Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая работа лежит на пересечении двух таких крупных разделов современной теории вероятностей, как теория массового обслуживания и теория экстремумов.
Основополагающей в теории экстремумов является работа Гне-денко (1943), посвященная максимумам независимых одинаково распределенных случайных величин (н.о.р.с.в)). Итоги развития теории экстремумов за несколько десятилетий подведены в монографиях Лидбеттера и др. (1989) и Галамбоша (1984), а также обзоре Галам-боша "О развитии математической теории экстремумов за последние полвека" (1994).
Изучение максимумов случайных процессов общего вида представляет собой практически неразрешимую задачу. Однако она существенно упрощается, когда речь идет о различных процессах массового обслуживания. Коэн (1967) нашел распределение максимума числа заявок на периоде занятости в системах М|G|1 и G|M|1. Наиболее простым результат оказался для системы М|М]1. На этом примере Андерсон (1970) продемонстрировал применение своих теорем о максимумах случайных величин с дискретным распределением, получив стохастические оценки для максимума числа заявок. Хейде (1971) исследовал максимум длины очереди в системе G|M]1. В монографии Коэна (1982) доказаны теоремы о максимумах числа заявок, виртуального и актуального времени ожидания в системах M|G|1 и GjMjl. Более общую задачу решил Иглехарт (1972), исследуя систему GjG|l. В целом вопрос о максимумах процессов обслуживания в однолинейных системах представляется достаточно изученным — в отличие от случая нескольких или бесконечного числа приборов (как в настоящей работе).
Большой шаг в этом направлении сделан Бушери (1994), изучавшим поведение максимумов в очередях, описываемых процессами рождения и гибели. Этот класс включает в себя системы с произвольным числом приборов и произвольными интенсивностями поступления и обслуживания в зависимости от числа заявок в системе. Для различных подклассов получена асимптотика максимума числа заявок. К сожалению, метод исследований неприменим к случаям общих (немарковских) времен обслуживания и группового поступления, а также меняющихся во времени параметров системы. Эти случаи исследованы в настоящей работе другими методами.
К сожалению, система М и ее различные обобщения, по-видимому, традиционно считались менее заслуживающими внимания, чем системы с конечным числом приборов. Правда, в последние годы наблюдается некоторый интерес к системам Mx\G\oa с неод-
нородными заявками (Конг, 1994) и зависимыми временами обслуживания (Фалин, 1994) .
Справедливости ради следует отметить, что обобщения системы M\G\co имеют самые разнообразные приложения как в сфере массового обслуживания, так и за ее пределами. Речь, в частности, может идти о моделях телефонной сети (Андронов, 1972), стоянки автомобилей (Фрейер, 1974), дорожного движения (Браун, 1969), систем самообслуживания и выплаты компенсаций (Холман и др., 1983), медицинского обслуживания (Коллингс и Стоунман, 1976), систем с разделением времени (Веретенников, 1977), информационной сети (Андронов, 1994) и др. Следует отметить также возможные интерпретации в терминах теории надежности и теории страхования.
Что касается поведения максимумов числа заявок в бесконечноли-нейных системах, то этот вопрос достаточно важен, так как имеет прямое отношение к основной предпосылке — "бесконечности" числа приборов. Поскольку в реальности это число всегда конечно, важно знать, насколько быстро растет со временем число задействованных приборов и насколько адекватна в таком случае бесконечнолинейная модель. Разумеется, в приложениях, не связанных прямо с массовым обслуживанием, допустимы и другие интересные интерпретации.
Естественным обобщением процессов обслуживания в бесконечно-линейных системах оказываются процессы, являющиеся также обобщением так называемых процессов дробового шума. Экстремумы некоторых видов процессов дробового шума изучались, в частности, в работах Хсинга и Тойгельса (1989), Доуни и О'Брайена (1991), Хом-бла и Маккормика (1995). Был получен ряд предельных теорем для максимумов дробового шума, однако мультипликативный вид слагаемых, а также условия, накладываемые на функции отклика и распределения амплитуд, представляются весьма специфическими. В настоящеп работе рассматривается более широкий класс процессов (обобщенного) дробового шума.
Наряду с системами, в которых эффект от импульса (например, поступления группы заявок) со временем стремится к нулю, рассматривается и случай, когда, напротив, этот эффект растет и сходится к некоторой ненулевой случайной величине. Подобные явления изучал, например, Цициашвили (1995), описывая процесс переноса излучения при помощи бесконечнолинейной системы массового обслуживания. Для их исследования в настоящей работе вводятся процессы интегрального дробового шума. Показано, что различные интерпретации возможны как в теории массового обслуживания, так и в теории страхования. Случай постепенного (ступенчатого) процесса страховых выплат рассматривался, например, Норбергом (1993). В настоящей работе рассматривается более общая ситуация. Исполь-
зуется метод диффузионной аппроксимации, весьма популярный в последнее время.
Цели работы. Основными целями работы является изучение асимптотического поведения экстремумов процессов в бесконечно-линейных системах массового обслуживания и их различных обобщений, развитие методов двустороннего оценивания таких экстремумов, доказательство предельных законов для них как вырожденного, так и невырожденного характера.
Научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы. В работе получены следующие (новые) теоретические результаты:
получена асимптотика почти наверное для максимумов числа заявок как в системах Мх с ограниченным размером групп, так и для широкого класса систем этого типа с неограниченным размером групп;
изучено поведение максимумов в системах типа М с параметрами, зависящими от времени или от состояния системы;
доказаны теоремы монотонности для некоторых обобщений Mx\G\oo;
разработаны методы двустороннего оценивания максимумов для некоторого класса процессов обобщенного дробового шума, с помощью которых получена асимптотика максимума объема работы в системе M|G|oo;
изучены процессы интегрального дробового шума с линейным сдвигом, проведена их диффузионная аппроксимация и получены оценки вероятности разорения (в соответствующей модели теории страхования).
Полученные результаты могут быть применены к решению различных задач теории массового обслуживания, теории страхования и теории надежности как теоретического, так и прикладного характера.
Работа выполнена в соответствии с планом научных исследований на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета МГУ (при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований по гранту 96-01-01092).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XVII и XIX Конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва,'1995, 1997), XXVI Всепольской конференции по приложениям математики (Закопане-Кощчелнско, 1997), на семинарах кафедры теории вероятностен.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[4].
Структура и объем работы. Общий объем диссертации составляет 92 машинописные страницы. Работа состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы, содержащего 54 наименования.
