Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Оператор монотонной перестановки, сопоставляющий каждой функции / ее монотонную перестановку Т/, по-видимому, был впервые введен Харди и Литтлвудом для оценивания интегралов. Затем А. Зигмунд использовал их результаты для для изучения коэффициентов Фурье. И. Стейн и Г. Вейс использовали невозрастаю-щую перестановку для изучения некоторых функциональных пространств. С. Г. Крейн, Ю. И. Петунии и Е. М. Семенов применяли убывающие перестановки на (0; оо) для изучения интерполяционных пространств, лежащих между L1 и L.
В теории вероятностей оператор монотонной перестановки применялся К. Ферником и его учениками при изучении условий непрерывности стационарных гауссовских процессов. М. А. Лифщиц1 использовал монотонные перестановки при изучении локальных времен. В области предельных теорем оператор монотонной перестановки впервые был применен В. А. Егоровым2, который получил, используя некоторые близкие к этой тематике результаты В. Б. Невзорова3, одномерные распределения монотонной перестановки стандартного винеровского процесса и времени, проведенного этим процессом ниже уровня X.
В. А. Егоров4 показал также, что штрассеновское мцоже-
1Лифшиц М. А., Локальные времена для функций и гауссовских процессов, Записки научных семинаров ЛОМИ, 1979, том 85, с.104-112
2Егоров В. А., О распределении времени пребывания, Записки научных семинаров ЛОМИ, 1989, том 177, с. 51-54
'Невзоров В. Б., Распределения упорядоченных случайных величин и их сумм. Докт. дис..., Л., 1987 и Nevzorov V. В., Limit theorems for order statistics based on the sums of random variables, Proceedings of IV Vilnius conference of probability theory and mathematical statistics, VNU Science press, Utrecht, 19SS, vol. 2, p. 365-376
4 Егоров В. А., Функциональный закон повторного логарифма д.ія упорядоченных сумм, Теория вероятностей и ее применения, 1990, том 35, с. 343-349
— 4 —
ство Ki абсолютно непрерывных функций / : [0; 1] —* R таких, что /(0) = 0 и
J(f'(t)fdt^l, о
под действием оператора монотонной перестановки переходит во множество \\ неубывающих абсолютно непрерывных функций д ,: [0; 1] - R таких, что д(0) < 0 < д(1) и
тт(4 J (д'(t))2 dt + J (g'(t)fdt,
О (о
/
(g'(t)fdt + 4j(g'(t))2dtj^l,
где точка to такова, что g(to) = 0, и установил закон повторного логарифма для упорядоченных сумм.
А. М. Вершик и Ю. А. Давыдов рассматривали последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин Хп : П — R1 х R+ с конечным математическим ожиданием и строили ломаные с вершинами в точках (n'Si=i-^0- Выпуклой перестановкой этой ломаной будет ломаная со звеньями, переставленными в порядке возрастания угла в{, образованного этими звеньями с осью абсцисс. Рассматривается параметризация ломаной (L„ (f),L„ (t)) точкой касания ломаной и прямой, образующей угол t с осью абсцисс. При п — со при нормировке эти ломаные будут сходиться к детерминированной кривой (h(t),l2(t)), где li(t) = Ерх cos0iI[O;1](0:) и l2(t) - Ер! sin0il[O;i](0i). Изучением выпуклых перестановок занимался также В. Б. Невзоров.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Исследование монотонных и выпуклых перестановок устойчивых процессов и процессов Wc.
— 5 —
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертационной работе использованы различные формы принципа инвариантности, а также теоремы о сходимости рядов из случайных величин. Ряд результатов базируется на теории порядковых статистик.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие новые результаты:
Найдены распределения монотонных перестановок устойчивых процессов и функция распределения монотонной перестановки процесса Wc.
Изучено действие оператора монотонной перестановки на единичные шары в различных функциональных пространствах и получены законы повторного логарифма в форме Штрассена для монотонных перестановок двумерного вк-нерозского и киферовского процессов.
Найден вид выпуклых перестановок устойчивых процессов при неравномерном разбиении отрезка и выпуклых перестановок процессов Wc.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании винеровского процесса, процесса броуновского моста и устойчивых процессоз, например, при изучении их локальных времен. Использованные методы можно применять и для изучения асимптотического поведения сумм независимых случайных величин и эмпирических процессов.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации были представлены на семинарах по теории случайных.процес-сов и по предельным теоремам теории вероятностей Санкт-Петербургского университета, на международной конференции, посвященной памяти А. Н. Колмогорова (март-апрель
— 6 —
1993, Санкт-Петербург) и на конференции молодых ученых механико-математического факультета Киевского университета им. Тараса Шевченко (май 1992, Киев).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликована 1 работа.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и сниска литературы, содержащего 68 наименований. Общий объем работы 101 машинописная страница.
