом теории меры и геометрии. Например, как показано в главе 2, треугольные отображения удовлетво-ряют так называемому неравенству Талаграна для гауссовских (и более общих равномерно выпуклых) мер. Это наблюдение применяется к решению следующей известной проблемы теории гауссовских мер (см.21). Из классических результатов Ю.В. Прохорова, И.В. Гирсанова, А.В. Скорохода известно, что для заданной гауссовской меры 7 типичные преобразования, переводящие 7 в абсолютно непрерывную меру, имеют вид Т(х) = х + F(x), где F принимает значения в пространстве Камерона-Мартина Н. Преобразования такого вида — это абстрактные преобразования Гирсанова классического винеровского пространства; их исследованию посвящены многие работы (см. книги14,21,22 и библиографию в них). В случае классического винеровского пространства С[0,1] пространство Камерона-Мартина состоит из абсолютно непрерывных функций х с а:(0) = 0 и х1 Є L2[0,1]. В работах Камерона и Мартина, Прохорова, Скорохода, Маруямы и Гирсанова было выяснено, что при весьма широких условиях отображение вида
T(w)(t) = w(t) + f ct(s, w(-)) ds
Я|преобразует меру Винера в эквивалентную, причем многие важные в ^^приложениях отображения, осуществляющие эквивалентные преобразования меры Винера, имеют указанную форму.
Долго оставался открытым вопрос о том, всегда ли можно перевести 7 в абсолютно непрерывную меру д -у преобразованием такого вида. При дополнительных ограничениях нар положительные результаты были получены Устюнелем, Закаем, Ферником. С помощью применения треугольных отображений в диссертации дано положительное решение задачи в общем случае. Также в работе были получены оценки энтропии f д loggdy через функционалы от Т(х) —х. Полученные результаты
l9Knothe Н. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J., 1957, v. 4, p. 39-52. a0Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research, 2003, v. 2, p. 151-175. "Ustunel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000. иЛипцер Р.Ш., Ширяев A.H. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.
были применены к проблеме обоснования формулы замены переменной в бесконечномерных пространствах.
В главе 3 изучаются бесконечномерная задача Монжа-Канторовича и бесконечномерное уравнение Монжа-Ампера. Как и в ситуации с треугольными отображениями, нас интересуют преобразования мер вида Т{х) = х + F(x), где F(x) є Н. Этим обусловлен специальный выбор функционала Монжа-Канторовича (минимизируется квадрат нормы Камерона-Мартина).
Важным аппаратом бесконечномерной теории Монжа-Канторовича являются различные геометрическо-аналитические неравенства (логарифмическое неравенство Соболева, транспортное неравенство Талагра-на, изопериметрические неравенства, неравенства концентрации). Этим вопросам посвящены недавние работы С. Бобкова, М. Леду, М. Талагра-на, К. Ферника, Л. Каффарелли, И. Жантиля, Ф. Отто, Ц. Виллани, Ф.-Ю. Ванга. Обширная библиография на эту тему имеется в23. Один из результатов главы 4 состоит в доказательстве новой серии неравенств этого типа, обобщающих транспортное неравенство Талаграна. В качестве следствия мы получаем существование такого преобразования Т меры 7 в меру 5-7, где д Є U'il) при некотором р > 1, что Т(х) = x+F(x), где exp(c||F||^) Є Ь^{"у). Это заметно усиливает результат Ферника10. Другим важным результатом является вывод уравнения Монжа-Ампера в бесконечномерном случае.
Глава 4 посвящена сходимости квадратичных форм и слабой сходимости распределений ассоциированных случайных процессов. Основные результаты связаны со сходимостью Моско, впервые рассмотренной в работе13. Согласно этой работе, сходимость Моско квадратичных форм равносильна сильной сходимости ассоциированных полугрупп. В частности, отсюда следует слабая сходимость распределений ассоциированных случайных процессов. Сходимость Моско сильнее Г-сходимости, введенной Де Джорджи для задач вариационного исчисления (см.24,25). Слабая сходимость случайных процессов и сходимость ассоциированных полугрупп активно изучаются в связи со многими задачами стохастики и математической физики. См. по этой тематике работы28,27,28. В диссертации получены простые достаточные условия сходимости Моско. В част-
asLedoux М. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc, Providence, 2001.
а4Жиков B.B., Козлов СМ., Олейвик О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.
MDal Maso G. An introduction to Г-convergence. Birkhauser Boston, Boston, 1993.
авЖиков B.B. Весовые Соболевские пространства. Матем. сб., 1998, т. 189, в. 8, с. 1139-1170.
"Albeverio S., Kusuoka S., Stxeit L. Convergence of Dirichlet forms and associated Schrodinger operators. J. Funct. Anal., 1986. v. 68, p. 130-148.
a8Lyons T.J., Zhang T.S. Note on convergence of Dirichlet processes. Bull. London Math. Sci., 1993, v. 25, p. 353-356.
ности, получены приложения к некоторым моделям гиббсовских распределений. Также получены приложения к диффузионным процессам на винеровском пространстве.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
-
Исследованы треугольные преобразования мер. Изучены общие свойства треугольных преобразований. Получено обобщение неравенства Талаграна для треугольных отображений.
-
Решена задача представления меры, абсолютно непрерывной относительно данной гауссовской меры, в виде образа этой гауссовской меры при нелинейном сдвиге вдоль пространства Камерона-Мартина.
-
Исследован бесконечномерный аналог задачи Монжа-Канторовича.
-
Выведено уравнение Монжа-Ампера в бесконечномерном случае.
-
Получены новые транспортные неравенства для мер, удовлетворяющих логарифмическому неравенству Соболева или неравенству Пуанкаре.
-
Исследована сходимость Моско конечномерных и бесконечномерных форм Дирихле. Получены простые достаточные условия сходимости форм Дирихле на винеровском пространстве и форм Дирихле, порожденных гиббсовскими мерами. В частности, получены достаточные условия сходимости форм в терминах сходимости соответствующих условных мер и логарифмических производных.
Методы исследования. В работе применяются методы теории меры (в частности, идеи и результаты теории слабой сходимости), функционального анализа, теории вероятностей, стохастического анализа, вариационного исчисления, выпуклой геометрии, теории дифференциальных уравнений в частных производных, бесконечномерного анализа, а также некоторые оригинальные конструкции.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории меры, теории уравнений в частных производных, вариационном исчислении, бесконечномерном анализе.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И.Богачева и на семинаре под руководством Б.С.Кашина и С.В.Конягина на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, на семинаре отдела теории вероятностей Математического института РАН имени В.А. Стеклова, на семинаре от-
дела теории вероятностей Петербургского отделения математического института РАН имени В.Д. Стеклова, на международной конференции „Stochastic calculus and mathematical physics" (Билефельд, Германия, 2000 г.), на международной конференции „Stochastic calculus and related topics" (Санкт-Петербург, 2001 г.), на международной конференции „Stochastic inequalities" (Барселона, 2002 г.), на семинаре по стохастическому анализу университета города Билефельда (Германия), на семинаре „Colloquium De Giorgi" Высшей нормальной школы города Пизы (Италия), а также на семинарах Владимирского педагогического государственного университета, университета города Лечче (Италия) и Пекинского нормального университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 170 наименования. Общий объем диссертации составляет 238 страниц.
Другие классы функций
В этом разделе даются примеры того, что другой важный класс функций, включающий все четные квази-вогнутые функции (так называемые функции Шермана), сохраняется не только гауссовским полугруппами. Как следствие, мы получаем примеры негауссовских мер, удовлетворяющих корреляционному неравенству. Тем не менее, даже этот класс полугрупп не очень обширен. Мы покажем, что если мы ограничимся диффузиями с постоянной диффузионной матрицей и нечетным, глобально липшицевым и гладким сносом, соответствующие полугруппы будут гауссовскими.
Геометрические свойства переходных вероятностей эллиптических и параболических уравнений изучались во многих работах ([53], [54], [55], [56], [57], [90], [93], [94], [96], [100]). Заметим, что свойства полугрупп сохранять некоторые классы функций (например, логарифмически вогнутые, функции Шермана) характеризуют геометрические свойства переходных вероятностей. Например, полугруппы с логарифмически вогнутыми переходными вероятностями сохраняют логарифмическую вогнутость, а полугруппы с симметрическими и квази-вогнутыми переходными вероятностями сохраняют функции Шермана (см. следствие 1.2.12). В частности, мы получаем, что если полугруппа с постоянной диффузионной матрицей и гладким липшицевым сносом обладает квази-вогнутыми переходными вероятностями, тогда эта полугруппа гауссовская. Также мы доказываем некоторые специальные случаи корреляционного неравенства.
Функции Шермана были впервые рассмотрены в работе [140]. Нас интересует следующая задача: какие диффузионные полугруппы сохраняют этот класс функций?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.1. Функция / : Rd —» [0, оо) называется функцией Шермана, если она является пределом функций вида к no норме f — max(es5Sup /(#)), где каждое множество А\ С Жа выпукло, ограничено и симметрично относительно начала координат. Множество этих функций обозначим через Shd.
Функции Шермана обладают многими замечательными свойствами. Из определения сразу следует, что они устойчивы относительно сумм и композиций с линейными отображениями. Если интегрируемая функция есть произведение функций Шермана, то она также функция Шермана. Из определения следует, что функции Шермана четны.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.2. Ограниченная функция / называется квазивогнутой, если осе множества уровня {/ с} выпуклы.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.2.3. Очевидно, что каждая логарифмически вогнутая функция является квази-вогнутой. Легко показать, что каждая четная квази-вогнутая функция является функцией Шермана. Действительно, достаточно рассмотреть приближения вида п Q2(ai+i - ai)I{f ai})l{\x\ R}, t=i где О - ai а2 an+i = max f(x) xeRd — разбиение [О, maxxRd /(#)] ш ро-впые части. Из теоремы Прекопы, замечания 1.2.3 и определения 1.2.1 следует, что аналог теоремы Прекопы верен для функций Шермана. Теорема Прекопы для функций Шермана : Если / Shd+k П L1 ), тогда / /( ,xd+k)dxl dxkeShd. Более специальные свойства 2)-3) верны для некоторой версии фун-ции /. 1) Из теоремы Прекопы для функций Шермана следует, что функции Шермана устойчивы относительно сверток. 2) Если / Є Shd, тогда [0, со) Э і f(tv) — невозрастающая функция для любого v Є Md. 3) Для любой функции / є Shr и двух точек х,уиО А 1 выполнено следующее неравенство: /(0) + /(Аз; -f (1 — Х)у) f(x) + f(y). В частности, если /д Є Shd, то А симметрично и выпукло. 4) Мы будем использовать следующее неравенство: (1.2.12) / v{vjfi(x)gj{x) dx 0, где /, g — гладкие финитные функции Шермана и у = (V, , vd) Є Жй. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, q = f g = jRd f(x—y)g(x) dx является функцией Шермана и достигает максимума в начале координат. Следовательно, матрица D2q вторых производных функции q невырождена в начале координат. Следовательно 0 vVfly(0)=/ v vJ/ф)д{х)dx = - / vlv3 fi{x)gj{x)dx. D В отличие от логарифмически вогнутых функций существуют негаус-совские диффузии, сохраняющие функции Шермана. Рассмотрим конечномерную группу Ли G и отображение R : [0, оо) х G —GL(d) со значениями в пространстве GL(d) d х d-матриц со следующими свойствами: (1.2.13) l)R{t + s,9lg2) = R{t,gi)R(s,g2) 2)Я(0,0) = Id. Пусть jj,t — полугруппа вероятностных мер на G, т.е. семейство мер, зависящих от t 0 и удовлетворяющих Рассмотрим полугруппу следующего вида: (1.2.14) Ttf(x)= { f(R(t,g)x)diit(g)t xeRd, f : Rd -» E. Ус Легко проверить, что Tt действительно полугруппа. Очевидно, Tt сохраняет функции Шермана на M.d. Полугруппы этого типа изучались Хаитом в [92]. Хант дал полное описание генераторов таких полугрупп. Он доказал, что диффузионная часть генераторов Tt имеет вид \J %Ju \JJLs ъ \J AS4 где каждый коэффициент аи — квадратичная функция, а каждое отображение Ьг линейно. Недиффузионная часть может быть описана посредством мер Леви на G.
Оценки энтропии плотностей Радона-Никодима
Если мера v не эквивалентна мере Лебега, то г-ая компонента канонического треугольного отображения может оказаться разрывной. Например, каноническое отображение меры Лебега на [0,1] в меру и с плотностью 2 на [0,1/4] U [3/4,1] и 0 на (1/4,3/4), имеет скачок. Тем не менее, доказанная выше формула замены переменных остается в силе и без сделанного в лемме предположения об абсолютной непрерывности, если Т является каноническим отображением абсолютно непрерывных мер (разумеется, не всякое возрастающее борелевское треугольное отображение таково).
Пусть \i и и - вероятностные меры на Жп с плотностями д и QV относительно меры Лебега. Тогда для канонического треугольного отображения Т и — {Ти...,Тп) справедливо равенство (2.1.34) 6(1{х) = й„(Т (х)) det DT {x) для ji-П.в. X, где det ВТцр := J]"=1 дх.Ті существует почти всюду в силу монотонности ТІ по Х{.
Рассмотрим сначала одномерный случай. Тогда Т у = S о Т, где Т - каноническое отображение меры \і в меру Лебега А на (0,1), т.е. функция распределения меры ц,&Б - каноническое отображение меры А в меру v, т.е. функция, обратная к функции распределения Fv меры v. Из тождества Fl/[S(y)) = у дифференцированием получаем Qi/{S{y))S (y) = 1 п.в. Действительно, достаточно заметить, что если Z -множество нулевой лебеговской меры, на котором производная Fv не существует или отлична от QV, ТО S 1(Z) имеет лебеговскую меру нуль. Это является прямым следствием равенства А о S-1 = v и абсолютной непрерывности v. Теперь заметим, что Bv(s(T(x)fjS!(T{x)) = 1 для /І-П.В. х. Это ясно из равенства ц о Т 1 = А. Аналогичным образом с помощью равенства /л о T l = А заключаем, что Т {х) = S {T(x))T (x) для /І-П.В. х. Итак, для -н.в. х получаем в„{Т {х))Т {х) = gu{T ))S {T(x))r(x) = Т (х) = д(1(х).
Далее воспользуемся индукцией по п и будем считать наше утверждение доказанным для размерности п — 1. Будем записывать точки R" в виде (ж,жп), х Є Жп 1. Положим Т(х) = (ТЦа;),... ,Тп-](х)). Проекции мер fj, и v на Жп 1 обозначим через \ и и , а их плотности относительно меры Лебега на Ж"-1 через у и у соответственно. Заметим, что Т совпадает с Т у. По предположению индукции (2.1.35) Qn {x) = g„ (f{x)) dct DT(x) /І -П.В. При //-п.в. фиксированном х Є М""1 функция і н- Г„(х,і) переводит одномерную условную плотность () = (2, n)/Qfi {x) меры в условную плотность о1{х)Ы = Qv(f{x),xn)/e,(T(x)) меры v. Согласно доказанному в одномерном случае получаем Qn(x, хп) Qv (Т(х),Тп(х, хп)) -dxnTn{x,xn) для /vn.B. хп. QAX) QS{T{X)) Вместе с (2.1.35) и равенством dot DT(x, хп) = dXnTn(x, хп) det DT{x) это завершает доказательство. П
Подчеркнем еще раз, что частная производная в формулировке - это существующая почти всюду обычная частная производная, а не производная в смысле обобщенных функций (которая имеет сингулярную компоненту в случае функции, не являющейся абсолютно непрерывной). Этот результат существенно усиливает доказанное в [43] при дополнительных условиях на плотности данных мер. Приведем еще достаточное условие непрерывной дифференцируемости канонического отображения.
Предположим, что вероятностные меры \iuv на Жп заданы непрерывными положительными плотностями д и ди, у которых соболевские частные производные до порядка п + 1 интегрируемы по Жп. Тогда каноническое треугольное отображение Т непрерывно дифференцируемо. То же самое верно, если вместо интегрируемости частных производных до порядка п + 1 потребовать непрерывность частных производных плотностей первого порядка и существование таких неотрицательных интегрируемых функций в\,.. .,вп на прямой, что функции g , gv, \dXig \, Фг Ы оцениваются через $унк-цию$і{хі)---0п{хп).
Рассмотрим сначала каноническое отображение меры (м в лебеговскую меру А на открытом кубе (0,1)". В этом случае последняя компонента Тп соответствующего канонического отображения имеет вид / хп /-Нес ,. _i gtl(x,s)ds( Qfl{x,$)ds) , оо J-оо где точки R записываются как (х,хп), х Є R71-1. Заметим, что функция дХпТп непрерывна. Для этого достаточно убедиться в непрерывности функции др(х, в) ds. оо Легко видеть, что эта функция имеет интегрируемые noR"-1 Соболевские частные производные до порядка щ что по теореме вложения Соболева влечет непрерывность G. Функции дХіТп, і п — 1, также непрерывны. Действительно, ввиду положительности Ор достаточно проверить непрерывность функций / Хп dXiQt,(x,s)ds. Эти функции имеют интегрируемые обобщенные частные производные до порядка п4 1 и потому непрерывны. Следовательно отображениеТ \ непрерывно дифференцируемо. В общем случае отображение 7] является композицией отображений 7]ІД и Т\р = Т \. Непрерывная дифференцируемость T\ v следует из те оремы об обратном отображении ввиду невырожденности DTVi\. Второе утверждение леммы доказывается аналогично с помощью теоремы Ле бега о мажорируемой сходимости.
Бесконечномерные оптимальные отображения
. В этом разделе мы рассмотрим бесконечномерную центрированную гауссовскую меру -у на локально выпуклом суслинском пространстве X. Н обозначает соответствующее пространство Камерона-Мартина.
С помощью конечномерных неравенств, полученных выше, мы покажем, что для любой вероятностной меры \i = д -у, удовлетворяющей условию ЕпЦ-АЕпі -Д со, существует такое отображение S вида S(x) = х + F(x), где F принимает значения в Н, что S преобразует д 7 в 7- При этом F = УФ для 1-выпуклой функции Ф.
Хотя это следствие является частным случаем общего результата из [76], доказательство, представленное ниже, значительно проще. Кроме того, применяемый подход дает также результаты о сходимости производных оптимальных отображений (см. раздел об уравнении Монжа-Ампера).
СЛЕДСТВИЕ 3.2.1. Предположим, что \х = д-у — такая вероятностная мера, что Епіу- = gloggdy со и Ent — — jj loggdy со. Тогда существует такое отображение S = х + F(x) : X — X, что 7 — {д7) $ 1 ДРи этом F — УФ для 1-выпуклой функции и FeL2(%H). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сперва рассмотрим случай, когда О с g С.
Найдем такую аппроксимирующую последовательность гладких функций дп , что дп д 7-п-в- Q с дп С и каждая дп имеет вид дп = (рп(е\,--- ,еп) для некоторого рп : Шп — Е+. Например, можно взять Е(д\ п) и рассмотреть гладкие приближения функций E(g\ Fn) с помощиь полугруппы Орнштейна-Уленбека. Наделим пространство span{ei,-" ,еп} нормой Камерона-Мартина. Тогда мера 7 Рй1 стандартная гауссов-ская. Рассмотрим оптимальные отображения Sn : W1 —+ W1 конечномерных мер ( -7)0- 1 И7Я„Ч. Продолжим каждое Sn на все X формулой Sn(x) = Sn(Pnx) -f х - Рпх. Тогда (дп у) о S"1 = 7- Применяя теорему ш 3,1.2, получаем следующую оценку (3.2.75) і f{Sn - SmfHgn dj f log &gn dr 1Jx Jx 9m По тем же соображениям \х{х - Sm) 2Hd y - jx\oggmd y, следовательно, х — Sn ограничено в Ь2(у,Н). Извлечем 1/2(7,Я)-слабо сходящуюся подпоследовательность х Sn х — S Є L2(y,H). Покажем, что (д 7) 5-1 = 7- Действительно, применяя (3.2.75), получаем по свойствам слабой сходимости и теореме Лебега, что с- f {S-SnfEd1 c-\jmm f(Sm-Sn)2Hdy JX Jx Hmm / {Sm - SnfHgn dy limm / log — gn dj = log — gn dj. Jx Jx 9m Jx 9
Очевидно, Sn — x — 5 — x в L2(j,H) и S Я-монотонно. Переходя к подпоследовательностям, можно предположить, что Sn — х — S — х в Н 7-п.в. Возьмем ограниченную непрерывную цилиндрическую функцию (р. Так как fx p{Sn)gnd,y = jx(pdj, по теореме Лебега получаем fxtp(S)gdy = \imn jx (f(Sn)gndj = (рйу} следовательно (g- oS-1 = 7- Заметим, что оценка (3.2,75) остается верной для бесконечномерного случая. Точнее, если 0 с /, / С 7_измеримые функции на X, и Sf,Sg — соответствующие бесконечномерные отображения, то (3.2.76) \jtf9 - Ssfu9dri Jhgjgdr Пусть ЕпЦ(- ),Ent - 00. Заметим, что / і Iogg dy = - / loggdy + l і bg5dj Jx JX Jg \ -Ent -2/ \og(-) gdj Entfl + 2e 1 f gd y 00. Ф Jg \ 9} 9 dfi Jg 1 что Следовательно \ogg Є L\i). Пусть gn = j- 1 - Из (3-2.76) следует, 0 / (Sgn-Sam)2Hgnd y / log—gndj. 1 Jx JX 9m Как и выше, извлечем L2(,y1 Я)-слабо сходящуюся подпоследовательность S9n—x — S — x (обозначаемую через {Sn—х}). Из 2(7,Я)-слабой сходимости Sn х — S — х и Ь1(7)-сходимости log ?ге —»log ? следует - / (Sn - SfHgn d-y lim / log — gn dj =/ log —5n d7. 2JX m Jx 5m Jx 9 Из соотношений / gn oggndj / plogg JX JX 114 и / gnloggdy- / ghggdy Jx Jx следует, что jx(Sn — Sfygnd-f —+ 0. Переходя к подпоследовательности, можно предположить, что Зп х - 3 — х в Н 7-п.в. Используя нера венство Пуанкаре для Фш где Sn — х = УФ„ и ограниченность Sn — х в Ь2{у, Я), нетрудно доказать, что F = УФ для некоторой 1-выпуклой функции Ф. Доказательство следующей теоремы аналогично. Мы получаем естественное обобщение неравенства Талаграна для двух различных оптимальных отображений в бесконечномерном случае.
ТЕОРЕМА 3.2.2. Пусть f-y, д-у — такие вероятностные меры, что Entyf у со, ЕпЦд 7 со, Entj.-уУ со, Entg. y оо и Sf,Sg — отображения, построенные по следствию 3.2.1. Тогда
Оптимальные отображения как логарифмические градиенты выпуклых мер. В этом разделе мы дказывает, что отображение —S, построенное в предыдущем разделе, является логарифмическим градиентом выпуклой меры /л.
Как и выше, мы рассматриваем суслинское локально выпуклое пространство X с центрированной радоиовской гауссовской мерой 7- Выберем ортонормированный базис {е;} в Я и рассмотрим последовательность соответствующих проекций Рп, определенных выше. Меру 7 можно представить, как произведение мер у = Ц=1 Iі 07m гДе каждая у1 есть образ 7 при проекции х — І{Х)ЄІ = з . Обозначим 7га := ПГ=іТг Пусть C g c t) — плотность Радона-Никодима некоторой вероятностной меры у и Sn — VW — последовательность оптимальных отображений, построенных в следствии 3.2.1. Выберем соответствующие выпуклые функции W : Шп + Ж таким образом, что LnW dyn — \ ТІ - ) e w"dxyn. Очевидно, {//„} — последовательность мер, эквивалентных у. Удобно идентифицировать fin с Цп Рп1 и писать jRnipdfin вместо fxtpdfin для цилиндрических функций (р, зависящих только от Рпх. Подпространство РпХ наделяется Я-нормой и все конечномерные неравенства рассматриваются в этой норме.
Сходимость бесконечномерных форм Дирихле
МЫ покажем, что конечномерные мерыГ 2Фт рассматриваемые как Ti-значные меры, имеют ограниченную вариацию. Так как эти меры имеют Н-значные плотности (1+Кп)2—1 относительно 7, достаточно, чтобы интегралы от \\2Кп + КпЫ по 7 были равномерно ограничены. Из доказательства теоремы 3.3.4 ясно, что интегралы от 11 11 по мере тт(1,д) 7i а следовательно и по мере 7» равномерно ограничены. Осталось заметить, что [К2(я ІІ-КиЦн Покажем, что существует W-значная мера 2Ф ограниченной вариации с матричными элементами Фе.е.. Заметим, что для любого h Є Н производная д вдоль h в смысле распределений на винеровском пространстве неотрицательна, следовательно является борелевской радоновой мерой Uh (см. [144]). Эта мера является пределом последовательности функций 5дФга = (D2tynh: /г)я в смысле распределений. Определим операторнозначную меру )2Ф следующим образом: (D4ht k)n := -{vh+k -Vh-Vk) Значение правой части на каждом фиксированном борелевском множе стве является симметричной билинейной формой. Это следует из факта, что интеграл от любой пробной функции по {vh+k Vh—Vk)i2 совпадает с пределом интегралов от функций0[с%+к$п — 9Ф„—с Ф„] по 7- Равно мерная оценка вариации по -норме влечет, что эта билинейная фор ма порождена симметричным оператором Гильберта-Шмидта и соот ветствующая W-значная мера обладает ограниченной вариацией. Утвер ждение (ii) аналогично. Заметим только, что интегралы /Cu(Tn( )) + 11 ( 71 ))11 по 7 (появляющиеся в выражении для второй производ ной Ф) равны интегралам от Яп(а;) -(-іп(х)[ по#п-7, следователь но, ограничены константой.
Следующая лемма обобщает [77, лемма 7.2]. ЛЕММА 3.3.8. Пусть log# Є L2{ ). Тогда Ф — ограниченная радо-иовская мера и j-n.e. &сЕ(Ф\Тп) — асФ- Если \\ogg\2g Є L1 ), то Ф — ограниченная радоиовская мера wy-n.e. С&сЕ{Ф\Тп) — СасФ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Приблизим g функциями gn := EfgjJ ) и обозначим через Ф„ соответствующие потенциалы. В силу конечномерной формулы замены переменных log І = -Cjtn + hvvn\% - logdet2(7 + 2СФП). Известно (см. замечание 3.3.2), чтоФи — Ф в смысле распределений. Покажем, что log ( -» log 5 в смысле распределений. Действительно, по неравенству Йенсена, для любой фиксированной ограниченной неотрицательной / -измеримой функции ц и п N 132 - / V e9ndj - / rjE{\ogg\Fn)drf = - / r]\o gd . Jx Jx Jx Так как gn — g п.в. и функция log я ограничена снизу, мы получаем по теореме Фату ІЩ, / »?log —d7 = Hm„ / mlog —)—& 7 = ІІШп / (log —)-5 7 / (bg-)-5 7 = / T/logfy Jx \ 9n 9n Jx \ 9 g. Jx 9 Следовательно lim і r\ log gndj= / 77 log # 7. Принимая во внимание, n-+Jx Jx что log- + a „ 0, 9n получаем, что log + Ф 0 в смысле распределений. Заметим, что log# определяет элемент, дуальный Соболевскому пространству W2 1 (7) и Ф принадлежит пространству, сопряженному к W2,2 (7). Следовательно log +Ф — ограниченная радоновская мера (см. [144]). Как показано в [77] { (1 )} — субмартингал, сходящийся 7-п.в. к С&Ф- Анало гичное утверждение для Ф доказывается тем же способом. Доказатель ство остальных утверждений в случае Ф аналогично. Заметим только, что из наших предположений следует, что интегралы от loggn(Tn)\2 по 7 равномерно ограничены. Так к&к дп(Тп) — д(Т) по мере, мы получа ем, что log дп(Тп) — log#(T) in Ll(j). Остальные рассуждение такие же, как в случае Ф. П ЛЕММА 3.3.9. Пусть А = (щ ) — симметричная (п + 1) х (n + 1) матрица, причем 1+А 0 и пусть В = Апхп. Тогда — log det2 (/+ !) -logdet2(/ + ).
Рассмотримортонормированныйбазисvi,...,vn BRB котором В диагональпа. Обозначим собственные значения через bi,..., bn и рассмотрим матрицу А в базисе vi,..., vn, еп+\. Тогда ТЪ4 = ТтВ + ага+ііП+і. Нетрудно показать, что " п2 иг,п+1 det(/ + А) = det(/ + В) \l + vn.n+1 - у i=l 1 І=І Тогда TM-logdet(l-M) " л2 = ТгВ + ап+1,п+1 - logdet(/ + 5)- log (l + a„+1,„+i - j ) 2=1 г TrB-logdet(/ + ). 133 Лемма доказана. D Мы используем также следующую техническую лемму. Обозначим меру Лебега через А. 3.3.10. Пусть F: M.d — M.d — локально интегрируемое отображение, причем его производная DF в смысле обобщенных функций является локально ограниченной мерой со значениями в пространстве неотрицательных симметричных матриц. Пусть DacF — оператор-позначная плотность абсолютно непрерывной компоненты DF. Положим Q := {х: detD Ffa) 0}. Тогда мера Ап о F l абсолютно непрерывна.
Достаточно показать, что существует такая последовательность измеримых множеств Qk С П, что Гї\ Jb=i k имеет меру нуль и каждая мера Anfe о F-1 имеет плотность. Далее, обозначим через т(А) минимальное собственное значение матрицы А. Достаточно проверить утверждение для сужений F на множества П0 := {іЄП: m( acF(x)) а], а 0. Более того, достаточно рассмотреть ограниченные подмножества flQ. Зафиксируем числа а 0 и 6 О, шар В, и в Є C {Rn). Пусть в(х) := kd$(x/k) и Fk = F вк. Тогда Fk(x) -ч F(ar) и DMF 0fc(x) - D&cF(x) п.в., так как DacF локально интегрируемое операторнозначное отображение (как плотность абсолютно непрерывной части локально ограниченной операторнознач-ной меры ). По теореме Егорова существует измеримое такое множество Е$ сС1аПВ, что \({QaC\B)\E) 5 и последовательность D F 9k{x) сходится равномерно на Е$. Таким образом можно предполагать, что m[(D&cF 9к)(х)) ct/2 для всех к и всех х Є Е$. Заметим, что D(F 9k){x) = DF 9k(x)= f 6к{х y)DF{dy) f 6k{x-y)D&cF{y)dy = D!XF ek{x) в смысле квадратичных форм, так как сингулярная компонентаDF также принимает значение в пространстве неотрицательных симметричных операторов. Следовательно, m(D(F Єк)(х)) = m(DF 6к{х)) m(DaF 6к{х)) а/2, х Є Es. Отсюда следует, что det[D(F 9к){х)\ (a/2)d для всех х Є Eg. Отсюда вытекает, что мера цк :— X\ES О (F )-1 обладает плотностью дк {2/a)d. Так как меры fik сходятся слабо к мере A oF-1, последяя также обладает плотностью. Устремляя 5 — 0, получаем искомое утверждение. D В доказательстве следующей леммы мы применяем два важных результата теории меры (см. [6]). Пусть ji — конечная неотрицательная 134 мера на измеримом пространстве (Х,Л) и {/„} С Ь1{ц) — ограниченная по норме последовательность. По теореме Комлоша существует подпоследовательность {hn} С {fn} и такая функция / Є (//), что последовательность СреДИИХ Л_1Х)Г=1 я СХОДИТСЯ К / fl-U.B. КрОМС ТОГО, ПО теореме Гапошкина, эту подпоследовательность можно выбрать таким образом, что для любого є 0, существует такое подмножество Хє С X что fi(X\Xe) ей hn- f слабо в #( 1).
