Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Одномерные антенные решетки Введение в теорию фракталов 9
1.1. Алгоритмы построения некоторых классических фрактальных функций 11
1.2. Построение одномерных антенных решеток с фрактальным распределением тока 19
1.3. Функции Кравченко-Вейерштрасса при анализе и синтезе антенных решеток с фрактальными характеристиками излучения 30
Глава 2. Двумерные антенные решетки
2.1. Двумерные фрактальные антенные решетки, построенные на основе классических фрактальных функций и функций Кравченко 47
2.2. Фрактальные антенные решетки на основе нового класса атомарно-фрактальных функций Кравченко 54
2.3. Анализ и синтез многодиапазонных двумерных фрактальных антенных решеток 61
Глава 3. Кольцевые антенные решетки
3.1. Основные соотношения 84
3.2. Линейные решетки 87
3.3. Плоские квадратные решетки 88
3.4. Плоские треугольные решетки 92
3.5. Гексагональные решетки 100
3.6. Численный эксперимент и анализ полученных результатов 104
Заключение 106
Литература 107
- Построение одномерных антенных решеток с фрактальным распределением тока
- Функции Кравченко-Вейерштрасса при анализе и синтезе антенных решеток с фрактальными характеристиками излучения
- Фрактальные антенные решетки на основе нового класса атомарно-фрактальных функций Кравченко
- Численный эксперимент и анализ полученных результатов
Введение к работе
История развития идей фрактальной геометрии [1-9] тесно связана с именами таких известных математиков, как Больцано, Вейерштрасс, Хан-кель, Дарбу, Пеано, Хаусдорф, Кох, Серпинский, Безикович, Ван-дер-Варден и др. Так, Вейерштрасс впервые ввел в обращение непрерывную, но нигде недифференцируемую функцию, а Хаусдорф в 1919г.- понятие о дробной размерности множеств и привел первые примеры таких множеств. Среди них были канторовское множество, кривая Коха и другие экзотические объекты, в то время малоизвестные за пределами чистой математики. Оригинальные идеи Хаусдорфа впоследствии были существенно развиты Безиковичем. Таким образом, наступила эра фрактальной геометрии. Язык фрактальной геометрии стал необходимым для обоснования применения фрактальной теории в задачах синтеза антенн.
Фракталы представляют собой класс геометрических объектов с уникальными свойствами, которые уже более 10 лет интересуют специалистов в области радиофизики. Основой новой геометрии является идея самоподобия. Она отражает тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при изменении масштаба. Здесь следует провести разницу между геометрией Евклида, имеющей дело исключительно с гладкими кривыми, и бесконечно изрезанными само-подобными фрактальными кривыми. Элементы кривых у Евклида всегда са-моподобны, но тривиальным образом: все кривые являются локально прямыми, а прямая линия всегда самоподобна. В идеале фрактальная кривая на любых, даже самых маленьких масштабах не сводится к прямой и является в общем случае геометрически нерегулярной, хаотической. Заметим, что многие крупные достижения науки о фракталах стали возможны только с использованием методов вычислительной математики.
Актуальность работы. Сегодня известно применение фракталов в электродинамике, обнаружении малоконтрастных целей в радиолокации, в теории синтеза антенн. Фрактальные модели антенных объектов обычно строятся на основе различных математических алгоритмов с использованием современной компьютерной графики. В радиофизике и антенной технике фракталы применяются не так давно: широко представленные публикации на эту тему появились в начале 90-х годов. С точки зрения фрактальной теории исследовалось использование миниатюризированных фрактальных элементов в решетках для повышения плотности упаковки и понижения взаимосвязей, что приводит к увеличению ширины углов сканирования [3]. Кроме того, изучаются способы оценки свойств пространственного заполнения фрактальных форм и ДН таких антенн [19-22, 80-88]. С этой точки зрения фрактал
может являться кривой, которая приближается к поверхности: из свойств размерности Хаусдорфа-Безиковича следует, что линия может быть искривлена таким образом, чтобы почти полностью заполнять некоторую поверхность. Свойство пространственного заполнения позволяет получить кривые, которые являются электрически длинными, но физически компактны и занимают малую площадь. Благодаря этому свойству можно добиться миниатюризации антенных элементов.
На данный момент принята определенная терминология для лучшего понимания фракталов и их применений в практических задачах. С точки зрения человеческого восприятия, фрактал кажется бесконечно сложным при больших и малых масштабах. Форма фрактала, после усечения глубины итерационного процесса, названа предфракталом [3]. Обычно предфракталом называют геометрическую форму, обладающую таким уровнем самоподобия, который не различим в практических задачах. Для антенны это означает, что её сложность растет при увеличении числа рабочих диапазонов частот. На практике это позволяет реализовать бесконечно сложную структуру, которую можно проанализировать математически.
Актуальность задач анализа и синтеза антенных решеток с использованием фрактальных методов обусловлена прежде всего тем, что непрерывно повышается сложность антенных систем, увеличивается число их элементов, усложняются схемы возбуждения и, как следствие, усложняются алгоритмы анализа и синтеза. Использование новых разработанных методов, особенно для больших решеток, позволяет существенно упростить вычислительные алгоритмы и, в ряде случаев, получить новые физические эффекты, благодаря свойству самоподобия: каждая из решаемых задач сводится к некоторым подзадачам, отличающихся только масштабными коэффициентами. В настоящей работе предложены принципиально новые методы анализа и синтеза антенных решеток, основанные на применении теории атомарных функций и фрактальной геометрии. Математические модели разрабатываемых фрактальных антенных решеток основаны на классических теоретических разработках [47, 61, 62], а полученные результаты являются адекватными поставленной задаче.
Целью диссертационной работы является исследование и разработка методов моделирования характеристик излучения одномерных и двумерных антенных решеток с точки зрения теории атомарных функций и фрактальной теории, а также разработка и обоснование оригинальные алгоритмов для анализа и синтеза фрактальных антенных решеток с фрактальными диаграммами направленности (ДН), фрактальной структурой расположения элементов и фрактальным распределением тока.
Практическая значимость применения фракталов в задачах анализа и синтеза антенн. Современные антенные системы требуют эксплуатационной гибкости и минимальных размеров. Часто требуется найти системы, которые могут работать на максимальном количестве диапазонов частот или имеют возможность перестройки при возникновении необходимости изменения антенной системы. Кроме того, важно учитывать затраты на проектирование систем, как вычислительные, так и материальные. Некоторые задачи требуют от антенн максимально возможной миниатюризации. Значимость полученных в работе результатов связана с систематизацией новых методов исследования фрактальных антенных решеток, а также в дальнейшем развитии и со-вершенствовании теории атомарно-фрактальных функций и генераторных функций на их основе. Обоснованные и разработанные методы и оригинальные алгоритмы могут найти применение при решении широкого класса задач радиофизики, включая задачи анализа и синтеза фрактальных излучателей, фрактальных многочастотных антенных решеток, используемых в радиолокации, радиосвязи, дистанционном зондировании Земли и др. Предложенные и обоснованные методы доведены до численной реализации. Это позволило выявить определенные закономерности и особенности исследуемых физических процессов, связанных с их фрактальной природой.
Методы исследования. Для достижения этих целей в работе были предложены различные методы применения фракталов и атомарных функций в теории антенн. На рис.В.1 показаны всевозможные варианты и области применения фракталов в антенной технике.
Фрактальные антенны
Рис. В.1. Схема, иллюстрирующая исследования в области фракталов применительно к задачам анализа и синтеза антенн.
При физическом моделировании существует два способа использования фракталов для улучшения параметров антенны. Первый способ заключается в разработке миниатюризированных антенных элементов. Второй метод состоит в использовании самоподобия формы антенны для достижения многодиапа-зонности или появлению более чем одной резонансной частоты у антенны. Это позволяет также объединить несколько компонентов системы в одной антенне, получая адаптивные системы. На рис. В.2 представлены способы изготовления фрактальных антенн, а также методы моделирования и основные математические алгоритмы.
Рис. В.2 Способы изготовления и методы моделирования, которые используются в исследованиях фрактальных антенн
Научная новизна. В работе рассматривается синтез фрактальных диаграмм направленности антенных решеток с заданной размерностью Хаус-дорфа-Безиковича, проведено исследование антенных решеток с фрактальным распределением токов, а также приведены и обоснованы оригинальные алгоритмы синтеза кольцевых антенных решеток с заданной фрактальной структурой на основе атомарных функций. Изучено влияние различных параметров фракталов и вводимых генераторных функций Кравченко на физи-ческие характеристики антенных решеток, впервые изучено влияние спа-
дающих токовых распределений при синтезе многодиапазонных неэквидистантных антенных решеток.
При математическом моделировании физических процессов большая часть исследований связана с характеристиками ДН антенны и способами формирования главного луча. Здесь объединены несколько подходов: в алгоритмах анализа и синтеза антенн использовались как классические фрактальные функции, так и впервые комбинированные атомарно-фрактальные. Применение новых классов атомарно-фрактальных функций позволило устранить некоторые принципиальные ограничения, характерные для классических фрактальных функций и получить оригинальные результаты. Так, антенны, построенные с использованием фракталов, можно условно разделить на следующие большие группы: антенны, имеющие фрактальную ДН, антенны с токовым распределением, построенным по фрактальному закону и антенны, имеющие фрактальную структуру расположения элементов.
В первой главе рассмотрены методы анализа и синтеза одномерных антенных решеток с фрактальным токовым распределением (данный тип решеток имеет относительно низкий уровень боковых лепестков, высокий коэффициент направленного действия (КНД), но требователен к точности изготовления и расположению излучателей и, в общем, свойства таких решеток близки к классическим) и решеток с фрактальной ДН (синтезируются введением эквидистантных антенных подрешеток - генераторных функций). Во второй главе рассматривается класс двумерных фрактальных антенных решеток, построенных с использованием классических фрактальных функциий: Больцано, Ван-дер-Вардена, Безиковича и комбинаций их с атомарными функциями. Также во второй главе предложен новый метод синтеза многочастотных антенных решеток на основе весовых функций (окон) Кравченко. В третьей главе предложены методы конструирования кольцевых фрактальных решеток с фрактальной структурой расположения элементов, проведен численный эксперимент и изучено влияние геометрической формы на поведение их основных энергетических характеристик, введено токовое распределение, основанное на теории атомарных функций. Показана эффективность предложенных конструкций фрактальных кольцевых решеток и указаны пути их практической реализации. В работе имеется 4 приложения, в которых приведены: основные положения фрактальной теории, разработанные алгоритмы построения некоторых фрактальных функций, дополнительные графики ДН антенных решеток с фрактальным распределением тока и графики ДН многочастотных антенных решеток.
Основные положения, выносимые на защиту. Автором получены и выносятся на защиту следующие результаты:
новые алгоритмы построения ряда классических фрактальных и нового класса атомарно-фрактальных функций;
основные свойства атомарно-фрактальных функций, а также их применимость в антенной технике;
методы анализа и синтеза одномерных и двумерных антенных решеток с фрактальным распределением тока. Показано, каким образом можно достичь вычислительной эффективности алгоритмов. Проведена оптимизация алгоритмов с целью их упрощения;
алгоритмы синтеза многодиапазонных фрактальных антенных решеток с использованием нового класса весовых функций (окон). Проанализированы основные свойства нового класса весовых функций (окон). Получены зависимости числа диапазонов, уровня боковых лепестков, ширины главного луча от параметров весовых функций;
алгоритмы построения фрактальных антенных решеток, основанных на применении кольцевых генераторных подрешеток.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на всероссийских и международных конференциях, в том числе: IV-th International Conference on Antenna Theory and Techniques, Sevastopol, Ukraine, September, 9-12, 2003; IX Всероссийская школа-семинар "Физика и применение микроволн" (Звенигород, 2003); The fifth international Kharkov symposium on physics and engineering of microwaves, millimeter and submillimeter waves, Kharkov, Ukraine, June 21-26, 2004; The IASTED International Conference on Antennas, Radar, and wave propagation, July 8-10, 2004, Banff, Canada; Всероссийская школа-конференция по дифракции и распространению волн в Российском Новом Университете (Москва, 2002).
Выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.Ф. Кравченко за постановку задач, постоянное внимание при выполнении диссертационной работы и ценные замечания при ее обсуждении.
Построение одномерных антенных решеток с фрактальным распределением тока
Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на всероссийских и международных конференциях, в том числе: IVh International Conference on Antenna Theory and Techniques, Sevastopol, Ukraine, September, 9-12, 2003; IX Всероссийская школа-семинар "Физика и применение микроволн" (Звенигород, 2003); The fifth international Kharkov symposium on physics and engineering of microwaves, millimeter and submillimeter waves, Kharkov, Ukraine, June 21-26, 2004; The IASTED International Conference on Antennas, Radar, and wave propagation, July 8-10, 2004, Banff, Canada; Всероссийская школа-конференция по дифракции и распространению волн в Российском Новом Университете (Москва, 2002).
Выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.Ф. Кравченко за постановку задач, постоянное внимание при выполнении диссертационной работы и ценные замечания при ее обсуждении.
Понятие размерности. Для гладких многообразий понятие размерности определяется достаточно легко, так как оно сводится к представлению о размерности евклидова пространства. Размерность многообразия - это размерность евклидовых областей, из которых оно состоит. В математике, механике, физике встречаются множества, для которых понятие размерности нуждается в уточнении и, более того, для которых можно определить не одну, а несколько различных размерностей, которые могут не совпадать [l-ll, 13-17]. Строго говоря, разные понятия размерности можно определить для произвольного топологического пространства. Для "обычных пространств", к которым относятся многообразия, конечные полиэдры, все эти числа (размерности) совпадают. Однако при рассмотрении более сложных объектов разные понятия размерности приводят, в общем, к разным числам. Раньше считалось, что такие явления присущи узкому классу пространств, редко встречающихся на практике, например, в некоторых областях физики. Не так давно выяснилось, что аномальные с точки зрения размерности объекты встречаются в классических областях математики, связанных с конкретными физическими приложениями, например, в теории дифференциальных уравнений, динамических систем (так называемые "странные аттракторы"), радиофизике [8, 9] и т. п. Поэтому были выработаны понятия "фрактал" и "фрактальная геометрия" [3-5]. В рамках этого научного направления изучается целый комплекс вопросов, возникающих при изучении "локально сложных" объектов.
Основные свойства фракталов. Основным свойством фракталов является нецелое значение их размерности. Рассмотрим два определения размерности множества Л: индуктивную размерность нкЫ [10] и размерность Лебега dim/4 [40, 41]. Множество А имеет indA п, где п - целое, если ко всякой окрестности Ох точки х є А можно найти окрестность О, х є Ох граница G которой имеет размерность indG n-l. Пустое множество имеет размерность 1. Множество нульмерно, если каждая его точка обладает произвольно малыми окрестностями с пустой границей. Примерами нульмерных множеств являются каждое непустое конечное или счетное множество, множество действительных рациональных и иррациональных чисел, любое множество действительных чисел, не содержащих никакого интервала и др. Размерность Лебега для множества А определяется кратностью покрытий. Размерность dim Л множества А есть наименьшее число п такое, что при любом малом числе є 0 найдется замкнутое покрытие кратности dim А п + \. Для любого множества справедливо неравенство dim(/ #) dim/i + dimZ? + l, а любое w-мерное множество может быть представлено как сумма меньшего числа нульмерных множеств.
Из теории размерности [41] известно, что индуктивная и лебегова размерности одного и того же множества совпадают: dim А = икЫ. Из этого следует, что любое метрическое со счетным базисом множество А размерности dim « можно топологически включить в евклидово пространство Е с размерностью dim(2/i +1). Число (2и + 1) невозможно понизить, т.е. включить произвольное л-мерное пространство в евклидово пространство Е2п.
Понятие дробной размерности опирается на понятия целой евклидовой Е или топологической размерности D0. Фракталы можно рассматривать как множества точек, вложенных в пространство. В частности, точка имеет топологическую размерностьD0 = 0, гладкие кривые - окружности, прямые и т.п. имеют евклидову размерность D0 = 1, размерность поверхности D0= 2, объемных тел D0 = 3, гипертел - более высокие значения D0. Развитие теории размерности началось с работ Пуанкаре, Лебега, Брауэра, Урысона и Менгера. Существуют различные определения типа размерности [1-5, 10, 11]. Их можно подразделить на две группы: характеристики меры, полученные из чисто геометрических соображений, и характеристики, связанные с теорией информации.
Функции Кравченко-Вейерштрасса при анализе и синтезе антенных решеток с фрактальными характеристиками излучения
Проанализируем полученные результаты. Из табл. 1.1 следует, что применение фрактальных функций при синтезе эквидистантной решетки является эффективным. Например, при N=4, N=64 (для генераторной подрешетки на основе функции Больцано) уровень первого бокового лепестка меньше, чем у некоторых антенн, построенных традиционным способом (равномерное распределение тока) и меньше, чем у ФрАР, построенных с использованием канторовского распределения тока [21]. ФрАР, построенная на генераторной подрешетки на основе функции Ван-дер-Вардена имеет уровень боковых лепестков не хуже, чем у треугольного распределения тока. ФрАР на основе функции Ван-дер-Вардена имеет самый высокий КНД среди рассматриваемых функций (до 107 дБ при N = 64), что объясняется низким средним уровнем боковых лепестков и их затуханием.
Рассмотрим направленные свойства исследуемых ФрАР, антенных решеток с равномерным распределением тока и решеток с канторовским распределением тока. Для случая равномерного распределения КНДи2М//Я. Для канторовского распределения в [21] приведены следующие физические параметры: N = 3, КНД = 2; N = 9, КНД = 4; N = 27, КНД = 7,92. Из табл. 1.1 следует, что КНД фрактальной решетки, построенной на основе функции Больцано при небольшом числе элементов (N 32), практически совпадает со значениями КНД для канторовского распределения. При дальнейшем увеличении числа элементов решетки N КНД для канторовского распределения возрастает со скоростью 2Р, а КНД для распределения тока по функции Больцано возрастает быстрее экспоненциальной зависимости. Таким образом, при больших N для канторовского распределения тока имеем // = 81, КНД = 32дБ; N = 243, КНД = 64 дБ; для Больцано - N = 64, КНД = 89,26 дБ.
Для антенной решетки на основе функции Безиковича КНД растет практически линейно при увеличении Полученное значение КНД = 70,48 дБ; при N = 64 (ожидаемое 88 дБ) объясняется высокой "из резанностью" ДН (рис. 1.19, б) и недостаточной точностью численного интегрирования при выбранном числе точек. Увеличение точек интегрирования позволяет улучшить точность, но значительно усложняют вычислительные алгоритмы.
Уменьшение расстояния между элементами (см. случай d = XI% табл. 1.1) позволяет получить множитель направленности ФрАР на основе функции Безиковича с более низким уровнем боковых лепестков. Так, при N = 64 уровень первого бокового лепестка уменьшается на 3,7 дБ, уровень максимального бокового лепестка падает на 2,5 дБ. При этом значительно ухудшаются направленные свойства антенны (уменьшается КНД) и пропорционально увеличивается ширина главного лепестка. Для ФрАР на основе функции Больцано, в силу особого вида множителя направленности, получаем пропорционально увеличенную (в 2 раза) ширину главного лепестка, а максимальный уровень боковых лепестков приходится на первый боковой лепесток.
Рассмотрим задачу синтеза антенных решеток с фрактальными характеристиками излучения на основе генераторных функций [21, 23]. В отличие от приведенного выше метода построения генераторной подрешетки теория фрактального синтеза основывается на идее реализации электродинамических характеристик излучения с повторяющейся структурой [21]. Такой подход позволяет установить новые режимы работы для фрактальных антенных решеток. Здесь применяется преобразование Фурье-Вейерштрасса, которое широко используется для синтеза решеток с фрактальными характеристиками излучения. Оригинальность подхода заключается в использовании комбинаций функций Кравченко-Больцано, Кравченко - Ван-дер-Вардена, Кравченко-Безиковича в качестве генераторных. Для удобства изложения класс функций, впервые предложенный Кравченко [23,25-28] совместно с преобразованием Фурье-Вейерштрасса будем называть функциями Кравченко-Вейерштрасса. Функции Вейерштрасса [13] обладают следующими свойствами: непрерывные, нигде недифферен-цируемые, фрактальные на всех масштабах. Рассмотрим более подробно функцию Вейерштрасса и ее свойства [50].
Функция W(t) = J] - тщ-п—-, где 1 D 2, у 1, срп - заданная фаза, является непрерывной, нигде не дифференцируемой. Ее действительная и мнимая части имеют фрактальную размерность Хаусдорфа-Безиковича D. При рп = цп получаем детерминированную функцию W, свойства которой могут быть изучены аналитически при ис- пользовании формулы суммирования Пуассона. Выбор случайного рп приводит к стохастической W, ее приращение W{t + r)-W{t) статистически стационарно, с квадратом средней величины и является гладкой функцией, если 1.0 ZK1.5 и фрактальной, если 1.5 К2.0. Свойства проиллюстрированы полученными графиками для нескольких значений D (включая некоторые «критические» случаи: D = 1, когда ряд для сходится, несколько значений / с детерминированной и случайной фазой рп для О / 1 и приведены графики на увеличенном диапазоне 0.30 / 0.31.
В 1977 г. Мандельброт рассмотрел полученную в 1873 Вейерштрас-сом функцию [5], которая, несмотря на то, что всюду непрерывна, является нигде недифференцируемой. Он показал, что функция Вейерштрасса фрак-тальна в том смысле, что ее график - кривая, размерность Хаусдорфа-Безиковича которой больше единицы. Фрактальность функции подразумевает то, что для нее невозможно достичь никакого самого малого масштаба, т.е. функция бесконечно масштабируема. Но максимальный уровень масштабирования должен существовать с точки зрения вычислительного моделирования. Поэтому Мандельброт предложил следующее обобщение функции Вейерштрасса, которая не имеет никакого масштаба вообще:
Выбор D определяет размерность Хаусдорфова-Безиковича функции Ж(/), которую обозначим Re Ж и Im W, если W - комплексная функция; у - параметр и срп - фаза, могут быть выбраны таким образом, чтобы W имела детерминированные или стохастические свойства. Частоты у" формируют "спектр Вейерштрасса", перекрывая диапазон от нуля до бесконечности в геометрической прогрессии. Это подчеркивает тот факт, что W имеет бесконечную масштабируемость. Учитывая это, отметим, что по у и D ряд для W(f) сходится, но не сходится ряд dW/dt. Будем называть W "функцией Вейерштрасса-Мандельброта". Ввиду ее математической важности и потенциальной применимости в радиотехнических приложениях, функция W(f) требует детального аналитического и вычислительного изучения.
Фрактальные антенные решетки на основе нового класса атомарно-фрактальных функций Кравченко
На рис. 2.9-2.12, а также в приложении 3 приведены основные физические зависимости (ДН, КНД) ФрАР, построенных на основе комбинаций синтезированных функций Кравченко-Больцано, Кравченко-Ван-дер-Вардена, Кравченко-Безиковича по правилу, аналогичному (2.4). Физические параметры антенной решетки при N от 32 до 256 (решетки от 32х 32 до 256x256 элементов), dx dy = A/2, #0=90 приведены в табл. 2.3.
Анализ этих параметров показывает, что ФрАР для исследованных фрактальных функций имеют более низкий уровень использования апертуры по мощности по сравнению с гладкими распределениями тока. Высоким коэффициентом использования обладают только решетки с распределением тока по функции Ханкеля (из-за формы фрактальной функции) при низком уровне боковых лепестков.
Полученный эффект имеет следующую физическую природу: а) при фрактальном распределении тока (фрактальной функции) имеется большое число максимумов и минимумов на интервале определения, по этому при суммировании значений токов на каждом излучателе получаем низкий коэффициент использования; б) при уменьшении боковых лепестков (использовании спадающих к краям решетки распределений тока), также уменьшается коэффициент использо вания апертуры по мощности. При применении ФрАР, приведенных на рис. 2.2 — 2.6 (распределение тока на основе знаков производных атомарных функций и фрактальной функции Больцано), получается коэффициент использования равный 1, однако эти ФрАР имеют уровень боковых лепестков от -6 до -10 дБ. При увеличении числа элементов решетки уровень боковых лепестков понижается до -20 дБ, что вполне допустимо для практических задач. Можно сделать вывод, что использование таких решеток целесообразно при больших значениях элементов решетки (64x64 и более) и при требовании обеспечения максимального коэффициента использования.
Некоторые антенные решетки (функция Ван-дер-Вардена fVDV, Крав ченко-Ван-дер-Вардена fKVDyi) имеют узкий главный лепесток при низком уровне боковых лепестков для фрактальных антенн (до -30 дБ).
Неэквидистантные антенные решетки, построенные, например на функции Кравченко-Безиковича, при малом значении среднеквадратиче-ской ширины раскрыва позволяют увеличивать значение / А/2, т.е. дополнительно, без увеличения числа излучателей, повышать КНД и сужать главный лепесток. Такой эффект необходим для антенн с электрическим сканированием.
Рассмотрим метод анализа и синтеза, а также построения двумерных диаграмм направленности излучения самоподобных фрактальных много-диапазоных решеток на основе нового класса атомарно-фрактальных функций (окон). Проанализируем основные свойства таких окон, их эффективность. Приведем сравнение физических характеристик предложенных окон с известными: Блэкмана, Блэкмана-Харриса, Кайзера-Бесселя, Чебышева.
На основании результатов, предложенных и обоснованных в [49, 52-57] рассмотрим новый метод проектирования многодиапазонных двумерных антенных решеток, основанный на применении фрактальной геометрии. Особенность такого подхода основана на синтезе перестраиваемых многодиапазонных двумерных решеток, обладающих свойствами самоподобия фрактальных диаграммам излучения, а также с требуемой шириной главного лепестка и заданным уровнем боковых лепестков. При этом необходимо выполнение следующего условия: отсутствие дифракционных максимумов решетки в заданном диапазоне частот. Приведем схему процедуры перестраивания диапазонов частот при синтезе многодиапазонных фрактальных диаграмм направленности.
Этот подход широко известен и используется при синтезе диаграммы направленности излучения (ДН) для эквидистантных линейных решеток [53, 59]. Один из недостатков метода синтеза: при его использовании получаются эквидистантные узкополосные антенные решетки. Следовательно, при перестройке частоты (ее увеличении) ДН сильно искажается.
Основная идея состоит в том, чтобы можно было разработать метод синтеза многодиапазонных фрактальных решеток. Известно [53, 59], что самоподобная фрактальная ДН может быть сформирована наложением излучений от последовательности линейных решеток. Интервалы между элементами таких линейных решеток и распределение токов в них необходимо найти для определенной полосы частот.
Численный эксперимент и анализ полученных результатов
Из рис. 2.24, 2.25 следует, что при использовании окна с высоким относительным уровнем боковых лепестков можно наблюдать следующее явление: излучение элементов от подрешеток высокого уровня (Р=3,4) маскируется боковыми лепестками подрешеток низкого уровня (Р=1,2) (рис. 2.25). При этом искажается самоподобная структура характеристики излучения. Этот эффект не позволяет синтезировать фрактальные многодиапазонные решетки с большим количеством полос. Анализ применения других весовых функций с различным уровнем боковых лепестков, разной шириной главного луча и отличающимися значениями корреляции перекрывающихся участков показал, что предпочтительно использовать окна Кравченко, имеющие бесконечную скорость спада боковых лепестков. Уникальные свойства новых окон позволяют в широких пределах изменять параметр Д, что упрощает синтез фрактальной ДН.
Схема переключения диапазонов. Проанализируем действие алгоритма, разработанного на основании [59] и теории АФ [49, 53], в котором важным является схема переключения диапазонов фрактальных решеток. Как следует из [59], проблема многодиапазонных решеток заключается в том, что при переключении от самой высокой полосы к самой низкой существенно ухудшаются ее физические параметры. Это связано с тем обстоятельством, что для разных диапазонов изменяется относительный интервал между элементами решетки. Например [59], исследуется фрактальная решетка с четырьмя полосами и коэффициентом Ламе: s = 3. Предположим, что минимальное расстояние между ее элементами: d0 = A0/2 для самой высокочастотной полосы (f = f0). При переходе к следующей поло-се (/ = УЇ =/о/3) минимальное расстояние между элементами: dx =Д,/6. Аналогично, для третьей полосы (f = f2=fo ) и четвертой (/ = /3=/0/27), определим: /2 =/ /18 и йг-? 1Ь . Как видно (на практике), такие фрактальные решетки испытывают существенную взаимную связь от близости элементов: особенно в самой низкочастотной области. Для преодоления этой проблемы в [59] и в данной работе, была введена схема переключения полос, состоящая в поочередном отключении "подлу-чей" с большей частотой. Для физической реализации такого подхода используются уникальные свойства самоподобия исследуемых фрактальных решеток. При этом необходимо использовать минимальное число элементов, которые включаются или отключаются при переключении полос.
Следовательно, метод проектирования многодиапазонной решетки начинается с выбора соответствующего коэффициента s и необходимого числа полос частот Р. Отдельные полосы фрактальной решетки будут расположены в полосах с центрами: f0, f0ls, f0/s2,..., f0/sp l. Для самой высокочастотной полосы (f = f0), все подрешетки возбуждены. Когда решетка переключается на вторую полосу (f = f0/s), то первая подрешетка (р = 1) выключается. Для решетки, переключающуюся на третью полосу (/ = fQ/s2), первые и вторые подрешетки (р = \ и р = 2) выключаются. Такой процесс повторяется до самой низкой полосы частот (/ = f0/ sp 1). При этом все подрешетки отключаются, исключая последний каскад.
Рассмотрим на конкретных примерах метод синтеза многодиапазонной ДН излучения основанный на весовых функциях Кравченко [49]. Предположим, что требуется синтезировать многодиапазонную фрактальную решетку с частотами центра полосы: f0 f0/3,..., f0/27. В этом случае коэффициент Ламе s = 3, а число заданных полос Р = 4. На рис. 2.26 приведем контурные ДН и сечения в плоскости излучения ху при ф = 0 для каждой из этих четырех полос. Выбранное окно Кравченко на основе функции Н7( у) обеспечивает уровень боковых лепестков -96 дБ. Для данного окна при А = 1 ширина луча для одного каскада не превышает 11.8 по уровню —ЗдБ. Ширина луча зависит от числа и номера полосы, но при ys 6..10 последующие каскады вносят несущественные изменения в характеристики основного лепестка. Для всех дальнейших вычислений примем у - 4. При таком выборе у получаем уровень главного лепестка последующего каскада по отношению к предыдущему -21.6 дБ. На практике, учитывая влияние боковых лепестков и конечное значение элементов фрактальной антенной решетки, получаем несколько меньшее значение: -16..-20дБ. Принятое значение у = 4 удобно при анализе, т.к. при Р = 4 имеем уровень боковых лепестков последнего каскада —80 дБ по отношению к первому. Интервал между элементами d0 - AQ/2 В самой высокой полосе частот решетки (/ = f0). На рис. 2.26 показаны контурные планы ДН (а-г) и сечения ДН (д-з) в плоскости ху ((р = 0) для каждой из полос. Из рис. 2.26 а-з следует, что уровень боковых лепестков первого уровня фрактальной решетки равен -180...-200 дБ. Следовательно, имеется значительный запас по УБЛ, позволяющий построить 5-диапазонную фрактальную решетку. Такая схема переключения полос позволяет выдерживать полуволновой интервал между активными элементами фрактальной решетки.
Алгоритм разрежения решетки. Свойства весовых функций, с помощью которых синтезируются самоподобные фрактальные ДН излучения могут использоваться для построения алгоритмов "разрежения". Такая процедура включает в себя минимизацию размера антенной решетки и уменьшение ее числа элементов. Рассмотрим этапы алгоритма разрежения, который был использован для рассматриваемых типов многодиапазонных фрактальных решеток.
Предварительно покажем, каким образом можно оценить число элементов решетки. Общее число элементов в решетке (2N + \)x(2N + 1) с числом каскадов Р можно подсчитать по алгоритму, графически представленному на рис. 2.27:
