Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Диссертация посвящена проблемам математического моделирования новых веществ, открытых физиками в конце прошлого столетия и получивших название квазикристаллов. Общую математическую модель расположения центров атомов в любом атомном образовании (плазме, газе, жидкости, аморфном теле, кристалле) дают дискретные точечные системы (с фиксированным радиусом дискретности и обладающие конечным радиусом покрытия). Впервые эти системы, а также метод их исследования, были представлены мировому научному сообществу в 1924 году российским геометром Б.Н. Делоне. Такие множества стали называть системами Делоне, а метод исследования - триангуляцией Делоне. Системы Делоне нашли широкое приложение в вычислительной математике и физике при вычислении сложных многомерных функций, а более всего - в кристаллографии и кристаллографической геометрии.
Главная особенность кристаллических структур состоит в том, что они
составлены из одинаковых частиц (отдельных атомов или конечных их
совокупностей), которые одинаково окружены другими такими же частицами.
Если все эти частицы заменить точками, каждая из которых равно окружена
другими точками, получается, так называемая, правильная система Делоне. Из
равенства окружения точек следует, что для двух произвольно взятых точек
системы существует преобразование симметрии, переводящее эти точки друг в
друга, а всю систему в себя. Полная совокупность таких преобразований для
данной правильной системы Делоне образует группу. В России ее называют
федоровской группой в честь отечественного геометра и кристаллографа
Е.С. Федорова, получившего в 1890 году полный список из 230 таких групп в
трехмерном пространстве. Характерной особенностью федоровских групп
служит то, что все содержащиеся в них преобразования имеют оси симметрии
только второго, третьего, четвертого или шестого порядков. Последним самым
крупным достижением в теории правильных viitiuM Делоне является локальная
Г ЮС НАЦИОНАЛЕ ,
З I СИМИОТЕКД [
теорема М.И. Штогрина о том, что всякая правильная система на евклидовой плоскости определяется локально, т.е. одинаковым окружением каждой точки системы другими ее точками в круге, радиус которого равен четырем радиусам минимального круга покрытия.
В 1984 году был получен сплав, атомная структура которого обладает осями симметрии пятого порядка, запрещенными в кристаллах. К этому времени математикам уже было известно покрытие Пенроуза плоскости двумя типами ромбов с углами 72 и 108, 144 и 36 соответственно, которое не является периодическим, но любой конечный кусок встречается в нем бесконечное число раз и обязательно появляется в круге достаточно большого радиуса с центром в любой точке плоскости. Оказалось, что плоские сечения открытого физиками материала являются аппроксимантами покрытия плоскости (мозаики) Пенроуза. Впоследствии физиками были обнаружены новые материалы с осями симметрии восьмого, десятого и двенадцатого порядков. Такие почти-кристаллические соединения, благодаря своему специфическому строению, немедленно нашли свое применение в машино- и приборостроении. Как и в случае с покрытием Пенроуза, отвечающие этим веществам точечные системы не являются правильными системами Делоне, хотя и обладают некоторым дальним порядком. Возникла насущная необходимость в построении математической модели квазикристаллов.
СП. Новиков в 1986 году определил n-мерную квазикристаллографическую группу, как подгруппу всех движений пространства R, переводящую в себя некоторую квазирешетку (конечнопорожденную подгруппу в R", порождающую Rn как линейное пространство). В дальнейшем в работах самого Новикова и его учеников достаточно подробно была исследована структура таких групп, в том числе получена классификация допустимых углов поворота в двумерном и трехмерном случаях. Одновременно с исследованиями группы Новикова и независимо от них в работах Н. Мермина, Д. Рокшара и Д. Райта возникло определение квазикристаллографических групп в терминах классов когомологий.
.„<'»>* * - 4
С.А. Пиунихин доказал существование взаимнооднозначного соответствия между квазикристаллографическими группами Новикова с конечной точечной группой и группами Мермина-Рокшара-Райта.
Однако предлагаемый Новиковым подход не дает нам удовлетворительной модели квазикристаллических структур уже по той причине, что возникающие в связи с квазикристаллографическими группами Новикова точечные системы (квазирешетки) не обладают свойством дискретности - главной особенностью любой атомной структуры. Кроме того, до сих пор не найдена квазикристаллографическая группа Новикова, которая соответствовала бы системе вершин плоской мозаики Пенроуза. Полностью выпадают из рассмотрения и реальные кристаллы, идеальная структура которых зачастую нарушена внешними примесями, деформациями и пр.
Наконец, все математические модели квазикристаллических структур, существующие в настоящее время, обладают еще одним существенным недостатком. Предлагая тот или иной способ конструирования точечных систем, а тем более некоторых групп преобразований, с заданным некристаллографическим порядком (симметрией), их авторы не получают (да и не могут получить при таком конструктивном подходе) общую модель строения вещества, обладающего какой-либо (кристаллографической или другой) симметрией, не дают критерия «почти-правильности» системы точек. Критерия, который бы выделял среди общих систем Делоне «почти-правильные». Поэтому, в отличие от кристаллов, полное описание строения которых задают правильные системы Делоне, почти-кристаллические структуры пока не имеют своего единого описания. Такое положение дел и определило направление настоящего исследования.
ОБЪЕКТОМ ИССЛЕДОВАНИЯ являются общие точечные системы и системы Делоне как математическая модель расположения центров атомов в любом атомном образовании.
ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ - зонные системы Делоне как единая математическая модель кристаллов и квазикристаллов.
ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. Создание математической модели, описывающей кристаллические и почти-кристаллические структуры, как нового класса систем Делоне, и описание геометрических свойств систем этого класса. Для достижения этой цели, автор ставит перед собой следующие ЗАДАЧИ:
ввести операцию расширения общих точечных систем;
установить глобальный и локальный критерии постоянства общих точечных систем и систем Делоне при их расширении;
определить с помощью введенной операции новый класс систем Делоне, а именно, класс зонных систем;
показать, что зонность системы Делоне есть признак ее почти-правильности;
установить связь n-мерных зонных систем с одномерными;
выявить геометрические свойства одномерных зонных систем с двумя различными возможными расстояниями между соседними точками и их связь со специальными числовыми последовательностями;
установить критерий зонности для таких систем;
- показать, что одномерные зонные системы с двумя различными
возможными расстояниями между соседними точками сохраняют свойство
зонности при повторном расширении.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В качестве методов исследования автором применяются элементы теории групп, алгебраической теории чисел, дифференциального исчисления функции одной переменной. Кроме того, оригинальными авторскими методами являются операция расширения точечных систем, и конструкция «трубы» как геометрического образа одномерной точечной системы с двумя несоизмеримыми расстояниями между соседними точками.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В настоящей диссертации впервые вводится в рассмотрение операция расширения точечных систем и возникающий в связи с ней новый класс таких систем, занимающий промежуточное положение между
общими и правильными системами Делоне. Таким образом, впервые построена единая модель кристаллических и почти-кристаллических структур, найден критерий «почти-правильности» системы точек.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть применены при дальнейших исследованиях систем Делоне в евклидовых, локально-евклидовых пространствах, а также в пространствах постоянной гауссовой кривизны. Полученная в работе единая модель кристаллических и почти-кристаллических структур представляет интерес как математическая основа компьютерного моделирования широкого спектра структур - от наноматериалов до реальных кристаллов.
-
Важным методом исследования точечных систем является операция их расширения. В частности, точечные системы, стабильные (сохраняющиеся) при этой операции, - это системы вида X=G1xG2x...xG„, где Gk -произвольное расширение аддитивной группы Z, а стабильные системы Делоне - решетки T=Zn.
-
Выделяемые с помощью операции расширения из общего множества систем Делоне зонные системы - новый класс точечных систем, существенно более широкий, чем правильные системы, и являющийся единой моделью кристаллических и почти-кристаллических структур.
-
Многомерные зонные системы могут быть получены из одномерных как подмножества их декартова произведения.
-
Одномерные зонные системы с двумя возможными несоизмеримыми расстояниями а и Ъ между соседними точками являются зонными тогда и
только тогда, когда последовательность {Рк=—}, где mk есть количество
вхождений расстояния a,ank-количество вхождений расстояния Ъ между k-соседками (точками х, и х1+к системы), сходится. В частности, зонными являются системы вершин плоского покрытия (мозаики) Пенроуза.
5. Одномерные зонные системы с двумя возможными несоизмеримыми
расстояниями а и Ъ между соседними точками сохраняют свойства
зонности при повторном расширении.
ДОСТОВЕРНОСТЬ результатов работы основана на строгости
математических доказательств и на корректности проведения исследования с
помощью математического моделирования. Кроме того, полученный в работе
результат о зонности системы вершин плоской мозаики Пенроуза согласуется с
результатами физических исследований структуры квазикристаллов.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались автором на:
объединенном научном семинаре члена-корреспондента РАН В.Г.Болтянского и профессора С.С. Рышкова в Математическом Институте им. В.А. Стеклова РАН (1993),
научном семинаре кафедры алгебры и геометрии НовГУ (1996,2004),
научном семинаре члена-корреспондента РАН, профессора Ю.Г. Евтушенко в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН (2004),
VI международной конференции «Кристаллы: рост, реальная структура, свойства, применение» (Александров, 2003),
Всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления" (Москва, Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, 2004),
Всероссийской научно-методической конференции "Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе" (Великий Новгород, 2004);
и содержатся в 7 публикациях, список которых приводится в конце автореферата.
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Общий объем диссертации составляет 72 страницы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 36 наименований, 32 рисунков.
